云南中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型之三角形的相關(guān)性質(zhì)與判定（一）解析版

專題13三角形的相關(guān)性質(zhì)與判定（一）

目錄

熱點(diǎn)題型歸納..........................................................................

題型01三角形內(nèi)角和定理與外角和定理.....................................................................1

題型02三角形內(nèi)角和與外角和定理的應(yīng)用..................................................................9

題型03三角形的三邊關(guān)系................................................................................12

題型04與三角形有關(guān)線段問題............................................................................15

題型05線段垂直平分線的性質(zhì)與判定......................................................................21

題型06角平分線的性質(zhì)與判定............................................................................27

中考練場(chǎng).................................................................................................30

熱點(diǎn)題型歸納

題型01三角形內(nèi)角和定理與外角和定理

【解題策略】

三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180。.

推論：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.

三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用：

1）在三角形中，已知兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，可以求出第三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；

2）在三角形中，已知三個(gè)內(nèi)角的比例關(guān)系,可以求出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；

3）在直角三角形中，已知一個(gè)銳角的度數(shù),可以求出另一個(gè)銳角的度數(shù).

三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360。.

三角形的外角和的性質(zhì)：1）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和;

2）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.

方法總結(jié)

三角形中角度計(jì)算的6種?？寄Ｐ?

【典例分析】

例1.（2022.內(nèi)蒙古）如圖，△ABC中，乙4c8=90。，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△EDC,使點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。恰好

落在4B邊上，AC,ED交于點(diǎn)F.若4BCD=a,則NEFC的度數(shù)是（用含a的代數(shù)式表示）（）

3

A.90。+1BC.180°--aD.|a

-2

【答案】C

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BC=DC,ZACE=a,ZA=ZE,貝iJ/B=NBDC,利用三角形內(nèi)角和可求得進(jìn)而

可求得/E,則可求得答案.

【詳解】解：：將AHBC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AEDC,且NBCD=a

：.BC=DC,ZACE=a,ZA=ZE,

：.ZB=ZBDC,

?.4=用九=中=90。/

.?”=叢=90。-"=90。-9。。+：?

."4=NE=￡

a3

???LEFC=180°-/.ACE-Z.E=180°-a--=180°--a,

22

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換、三角形內(nèi)角和、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

例2.(2023?四川)如圖，AE||CD,AC平分NBC。，42=35。,N。=60。則NB=()

D

E

A.52°B.50°C.45°D.25°

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出=42=35°,再由角平分線確定NBC。=70。，利用三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】解：,?NEIICD,

Azi=42=35°,

:.乙BCD=241=70°,

■:4D=60°,

:.乙B=180°-4BCD-4D=50°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】題目主要考查平行線的性質(zhì)及角平分線的計(jì)算，三角形內(nèi)角和定理，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題

關(guān)鍵.

【變式演練】

1.(2022.安徽?一模)將兩個(gè)直角三角板如圖擺放，其中NBC4=NEDF=90。，=45。，乙4=30。，BC與DE交于

點(diǎn)、P,AC與DF交于點(diǎn)Q.若4BIIEF,貝UNDPC—NDQC=()

C.45.5°D.30°

【答案】D

【分析】根據(jù)常用直角三角板的角度，先把各角表示出來，再利用平行線性質(zhì)及外角性質(zhì)分別求出NDPC和ADQC,作

差即可.

【詳解】解：在RtAABC中,Z.BCA=90°,U=30。,則NB=60。,

在RSDEF中，AEDF=90°,NE=45°,則NF=45°,

???ABWEF,

???Z.XCF==3O°,ZBC￡=NB=60°,

???4DPC=Z.E+乙BCE=450+60°=105°,zDQC=zF+Z.ACF=450+30°=75°,

UPC-乙DQC=105°-75°=30°,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查求角度問題，涉及到常見三角板的內(nèi)角、平行線性質(zhì)和外角性質(zhì)，準(zhǔn)確將題中數(shù)據(jù)與圖形對(duì)應(yīng)起來

得到關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

2.(2022?安徽合肥?二模)如圖是一款手推車的平面示意圖，其中48〃CZ),43=150。，zl=30°,則42的大小是

()

A.60°B.70°C.80°D.90°

【答案】A

【分析】如圖/3的頂點(diǎn)用歹表示，N2的頂點(diǎn)用E表示，根據(jù)AB〃C。，得出Nl=NA=30。，根據(jù)領(lǐng)補(bǔ)角互補(bǔ)得出

NAFE=180°-Z3=180°-150°=30°,根據(jù)三角形外角性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：如圖/3的頂點(diǎn)用/表示，/2的頂點(diǎn)用E表示，

'：AB//CD,

；./l=NA=30°,

VZ3+ZAF￡=180°,

ZAFE=180°-Z3=180°-150°=30°,

,/Z2是〃AEF的外角,

Z2=ZA+ZAFE=30o+30°=60°.

故選擇A.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線性質(zhì)，領(lǐng)補(bǔ)角互補(bǔ)性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，掌握平行線性質(zhì)，領(lǐng)補(bǔ)角互補(bǔ)性質(zhì)，三角形外角

性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考一模）在“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)中，小林剪掉等邊三角形紙片的一角，如圖所示，發(fā)現(xiàn)得到的N1與

N2的和總是一個(gè)定值.則Nl+Z2=度.

【答案】240

【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得乙4=60。，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】解：如圖，

AaBC是等邊三角形,

???Z-A=60°,

???zl=z.i4+Z.AED,z2=z>l+AADE,

:.z.1+z.2=Z-A+Z-AED+z-A+乙ADE,

???Z.AED+4Z+Z.ADE=180°,

???+42=4/+180°=60°+180°=240°,

故答案為：240.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的定義和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的

外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

4.(2023?江蘇泰州?中考真題)如圖，△ABC中，AB=AC,乙4=30。，射線CP從射線C4開始繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角

(0°<a<75°),與射線AB相交于點(diǎn)。，將△4CD沿射線CP翻折至△4CD處，射線C4與射線4B相交于點(diǎn)E.若小

4DE是等腰三角形，貝Ika的度數(shù)為.

【答案】22.5°或45°或67.5°

【分析】分情況討論，利用折疊的性質(zhì)知乙4=乙4'=30。，^ACP=^ACP'=a,再畫出圖形，利用三角形的外角性

質(zhì)列式計(jì)算即可求解.

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)知乙4=N4=30°,乙4cp=乙4CP，=a,

當(dāng)力'D=DE時(shí)，NDE4=乙4'=30°,

由三角形的外角性質(zhì)得NDE4=乙4+Z.ACD+AA'CD,即30°=30°+2a,

此情況不存在；

當(dāng)4D=4E時(shí),

-1

NA=30°,^DEA'=^EDA'=：(180°-30°)=75°,

由三角形的外角性質(zhì)得75。=30°+2a,

解得a=22.5°；

當(dāng)EA=DE時(shí)，4EDA'==30°,

：.ADEA'=180°-30°-30°=120°,

由三角形的外角性質(zhì)得120。=30°+2a,

解得a=45°；

當(dāng)40=4E時(shí),/.A'DE=LA'ED=15°,

：./.ADC=/.A'DC=|（180°-15°）=82.5°,

：.a=AACD=180°-30°-82.5°=67.5°；

綜上，Na的度數(shù)為22.5?；?5?；?7.5。.

故答案為：22.5。或45。或67.5。.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

題型02三角形內(nèi)角和與外角和定理的應(yīng)用

【典例分析】

例1.（2024?江西模擬）苯分子的環(huán)狀結(jié)構(gòu)是由德國(guó)化學(xué)家凱庫(kù)勒提出的.隨著研究的不斷深入，發(fā)現(xiàn)苯分子中的6

個(gè)碳原子與6個(gè)氫原子均在同一平面，且所有碳碳鍵的鍵長(zhǎng)都相等（如圖1）,組成了一個(gè)完美的六邊形（正六邊

形），圖2是其平面示意圖，則N1的度數(shù)為（）

圖1圖2

A.130°B.120°C.110°D.60°

【答案】B

【分析】根據(jù)正六邊形的內(nèi)角和公式求出NBA尸的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求NABF的度數(shù)，同理可得NR4尸的

度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】解：；六邊形4BCDEF是正六邊形，

：.ABEF,^.BAF-（6-2）xl80°-120°,

2

同理NE4F=30°,

Azi=180°-30°-30°-120°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形內(nèi)角和的計(jì)算以及三角形公式，〃邊形的內(nèi)角和為180。Yn-2）.

例2.（2023?山西模擬）綠色出行，健康出行，你我同行.某市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù).圖1

是某品牌共享單車放在水平地面的實(shí)物圖，圖2是其示意圖，其中力B,CD都與地面平行，/.BCD=68°,ABAC=

52°.已知與CB平行，貝力C的度數(shù)為（）

圖1圖2

A.70°B.68°C.60°D.50°

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得N4BC=乙BCD=68。，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得4CB=180°-68°-52°=

60%再根據(jù)平行線的性質(zhì)即得答案.

【詳解】解：CD都與地面平行，乙BCD=68°,

：.AB||CD,

:.乙ABC=乙BCD=68°,

"：^BAC=52。，

J.Z.ACB=180°-68°-52°=60°,

'JAM||CB,

J.Z.MAC=乙4cB=60°；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【變式演練】

1.（2022?湖南）如圖，一束光沿CD方向，先后經(jīng)過平面鏡。8、反射后，沿EF方向射出，已知乙4OB=120°,

/-CDB=20°,則N4EF=.

【答案】40。/40度

【分析】根據(jù)入射角等于反射角，BTWZCDB=^EDO,^DEO=^AEF,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得NOEO=40。，進(jìn)

而即可求解.

【詳解】解：依題意，乙CDB=乙EDO/DEO=AAEF,

\"^AOB=120°,乙CDB=2Q°,

???乙CDB=/.EDO=20°,

：./.OED=180-乙ODE-4AOB=40°,

???/.AEF=乙DEO=40°.

故答案為：40°.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2024?陜西模擬）如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心。的光線相交于

點(diǎn)P，點(diǎn)F為焦點(diǎn).若41=155。，42=30。，貝!|43的大小為（）

A.45°B.50°C.55°D.65°

【答案】c

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，掌握這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵.利用平行線的性質(zhì)及三角

形外角的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖，

,：AB\\OFf

.*.Z1+Z.BF0=180°,

:?乙BFO=180°-155°=25°,

■:乙POF=42=30°,

???43=(POF+乙BFO=30°+25°=55°,

故選：C.

題型03三角形的三邊關(guān)系

【解題策略】

三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊.

推論：三角形的兩邊之差小于第三邊.

【解題技巧】

1）判斷三條已知線段能否組成三角形，只需檢驗(yàn)最短的兩邊之和大于第三邊，則可說明能組成三角形.

2）已知三角形兩邊的長(zhǎng)度分別為a,b,求第三邊長(zhǎng)度的范圍：|a-b|<c<a+b

3)所有通過周長(zhǎng)相加減求三角形的邊，求出兩個(gè)答案的，要注意檢查每個(gè)答案能否組成三角形.

【典例分析】

例1.(2024.湖南模擬)3.已知a,b,c是一個(gè)三角形的三邊，且a,b滿足，a—1+(6—2尸=0.則c的取值范圍是

【答案】l<c<3

【解析】解：TVa-1+(b-2)2=0

a-1=0,6—2=0,

解得a-1,b—2,

??-2-1=1,1+2=3,

???1<c<3.

故答案為：l<c<3.

根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b,再根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求解即可.

本題主要考查的是三角形三邊關(guān)系，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟知三角形兩邊之和大于第三邊；三角形的兩邊差小于第三邊是

解題的關(guān)鍵.

例2.(2020?甘肅天水?統(tǒng)考中考真題)一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和5,第三邊長(zhǎng)是方程/一8x+12=0的根，

則該三角形的周長(zhǎng)為.

【答案】13

【分析】先利用因式分解法解方程--8工+12=0,然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出第三邊的長(zhǎng)，則該三角形的周長(zhǎng)可

求.

【詳解】解：：/a+12=0,

A(x-2)(x-6)=0,

??尤/=2,尤2=6,

???三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和5,第三邊長(zhǎng)是方程/-8x+12=0的根，當(dāng)產(chǎn)2時(shí)，2+2<5,不符合題意，

三角形的第三邊長(zhǎng)是6,

該三角形的周長(zhǎng)為：2+5+6=13.

故答案為：13.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程的因式分解法及三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.（2023?河北）四邊形ABCD的邊長(zhǎng)如圖所示，對(duì)角線力C的長(zhǎng)度隨四邊形形狀的改變而變化.當(dāng)△ABC為等腰三角

形時(shí)，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】利用三角形三邊關(guān)系求得0<AC<4,再利用等腰三角形的定義即可求解.

【詳解】解：在^ACD中，AD=CD=2,

：.2-2<AC<2+2,即0<AC<4,

當(dāng)月C=BC=4時(shí)，△ABC為等腰三角形，但不合題意，舍去；

若4C=4B=3時(shí)，△ABC為等腰三角形，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系以及等腰三角形的定義，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

2.（2024?湖南模擬）25nl是某三角形三邊的長(zhǎng)，則—3尸+—7尸等于（）

A.2m-10B.10-2mC.10D.4

【答案】D

【分析】先根據(jù)三角形三邊的關(guān)系求出山的取值范圍，再把二次根式進(jìn)行化解，得出結(jié)論.

【詳解】解：???2,5,巾是三角形的三邊，

5-2<m<5+2,

解得：3cm<7,

???J(m-3尸+_7尸—m—3+7—m=4,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)及化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是：先根據(jù)題意求出山的范圍，再對(duì)二次根式化簡(jiǎn).

題型04與三角形有關(guān)線段問題

【解題策略】

三角形有關(guān)的線段的性質(zhì):

高(AD)中線(AD)角平分線(AD)中位線(DE)

AA

八區(qū)小c

BoC*D€

BD=CDSAABD=SAADCAD=DBAE=EC

ZADB=ZADC=90°/BAD=/DA《ZBAC

1

DE《BCDE//BC

CAACD-C^ABD=AC—AB

方法總結(jié):

1.三角形的高、中線、角平分線是三條線段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中線可得線段之間的關(guān)系，由

三角形的角平分線可得角之間的關(guān)系.

2.常見三角形的高:

3.當(dāng)已知三角形兩邊的中點(diǎn)時(shí)，可考慮運(yùn)用三角形中位線定理，得到相應(yīng)線段的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系.

【典例分析】

例1.（2024?山東模擬）觀察下列作圖痕跡，所作CD為ATIBC的邊4B上的中線是（）

【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了作圖-基本作圖、三角形的角平分線、中線和高、線段垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)題意，CD為△力BC的邊42

上的中線，就是作28邊的垂直平分線，交AB于點(diǎn)D,連接CD即可判斷.

【解答】

解：觀察作圖痕跡可知：

ACD14B,但不平分，

所以A選項(xiàng)不符合題意；

B.CD為△48C的邊4B上的中線，

所以8選項(xiàng)符合題意；

C.CD是乙4cB的角平分線，

所以C選項(xiàng)不符合題意；

。不符合基本作圖過程，

所以。選項(xiàng)不符合題意.

故選8.

例2.（2024?全國(guó)模擬）如圖，AD,CE分別是A/IBC的中線和角平分線，若4B=4C,/.CAD=20°,貝吐4CE的度數(shù)

是（）

H

D

A.20°B.35°C.40°D.70°

【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了等腰三角形的兩個(gè)底角相等的性質(zhì)，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合的性

質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及角平分線定義，求出=70。是解題的關(guān)鍵.先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角

和定理求出“28=24a4。=40°,4B=乙4cB=|（180°-=70。.再利用角平分線定義即可得出乙4CE=

^ACB=35°.

【解答】

解：???4。是4ABC的中線，AB=AC,^CAD=20°,

1

??.Z.CAB=2^CAD=40°,乙B=Z.ACB=^（180°-Z.CAB}=70°.

???CE是△ABC的角平分線，

???/-ACE=g乙ACB=35°.

故選艮

例3.（2024.廣東模擬）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn).若DE=2,貝加。的長(zhǎng)是（）

A.3

B.4

C.5

D.6

【答案】B

【解析】【分析】

本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)三角形中位線定理解答即可.

【解答】

解：???￡）、E分別是AB、4C的中點(diǎn)，

DE是AaBC的中位線，

BC=2DE,

■：DE=2,

BC=4,

故選:B.

【變式演練】

1.（2023?江蘇模擬）如圖，BE是ATIBC的中線，點(diǎn)廠在BE上，延長(zhǎng)2F交BC于點(diǎn)Z）.若BF=3FE,則照=

【答案】|

【分析】連接ED,由BE是AABC的中線，得到S-BE=S^CE，S“ED=S^DC，由BF=3FE,得至1］學(xué)空=3,變出=

b^FED

3,設(shè)，4EF=X，SAEFD=y，由面積的等量關(guān)系解得力=為，最后根據(jù)等高三角形的性質(zhì)解得沁據(jù)此解題即

3S“DCDC

可.

【詳解】解：連接ED

A

???BE是△ABC的中線，

???^AABE=S^BCE，^LAED=S^EDC

???BF=3FE

S—BF仁S^BFD仁

???---=3,--------=3

^LAFE、〉FED

設(shè)S“EF='，$△￡■尸。=y,

?，?^AABF=3%，S4BFD=3y

,',^AABE=4%,S4BEC=4%,S4BE。=4y

???S^EDC~S^BEC~S^BED=4%—4y

???S“OE=S^EDC

.-.x4-y=4x—4y

5

???X=-y

ABD^^4DC是等高三角形，

.SXABD_BD_3%+3y_3x+3y_3x|y+3y_8y_3

S^ADCDCx+y+4x-4y5x-3y5x|y-3y^-y2'

故答案為：|.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的中線、三角形的面積等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

2.（2023?黑龍江模擬）已知，如圖1,若4。是△力BC中N"4c的內(nèi)角平分線，通過證明可得桀=箸，同理，若4E是

△力BC中NB4C的外角平分線，通過探究也有類似的性質(zhì).請(qǐng)你根據(jù)上述信息，求解如下問題：如圖2,在A4BC中，

BD=2,CD=3,2。是△ABC的內(nèi)角平分線，則△ABC的BC邊上的中線長(zhǎng)1的取值范圍是

圖1圖2

【答案】|</〈號(hào)

【分析】根據(jù)題意得到*=|,設(shè)AB=2%,AC=3k,在△ABC中，由三邊關(guān)系可求出人的范圍，反向延長(zhǎng)中線4E至

F,使得=連接CF,最后根據(jù)三角形三邊關(guān)系解題.

【詳解】如圖，反向延長(zhǎng)中線4E至F,使得4E=EF,連接CF,

???BD=2,CD=3,4。是443。的內(nèi)角平分線，

AB_BD_2

''AC~~CD~3

可設(shè)A5=2比AC=3k,

在△ABC中，BC=5,

：.5k>5,k<5,

：.l<k<5,

BE=EC

???Z.AEB=心CEF

、AE=EF

ABE=△FCE(SAS)

??.AB=CF

由三角形三邊關(guān)系可知，

AC-CF<AF<AC+CF

???k<AF<5k

故答案為：\<l<

D\E

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、中線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識(shí)，是重要考點(diǎn),

難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

題型05線段垂直平分線的性質(zhì)與判定

【解題策略】

垂直平分線的概念：經(jīng)過線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）.

性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

判定：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.

方法總結(jié)：

對(duì)于含有垂直平分線的題目，首先考慮將垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)連接起來.

【典例分析】

例1.（2023?天津）如圖，在AABC中，分別以點(diǎn)a和點(diǎn)c為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作?。ɑ∷趫A的半徑都相等

）,兩弧相交于M,N兩點(diǎn)，直線MN分別與邊BC,ZC相交于點(diǎn)D,E,連接4。.若8。=DC,AE=4,AD=5,則

的長(zhǎng)為（）

A.9B.8C.7D.6

【答案】D

【解析】解：由題意得：MN是/C的垂直平分線，

?.AC=2AE=8,DA=DC,

???Z-DAC=",

???BD=CD,

BD=AD,

Z-B=乙BAD,

???（B+ABAD+ZC+Z-DAC=180°,

??.2（BAD+2Z.DAC=180°,

???乙BAD+ADAC=90°,

???^BAC=90°,

在中，BC=BD+CD=2AD=10,

??.AB=VBC2-AC2=V102-82=6,

故選：D.

根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AC=2AE=8,DA=DC,從而可得乙CMC=",再結(jié)合已知易得80=AD,從而可

得乙B=4BAD,然后利用三角形內(nèi)角和定理可得Nb4C=90。，從而在Rt△ABC中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

本題考查了勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理，以及線段

垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例2.（2022?湖北）如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于^BC長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M,N.作

直線MN,交AC于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,連接BD.若4B=7,AC=12,BC=6,則△4BD的周長(zhǎng)為（）

A

D

A.25B.22C.19D.18

【答案】C

【分析】由垂直平分線的性質(zhì)可得BD=CD,由448。的周長(zhǎng)=AB+AO+BO=AB+A￡）+CD=AB+AC得到答案.

【詳解】解：由作圖的過程可知，。石是2C的垂直平分線，

:.BD=CD,

'：AB=7,AC=12,

AAB。的周長(zhǎng)=AB+AO+BO

^AB+AD+CD

^AB+AC

=19.

故選：C

【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的周長(zhǎng)等知識(shí)，熟練掌握線段垂直平分

線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.（2023?山東）如圖，在△ABC中，N28C=90。，4。=30。，以點(diǎn)4為圓心，以48的長(zhǎng)為半徑作弧交AC于點(diǎn)D,連接

BD,再分別以點(diǎn)8,。為圓心，大于。的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P,作射線4P交BC于點(diǎn)E,連接DE,則下列結(jié)論中

不正確的是（）

A.

A.BE=DEB.AE=CE

C.CE=2BEDS^EDC_2CZ

?SfBC-亍

【答案】D

【解析】解：由作法得48=4),PB=PD,

???4P垂直平分BO,

；.BE=DE,所以/選項(xiàng)不符合題意；

???Z.ABC=90°,Z-C=30°,

.??/,BAC=60°,

由作法得ZE平分

??.Z.BAE=ZLCAE=30°,

???Z.CAE=zC,

AE=CE,所以B選項(xiàng)不符合題意；

在Rt△ABE^p,???Z.BAE=30°,

AE=2BE,

：,CE=2BE,所以。選項(xiàng)不符合題意；

在RtZkABC中,vzC=30°,

：.AC=2AB,

vAD=AB9

AD=CD,

S^EDC=2S^ACE，

???CE=2BE,

2

??.CE=抑,

???S^ACE=3S—BC，

121

S^EDC=2X2^AABC=所以。選項(xiàng)付合題思.

故選：D.

由作法得48=40,PB=PD,則可判斷4P垂直平分BD,于是根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可對(duì)4選項(xiàng)進(jìn)行判斷；由作

法得4E平分ZB4C,貝=/.CAE=30°,所以4CZE=ZC,則可對(duì)8選項(xiàng)進(jìn)行判斷；在Rt△ABE中利用NB4E=30°

得到力E=2BE,貝l]CE=2BE,于是可對(duì)C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；在Rt△48C中利用4。=30。得到AC=2AB,貝必。=CD,

根據(jù)二角形面積公式得到SAEDC=；SA4CE，再證明SA4CE=：SA4BC，所以SAEDC=3A4BC，從而可對(duì)。選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵.也考查了角平分線的性質(zhì).

2.（2024?吉林模擬）如圖，在AABC中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法不一定正確的是（）

A.AF=BFB.AE=-AC

2

C.4DBF+乙DFB=90°D.Z.BAF=乙EBC

【答案】B

【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可得。尸垂直平分AB8E是乙4BC的角平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的定

義，直角三角形兩銳角互余，等邊對(duì)等角的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可得。尸垂直平分AB,BE是乙的角平分線，

??.AF=BF/BDF=90°,Z.ABF=乙CBE,

??.Z.ABF=乙BAF,乙DBF+乙DFB=90°,

Z.BAF=Z.EBC,

綜上，正確的是A、C、D選項(xiàng)，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線和角平分線的作圖，垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余，

等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?江西模擬）如圖，4c平分ADCB,CB=CD,D4的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)E,若NEAC=49。，貝I]NB4E的度數(shù)

為________

【答案】82°.

【分析】如圖，連接BD,延長(zhǎng)C4與BD交于點(diǎn)F,利用等腰三角形的三線合一證明CF是BD的垂直平分線，從而得到

AB=AD,再次利用等腰三角形的性質(zhì)得到：NEMF=NB4F,從而可得答案.

【詳解】解：如圖，連接BD,延長(zhǎng)&4與BD交于點(diǎn)F,

???4C平分WCB,CB=CD,

CF±BD,DF=BF,

CF是BD的垂直平分線，

AB=AD,

：.Z.DAF=Z.BAF,

■：Z.EAC=49°,

???^DAF=^BAF=^EAC=49°,

???/.BAE=180°-49°-49°=82°,

故答案為：82。.

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵.

題型06角平分線的性質(zhì)與判定

【解題策略】

角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.

角平分線的判定定理：角的內(nèi)部，與角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.

方法總結(jié)

性質(zhì)中的“距離”是指“點(diǎn)到角兩邊所在直線的距離”，因此在應(yīng)用時(shí)必須含有“垂直”這個(gè)條件,否則不能得到線段相

等.

【典例分析】

例1.（2022?四川）如圖，在RtAABC中，NC=90。,NB4C的平分線交BC于點(diǎn)。，DE//AB,交4C于點(diǎn)E,DF1AB

于點(diǎn)F,DE=5,DF=3,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.BF=1B.DC=3C.AE=5D.AC=9

【答案】A

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到故B正確；根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線得到AE=DE=5,故C正

確；由此判斷D正確；再證明△求出BP,故A錯(cuò)誤.

【詳解】解：在RtAABC中，NC=的平分線交BC于點(diǎn)。，DF1AB,

：.CD=DF=3,故B正確；

,:DE=5,

/.CE=4,

YDEHAB,

：.ZADE=ZDAFf

'：ZCAD=ZBAD,

：.ZCAD=ZADE,

：.AE=DE=5,故C正確；

：.AC=AE+CE=9f故D正確；

?：/B=/CDE,ZBFD=ZC=90°f

:?叢BDFs叢DEC,

.CE_CD

*'DF~BF'

；.BF=等=故A錯(cuò)誤；

CE4

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角證明角相等，相似三角形的判定及性質(zhì)，熟記

各知識(shí)點(diǎn)并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.（2021?廣東深圳?中考真題）如圖，已知NB4C=60。，4D是角平分線且力。=10,作4D的垂直平分線交力C于點(diǎn)

F,作DE14C,貝!UDEF周長(zhǎng)為

【答案】5+5V3

【分析】知道4B4C=60。和4。是角平分線，就可以求出乙EME=30°,4。的垂直平分線交4C于點(diǎn)P可以得到

AF=FD,在直角三角形中30。所對(duì)的邊等于斜邊的一半，再求出DE,得到以以尸=+石尸+2F=4E+DE.

【詳解】解：:40的垂直平分線交4c于點(diǎn)尸，

DF=AF（垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等）

/.（\DEF=DE+EF+AF=AE+DE

9：^BAC=60°,40是角平分線

：.Z.DAE=30°

9：AD=10

：.DE=5,AE=5V3

C^DEF=5+5-\/3

【點(diǎn)睛】此題考查角平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)的綜合題，掌握運(yùn)用三者的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

2.（2022.江蘇）如圖，AB是圓。的直徑，弦AD平分NA4C,過點(diǎn)。的切線交AC于點(diǎn)E,Z￡40=25°,則下列結(jié)

論錯(cuò)誤的是（）

A.AE±DEB.AE//ODC.DE=ODD.ZBOD=50°

【答案】C

【分析】過點(diǎn)。作。F，A8于點(diǎn)孔根據(jù)切線的性質(zhì)得到證明OD〃AE,根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線

的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】解：是。。的切線，

：.OD±DE,

,：OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

平分/BAC,

ZOAD=ZEAD,

：.ZEAD=ZODA,

：.OD//AE,

J.AELDE.故選項(xiàng)A、B都正確；

VZOAD=ZEAD=ZODA=25°,ZEAD=25°,

：.ZBOD=ZOAD+ZODA=50°,故選項(xiàng)D正確;

平分/BAC,AE±DE,DF±AB,

：.DE=DF<OD,故選項(xiàng)C不正確；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解

題的關(guān)鍵.

中考練場(chǎng)

1.（2023?江蘇）如圖，△4BC中，^BAC=55°,將△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0。<a<55。）,得到△ADE,DE交AC于

F.當(dāng)a=40。時(shí)，點(diǎn)。恰好落在BC上，此時(shí)等于（）

￡

A.80°B.85°C.90°D.95°

【答案】B

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得NB=Z.ADB=UDE,再結(jié)合旋轉(zhuǎn)角a=40。即可求解.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：^BAC=^DAE=55°,AB=AD,

Va=40°,

J./-DAF=15°,NB=AADB=AADE=70°,

：./LAFE=4DAF+^ADE=85°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了幾何一旋轉(zhuǎn)問題，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是關(guān)鍵.

2.（2022?湖北）如圖，沿力B方向架橋修路，為加快施工進(jìn)度，在直線上湖的另一邊的。處同時(shí)施工.取N4BC=

150°,BC=1600m,ABCD=105°,則C,。兩點(diǎn)的距離是m.

【答案】800V2

【分析】如圖所示：過點(diǎn)C作CE1BD于點(diǎn)E,先求出CE=800m,再根據(jù)勾股定理即可求出CD的長(zhǎng).

【詳解】如圖所示：過點(diǎn)C作CE1BD于點(diǎn)E,則N8EC=N￡）EC=90。，

???乙ABC=150°,

.-.乙CBD=30°,

ZBCE=90°-30°=60°,

又???(BCD=105°,

???乙CDB=45°,

???ZECD=45°=ZDf

：.CE=DE,

BC=1600m,

???CE=-BC=1x1600=800m,

22

???CD2=CE2+DE2=2CE2,即CD=V2C￡=800V2m.

故答案為：800VL

【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練

掌握相關(guān)內(nèi)容并能靈活運(yùn)用.

3.（2023?江蘇）若一個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為3,則它的周長(zhǎng)可能是（）

A.5B.10C.15D.20

【答案】B

【解析】【解答】解：???等腰三角形的腰長(zhǎng)為3,

.?-3-3〈等腰三角形的底長(zhǎng)＜3+3,

即0〈等腰三角形的底長(zhǎng)＜6,

6〈等腰三角形的周長(zhǎng)＜12,

故選：B.

4.(2023?四川)如圖，麥形2BCD的對(duì)角線2C與BD相父于點(diǎn)0,E為邊BC的中點(diǎn)，連結(jié)OE.

若4C=6,BD=8,則。E=()

A.2

B4

C.3

D.4

【答案】B

【解析】解：???四邊形2BCD是菱形,

1i

AOC=^AC,OB=^BD,AC1BD,

AC—6,BD—8,

OC=3,OB=4,

CB=VOB2+OC2-5,

???E為邊BC的中點(diǎn),

15

??.OE=|.

故選：B.

由菱形的性質(zhì)得到OC=3,OB=^BD=4,ACLBD,由勾股定理求出BC的長(zhǎng)，由直角三角形斜邊中線的性

質(zhì)，即可求出0E的長(zhǎng).

本題考查菱形的性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線，勾股定理，關(guān)鍵是由菱形的性質(zhì)求出。C,OB的長(zhǎng)，由勾股定理求出BC

的長(zhǎng)，由直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)即可求出OE的長(zhǎng).

5.(2022?四川)如圖，在△力BC中，ACAD=90°,AD=3,AC=4,BD=DE=EC,點(diǎn)

F是AB邊的中點(diǎn)，則DF=()

55

Bc2D

A.4-2-

【答案】A

【解析】解：NC4D=90。，AD=3,AC=4,

DC=VAD2+AC2=732+42=5,

vDE=EC,DE+EC=DC=5,

：.DE=EC=AE=I，

???BD=DE,點(diǎn)F是4B邊的中點(diǎn)，

DF=^AE=|.

故選：A.

先在直角△C4D中利用勾股定理求出DC=5,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出4E=I，最后利用

三角形的中位線定理求出川7=^AE=

本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，三角形的中位線定理，準(zhǔn)確識(shí)圖并且熟記相關(guān)定理與性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

6.（2023?廣東）如圖，O。是AABC的內(nèi)切圓，則點(diǎn)。是△48。的（）

A.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)B,三條角平分線的交點(diǎn)

C.三條中線的交點(diǎn)D.三條高的交點(diǎn)

【答案】B

【解析】【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；熟練掌握三角形的內(nèi)切圓的圓心性質(zhì)是關(guān)鍵.根據(jù)三角形的內(nèi)

切圓得出點(diǎn)。到三邊的距離相等，即可得出結(jié)論.

【解答】解：：。。是AABC的內(nèi)切圓，

.?.點(diǎn)。是AaBC三條角平分線的交點(diǎn).

故選8.

7.（2022?湖北）如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M,N.作直

線MN,交2C于點(diǎn)0,交BC于點(diǎn)E,連接BD.若48=7,AC=12,BC=6,則AAB。的周長(zhǎng)為（）

A.25B.22