浙教版八年級數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：認(rèn)識三角形（解析版）

第01講認(rèn)識三角形

產(chǎn)知識點梳理

一、三角形的定義

由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

要點：

(1)三角形的基本元素：

①三角形的邊：即組成三角形的線段；

②三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角；

③三角形的頂點：即相鄰兩邊的公共端點.

(2)三角形的定義中的三個要求：“不在同一條直線上”、“三條線段”、“首尾順次相

接”.

(3)三角形的表示：三角形用符號表示，頂點為A、B、C的三角形記作“△ABC”，

讀作“三角形ABC”，注意單獨的△沒有意義；4ABC的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC

來表示，也可以用小寫字母a、b、c來表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示.

二、三角形的內(nèi)角和

三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°.

要點：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類問題：

①在三角形中已知任意兩個角的度數(shù)可以求出第三個角的度數(shù)；

②已知三角形三個內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角的度數(shù)；

③求一個三角形中各角之間的關(guān)系.

三、三角形的分類

1.按角分類：

〔直角三角形

三角形銳角三角形

斜三角形

鈍角三角形

要點:

①銳角三角形：三個內(nèi)角都是銳角的三角形;

②鈍角三角形：有一個內(nèi)角為鈍角的三角形.

四、三角形的三邊關(guān)系

定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊.

要點：

(1)理論依據(jù)：兩點之間線段最短.

(2)三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長

線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形.

(3)證明線段之間的不等關(guān)系.

五、三角形的三條重要線段

三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或

角的關(guān)系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用，因此，我們需要從

不同的角度弄清這三條線段，列表如下:

線段

三角形的高三角形的中線三角形的角平分線

名稱

三角形一個內(nèi)角的平分線

從三角形的一個頂點向它的三角形中，連接一個頂

文字與它的對邊相交，這個角

對邊所在的直線作垂線，頂點和它對邊中點的線

語言的頂點與交點之間的線

點和垂足之間的線段.段.

段.

AA

圖形

語言工CC

L)DD

作圖過點A作ADLBC于點D.取BC邊的中點D,連接作NBAC的平分線AD,交

語言AD.BC于點D.

AA

標(biāo)示Lc

圖形B^^\c

LD

1.AD是△ABC的高.1.AD是AABC的中線.

2.AD是aABC中BC邊上的2.AD是AABC中BC邊LAD是△ABC的角平分線.

高.上的中線.2.AD平分/BAC,交BC

符號

3.AD_LBC于點D.1于點D.

語言3.BD=DC=-BC

4.ZADC=90°,ZADB=901

o23.N1=N2=—NBAC.

4.點D是BC邊的中點.2

(或NADC=NADB=90°)

因為AD是4ABC的高，所以因為AD是AABC的中線，因為AD平分NBAC,所以

推理AD±BC.1

語言所以BD=DC=-BC.N1=N2=—/BAC.

(或NADB=NADC=90°)22

用途1.線段垂直.1.線段相等.

角度相等.

舉例2.角度相等.2.面積相等.

注意1.與邊的垂線不同.

一與角的平分線不同.

事項2.不一定在三角形內(nèi).

三角形的三條高（或它們的一個三角形有三條中一個三角形有三條角平分

重要

延長線）交于一點.線，它們交于三角形內(nèi)線，它們交于三角形內(nèi)一

特征

一點.點.

、：例1.下列長度的三條線段中，能圍成三角形的是（）

A.5cm,6cmf12cmB.3cm,4cm,5cm

C.4cm,6cm,10cmD.3cm,4cm,8cm

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系"三角形的兩邊之和大于第三邊"進行分析判斷.

A、5+6<12,所以不能圍成三角形；

B、3+4>5,所以能圍成三角形；

C、4+6=10,所以不能圍成三角形；

D、3+4<8,所以不能圍成三角形.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形的兩邊之和大于第三邊.在運用三角

形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線

段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形.

一,一

、［例2.在AABC中，已知ZA:ZB:NC=1:2:3,則三角形的形狀是（）

A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.無法確定

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)/A=x,/B=2x,/C=3x,根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180。列方程求三個內(nèi)角的度數(shù)，從

而確定三角形的形狀.

解：VZA:ZB:ZC=1:2:3

設(shè)/A=x,/B=2x,ZC=3x.

則x+2x+3x=180。，

解得x=30。,

.-.ZA=30°,ZB=60°,ZC=90°,

所以這個三角形是直角三角形.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了內(nèi)角和定理.解答此類題利用三角形內(nèi)角和定理列方程求解可簡化計算.

I、1例9三角形的中線和角平分線都是（）

A.直線B.射線C.線段D.以上都有可能

【答案】C

【解析】

【分析】

利用三角形中線和角平分線定義可得答案.

解：三角形的中線和角平分線都是線段，

故選：C.

【點睛】

此題主要考查了三角形的中線和角平分線，關(guān)鍵是掌握三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角

的對邊交于一點，則這個內(nèi)角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線.三角形一

邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線.

.下面四個圖形中，線段BE是/ABC的高的圖是（）

【答案】A

【解析】

解：根據(jù)三角形高線的定義，只有A選項符合.

故選A.

【點睛】

根據(jù)三角形的高的定義，過頂點向?qū)呑鞔咕€，頂點與垂足之間的線段為三角形的高，觀察

各選項直接選擇答案即可.

I、；例5.滿足下列條件的三條線段0,瓦c能構(gòu)成三角形的是（）

A.a:b:c-l:2'.3B.a+b=4,a+b+c=9

C.a—3,b—4,c=5D.a：/）：c=l：l：2

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形三條邊的關(guān)系計算即可，三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第

三邊.

A.設(shè)。涉,c分別為x,2x,3x（x>0）,則有a+b=c,不符合三角形的三邊關(guān)系，故不能構(gòu)成三

角形；

B.當(dāng)a+b=4時，c=5,4<5,不符合三角形的三邊關(guān)系，故不能構(gòu)成三角形；

C.當(dāng)“=3,b=4,c=5時，3+4>5,符合三角形的三邊關(guān)系，故能構(gòu)成三角形；

D.設(shè)“,6,c分別為x,尤,2x(x>0),則有°+b=c,不符合三角形的三邊關(guān)系，故不能構(gòu)成三

角形.

故選C.

【點睛】

本題考查了三角形三條邊的關(guān)系，熟練掌握三角形三條邊的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.

,例6.如圖所示，以BC為邊的三角形共有

A.1個B.2個

C.3個D.4個

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形的定義(由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角

形)找出圖中的三角形.

解：以BC為邊的三角形有△BCE,△BAC,ADBC,

故選：C.

【點睛】

本題考查了三角形的定義.注意：題目要求找“圖中以BC為邊的三角形的個數(shù)”，而不是找

“圖中三角形的個數(shù)

例7.三角形的三條高所在直線的交點一定在

A.三角形的內(nèi)部B.三角形的外部

C.三角形的內(nèi)部或外部D.三角形的內(nèi)部、外部或頂點

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)高的概念知：不同形狀的三角形的高所在直線的交點位置不同.銳角三角形的三條高都

在內(nèi)部，交點在其內(nèi)部；直角三角形的三條高中，兩條就是直角邊，第三條在內(nèi)部，交點是

直角頂點；鈍角三角形有兩條在外部，一條在內(nèi)部，所在直線的交點在外部.

A.直角三角形的三條高的交點是直角頂點，不在三角形的內(nèi)部，錯誤；

B.直角三角形的三條高的交點是直角頂點，不在三角形的外部，錯誤；

C.直角三角形的三條高的交點是直角頂點，既不在三角形的內(nèi)部，又不在三角形的外部，

錯誤；

D.銳角三角形的三條高的交點在其內(nèi)部；直角三角形的三條高的交點是直角頂點；鈍角三

角形的三條高所在直線的交點在其外部，正確.

故選D.

【點睛】

此題考查三角形的角平分線、中線和高，解題關(guān)鍵在于掌握其性質(zhì)定義性質(zhì).

'［例8.如圖，AE是“BC的角平分線，是"EC的角平分線，若/B4C=80。，則

ZEAD=()

C.20°D.60°

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求解.

VZBAC=80°,

AE是△ABC的角平分線，

|NBAC=40°,

是△AEC的角平分線，

ZEAD=gZEAC=20°.

故選C.

【點睛】

考查了三角形的角平分線.三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點，則這個內(nèi)

角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線.

j例2在下列條件:@ZA+ZB=ZC；②ZA=ZB=2NC；@ZA=ZB=-ZC；

2

④4:ZB:NC=1:2:3中，能確定11ABe為直角三角形的條件有（）

A.2個B.3個C.4個D.0個

【答案】B

【解析】

【分析】

依據(jù)三角形內(nèi)角和等于180。，即可得到/C或/A+NB的度數(shù)，進而得出結(jié)論.

ZA+ZB=ZC,ZA+ZB+ZC=180°,

.-.2ZC=180°,ZC=90°,則ABC為直角三角形，①能確定；

ZA=ZB=2ZC,ZA+ZB+ZC=180°,

.'.ZC=36°,ZA=ZB=72°,

ABC不是直角三角形，②不能確定；

ZA=ZB=-ZGZA+ZB+ZC=180°,

2J

.-.4ZA=180o,ZA=45°,

ZC=90°,

則.ABC為直角三角形，③能確定；

ZA:ZB:ZC=1:2:3,則令ZA=x,NB=2x,ZC=3x,

/.x+2x+3x=180°,x=30°,

/.ZC=90°,

則ABC為直角三角形，④能確定，

故能確定,ABC為直角三角形的共有3個，

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了直角三角形的判定以及三角形內(nèi)角和定理，解題時注意：三角形內(nèi)角和是

180°.

例1°.已知三角形的一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的是第三個內(nèi)角的;則這個三角形各

內(nèi)角的度數(shù)分別為（）

A.60°,90°,75°B.48°,72°,60°

C.48°,32°,38°D.40°,50°,90°

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)第一個內(nèi)角的度數(shù)為x,則另一個內(nèi)角的度數(shù)為三3x,第三個內(nèi)角為5:x,再根據(jù)三角形的內(nèi)

24

角和定理求出X的值即可.

設(shè)第一個內(nèi)角的度數(shù)為X,?.?三角形的一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的彳2，是第三個內(nèi)角4的.?.另

35

一個內(nèi)角的度數(shù)為二工第三個內(nèi)角為：x,

24

/.x+—x+—x=180°,

24

解得x=48。，

.?.三個內(nèi)角分別為48°,72°,60°

故選B.

【點睛】

此題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟知三角形的內(nèi)角和為180°.

例U.如圖，在AABC中有四條線段DE,BE,EF,FG,其中有一條線段是AABC

的中線，則該線段是（）

A.線段DEB.線段BEC.線段EFD.線段FG

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線逐一判斷即可

得.根據(jù)三角形中線的定義知線段BE是AABC的中線，

其余線段DE、EF、FG都不符合題意，

故選B.

【點睛】本題主要考查三角形的中線，解題的關(guān)鍵是掌握三角形一邊的中點與此邊所對頂點

的連線叫做三角形的中線.

］例12.如圖，A、B、C分別是線段AiB、BiC、QA的中點，若△ABC的面積是1,

那么△AiBiCi的面積是（）

sfG

A.4B.5C.6D.7

【答案】D

【解析】

試題分析：連接ABi,BQ,CAi,根據(jù)等底等高的三角形的面積相等求出△ABBi,AA1AB1

的面積，從而求出△AiBBi的面積，同理可求△BiCCi的面積,△AiACi的面積，然后相加

即可得解.

解:如圖，連接ABi,BCi,CAi,

■:A、B分別是線段AiB,BiC的中點，

??SAABB1=SAABC=1，

SAAIABI=SAABBI=1,

?'?SAAIBBI=SAAIABI+SAABBI=1+1=2,

同理：SABICCI=2,SAAIACI=2,

AAiBiCi的面積=SAAIBBI+SABICCI+SAAIACI+SAABC=2+2+2+1=，7.

故選D.

A

B：0,

考點：三角形的面積.

]例13.在如圖所示的方格紙中，

1A1111111111

?A.??i????ii?

L-^1---I--------1---1----A---?---1-----1----1---J

111111111

1111111111

?L?1__11?1?1?1?1?J?

???、???????

11I、1i111

riITki?1i1i

IIIIiitill

I[!I!iI：\：i!i:i:i

i)iiiiii

r----1----1--?-----?―i??、八一i

iiiIifiiiI\Hi

iIiiiIiilIi

(1)在BBC中，作BC邊上的高AD

⑵作AC邊上的中線BE.

⑶求AABE的面積.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

⑶4

【分析】(1)根據(jù)要求作出高即可.

(2)根據(jù)要求作出AC邊上的中線即可.

(3)由三角形面積公式即可得出答案.

【解析】(1)如圖所示AD即為所求.

(2)如圖所示8E即為所求.

(3)BC=4,AD=4,

:.S。ABC=-3C,-J9=-X4X4=8,

2JJ2

BE為AC邊上中線，

:.S：ABE=-S、ABC=-x8=4,

22

即Sq板面積為4.

【點睛】本題主要考查三角形高和中線的做法，以及三角形面積，熟練理解三角形面積的求

法是解決本題的關(guān)鍵.

、[例14.如圖，3C,點E是胡延長線上一點，NE=NDCE.

E

A[—\-----1D

BC

⑴求證：ZB=ZD.

（2）若CE平分/BCD,NE=47。,求的度數(shù).

【答案】（1）見解析

（2）86°

【分析】（1）根據(jù)AT>〃3c可得=根據(jù)ZE=ZDCE可得EB〃CD,進而可得

ZD=ZEAD,等量代換可得NB=ND；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可證明.

【解析】（1）證明：AOBC,

:.ZB=ZEAD,

,ZE=ZDCE,

:.EB//CD,

:.ZD=ZEAD,

:.ZB=ZD；

(2)解：VZE=47°,ZE=ZDCE,

：.ZE=ZDCE=47°,

?/CE平%NBCD,

：.NBCE=ZDCE=47°,

：.ZB=180°-ZE-ZBCE=86°,

的度數(shù)為86。.

【點睛】本題考查角平分線的定義、平行線的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵

是掌握平行線的判定定理和性質(zhì)定理.

例15.如圖，A。是一ABC的角平分線，點E是AD延長線上一點，EFJ.BC,垂

足為F.

⑴若/3=40。，ZC=60°,求NDEF的度數(shù)；

（2）若NC-NB=〃z。，請直接寫出/。￡戶的度數(shù)一.（用含機的代數(shù)式表示）

【答案】⑴NDEF=10°

(2),

【分析】(1)在AABC中利用內(nèi)角和定理易得：ABAC=80°,進而得出的度數(shù)，再

在AADB與ADE尸中利用內(nèi)角和定理解答即可；

(2)同理(1)可得出/區(qū)>尸=90。-；4+:48,再在ADEF中利用內(nèi)角和定理解答即可.

【解析】(1)NB=40。，ZC=60°,

:.ZBAC=80°,

?/AO是二ABC的角平分線，

ABAD=ADAC=-ABAC=40°,

2

ZADB=180o-40O-40o=100°,

:.ZADC=80°,

?；EFIBC,

：.NDFE=90°,

ZDEF=90°-80°=10°.

(2)是ABC的角平分線，

ABAD=(180°-ZB-ZQ,

:.ZADB=1SO0-ZB-ZBAD=9O°+-ZC--ZB,

22

ZEDF=90°--ZC+-ZB,

22

NDEF=90°-(90°-1zC+|zB),

.-.Z￡>EF=1zC-1zB=1(ZC-ZB)=i/n°,

故答案為：—w°.

2

【點睛】本題側(cè)重考查三角形的內(nèi)角和、角平分線的定義，掌握三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

立例16.如圖，點A,8分別在射線ON,ON上運動(不與點。重合),AC,BC分

別是NBA。和ZABO的平分線，BC交OM于點、G.

N

XGM

⑴若AMON=60,貝UNACB=°；若AMON=90°,則ZACB=°.

⑵若ZMON=rf,請求出NACG的度數(shù).(用含"的代數(shù)式表示)

【答案】(1)120,135

(2)?ACG90?

【分析】(1)由三角形內(nèi)角和定理得到NO&4+NQ4B的度數(shù)，由角平分線的定義可得

ZABC+Z&4c的度數(shù)，進而可求出—ACB；

(2)同(1)的方法求出NACB,從而求出/ACG.

【解析】(1)解：若NMON=60。，

ZOBA+ZOAB=120°,

ZOBA,的平分線交于點C,

ZABC+ABAC=-xl20°=60°,

2

ZACB=18O°-6O°=120°；

若ZMQV=90。，

:.ZOBA+ZOAB=90°,

NOBA、NOAB的平分線交于點C,

ZABC+ABAC=L90。=45°,

2

ZACB=180°-45°=135°；

故答案為：120,135；

(2)在AO3中，ZOBA+ZOAB=180°-ZAOB=180°-n°,

NOBA、NOAB的平分線交于點C,

ZABC+ABAC=-(NOBA+N0AB)=i(180°-n°),

22

即ZABC+ZBAC=90?！埂?。，

2

ZACB=180°-(ZABC+ZBAC)=180°-(90°--n°)=90°+-n°,

22

ZACG=180°-(90°+-n°)=90°--n°.

22

【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

金躡蹤酬瀛

一、單選題

1.下列長度的三根木棒，不能構(gòu)成三角形框架的是()

A.7cm,5cm,10cmB.8cm，6cm，4cm

C.10cm,10cm,5cmD.5cm,5cm,10cm

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”進行

分析.

【解析】解：A、5+7>10,則能構(gòu)成三角形，不符合題意；

B、4+6>8,則能構(gòu)成三角形，不符合題意；

C、5+10>10,則能構(gòu)成三角形，不符合題意；

D、5+5=10,則不能構(gòu)成三角形，符合題意.

故選：D.

【點睛】此題考查的知識點是三角形的三邊關(guān)系，判斷能否組成三角形的簡便方法是看其中

較小的兩個數(shù)的和是否大于第三個數(shù)即可.

2.下列說法中，正確的是（）

A.三角形的高都在三角形內(nèi)

B.三角形的三條中線相交于三角形內(nèi)一點

C.三角形的一個外角大于任何一個內(nèi)角

D.三角形最大的一個內(nèi)角的度數(shù)可以小于60度

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的有關(guān)性質(zhì)，對選項逐個判斷即可.

【解析】解：A、銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點，鈍角三角形的

高不都在三角形內(nèi)部，故本選項錯誤，不符合題意；

B、三角形的三條中線相交于三角形內(nèi)一點，故本選項正確，符合題意；

C、三角形的一個外角大于任何一個不相鄰的一個內(nèi)角，故本選項錯誤，不符合題意；

D、根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180。，三角形最大的一個內(nèi)角的度數(shù)大于或等于60度，故本選

項錯誤，不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查三角形高線，中線的概念，三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，掌握

這些知識點是解題的關(guān)鍵.

3.三角形的角平分線、中線和高都是（）

A.直線B.線段C.射線D.以上答案都不對

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的角平分線、中線和高定義判斷即可.

【解析】解：三角形的角平分線、中線、高都是線段.

故選：B.

【點睛】本題考查了三角形的角平分線、中線和高定義，熟練掌握三角形的角平分線、中線

和高定義是解題關(guān)鍵.

4.如圖，已知ACLCD,ZA=50°,則/。的度數(shù)為（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】B

【分析】利用兩個三角形的內(nèi)角和都為180。，結(jié)合相等的角即可求解.

【解析】'：ABLBD,AC±CD,

：.ZB=ZC=90°,

又；NBEA=/CED,且/BEA+/8+NA=/CEO+NC+/O=180°,

.?.NQ=NA=50。，

故選：B.

【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和等于180。，熟記三角形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵.

5.如果三角形三個內(nèi)角的比為1：2：3,那么它是（）

A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.銳角三角形

【答案】C

【分析】根據(jù)比例設(shè)三個內(nèi)角分別為k、2k.3k,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180。列出方程

求出最小角，繼而可得出答案.

【解析】解：???三角形三個內(nèi)角度數(shù)的比為1：2：3,

設(shè)三個內(nèi)角分別為k,2k、3k,

；.k+2k+3k=180°

解得k=30°

該三角形最大角的度數(shù)為90。，即該三角形為直角三角形

故選C.

【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，利用“設(shè)k法”求解更加簡單.

6.如圖，直線ACLAB,AC交直線b于點C,Zl=60°,則/2的度數(shù)是（）

A.30°B.35°C.45°D.50°

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和得NB+N1=9O。，求出得度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)即可

求解.

【解析】解：

?BAC90?,

：.7B?1180?90?90?,

,/?160?

AZB=90°-60°=30°,

ab,

：.Z2=ZB=30°,

故選：A.

【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和為180。是解題

的關(guān)鍵.

7.BP和CP是^ABC兩個外角的平分線，則25PC為()

111

A.—NAB.90H—/AC.90—NAD./4

222

【答案】C

【分析】根據(jù)題意作出圖形，根據(jù)由三角形的內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)，求得NP

與NA的關(guān)系，從而計算出NP的度數(shù).

【解析】解：如圖，:BP、CP是△ABC的外角平分線，

；.NPBC=；(ZA+ZACB),ZPCB=1(ZA+ZABC),

又,?ZPBC+ZPCB+ZP=180°,

.,.ZP=180°-(ZPBC+ZPCB)

=180°-1(ZA+ZACB+ZA+ZABC)

=180°-；(180+ZA)

=90。-；/A,

故選C.

B,

【點睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理.解決問題的關(guān)鍵是掌握：

三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

8.在下列條件：?ZA+ZB+ZC=180°;②NA:ZB:NC=1:2:3；③ZA=ZB=2NC；

④==⑤==中，能確定ABC為直角三角形的條件有（）

A.5個B.4個C.3個D.2個

【答案】C

【分析】根據(jù)直角三角形的判定和三角形內(nèi)角和定理對各個條件進行分析，從而得到答案.

【解析】解：①ZA+/B+NC=180。不能確定ABC為直角三角形，故①錯誤，不符合題

思；

②.ZA+ZB+NC=180。，ZA：ZB：ZC=1:2:3,

/.ZA=30°,ZB=60°,ZC=90°,

為直角三角形，故②正確，符合題意；

③ZA=ZB=2ZC,

設(shè)NA=28ZB=2x,ZC=xf

ZA+ZB+ZC=180°,

/.2x+2x+x=180°,

解得：％=36。，

,\ZA=ZB=72°,ZC=36°,

.1不是直角三角形，故③錯誤，不符合題意；

④ZA=-ZB=-ZC,

23

設(shè)NA=x,貝l|N3=2x,ZC=3x,

ZA+ZB+ZC=180°,

.,.x+2x+3x=180°,

解得：x=30。，

.-.ZA=30°,NB=60°,NC=90。，

ABC為直角三角形，故④正確，符合題意；

@ZA=ZB=-ZC,

2

設(shè)/A=/3=x,則NC=2x,

ZA+ZB+ZC=180°,

.,.%+%+2%=180°,

解得：l=45。，

/.ZA=45°,ZB=45。，ZC=90°,

ABC為直角三角形，故⑤正確，符合題意；

，②④⑤說法正確，

故選：C.

【點睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于

180。是解答此題的關(guān)鍵.

9.如圖，,A5C中，AD是邊上的中線，BE是△鈿￡＞中AQ邊上的中線，若4ABe的

面積是24,貝UABE的面積（）

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分，求出面積比，即可解答.

【解析】解：???AZ）是邊上的中線

.q-q—J.Q

,,o自ABD一°4ACD_2^ABC，

???跖是△ABD中AD邊上的中線,

.C—cc

,,^AABE_UABE￡>—=?24ABD，

"SABC=24，

雙樨=；x24=6,

故選：B.

【點睛】本題考查了三角形面積的求法，三角形中，連接一個頂點和它所對邊的中點的線段

叫做三角形的中線,掌握三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分,是解答本題的關(guān)鍵.

10.如圖，在4ABe中，ZA=90°,BE,CD分別平分/ABC和—ACB,且相交于尸，

EG//BC,CG_LEG于點G,則下列結(jié)論①NCEG=2/06；②/DFE=130。；

@ZDFB=^ZA；@ZADC=ZGCD；⑤C4平分/3CG,其中正確的結(jié)論是（）

A.①②③B,①③④C.①③④⑤D.①②③④

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)與角平分線的定義即可判斷①；只需要證明

ZADC+ZACD=90°,ZGCD+ZBCD=90°,即可判斷④；根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)

角和定理先推出NBFC=135。，即可判斷②③；根據(jù)現(xiàn)有條件無法推出⑤.

【解析】解：：8平分NACB,

AZACB=2ZDCA,ZACD=NBCD

?/EG//BC,

：.ZCEG=ZACB=2ZDCA,故①正確；

VZA=90°,CGLEG,EG//BC,

：.ZADC+ZACD=90°,CG±BC,即N3CG=90°,

ZGCD+ZBCD=90°,

又?:Z.BCD=ZACD,

：.ZADC=Z.GDC,故④正確；

,/NA=90。，

ZABC+ZACB=90°,

,/BE,CD分別平分/ABC,ZACB,

：.ZFBC=-ZABC,ZFCB=-ZACB,

22

：./5尸。=180°—/尸3。一/尸。8=180°-3（/4。2+/筋。）=135°,

ZDFB=180°—ZBFC=45°,

AZDFB=^ZA,故③正確；

?/ZBFC=135°,

：.ZDFE=ZBFC=135°,故②錯誤；

根據(jù)現(xiàn)有條件，無法推出C4平分NBCG,故⑤錯誤；

故選B.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，熟知平行線

的性質(zhì)，角平分線的定義是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

11.如圖，是八4"的邊上的高；在△AEC中，CD是________上的高，CD

還是的高；EF是的邊上的高.

【答案】EC/CEAE/EAADC^ECDEFCECICE

【分析】根據(jù)三角形高的定義進行求解即可.

【解析】解：

/.A3是ZXACE的CE上的高；

CDLAE,

8是△AEC的AE上的高，8是△ADC的AD上的高，。是ADCE的OE上的高；

,?EFLCE,

；.E尸是E尸C的CE邊上的高，

故答案為：EC-AE；ADC或ECD；EFC■,EC.

【點睛】本題主要考查了三角形高的定義，熟知該定義是解題的關(guān)鍵：過三角形一個頂點向

對邊作垂線，該垂線即為該三角形中此頂點對邊上的高.

12.如圖，AD,CE分別是ABC的中線和角平分線，則：BD==|；

ZACE==-.

【答案】CDBCZBCE/ACB

【分析】根據(jù)CE分別是,ABC的中線和角平分線，得到。為線段BC的中點，CE平

%/ACB,進行作答即可.

【解析】解：是.ABC的中線,

。是線段3C的中點，

BD=CD=-BC,

2

：CE是一ABC的角平分線，

/.CE平分/ACB,

：.ZACE=NBCE=-ZACB；

2

故答案為：CD,BC,NBCE,/ACB.

【點睛】本題考查三角形的中線和角平分線的定義.熟練掌握三角形的中線是連接三角形頂

點和它的對邊中點的線段，三角形的一個角的平分線與這個內(nèi)角的對邊相交，連接這個角的

頂點和交點的線段叫三角形的角平分線，是解題的關(guān)鍵.

13.(1)在ABC中，ZA=40°,ZB=70°,則NC=；

(2)在ABC中，ZA=80°,ZB=ZC,則；

(3)..ABC中，若ZA+NC=3/3,則；

(4)ABC中，若ZA:ZB:/C=1:2:3,貝lJZA=,ZB=,

/C=,則它們的相應(yīng)鄰補角的比為；

(5)在ABC中，若/3—ZA=15。，ZC-ZB=60°,則ZA=,NB=,

zc=.

【答案】70。50°45°30°60°90°5:4:330°

45°105°

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和為180度進行求解即可；

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和為180度進行求解即可；

(3)根據(jù)三角形內(nèi)角和為180度進行求解即可；

(4)先由NA:N3:NC=1:2:3,得至ZC=3ZA,再由三角形內(nèi)角和定理和鄰補

角的定義進行求解即可；

(5)由題意可得/3=NA+15。，ZC=ZA+75°,再由三角形內(nèi)角和為180度進行求解即可.

【解析】解：(1):在一ABC中，ZA=40,48=70。，

ZC=180°-NA-ZB=70°;

(2)在一ABC中，ZA=80,ZB=ZC,

：.ZB=ZC=1(180°-ZA)=50°；

(3)：_ABC中，若ZA+NC=3ZB,ZA+NC+/B=180°,

4/3=180°,

：.ZB=45°；

(4),?ABC中，若ZA:NB:NC=1:2:3,

ZB=2ZA,NC=3ZA,

VZA+ZC+ZB=180%

6ZA=180°,

，ZA=30,

ZB=60,ZC=90,

AZA的鄰補角為150°,ZB的鄰補角為120°,ZC的鄰補角為90°,

,它們的鄰補角之比為150:120:90=5:4:3；

(5)在一ABC中，若/B-ZA=15°,ZC-ZB=60°,

/?ZB=ZA+15°,

/.ZC=ZA+75°,

'/NA+NC+NB=180°,

NA+ZA+15°+NA+75°=180°,

ZA=30°,

：.ZB=45°,ZC=105°,

故答案為：70;50；45;30,60,90,5:4:3；30,45,105.

【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，鄰補角的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握

相關(guān)知識進行求解.

14.三角形的三邊分別為5,1-a,9,貝心的取值范圍為.

【答案】-13＜。＜一3

【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系解答.

【解析】由題意得：9-5＜1-。＜9+5,

解得：—13＜。＜一3,

故答案為：一13＜。＜—3.

【點睛】此題考查三角形的三邊關(guān)系：三角形任意兩邊的和都大于第三邊.

15.已知a,b,c為,ABC的三邊，化簡：|a+b—c|-2|a—6-c|=

【答案】3a-b-3c

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，以及絕對值的意義，進行化簡即可.

【解析】解：：a，6，c為一ABC的三邊，

a+b＞c,b+c＞a,

+Z?-c|-2|tz—Z?—c|=d+h—c—21一(a-b-c)]

—a+b—c—2(—a+Z7+c)

=a+b—c+2a—2Z7—2c

—3Q—h—3c；

故答案為：3a-b-3c.

【點睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系，化簡絕對值.熟練掌握三角形的三邊關(guān)系，是解題的

關(guān)鍵.

16.如圖，BD平分/ABC,ZADB=60°,ZBDC=80°,ZC=70°,所以△ABD是

三角形.

A

BC

【答案】直角

【分析】首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可求得,DBC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義，即

可求得的度數(shù)，最后再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得NA=90。，據(jù)此即可判定.

【解析】解:QZBDC=80°,NC=70。，

NDBC=180。一ZBDC-ZC=180°-80°-70°=30°,

又QBD平分/ABC,

:.ZABD=ZDBC=30°,

ZADB^60°,

ZA=180°-ZABD-ZADB=180°-30°-60°=90°,

.二ABD是直角三角形.

故答案為：直角.

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形形狀的判定，結(jié)合三角形

內(nèi)角和定理及角平分線的定義，得到乙4=90。是解決本題的關(guān)鍵.

17.如圖，在，ABC中，A”是邊BC上的高，且BH:CH=2:1,如果以48=2,那么

S.ABC=-

【分析】根據(jù)3"：C"=2：1,和SAACH=2,求出S4BH,利用S^ABC=+S^ACH,進行

計算即可.

【解析】解：,??在ABC中，是邊8C上的高，且BH:CH=2:1,

-AHCH”[

。ACH2/H_1

SABH\BHAH2

S^ABH=2sAACH=2X2=4,

??SAABC=S^ABH+S^ACH=4+2=6;

故答案為：6.

【點睛】本題考查與三角形的高有關(guān)的計算.熟練掌握同高的三角形的面積比等于底邊比,

是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，在ABC中，AD是邊上的中線，AWC的周長比的周長多4,

AB+AC=2A,則AC的長為.

【答案】14

【分析】由△ADC的周長比△ABD的周長多4可得AC—AB=4,AC+AB=24,然后問題

可求解.

【解析】解：???AD是8C邊上的中線，

:.BD=CD,

CAnr=A,D+CD+A,C,CARr)=AD+BD+AB,

CAnr—CARn-AD+CD+AC—A.D—BD—A.B-A.C—A,B—4,

：.AC+AB=24,

J2AC=28,

JAC=14；

故答案為14.

【點睛】本題主要考查三角形的中線，熟練掌握三角形的中線得到相等的線段是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，在“WC中，NA=64。，05和OC分另()平分/ABC和/ACS,貝!|N5OC=°.

A

【答案】122

【分析】根據(jù)角平分線的定義得出/08C=!ZABC,/0C8=：/ACB,然后根據(jù)三角形內(nèi)

22

角和定理即可求解.

【解析】解：：在B5c中，ZA=64°,

ZABC+ZACB=180?！狽A=116。

,,,OB和OC分別平分/ABC和NACB,

/.ZOBC=-ZABC,NOCB=-ZACB,

22

/.NBOC=180°-(ZOBC+NOCB)=180°-1(ZABC+ZACB)

=180°—58°

=122°.

故答案為：122.

【點睛】本題考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的

關(guān)鍵.

20.如圖，在,ABC中，NACB=60。，點尸是直線AC上一動點，將一AB尸沿所折疊，點

A的對應(yīng)點為點D當(dāng)時，N3E4的度數(shù)為.

【答案】75。/75度

【分析】首先求出NDPC,進而可得NAPD的度數(shù)，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)得出答案.

【解析】解：??,DPLBC,ZACB=60°,

：.ZDPC=90°-ZACB=30°,

ZAPD=180°-ZDPC=150°,

由折疊得：ZBPA=ZBPD,

：.NBPA=/BPD=-ZAPD=75°,

2

故答案為：75°.

【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，角的和差計算，求出NAPD的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

21.已知〃、。、c為三角形的三邊，且貝!J4A+,則三角形的形狀是