浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：圖形的軸對(duì)稱、等腰三角形（解析版）

第08講圖形的軸對(duì)稱等腰三角形

看知識(shí)點(diǎn)梳理

—＞軸對(duì)稱圖形

軸對(duì)稱圖形的定義

一個(gè)圖形沿著某直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，該直線就是它

的對(duì)稱軸.

要點(diǎn)：軸對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形，圖形被對(duì)稱軸分成的兩部分能夠互相重合.一個(gè)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱

軸不一定只有一條，也可能有兩條或多條，因圖形而定.

二、軸對(duì)稱

i.軸對(duì)稱定義

把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線

對(duì)稱（或說這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱），這條直線叫做對(duì)稱軸.折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，也叫做對(duì)稱點(diǎn).

要點(diǎn)：軸對(duì)稱指的是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，兩個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)折后能夠完全重合.成軸對(duì)

稱的兩個(gè)圖形一定全等.

2.軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系

軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別主要是：軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形，而軸對(duì)稱圖形是一個(gè)圖形；軸對(duì)稱圖形和

軸對(duì)稱的關(guān)系非常密切，若把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看作一個(gè)整體，則這個(gè)整體就是軸對(duì)稱圖形；反過來，

若把軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸兩旁的部分看作兩個(gè)圖形，則這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線（原對(duì)稱軸）對(duì)稱.

三、軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)

軸對(duì)稱、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)

在軸對(duì)稱圖形或兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)

角相等.

要點(diǎn)：（1）若兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；

（2）軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸也是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

四、等腰三角形的定義

1.等腰三角形

有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角

叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.

如圖所示，在AABC中，AB=AC,則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,/A是頂角，/B、

/C是底角.

2.等腰三角形的作法

己知線段a,b（如圖）.用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.

b

作法：1.作線段BC=a；

2.分別以B,C為圓心，以b為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)A;

3.連接AB,AC.

△ABC為所求作的等腰三角形.

3.等腰三角形的對(duì)稱性

（1）等腰三角形是軸對(duì)稱圖形

（2）ZB=ZC

⑶BD=CD,AD為底邊上的中線.

（4）ZADB=ZADC=90°,AD為底邊上的高線.

結(jié)論：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，頂角平分線（底邊上的高線或中線）所在的直線是它的對(duì)稱軸.

4.等邊三角形

三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.也稱為正三角形.等邊三角形是一類特殊的等腰三角形，有三

條對(duì)稱軸，每個(gè)角的平分線（底邊上的高線或中線）所在的直線就是它的對(duì)稱軸.

要點(diǎn)：（1）等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等，且都等于45。，等腰三角形的底角只能為銳角，不能為

1QQO_/人

鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.NA=180°-2ZB,NB=NC=---------.

2

（2）用尺規(guī)作圖時(shí)，畫圖的痕跡一定要保留，這些痕跡一般是畫的輕一些，能看清就可以了，題目中

要求作的圖要畫成實(shí)線，最后一定要點(diǎn)題，即“xxx即為所求”.

（3）等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等邊三

角形.

等邊三角形是中考中?？嫉闹R(shí)點(diǎn)，并且有關(guān)它的計(jì)算也很常見，因此對(duì)于等邊三角形的特殊數(shù)據(jù)要熟記

/?反

于心，比如邊長為a的等邊三角形它的高是面積是X—

24

船典倒號(hào)第闞

：I例1.下列說法中正確的是（）

①對(duì)稱軸上沒有對(duì)稱點(diǎn)；②如果AABC與△40。關(guān)于直線L對(duì)稱，那么SAABCMS/BC；③如果線段

AB=H8,直線L垂直平分AAL則AB和A3關(guān)于直線L對(duì)稱；④射線不是軸對(duì)稱圖形.

A.②B.①④C.②④D.②③

【答案】A

【分析】

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和定義，對(duì)題中條件進(jìn)行一一分析，選出正確答案.

①對(duì)稱軸上有對(duì)稱點(diǎn)，錯(cuò)誤；

②如果AABC與△ABC關(guān)于直線L對(duì)稱，那么5AAsc=，正確；

③如果線段=直線L垂直平分AA',由于位置關(guān)系不明確，則和A8不一定關(guān)于直線L對(duì)

稱，錯(cuò)誤；

④射線是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查軸對(duì)稱圖形的定義，如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折，兩側(cè)的圖形能完全重合，這個(gè)圖形就是軸

對(duì)稱圖形.折痕所在的這條直線叫做對(duì)稱軸.

02）例2.下列說法中，正確的是（）

A.有一條公共邊的兩個(gè)全等三角形關(guān)于公共邊所在的直線對(duì)稱

B.全等三角形是關(guān)于某直線對(duì)稱的

C.兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，則這兩個(gè)圖形一定分別位于這條直線的兩側(cè)

D.關(guān)于某直線對(duì)稱的兩個(gè)三角形是全等三角形

【答案】D

【分析】

根據(jù)軸對(duì)稱的定義：兩個(gè)圖形沿一條直線對(duì)折，直線兩旁的部分能完全重合，那么這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱進(jìn)

行判斷即可.

A、有一條公共邊的兩個(gè)全等三角形關(guān)于公共邊所在的直線對(duì)稱，錯(cuò)誤，例如圖三：

故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

圖二

全等三角形是關(guān)于某直線對(duì)稱的錯(cuò)誤，例如圖一,

故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

。、兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，則這兩個(gè)圖形一定分別位于這條直線的兩側(cè)錯(cuò)誤，例如圖二:

圖二

故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;

。、關(guān)于某直線對(duì)稱的兩個(gè)三角形是全等三角形，此選項(xiàng)正確;

故選：D.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了軸對(duì)稱圖形的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力,關(guān)鍵是熟練把握軸對(duì)稱的定義.

3.等腰三角形的對(duì)稱軸是()

A.底邊上的中線B.頂角平分線C.底邊上的高D.底邊的垂直平分線

【答案】D

【分析】

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和圖形的對(duì)稱軸是直線解答即可.

解：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知：頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高所在的直線是等腰三角形的對(duì)

稱軸,

選項(xiàng)A、B、C中底邊上的中線，頂角平分線，底邊上的高都是線段，故不符合題意;

選項(xiàng)D中，底邊的垂直平分線是一條直線，符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等腰三角形的軸對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

4.列四個(gè)圖案中，不是軸對(duì)稱圖案的是()

【答案】B

【分析】

根據(jù)軸對(duì)稱的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷利用排除法求解.

解：A.此圖案是軸對(duì)稱圖形，不符合題意;

B.此圖案不是軸對(duì)稱圖形，符合題意；

C.此圖案是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；

D.此圖案是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念.軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

在2例5.有下列圖形：角，線段，直角三角形，等邊三角形，長方形.其中一定是軸對(duì)稱圖形的有（

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】C

【分析】

根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義依次判斷即得答案.

解：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義，角，線段，等邊三角形和長方形一定是軸對(duì)稱圖形，共有4個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了軸對(duì)稱圖形的定義和常見的軸對(duì)稱圖形，熟知概念是解題關(guān)鍵.

如圖,AABC中，。點(diǎn)在8C上，將。點(diǎn)分別以A3、AC為對(duì)稱軸，畫出對(duì)稱點(diǎn)￡、F,

并連接AE、AF.根據(jù)圖中標(biāo)示的角度，求NEAF的度數(shù)為何？（）

C.129°D.134°

【答案】D

【分析】

連接AD,利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解答即可.

解：連接AD,

E.

62°51°

z—J----------J—

BD

Q。點(diǎn)分別以AB、AC為對(duì)稱軸，畫出對(duì)稱點(diǎn)E、F，

:.ZEAB=ZBAD,ZFAC=ZCAD,

vZB=62°,ZC=51°,

:.ZBAC=ZBAD+ZDAC=1SO0-6T-510=6T,

ZEAF=2ZBAC^134°,

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解答.

7.如圖，將△ABC沿直線OE折疊后，使得點(diǎn)3與點(diǎn)A重合.已知AC=10cm,AAOC的周

長為34cm,則8C的長為（）

C.24cmD.44。"

【答案】C

【分析】

先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得=再根據(jù)三角形的周長公式可得AD+DC=24on,然后根據(jù)線段的和

差、等量代換即可得.

,/將△ABC沿直線OE折疊后，使得點(diǎn)3與點(diǎn)A重合,

AD=BD,

,?^ADC的周長為34cm,AC=10cm,

二AD+DC=34—10=24(cm),

,/AD=BD,

BD+DC=AD+DC-24cm,

即BC=24cm,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了折疊的性質(zhì)、三角形的周長公式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

8.如圖,△ABC與關(guān)于直線對(duì)稱，P為上任一點(diǎn)（P不與AA共線），下列

A.AAA'P是等腰三角形B.垂直平分A4'

C.A47/CCD.AP±AC

【答案】D

【分析】

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可以判斷出圖中各點(diǎn)或線段之間的關(guān)系.

解：:△ABC與AAEC關(guān)于直線對(duì)稱，P為上任意一點(diǎn),

...△AAP是等腰三角形，MN垂直平分AV,CC,AA'//CC,

4P和AC不一定垂直，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)與運(yùn)用，等腰三角形的定義，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對(duì)應(yīng)

點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)稱軸上的任何一點(diǎn)到兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等，對(duì)應(yīng)的角、線段都

相等.

GTl例9等邊三角形是特殊的____________三角形，因此它也是_____________圖形，有條對(duì)稱軸.

【答案】等腰軸對(duì)稱3

【解析】

【分析】

根據(jù)等邊三角形與等腰三角形的聯(lián)系與區(qū)別，具有等腰三角形的一切性質(zhì)，和自身的獨(dú)特性即可得出結(jié)論.

解：等邊三角形是特殊的一等腰—三角形，因此它也是一軸對(duì)稱一圖形，有—3—條對(duì)稱軸.

故答案為：等腰；軸對(duì)稱；3.

【點(diǎn)睛】

本題考查等邊三角形與等腰三角形的聯(lián)系與區(qū)別，具有等腰三角形的一切性質(zhì)，和自身的獨(dú)特性，掌握等

邊三角形與等腰三角形的聯(lián)系與區(qū)別，具有等腰三角形的一切性質(zhì)，和自身的獨(dú)特性是解題關(guān)鍵.

亡］例10.等腰三角形的一腰上的中線將三角形的周長分成9和15兩部分，則該等腰三角形的腰長是

【答案】10

【分析】

等腰三角形一腰上的中線將它的周長分為9和15兩部分，但已知沒有明確等腰三角形被中線分成腰+腰一

半和底+腰一半兩部分的長，哪個(gè)是9,哪個(gè)是15,因此，有兩種情況，需要分類討論；再利用三角形三

邊關(guān)系判斷是否符合題意.

①若腰長和腰長的一半的和是9,則腰長為6,

底邊長為15—^x6=12,V6+6=12,

2

...此時(shí)不能組成三角形，

②若腰長和腰長的一半的和是15,則腰長為10,

底邊長為9-^xl0=4,能組成三角形，

2

綜上所述，該等腰三角形的腰長是10.

【點(diǎn)睛】

此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、中線的概念、三角形三邊關(guān)系、分類討論等知識(shí)點(diǎn)，難易程度適中，是一

類典型的等腰三角形內(nèi)容的訓(xùn)練題.答題的關(guān)鍵是理解等腰三角形腰上中線分成的兩部分分別表示什么，

并要注意利用三角形三邊關(guān)系判斷答案是否符合題意.

心躡除翻瀛

一、單選題（共0分

1.下列圖案中是軸對(duì)稱圖形的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念逐一分析即可.

【解析】解：第1個(gè)圖形與第4個(gè)圖形能確定這樣的直線，使圖形沿這條直線對(duì)折后，直線兩旁的部分能

夠完全重合，所以是軸對(duì)稱圖形，第2個(gè)，第3個(gè)圖形不是軸對(duì)稱圖形，

故選B

【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱圖形的識(shí)別，熟記軸對(duì)稱圖形的概念是解本題的關(guān)鍵，一個(gè)圖形沿某條直線

對(duì)折后，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形是軸對(duì)稱圖形.

2.如圖，若AABC與AA'3'C'關(guān)于直線對(duì)稱，BB'交MN于■點(diǎn)、0,則下列說法中不一定正確的是（）

A.AC=AC'B.AB//B'CC.AALMND.BO=BO

【答案】B

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解.

【解析】解：?.?△/IBC與△A'3'C'關(guān)于直線對(duì)稱，

AC=A'C,AA'LMN,BO=B'O,故A、C、D選項(xiàng)正確，

AB〃笈C'不一定成立，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，

所以，不一定正確的是B.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)與運(yùn)用，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線

段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)稱軸上的任何一點(diǎn)到兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等，對(duì)應(yīng)的角、線段都相等.

3.如圖，點(diǎn)尸在銳角的內(nèi)部，連接。尸，OP=3,點(diǎn)尸關(guān)于。4、QB所在直線的對(duì)稱點(diǎn)分別是片、

鳥，則4、鳥兩點(diǎn)之間的距離可能是（

A.8B.7C.6D.5

【答案】D

【分析】由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得Oq=OP=3,OP=OP2=3,再根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，即可得

出結(jié)果.

???點(diǎn)P關(guān)于。4、所在直線的對(duì)稱點(diǎn)分別是￡、P2,

:.OPl=OP=3,OP=OP,=3,

OPX+OP2>P}P2,

<6,

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理，解本題的關(guān)鍵是熟練

掌握軸對(duì)稱性和三角形三邊關(guān)系定理.

4.如圖，AC是四邊形ABC。的對(duì)稱軸，若則下列結(jié)論中正確的有（）

@AB//CD；?AB=CD；?AB=BC;@AO=OC.

A.①②③④B.①②③C.②③④D.②③

【答案】A

【分析】首先根據(jù)AC是四邊形A5CZ)的對(duì)稱軸，AD//BC,得出ND4C=NAC8,ZDAC=ZBAC,BC=CD,

進(jìn)而可判斷①②③，通過證明ZkACE之△CQD可得出AO^OC.

【解析】解：??,AC是四邊形ABC。的對(duì)稱軸，AD//BC,

：.ZDAC=ZACB,NDAC=NBAC,BC=CD,

：.ZBAC=ZACB,

???ZACB=ZACDf

：.ZBAC=ZACD,

：.AB=BC9AB//CD,

,:BC=CD,

：.AB=CD,

J①②③正確；

在“08和△COD中，

ZBOA=ZDOC

<NOAB=NOCD

AB=CD

：.AAOB^ACOr>(S4S),

：.AO=OC,

???④正確，

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練

掌握以上知識(shí)點(diǎn).

5.如圖，R3ABC中，ZC=90°,NA=38。，點(diǎn)。在A3上，且點(diǎn)。與點(diǎn)3關(guān)于直線/對(duì)稱，則/ACD的

度數(shù)為（）

A

B

A.10°B.14°C.38°D.52°

【答案】B

【解析】先求出/B，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，求出NCD3=/B=52。，用三角形外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角

和列方程，即可解得答案.

【分析】解：：NC=90。,ZA=38°,

ZB=52。，

:點(diǎn)。與點(diǎn)8關(guān)于直線/對(duì)稱，

ZCDB=ZB=52°,

,/ZCDB=ZACD+ZA,

52°=ZACD+38°,

/.ZACD=14°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱以及三角形的外角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，求出NCDB=52。.

6.等腰三角形的周長為12cm,其中一邊長為3cm,則其腰長為（）

A.3cmB.3Si或4.5c:wC.4.5cmD.以上都不對(duì)

【答案】C

【分析】分3為腰和底兩種情況求解，注意三角形的存在性：通過兩個(gè)短邊和大于最長邊可判斷三角形存在,

反之則無法構(gòu)成三角形.

【解析】因?yàn)榈妊切蔚闹荛L為12cm,其中一邊長為3aw,

當(dāng)3c7"為腰長時(shí)，其余兩邊的長分別為3cm,6c九3+3=6三角形不存在；

當(dāng)3c冽為底邊長時(shí)，其余兩邊的長都為（12-3）-2=4.5cm,三角形存在；

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確分類

是解題的關(guān)鍵.

7.若等腰三角形有一個(gè)角等于50。，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)是（）

A.50°B.80°C.65°或50°D.50°或80°

【答案】D

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分已知角是頂角和底角兩種情況分別即可.

【解析】解：：已知三角形是等腰三角形，

；?當(dāng)50。是底角時(shí)，頂角=180。一（50。+50。）=80。；

當(dāng)50。是頂角時(shí)，符合題意；

綜上所述，等腰三角形的頂角度數(shù)為50。或80。.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分類討論是解答

本題的關(guān)鍵.

8.如圖，AD是AABC的中線，E是AO上一點(diǎn)，3E交AC于/，BE^AC,BF=9,CF=6,則.的長

度為（）

A.1B.1.5C.2D.2.5

【答案】B

【分析】延長AD到G使得。G=4）,連接BG,證明△力"三△戚（玄S）,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可

得到NCW=NG,AC=BD,等量代換得到BE=BG,再由等腰三角形的性質(zhì)得到NG=NBEG,推出EF=AF,

即可解決問題；

【解析】如圖，延長AD到G使得OG=AD,連接BG,

G

VAD是AABC的中線,

ACD=BD,

在△ACD與4GBD中,

CD=BD

<NADC=ZBDG,

AD=DG

：.MACD三XGBD俾S),

AZCAD=ZG,AC=BD,

「BE二AC,

ABE=BG,

:./G=/BEG,

■:ZBEG=ZAEFf

：.ZAEF=ZEAF,

???EF=AF,

JAF+CF=BF-AF,

即AF+6=9—AF,

3

???AF=~；

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，在"RC中，NC=90°,點(diǎn)A關(guān)于邊的對(duì)稱點(diǎn)為A,點(diǎn)3關(guān)于AC邊的對(duì)稱點(diǎn)為笈，點(diǎn)。關(guān)

于A5邊的對(duì)稱點(diǎn)為C,則△ABC與△49。的面積之比為(

D-1

【答案】B

【分析】連接CC并延長交AE于D,連接CBlCA',依據(jù)AC=AC,BC=BC,ZACB=ZA'CB',可得

△ABC咨△ABC,進(jìn)而得出SAABC=SAA'B'C,再根據(jù)CD=CE=EC',可得SAA'B'C=|SAABC',進(jìn)而得到SAABC

_1°

=-SAA'B'C.

【解析】連接CC并反向延長交A?于O,交A5于￡,連接CE,CAf.

??,點(diǎn)A關(guān)于邊的對(duì)稱點(diǎn)為A，點(diǎn)5關(guān)于AC邊的對(duì)稱點(diǎn)為*，點(diǎn)。關(guān)于AB邊的對(duì)稱點(diǎn)為C',

AAC=A!C,BC=BC,CE=C'E,ZACB=ZACBf,AB垂直平分CC',

???LABC^AB'C(SAS),

**?Swc=Lie,ZA=ZAAB，

AB//AB,CDJ_AB,

???根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，可得CD=CE=EC',

?e,S^ABC=3S^AB'C''

S.ABC

AABC與AAAC的面積之比為1.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形的面積及等積變換，解答此題的關(guān)鍵是熟知對(duì)稱的性質(zhì)：如

果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

10.如圖所示，ZMON=45。，點(diǎn)尸為NMON內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)尸關(guān)于OW、ON對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)片、P2,連

接。尸、。6、尸片、PR、PXP2,勺鳥分別與OM、ON交于點(diǎn)AB,連接4P、BP,則/APB的度數(shù)為()

M,

7P,

A.45°B.90°C.135°D.150°

【答案】B

【分析】由ZMON=45。，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得到NQ4B+NOR4的值，再根據(jù)對(duì)頂角相等可以求出

+ZP2BN的值,然后由點(diǎn)P與點(diǎn)：、鳥對(duì)稱的特點(diǎn),求出ZMAP+ZNBP,進(jìn)而可以求出NPAB+NPBA

的值，最后利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出

【解析】VZMON=45°

二ZOAB+ZOBA=180°-ZMON=180°-45°=135°

,/ZPtAM=ZOAB,ZP2BN=ZOBA

：.ZP,AM+ZP2BN=135°

又：點(diǎn)尸關(guān)于OM、ON對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)不P2

：.ZMAP=ZPtAM,ZNBP=ZP2BN

NMAP+NNBP=135°

/.ZPAB+ZPBA=360°—135°x2=90°

.ZAPS=180°-(ZPAB+/PBA)=180°-90°=90°

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)有三角形的內(nèi)角和、軸對(duì)稱的性質(zhì)，運(yùn)用這些性質(zhì)找到相等的角進(jìn)行角的和差

的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.

二、填空題(共0分

11.等邊三角形的邊長為①則它的周長為,等邊三角形共有條對(duì)稱軸.

【答案】3a3

【分析】根據(jù)周長公式求解即可，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念及對(duì)稱軸求解即可.

【解析】解：因?yàn)榈冗吶切蔚娜呄嗟?，而等邊三角形的邊長為a,所以它的周長為3a；等邊三角形共有

對(duì)稱軸有3條.

故答案為：3a,3.

【點(diǎn)睛】本題利用了等邊三角形的三邊相等的性質(zhì)以及軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸的概念.

12.等腰三角形周長為35,其中兩邊長之比為3：1,則底邊長為.

【答案】5

【分析】已知等腰三角形的兩邊間的比例關(guān)系，但是沒有明確這兩邊哪邊是底，哪邊是腰，因此要分兩種

情況討論.

【解析】解：設(shè)等腰三角形的一邊長為3x,則另一邊長為羽

則等腰三角形的三邊有兩種情況：3尤，3x,x或x,尤，3x,

則有：①3x+3x+_x=35,得x=5,

所以三邊為：15、15、5,

5+15>15,符合三角形三邊關(guān)系，則底邊長為5；

②尤+x+3_r=35,得產(chǎn)7,

所以三邊為7、7、21,

7+7<21,不符合三角形三邊關(guān)系，舍去.

綜上，該等腰三角形的底邊長為5.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；本題從邊的方面考查三角形，利用分情況討

論的思想方法求解是解題的關(guān)鍵.

13.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60。，那么這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為.

【答案】30?；?50。

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分別從銳角三角形與鈍角三角形分析求解即可求出答案.

【解析】根據(jù)題意得：AB=AC,BD±AC,

如圖（1）所示，ZABD=60°,則NA=30。，即頂角為30。；

如圖（2）所示，ZABD=60°,貝lJ/ZMB=30。,

.ZBAC=150°,

即頂角為150。；

故答案為：30?；?50。.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，注意掌握分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

14.如圖所示，點(diǎn)尸為—AO3內(nèi)一點(diǎn)，分別作出尸點(diǎn)關(guān)于。4、03的對(duì)稱點(diǎn)6、P2,連接64交。4于

交OB于N,4￡=15,貝隈PMN的周長為

【答案】15

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到PN=P2N,據(jù)此利用三角形周長公式求解即.

【解析】解：點(diǎn)關(guān)于。4、03的對(duì)稱點(diǎn)6、p2,

：.PM=PXM,PN=P2N.

:.&PMN的周長為PM+PN+MN=MN+PtM+P2N=PtP2=15.

故答案為：15.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟知軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.已知等腰三角形的底邊長為6,一條腰上的中線把三角形的周長分為兩部分，其中一部分比另外一部分

長2,則三角形的腰長是.

【答案】8或4

【分析】根據(jù)中線的定義，知道兩部分的差實(shí)際上是腰與底的差的絕對(duì)值，計(jì)算即可.

【解析】解：如圖，是A4BC腰AC的中線，

：.AD=DC,

J.AB+AD-(BC+DC)=2BC+DC-(AB+AD)=2,

VBC=6,

.?.AB=8或AB=4.

故答案為：8或4.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，中線的定義即三角形的頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的連線，分類思想，正確

進(jìn)行分類計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，在△ABC中，AC=BC,/8=42。，點(diǎn)。是邊A8上一點(diǎn)，點(diǎn)8關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為當(dāng)

笈D〃AC時(shí)，則的度數(shù)為.

【答案】27。/27度

【分析】由AC=BC可得根據(jù)笈D〃AC,得到NA=NADQ=N3；根據(jù)點(diǎn)3、E關(guān)于直線對(duì)

稱，得到NCDB=NCDB',即有NCD3=NCDB'=NaM+NADS',根據(jù)三角形外角定理有

NCDA=NB+NDCB,Z.CDB=ZB+ZBCD+ZADB',再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有

NCDB+ZB+NDCB=180%即問題得解.

【解析】'：AC=BC,ZB=42°,

ZA=ZB=42°,

B'D//AC,

ZA^ZADB',

NA=NADS'=42°，

???點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)為B',

：.NCDB=NCDB',

：.ZCDB=ZCDB'=ZCDA+ZADB',

ZCZM=ZB+ZDCB,ZB=ZADB'=42°，

?*.NCDB=NB+NBCD+ZADB'=84°+ZBCD,

ZCDB+ZB+ZDCB=180°,

?*.84°+NBCD+ZB+ZBC￡>=180°,

/.84°+/BCD+42°+/BCD=180°,

/.ZBCD=2T,

故答案為：27°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和、三角形的外角定理及平行線的

性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到NCDB=ZCDB'是解題的關(guān)鍵.

17.定義：一個(gè)三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”.若等腰△ABC是“倍

長三角形"，底邊BC的長為3,則腰A8的長為.

【答案】6

【分析】分類討論：AB=AC=23C或BC=2AB=2AC,然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)果.

【解析】解：ABC是等腰三角形，底邊BC=3

：.AB=AC

當(dāng)A8=AC=28C時(shí)，△ABC是“倍長三角形”；

當(dāng)BC=2AB=2AC時(shí)，AB+AC=8C,根據(jù)三角形三邊關(guān)系，此時(shí)A、B、C不構(gòu)成三角形，不符合題意；

所以當(dāng)?shù)妊鰽BC是“倍長三角形"，底邊BC的長為3,則腰的長為6.

故答案為6.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形，三角形的三邊關(guān)系，涉及分類討論思想，結(jié)合三角形三邊關(guān)系，靈活運(yùn)用

分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，點(diǎn)P是/403內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)尸關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為C,點(diǎn)P關(guān)于。8的對(duì)稱點(diǎn)為。，連結(jié)CD交

0A,08于點(diǎn)”和點(diǎn)N,連結(jié)PM、PN.若N4OB=70。，則N7WPN的大小為_____度.

【答案】40

【分析】接OC、。尸、OD,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出

NOCP=NOPC,NOPD=ZODP,ZMCP=TMPC,4NPD=NNDP,NCOM=ZPOM,乙POB=NDOB,

結(jié)合圖形及三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【解析】解：連接oc、OP、0D,

:點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為C,點(diǎn)尸關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D

：.OC=OP=OD,CM=MP,PN=ND,

：.NOCP=ZOPC,Z.OPD=AODP,AMCP=ZMPC,ZNPD=ZNDP,

NCOM=ZPOM,NPOB=NDOB,

：.ZOCP-ZMCP=/OPC-ZMPC,ZOPD-ZNPD=NODP-ZNDP,

即NOCD=NMPO,ZOPN=ZODC,

'：ZAOB=70°,BPZAOP+ZPOB=70°,

zcor>=140°,

AZOCD+ZODC=40°,

ZMPN=ZMPO+ZNPO=NOCD+ZODC=40°,

故答案為：40.

【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，找準(zhǔn)各角之間的關(guān)系

是解題關(guān)鍵.

三、解答題(共0分

19.如圖所示的每個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，指出它的對(duì)稱軸.

(1)(2)(3)(4)(5)

【答案】第(1)(2)(3)(5)是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸見解析.

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義確定是軸對(duì)稱圖形，然后畫出對(duì)稱軸即可.

【解析】解：第(1)(2)(3)(5)是軸對(duì)稱圖形,

對(duì)稱軸如下:

【點(diǎn)睛】本題考查了利用軸對(duì)稱變換作圖，主要利用了軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，熟記對(duì)稱軸兩邊的部分能夠完

全重合是解題的關(guān)鍵.

20.燕子風(fēng)箏的骨架如圖所示，它是以直線L為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形.已知N1=N4=45。，求N2和N5

的度數(shù).

【分析】利用對(duì)頂角的定義以及軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)求出即可.

【解析】：風(fēng)箏的骨架如圖所示，它是以直線L為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，Z1=Z4=45°,.\Z2=Z4=45°

（對(duì)頂角相等），Z5=Z4=45°.

【點(diǎn)睛】本題考查了生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象，利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)求出是解題的關(guān)鍵.

21.（1）已知等腰三角形的一邊等于2cm,另一邊等于4cm,求它的周長；

（2）一個(gè)等腰三角形的周長為18,若腰長的3倍比底邊的2倍多6,求各邊長；

（3）一個(gè)等腰三角形的周長為20cm,一邊長為6cm,求其它兩邊的長；

（4）一個(gè)等腰三角形的周長為12cm,一邊與另一邊的差是3cm,求三邊的長；

（5）等腰三角形的腰長是整數(shù)，周長是8,求它的各邊長.

【答案】（1）10cm；（2）6,6,6；（3）6cm,8cm或7cm,7cm；（4）5cm,5cm,2cm；（5）3,

3,2

【分析】（1）分2cm為腰長和底邊長兩種情況討論，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系，從而可得答案；

（2）設(shè)腰長為尤，底邊長為以再根據(jù)周長為18,腰長的3倍比底邊的2倍多6,列方程組，再解方程組可

得答案；

(3)分6cm為腰長或底邊長兩種情況討論，結(jié)合三角形周長與三角形的三邊關(guān)系可得答案；

(4)設(shè)腰長為％則底邊長為x+3或尤-3,再分兩種情況討論，結(jié)合三角形的周長求解x，再結(jié)合三角形的

三邊關(guān)系可得答案；

(5)設(shè)腰長為x,底邊長為y,x，y都為整數(shù)，再利用三角形三邊關(guān)系求解y的范圍，利用周長為8列方程,

從而可得答案.

【解析】解：(1)當(dāng)2cm為腰長時(shí)，2+2=4,不合題意，舍去，

當(dāng)2cm為底邊長時(shí)，則腰長為4皿，此時(shí)三角形存在，

所以三角形的周長為：2+4+4=10cm.

(2)設(shè)腰長為無，底邊長為以則

J2x+y=18

[3尤=2y+6

所以三角形的三邊長分別為：6,6,6.

(3)當(dāng)6cm為腰長時(shí)，則底邊長為：20-6x2=8cm,此時(shí)三角形存在,

則另外兩邊長分別為：6cm,8cm,

當(dāng)6cm為底邊長時(shí)，則腰長為：失芻=7cm,此時(shí)三角形存在，

則另外兩邊長分別為：1cm,7cm,

(4)設(shè)腰長為x,則底邊長為無+3或x-3,

當(dāng)腰長為無，底邊長為x+3時(shí)，則2x+x+3=12,

x=3,此時(shí)三角形不存在，舍去，

當(dāng)腰長為羽底邊長為九-3時(shí)，則2i+x-3=12,

.\x=5,

所以三角形的三邊分別為：50n,5cm,2cm,此時(shí)三角形存在，

(5)設(shè)腰長為無底邊長為八工，丁都為整數(shù)，則

2%+y=8,

41

%=4—y,

2

而卜

而3、

[2x>y

所以：ovy<4,且>是2的倍數(shù)，

y=2,x=3,

所以三角形的三邊長為：3,3,2.

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的定義，掌握等腰三角形的兩腰相等，靈活應(yīng)用分類討論，方程思想是

解本題的關(guān)鍵.

22.已知一個(gè)等腰三角形的周長為24cm.

(1)若一條邊的長為10cm,求其余兩條邊的長；

(2)若一條邊的長為4cm,求其余兩條邊的長.

【答案】(1)10cm,4cm或7cm,7cm

(2)10cm,10cm

【分析】(1)分兩種情況：當(dāng)腰長為10cm時(shí)，當(dāng)?shù)走呴L為10cm時(shí)，即可求解;

(2)分兩種情況：當(dāng)腰長為4cm時(shí)，當(dāng)?shù)走呴L為4cm時(shí)，即可求解.

【解析】(1)解：當(dāng)腰長為10cm時(shí)，

底邊長為24-10-10=4cm,

即其余兩條邊的長分別為10cm,4cm,能組成三角形；

當(dāng)?shù)走呴L為10cm時(shí)，

腰長為2上4-1產(chǎn)0=7cm,

即其余兩條邊的長分別為7cm,7cm,能組成三角形.

，其余兩條邊的長分別為10cm,4cm或7cm,7cm；

(2)解：當(dāng)腰長為4cm時(shí)，

底邊長為24-4—4=16cm,

此時(shí)三條邊的長分別為4cm,4cm,16cm.

:4+4<16,

不能組成三角形；

當(dāng)?shù)走呴L為4cm時(shí)，

74-4

腰長為一y-=10cm,

此時(shí)三條邊的長分別為4cm,10cm,10cm,能組成三角形.

，其余兩條邊的長分別為10cm,10cm.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握等腰三角的兩腰相等是解題的

關(guān)鍵.

23.如圖，點(diǎn)尸為NAO3內(nèi)一點(diǎn)，分別作出點(diǎn)尸關(guān)于。4,的對(duì)稱點(diǎn)片，鳥，連接[巴，交。4于點(diǎn)

交OB于點(diǎn)、N,則APMN的周長等于圖中哪一條線段的長？說明理由.

【答案】APMN的周長等于《乙的長，見解析

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得=PN=P2N,,然后求出APMN的周長=u

【解析】解：APAW的周長等于耳舄的長.理由：

由對(duì)稱性可知，NP2=NP,MP\=MP,

所以APMN的周長=NP+NM+MP=NE+NM+岬=[￡.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)稱軸上的任何一點(diǎn)到兩個(gè)對(duì)

應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等.

24.已知等腰三角形一腰上的中線將這個(gè)三角形的周長分為9cm和15cm的兩個(gè)部分，求這個(gè)等腰三角形底

邊的長.

【答案】這個(gè)等腰三角形底邊的長為4cm

【分析】根據(jù)題意，分兩種情況進(jìn)行分析，從而得到腰和底邊的長，注意運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系對(duì)其進(jìn)行

檢驗(yàn).

【解析】解：如圖所示，在AABC中，AB=AC,是AA5C的中線，

AD=CD,

①如圖，當(dāng)AB+AD=9cm,3C+CD=15cm時(shí)，

VAD=DC,AB=AC,

2AD+AD=9cm,

AD=CD=3cm,

AB=6cm,BC=12cm,

AB+AC=12cm=6C

...不能構(gòu)成三角形，故舍去;

②如圖，當(dāng)AB+A￡>=15cm,BC+CD=9cm,

同理得：AB=10cm,BC=4cm,

AB-BC<AC<AB+BC,

，能構(gòu)成三角形,

這個(gè)等腰三角形底邊的長為4cm；

綜上所述，這個(gè)等腰三角形底邊的長為4cm.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情

況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這是解題的關(guān)鍵.

25.已已知a、b、c為AABC的三邊長，且從c滿足(瓦5)2+(c-7)2=0,a為方程|。-3|=2的解，求△48C

的周長，并判斷△ABC的形狀.

【答案】AABC的周長為17,AA8C是等腰三角形.

【分析】依據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可得到6和c的值，再根據(jù)。為方程|。-3|=2的解，即可得到。=5或1,依據(jù)

三角形三邊關(guān)系，即可得到。=5,進(jìn)而得出△ABC的周長，以及△ABC的形狀.

【解析】解：；(加5)2+(c-7)2=0,

,JZ?-5=0

1|c-7=0,

b=5

解得

c=7'

為方程|a-3|=2的解,

/.a=5或1,

當(dāng)。=1,b=5,c=7時(shí)，l+5<7,

不能組成三角形，故。=1不合題意；

??4=5,

AABC的周長=5+5+7=17,

a=b=5,

.?.△ABC是等腰三角形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的偶次方相加和為0時(shí)，則

其中的每一項(xiàng)都必須等于0.

26.如圖，點(diǎn)。在AC上，AB=AC,.你能在圖中找到幾個(gè)等腰三角形？分別說出每個(gè)等腰三

角形的腰、底邊和頂角.

【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，即可進(jìn)行解答.

【解析】解：：AB=AC,

AABC為等腰三角形，

AABC中，腰：A2和AC,底邊：BC,頂角為NA；

AD=BD,

.?."MB為等腰三角形，

中，腰：和底邊：AB,頂角為-4DB.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的相關(guān)定義，解題的關(guān)鍵是掌握在等腰三角形中，相等的兩條邊為腰,

另外一條邊為底邊，底邊所對(duì)的角為頂角.

27.如圖，的頂點(diǎn)A,B,C都在小正方形的頂點(diǎn)上，利用網(wǎng)格線按下列要求畫圖.

(1)畫△A21G,使它與AABC關(guān)于直線/成軸對(duì)稱；

(2)在直線/上找一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到點(diǎn)A,點(diǎn)B的距離之和最短；

(3)在直線/上找一點(diǎn)0,使點(diǎn)。到邊AG3c的距離相等.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】(1)如圖所示，在網(wǎng)格上分別找到點(diǎn)4點(diǎn)夙點(diǎn)c的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)A、點(diǎn)與、點(diǎn)G，連接4月、AC、

BG即可；

(2)連接A3交直線/于P,利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷尸點(diǎn)滿足條件；

(3)根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等進(jìn)行作圖即可.

【解析】(1)解：如圖，為所作；

(2)解：根據(jù)(1)的結(jié)論，點(diǎn)A、點(diǎn)A關(guān)于直線/成軸對(duì)稱，

PAt=PA

：.PA+PB=PAi+PB,

如下圖，連接AB

...當(dāng)點(diǎn)P在直線/和A8的交點(diǎn)處時(shí)，尸A+PB=AXB為最小值，

二當(dāng)點(diǎn)尸在直線/和AB的交點(diǎn)處時(shí)，B4+PB取最小值，即點(diǎn)尸到點(diǎn)A、點(diǎn)8的距離之和最短；

(3)解：如圖所示，連接CG，

根據(jù)題意的：NACG=ZBCG

.?.點(diǎn)。在直線/和CG的交點(diǎn)處時(shí)，點(diǎn)。到邊AG3c的距離相等.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了畫軸對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱最短路徑問題，角平分線的性質(zhì)等等，熟知相關(guān)知識(shí)是解

題的關(guān)鍵.

28.如圖，AABC與△DEF關(guān)于直線對(duì)稱，其中/C=90。，AC=8cm,￡>E=10cm,BC=6cm.

(1)連接A￡>,線段AD與MN的關(guān)系是什么？

(2)求N/的度數(shù)；

(3)求AA5C的周長和的面積.

【答案】(DMN垂直平分4)

(2)ZF=90°

(3)24cm；24cm2

【分析】(1)利用關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形的對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分可以得到;

(2)利用關(guān)于某條直線對(duì)稱的三角形全等可以得到對(duì)應(yīng)角相等；

(3)利用關(guān)于某條直線對(duì)稱的三角形全等可以得到周長和面積相等.

【解析】(1)解：:△ABC與/關(guān)于直線肱V對(duì)稱，

:.MN垂直平分A。；

(2)解：??.△ABC與△￡)￡；/關(guān)于直線MN對(duì)稱,

:.AABC=^DEF,

?/ZC=ZF=90°；

(3)解：VAC=8cm,DE=10cm,BC=6cm,

DE=AB=10cm

=6+8+10=24(cm)；

%EF=gx6x8=24(cm2).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等.

29.如圖，AABC和AAOE關(guān)于直線對(duì)稱，BC與。E的交點(diǎn)尸在直線上.

(1)圖中點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn),的對(duì)應(yīng)角是

(2)若DE=5,BF=2,則CE的長為；

(3)若/BAC=108。，ZBAE=3Q°,求/EAF的度數(shù).

【答案】(1)E,ZD

(2)3

(3)ZEAF=39°

【分析】(1)根據(jù)AABC和AADE關(guān)于直線MN對(duì)稱，得到圖中點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E,的對(duì)應(yīng)角是ND；

(2)根據(jù)△ABC與AADE關(guān)于直線MN對(duì)稱，得到△ABCgAWE,推出BC=OE=5,根據(jù)8尸=2,得到

CF=BC-BF=3；

(3)根據(jù)/8AC=108。和N8AE=30。，推出/CAE=108。-30。=78。，根據(jù)對(duì)稱性得到/E4F=/CAF,推

出NEAP=gf)C4E=39°.

【解析】(1)：△ABC與"OE關(guān)于直線MN對(duì)稱，

，圖中點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E,的對(duì)應(yīng)角是

故答案為：E,ZD.

(2):△ABC與AAOE關(guān)于直線跖V對(duì)稱，

AABC^AADE,

：.BC=DE=5,

VBF=2,

:.CF=BC-BF=3.

故答案為：3.

(3)VZBAC=108°,ZBAE=30°,

/.ZCAE=108°-30。=78。，

根據(jù)對(duì)稱性知，ZEAF=ZCAF,

：.ZEAF^-DCAE=39°.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱的定義，成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的全等

性.

30.【定義】如圖1,0M平分/A02,則稱射線。2,。4關(guān)于0M對(duì)稱.

(1)【理解題意】如圖1,射線08,OA關(guān)于。M對(duì)稱且NAOB=45。，則/AOM=度；

(2)【應(yīng)用實(shí)際】如圖2,若/AOB=45。，OP在/AOB內(nèi)部，OP,OP/關(guān)于02對(duì)稱，OP,0P2關(guān)于。1對(duì)

稱，求/B。尸2的度數(shù)；

(3)如圖3,若乙4。2=45。，。尸在/AOB外部，且0。＜/4。尸＜45。，0P,。尸/關(guān)于。2對(duì)稱，0P,。巳關(guān)

于。4對(duì)稱，求/尸/?？亩葦?shù)；

(4)【拓展提升】如圖4,若NAO3=45。，OP,。尸/關(guān)于44。2的邊對(duì)稱，NA0Pi=4NB0Pi,求/AOP

(直接寫出答案).

【答案】(1)22.5。；

(2)90°；

(3)90°；

(4)44。尸=30°或54°；

【分析】(1)根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)OP和OPX關(guān)于OB對(duì)稱,得到NPO。=2ZBOP,根據(jù)OP和。鳥關(guān)于對(duì)稱，得到

NPO鳥=2ZAOP,根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；

(3)根據(jù)OP和。片關(guān)于。8對(duì)稱，得到NPO4=2/BOP,根據(jù)OP和。鳥關(guān)。4對(duì)稱，求得

NPOP。=2ZAOP，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；

(4)①。尸在/AO8內(nèi)部，如圖4,②當(dāng)。尸在/AOB外部，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

(1)

解：?.,射線。2,關(guān)于0M對(duì)稱且乙4。2=45。，

ZAOM=-ZAOB=-