運(yùn)動學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容（解析版）-2024-2025學(xué)年高中物理競賽能力訓(xùn)練

專題01運(yùn)動學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容

一、單選題

1.（2024?全國競賽）下列哪一個人必須是非慣性觀察者？將地面視為慣性系，應(yīng)考慮空氣摩擦力（）

I.一個人的位置被另一個觀察者描述為近。=-1?八

n.坐在固定在地面上旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)木馬邊緣的人

m.一個人垂直向上跳躍，而此刻，當(dāng)人處于最高位置時

IV.一個人垂直向上跳躍，而此刻，人還在上升的時候

V.一個戴著打開的降落傘進(jìn)行跳傘的人。

A.只有I,IV和V

B.只有I和n

c.只有i,n,iv和v

D,只有口，m和w

E.I,n,m,iv和v

【答案】D

【詳解】非慣性系是指相對地面慣性系做加速運(yùn)動的物體。由題知將地面視為慣性系，且考慮空氣摩擦

力。

I.一個人的位置被另一個觀察者描述為y⑺=-￡〃，如果觀察者是靜止的，觀察者為慣性觀察者，如

果被觀察者是靜止的，觀察者加速度不為零，觀察者為非慣性觀察者，不符合題意。

n.坐在固定在地面上旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)木馬邊緣的人，觀察者受到圓周運(yùn)動向心力，加速度一定不為零，木

馬邊緣的人作為觀察者為非慣性觀察者，符合題意。

m.一個人垂直向上跳躍，而此刻，當(dāng)人處于最高位置時，人的速度為零，加速度一定不為零，最高位

置人作為觀察者為非慣性觀察者，符合題意。

iv.一個人垂直向上跳躍，而此刻，人還在上升的時候，加速度一定不為零，人作為觀察者為非慣性觀

察者，符合題意。

V.一個戴著打開的降落傘進(jìn)行跳傘的人。跳傘的人做減速運(yùn)動時，加速度一定不為零，人作為觀察者

為非慣性觀察者，當(dāng)重力等于降落傘受到空氣阻力時，跳傘的人做勻速運(yùn)動，人作為觀察者為慣性觀察

者，不符合題意。

故選Do

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2.（2007?全國競賽）在地球赤道上的/處靜止放置一個小物體?，F(xiàn)在設(shè)想地球?qū)π∥矬w的萬有引力突然

消失，則在數(shù)小時內(nèi)，小物體相對于/點(diǎn)處的地面來說，將（）

A,水平向東飛去

B.原地不動，物體對地面的壓力消失

C.向上并漸偏向西方飛去

D.向上并漸偏向東方飛去

E.一直垂直向上飛去

【答案】C

東------------?西

【詳解】

從地球外面的慣性參照系來看，物體沿切線方向向東勻速直線飛去（如圖）。/為開始飛出點(diǎn)，夙C、D...

為經(jīng)過2h、4h、6.h…后的4點(diǎn)位置.b、c,為.為經(jīng)過2h、4h、6h...后物體在空間的位置。Bb、Cc、

…為地面觀察者觀看物體的視線。

在地面上/點(diǎn)的觀察者來看，這些視線相對于他的方向和距離如圖所示。將46、c、4…用光滑的曲線

連接起來就是從地球上觀察到的物體的運(yùn)動軌跡/6源…即2h后物體到b點(diǎn)處，4h后物體到c點(diǎn)處，6h

后物體到4點(diǎn)處…所以從地球上觀察，小物體相對于/點(diǎn)處的地面來說從原地向上升起并漸偏向西方飛

去。

故C正確，ABDE錯誤。

故選C.

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東西

3.（2024?鄭州競賽）一運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)在某瞬時位于矢徑入尤））的端點(diǎn)處，其速度大小為（）

drdrd同

i.—B.—C.」

dtatdt

【答案】D

【詳解】用匕、。表示速度v沿％、＞軸的分量式，則有

Ax

dt

dv

dt

于是v的大小為

故選D。

4.（2023?鄭州競賽）某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為%）=（采用SI單位制），則片1秒時該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動

的切向加速度大小為（單位：米/秒2）（）

A.0B.V2C.eD.V5

【答案】D

【詳解】對運(yùn)動方程求導(dǎo)，可得其速度方程

/⑴=i+tj+t~k

再對速度方程

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V(t+t2+14

當(dāng)Z=1秒時，其切向加速度為

=(>/l+t2+t4)'

大小為

a=v'(l)=VSin/s2

故C正確.

故選c。

5.(2023?鄭州競賽)運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)在某瞬時位于位矢的端點(diǎn)處，對其速度的大小有四種意見，即

(1)，⑵⑶曰⑷糕H*)

下述判斷正確的是()

A.只有(1)(2)正確B.只有(2)正確

C.只有(2)(3)正確D,只有(3)(4)正確

【答案】D

【詳解】在自然坐標(biāo)系中，速度的大小為

dr

vA\_ds

dtdt

在直角坐標(biāo)系中有

2

"亞+匕2=，*)2+吟)

與是位矢尸的大小7?的變化率，g="是矢量，故(1)(2)錯誤，(3)

(4)正確，故選D。

atat

6.(2023?安陽競賽)一個質(zhì)點(diǎn)在。町平面上運(yùn)動，已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為r=2t2T-5t2j(SI),則該質(zhì)點(diǎn)

作()

A,勻速直線運(yùn)動B.變速直線運(yùn)動

C.拋物線運(yùn)動D.一般曲線運(yùn)動

【答案】B

【詳解】根據(jù)

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r=2rz-5t2j

可得

x=2產(chǎn),y=-5t2

結(jié)合

1212

X=+-?/■,y=Vo/+-ayt

可知質(zhì)點(diǎn)沿+x方向做初速度為零的勻變速直線運(yùn)動，沿7方向做初速度為零的勻變速直線運(yùn)動，故質(zhì)

點(diǎn)的合運(yùn)動為勻變速直線運(yùn)動。

故選B。

7.（2022?河西競賽）站在電梯內(nèi)的一個人，看到用細(xì)線連結(jié)的質(zhì)量不同的兩個物體跨過電梯內(nèi)的一個無

摩擦的定滑輪而處于“平衡”狀態(tài)。由此，他斷定電梯作加速運(yùn)動，其加速度為（）

A.大小為g,方向向上B.大小為g,方向向下

C.大小為會，方向向上D.大小為母，方向向下

【答案】B

【詳解】質(zhì)量不等的兩個物體跨過電梯內(nèi)的一個無摩擦的定滑輪而處于“平衡”狀態(tài)即物體自身重力恰好

提供各自加速度，且加速度相等，根據(jù)牛頓第二定律可知繩子沒有拉力，即處于完全失重狀態(tài)，可知電

梯作加速運(yùn)動，其加速度為g.

故選B。

二、多選題

8.（2020?全國競賽）甲、乙兩車在同一平直公路上以相同速度30m/s同向行駛，甲車在前，乙車在后，兩

車距離100m.從"0時起，甲、乙兩車的加速度隨時間變化如圖所示。取運(yùn)動方向?yàn)檎较?，下面說

法正確的是（）

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A.f=3s時刻兩車距離最近

B.r=9s時刻兩車距離為100m

C.3?9s內(nèi)乙車做勻減速運(yùn)動

D.f=9s時刻乙車速度為零

【答案】CD

【詳解】A.。一圖像的面積表示速度變化量，因此在3s末甲車的速度變化量為

△v=M=-10x3=-30m/s

可知此時甲車的速度為零，甲車的位移為

v2302..

x,=—=--=45m

12a20

乙車的位移為

%=%=30x3=90m

則此時兩車之間的距離為

Ax=100-90+45=55m

此時乙車沒追趕上甲車，乙車速度比甲車速度大，因此距離進(jìn)一步縮小，A錯誤；

BCD.甲車9s末的速度為

v2=af2=5x6=30m/s

乙車9s末的速度為

v3=v-at2=30-5x6=Om/s

乙車在3?9s做勻減速運(yùn)動，說明甲乙兩車在3?9s互逆向運(yùn)動，因此位移大小相等,因此9s的距離和

3s末相同為55m,故B錯誤CD正確；

故選CD.

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三、解答題

9.(2022?全國競賽)一質(zhì)量為M=1000kg的封閉車廂在水平地面上運(yùn)動。車廂內(nèi)底面水平。車廂內(nèi)一乘

客試通過車廂內(nèi)的實(shí)驗(yàn)來研究車廂在水平地面上的運(yùn)動。他在車廂底面上建立與底面固連的平面直角坐

標(biāo)系(xQy系)，并在坐標(biāo)原點(diǎn)。放置一質(zhì)量為加=5.0kg的物塊A。在f=0時，A從靜止開始運(yùn)動.在

Ow/wl5s時間段內(nèi)，A在xOy系中x、y方向上的速度V,、。與時間/的關(guān)系分別如圖服6所示。已知

物塊A與車廂內(nèi)底面之間滑動摩擦系數(shù)為，=0.20,重力加速度大小g=10m/s2.

(1)求t=15s時，物塊A在xOy系中的位置；

(2)在地面上建立靜止的坐標(biāo)系VOT,使V軸、了軸分別與xp系的x軸、〉軸方向兩兩相同。求在

坐標(biāo)系x'O'y'中，車廂在/方向所受到的合力在整個過程(0*t<15s)中的沖量。

【答案】(1)(3.0m,2.5m)；(2)1.7xlO4N.s,方向沿1軸負(fù)方向

【詳解】⑴在尤0系中，由圖。、b所示速度圖線匕-，5T可知，在階段I(0<?<5s),物塊A

做勻加速直線運(yùn)動，它在x、y方向的加速度分別為

=8.0cm/s2

旬=4.0cm/s2

在階段口(5s=yA做勻速直線運(yùn)動。在階段W(10sY<15s=f3),A做類斜拋運(yùn)動，它在

y方向做勻速直線運(yùn)動，在x方向做勻加速直線運(yùn)動，加速度為

2

%1a=-16cm/s

由速度圖線匕―，可知，在X0系中，物塊A在Yl5s內(nèi)時間段沿x、y方向的位移分別為

x=(；x40x5+40x5^jcm=3.0m

y=(；x20x5+20xlO,m=2.5m

在f=15s時，物塊A在xp系中的位置為(3.0m,2.5m).

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(2)設(shè)車廂相對于水平地面在V方向的加速度為%'。設(shè)在某一時刻物塊A速度方向與〉軸夾角為8。

物體A在無0系中x方向上受到摩擦力和慣性力的作用，由牛頓第二定律有

-max-/jmgsm0-max

同理，在x'?！?系中，車廂在V方向所受到的合力滿足

車廂在X,方向所受到的合力在整個過程中的沖量為

/合,尸合。)”=加仙

整理有

,t2

/合=-M「ax(t)dt-/jMg([；sin劭+sin劭

%

由加速度的定義有

rt3

]0a*(t)dt=v(3

在階段I、n,物體A相對車廂做初速度為零的直線運(yùn)動，因此角度8保持不變，其值為

2275

singu%

在階段m,在尤Or系中，有

%(，)="((2)

vnst(t)=vfa(t2)+amt[t-t2)

考慮到時,<0,物塊A在階段IE做類斜拋運(yùn)動，8隨時間改變，但在拋物線頂點(diǎn)兩側(cè)的對稱點(diǎn)上8恰好

反號。于是有

Jsm3dt=-J_'sin3dt

這意味著在階段W滑動摩擦力在x方向上的沖量為零，實(shí)際上滑動摩擦力與物塊速度方向相反；在階段

皿的前一半和后一半，物塊在x方向上的速度方向相反，因此，作用在物塊上的滑動摩擦力方向相反；

再由運(yùn)動軌跡的對稱性可知，在階段DI的前一半和后一半，滑動摩擦力在x方向上的沖量正好相互抵消。

由上述各式得

r?,2y/5275

H

工=-Mvh-Z/M—gq=%

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解得

1'=-1000xf-0.4+^X0.2X10X10>|N-S=-17489N-S=-1.7x10

5

方向沿/軸負(fù)方向。

10.(2021?全國競賽)6個小朋友在操場上玩追逐游戲.開始時，6個小朋友兩兩間距離相等，構(gòu)成一正

六邊形。然后每個小朋友均以不變的速率v追趕前面的小朋友(即小朋友1追2、2追3、3追4、4追

5、5追6、6追1),在此過程中，每個小朋友的運(yùn)動方向總是指向其前方的小朋友。已知某一時刻/尸0,

相鄰兩個小朋友的距離為/,如圖所示。試問:

⑴從為時刻開始，又經(jīng)過多長時間后面的小朋友可追到前面的小朋友;

⑵從功時刻開始，直至追上前面的小朋友，每個小朋友又跑了多少路程;

⑶在幼時刻，每個小朋友的加速度大小是多少。

【答案】(1)t=~；(2)2/；(3)巫

v21

【詳解】由對稱性知，每個小朋友運(yùn)動情況是一樣的，以小朋友1為例

(1)在從小朋友1到小朋友的2連線方向上，小朋友1相對于小朋友2的速度分量為

V

匕=v-vcos60°=—

r2

小朋友1追上2的時間為

/21

t=—=—

匕y

(2)從初時刻開始，直至追上前面的小朋友每個小朋友所跑的路程為

s=vt=21

(3)取小朋友1的運(yùn)動軌跡為自然坐標(biāo)系，其切向加速度為

dv

a=——=0

r'dt

如解題圖所示，設(shè)經(jīng)dt時間小朋友1運(yùn)動到「點(diǎn)，小朋友2運(yùn)動到2,點(diǎn)，小朋友1的速度方向變?yōu)閺?/p>

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1'點(diǎn)指向2,點(diǎn)，轉(zhuǎn)過的角度為d仇

由余弦定理得

I=J/；+(v力I一%?os12QP

1'2'V1'2\/1'2

=J(/-vdtJ+"dt『一2(vdt)vdtcos12。

=，(/-vdtJ+“由『+(/-Mt4山

二yjl2-2lvdt+2(ydt)2+Ivdt-(ydt)2

二yjl2-lvdt+(vdt)2

~l----vdt

由正弦定理得

11?_vdt_vdt

sin120°sin(d8)d9

式中de為尺22'中兩邊〃與心之間的夾角。小朋友1運(yùn)動的角速度為

d9vsin120°

cu=—=------------

dt/

1-2-

小朋友1運(yùn)動的法向加速度為

則小朋友1的加速度大小為

11.（2019?泉州競賽）共享單車極大地方便了人們的出行。如圖所示，單車在水平地面上行駛的速度為v,

單車與人的總質(zhì)量為私合質(zhì)心離地高度為％質(zhì)心離前后輪的水平距離分別為再、馬,車輪與水平地

面間的動摩擦因數(shù)為〃，若前后車輪同時剎車，同時被“抱死”。

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(1)求地面對前、后輪的支持力大小M、N2,及車能滑行的距離；

(2)若車速較快，為保證剎車時不發(fā)生危險，y與肛應(yīng)滿足什么關(guān)系?

2

x2+[jyxx-/jyvM

【答案】⑴-雅，-mg,—；(2)y<—

石+%2x[+X22〃g〃

【詳解】⑴自行車剎車時，合質(zhì)心的合外力矩為零，則

〃（乂+N^y-NR+N2X2=0

其中

Ni+N?=mg

解得

x+

7Vl=-2---mg

再+x2

N2=------—mg

再+x2

根據(jù)牛頓第二定律可得自行車剎車時的加速度大小為

_pmg

m

根據(jù)位移速度關(guān)系可得車能滑行的距離為

v2

電=----

2〃g

(2)若車速較快，剎車時后輪有離地趨勢，為保證剎車時不發(fā)生危險，應(yīng)有

例＞0

解得

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12.（2007?全國競賽）如圖所示，B是質(zhì)量為加隊(duì)半徑為R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上。A

是質(zhì)量為帆4的細(xì)長直桿，被固定的光滑套管C約束在豎直方向，A可自由上下運(yùn)動。碗和桿的質(zhì)量關(guān)

系為：73=2利初始時，A桿被握住，使其下端正好與碗的半球面的上邊緣接觸（如圖）。然后從靜

止開始釋放A,A、B便開始運(yùn)動.設(shè)A桿的位置用0表示，。為碗面的球心。至A桿下端與球面接觸

點(diǎn)的連線方向和豎直方向之間的夾角。求A與B速度的大?。ū硎境伞５暮瘮?shù)）.

【詳解】由題設(shè)條件知，若從地面參考系觀測，則任何時刻，A沿豎直方向運(yùn)動，設(shè)其速度為四，B

沿水平方向運(yùn)動，設(shè)其速度為VB.若以B為參考系，從B觀測，則A桿保持在豎直方向，它與碗的接

觸點(diǎn)在碗面內(nèi)作半徑為尺的圓周運(yùn)動，速度的方向與圓周相切，設(shè)其速度為憶.桿相對地面的速度是

桿相對碗的速度與碗相對地面的速度的合速度，速度合成的矢量圖如圖中的平行四邊形所示.由圖得

VAsm0=vA(1)

小。s8=%(2)

因而

%=/cot8(3)

由能量守恒

匕+1B落

mAgRcos0=—mA

由（3）,（4）兩式及%=2%得

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2gRcos9

以=sin8⑸

1+cos29

2gRcosB

%=cos<9(6)

1+cos29

13.（2007?全國競賽）有一只狐貍以不變速度匕沿著直線逃跑，一獵犬以不變的速率緊迫，其運(yùn)動

方向始終對準(zhǔn)狐貍。某時刻狐貍在歹處，獵犬在。處，F(xiàn)DVAB,且￡0=￡（如圖），試求此時獵犬

的加速度的大小。

【答案】a.

【詳解】獵犬做勻速率曲線運(yùn)動，其加速度的大小與方向在不斷改變。從所討論的時刻開始考慮一段

很短的時間4t,在這段時間內(nèi)獵犬運(yùn)動的軌跡可近似看作是一段圓弧，設(shè)其半徑為R,則加速度是

a=v；/R①

其方向與速度的方向垂直。如圖6-7所示，設(shè)在這包時間內(nèi)狐貍與獵犬分別到達(dá)?與。，，獵犬的速度

方向轉(zhuǎn)過的角度為

B=匕△//R②

而狐貍跑過的距離是

vQ=BL③

（At越小，此式越精確。）因而

V2AZ/R=vx/\i/L

R=LV2/V1

a=v；/R=V]V2//④

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圖6'-7

此題要求學(xué)生能就一個具體問題討論勻速曲線運(yùn)動中加速度與速度方向的改變的關(guān)系，可檢查學(xué)生對

速度、加速度概念的理解。學(xué)生如能采用以下解法就更好。

設(shè)獵犬在。處時加速度為萬（圖6-8）,則在4t時間內(nèi)其速度由E（方向指向尸）變?yōu)锽（方向指向尸'）,

速度增加了Z包，結(jié)果是速度大小不變，方向改變的角度為

ca/\tv[△/

（At越小，上式越準(zhǔn)確。）由此立即可得

如果學(xué)生對于曲線運(yùn)動中速度與加速度關(guān)系概念不清，則對此題常無從下手，或亂用公式不得要領(lǐng)。

圖6'—8

14.（2024天津競賽）摩托車以速度w沿平直公路行駛，突然駕駛員發(fā)現(xiàn)正前方x處有一輛汽車正以（V2<v/）

的速度開始減速，加速度大小為為了避免發(fā)生碰撞，摩托車也同時減速，求其加速度如至少需要

多大？

【答案】見解析

【詳解】①當(dāng)兩車相向運(yùn)動時，兩車剛好不發(fā)生碰撞時，設(shè)摩托車的位移大小為昭則汽車的位移大小

為X-S-由勻變速直線運(yùn)動的規(guī)律得

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y：=24sl

V；=2%(x-sJ

聯(lián)立解得

一出一2

1

2a2x-vf

2

故摩托車的加速度至少為/%匕。

2a2x-v2

②當(dāng)兩車同向運(yùn)動時，以前方減速運(yùn)動的汽車為參照物，則摩托車相對汽車的相對初速為

相對汽車的相對加速度為

%=4-a?

剛與汽車不相碰時，摩托車相對汽車的相對位移為

s,=x

設(shè)摩托車從開始減速到摩托車與汽車速度相同所需時間為f,摩托車從開始減速到汽車停止所需時間為

t',有

〃2

sx2x

t==----------=---------

匕%一%匕一了2

2

摩托車與汽車剛不相碰時，汽車還未停止的條件是

t<t'

即

2xvv2

匕一4%

這時，以前方減速運(yùn)動的汽車為參照物，有

，2s,

即

(匕-匕>

a-a.=—!--------

y2x

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可得

ax=^^+ai

2x

2x%摩托車加速度至少需要（是"+電。

故當(dāng)-----時，為了避免發(fā)生碰撞,

V1-V2a22x

2x%

當(dāng)-----工2時，摩托車與汽車相碰前,汽車已停止，這時汽車的位移為

%—v2a2

§2=

2a2

摩托車的位移為

sx=—

2ax

摩托車與汽車剛不相撞的條件是

S]=S?+X

聯(lián)立解得

2

/-2

v2+2a2x

2x%2

故當(dāng)-----工工時，為了避免發(fā)生碰撞,摩托車加速度至少需要，笑

V1-V2a2v2+2a2x

15.（2016?北京強(qiáng)基計(jì)劃）兩個路燈相距以高均為一人從左邊路燈正下方處出發(fā)，以速度v對著另

一個路燈勻速前進(jìn)。設(shè)人高為九人在兩路燈下的影子落在兩燈之間部分的長度為S,S為關(guān)于時間/

和高度的二元函數(shù)0當(dāng)0</<七

6V〃時，S有極大值。求S取極大值時，相應(yīng)的〃、九

V

H

L

2?

UT

【詳解】從人經(jīng)過左側(cè)燈開始計(jì)時，如圖2,圖3所示，根據(jù)相似三角形，在4=工時，右燈照射人

Hv

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在0</<。時間內(nèi)，設(shè)兩燈間影子的長度為x,根據(jù)相似三角形

h_x-vt

x

可得

vH

x=------1

H-h

影子的長度隨時間的增加而增大，最大值為

hL

Xmi=H-h

在4過程中，根據(jù)相似三角形可知

h_h_x2

Hxx-vt'Hx2+L-vt

可得影子的長度

若,影子長度與時間內(nèi)對稱，因此影子長度的最大值為

V

Lh

X

m=7H7-h7

且該最大值隨人的增大而增大，但若出現(xiàn)該情況必須滿足

4-%2

即

h7<—H

2

可知當(dāng)〃=￡時，影子取得最大值，且最大值為

Xm=L

該時刻為

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16.(2023?鄭州期中)有一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作直線運(yùn)動，"寸刻的坐標(biāo)為x=4.5戶-2卜(SI),試求：

(1)第2秒末的瞬時速度；

(2)第2秒內(nèi)的路程。

【答案】⑴-6m/s；(2)2.25m

【詳解】(1)由于位移的一次導(dǎo)數(shù)表示速度，則有

v=x'=9t—6t2

解得第2秒末的瞬時速度為

v=9x2m/s-6x22m/s=-6m/s

(2)根據(jù)上述有

x'=9t-6t2

令一次導(dǎo)數(shù)等于0,解得

￡=1.5s

表明1.5s時，質(zhì)點(diǎn)開始反向運(yùn)動，可知第2秒內(nèi)的路程

s=k(L5)-x(J+卜(2廠無⑸卜225m

17.(2022?全國競賽)飛輪作加速轉(zhuǎn)動時，輪邊緣上一點(diǎn)的運(yùn)動方程為s=0.1F(SI),飛輪半徑2m,當(dāng)該

點(diǎn)的速率片30m/s時，其切向加速度和法向加速度分別為多少？

22

【答案】aT=6m/s,an=450m/s

【詳解】由s=0.1/可得

ds

v=——=0.3/=30m/s

dt

解得

t=10s

當(dāng)夕10s時，切向加速度為

dv.

a=—=0.6,=6m/s2

rdt

由于做圓周運(yùn)動，因此法向加速度為

v2,

a=—=450m/s?

nR

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18.(2022?全國競賽)一小轎車做直線運(yùn)動，剎車時速度為w,剎車后其加速度與速度成正比而反向，即

a=-kv,左為已知常數(shù)。試求：

(1)剎車后轎車的速度與時間的函數(shù)關(guān)系；

(2)剎車后轎車最多能行多遠(yuǎn)。

【答案】⑴⑵?

k

【詳解】(1)由加速度定義。=處，聯(lián)立。=-狂并取積分，有

V

「小「J7,

—二一kdt

J%vJ。

解得

V=v0e-"

z/y

(2)由速度定義v=?并聯(lián)立v=%e"取積分，得

at

當(dāng)/.00時

19.(2022?全國競賽)有一質(zhì)點(diǎn)沿x軸做直線運(yùn)動，f時刻的坐標(biāo)為x=4.5/-2『(SI).試求:

(1)第2秒內(nèi)的平均速度；

(2)第2秒末的瞬時速度；

(3)第2秒內(nèi)的路程。

【答案】⑴-0.5m/s；(2)-6m/s；(3)2.25m

【詳解】(1)平均速度

(2)瞬時速度

v=--9t-6t2=-6m/s

dt

(3)因?yàn)閠=1.5s時

v=0

所以

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S=忖5-尤/+-玉51=2.25m

20.（2022?全國競賽）一質(zhì)點(diǎn)沿x軸做直線運(yùn)動，其V—曲線如圖所示，已知/=0時，質(zhì)點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn),

求I=4.5s時質(zhì)點(diǎn)在x軸上的位置.

【答案】2m

【詳解】由幾何關(guān)系知位移大小等于曲線下的總面積

Ax=X45-Xo=5=2

所以

x45=2m

21.（2022?全國競賽）若質(zhì)點(diǎn)限于在平面上運(yùn)動，試指出符合下列條件的應(yīng)是什么樣的運(yùn)動?

為奉

d;不

山

一

為零

dv了

山

為零

da了

dr

【答案】（1）圓周運(yùn)動；（2）速率不變的曲線運(yùn)動；（3）加速度大小不變但方向變化的曲線運(yùn)動

【詳解】（1）質(zhì)點(diǎn)的位矢大小不變，而位矢隨時間不斷變化，即位矢的方向隨時間不斷變化，可知質(zhì)

點(diǎn)做圓周運(yùn)動。

（2）質(zhì)點(diǎn)的速率不變，而速度隨時間不斷變化，即速度的方向隨時間不斷變化，可知質(zhì)點(diǎn)做速率不變

的曲線運(yùn)動。

（3）質(zhì)點(diǎn)加速度大小不變，而加速度隨時間不斷變化，即加速度的方向隨時間不斷變化，而此時加速

度方向不可能與速度方向在同一直線上，所以質(zhì)點(diǎn)做加速度大小不變但方向變化的曲線運(yùn)動。

22.（2022?全國競賽）設(shè)質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動的方程為x=x（。、y=y（t）.在計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度時，有

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兩種方法：

（1）先求出r=JR+y2,再根據(jù)y=9、。=號片求出"、Q；

（2）先求出速度和加速度的各分量匕=與、%%=%、%=*，然后再用＜="；+￥、

a=M+aj求出v、/你認(rèn)為哪一種方法正確？為什么？

【答案】見解析

【詳解】質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動，其位置矢量既有大小也有方向，且其方向隨時間變化，所以對位矢的微分

的模|右|并不等于對位矢的模的微分，則

dtdt

d2r叩

a=

方法（1）先求出位矢的模,再用其對時間求導(dǎo)，得出的V和。顯然是錯誤的。

方法（2）先求分量再合成，在x和y方向的單位矢量7和J都是大小與方向不隨時間改變的常量，則

根據(jù)速度和加速度的定義有

-drd/idr-

v=——=——(xi+y/)=—i+=vj+vj

dtdtdt

-dvdd"x-：d2yi

a=一=一

AtAt中

所以

a=M=Ja；+a：

即方法（2）正確.

四、填空題

23.（2017?北京強(qiáng)基計(jì)劃）如圖所示，A、B、C三個物體處于一正方形的頂點(diǎn)上，其中NC連線水平。現(xiàn)

使三物同時開始運(yùn)動，其中A物以初速%=lm/s下拋，B物自由落體，要使三物能同