
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文檔簡(jiǎn)介
【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案
專題02半角模型
解題策略
模型1:正方形中的半角模型
如圖1.在正方形ABCQ中,點(diǎn)E.F分別在邊BC,CD上,NEAF=45°,連接EF.則:
(1)EF=BE4-DF;
(2)如圖2.過(guò)點(diǎn)A作AG_LEF于點(diǎn)G.則AG=AD;
(3)如圖3,連接BD,與AE交于點(diǎn)H.連接FH.則FH±AE.
圖1圖2圖3
【拓展I]如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在邊CB,DC的延長(zhǎng)線上"EAF=45°,連接EF,則
EF=DF-BE.
【拓展2】將正方形變成一組鄰邊相等、對(duì)角互補(bǔ)的四邊形:如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,
N8AD+/C=180°,點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD匕NEAF=連接EF,則EF=BE+DF.
模型2:等腰直角三角形中的半角模型
如圖.在△ABC中.AB=AC./BAC=90°.點(diǎn)D.E在邊BC上,且/DAE=45°.則:
(DABAEGOAADECZJAC'DAS
(ZyBiy+CE^DE1.
經(jīng)典例題
【例1】.(2020?山西晉中?八年級(jí)階段練習(xí))如圖所示:已知4aBe中,^LBAC=90°,AB=AC,在NB4C內(nèi)部
作AM4N=45°,4M、AN分別交BC于點(diǎn)M,N.
[操作](1)將4ABM繞點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,使力B邊與力C邊重合,把旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記作點(diǎn)Q,得到力CQ,
請(qǐng)?jiān)趫D中畫出/力CQ;(不寫出畫法)
[探究](2)在(1)作圖的基礎(chǔ)上,連接NQ,求證:MN=NQ;
[拓展](3)寫出線段BM,MN和NC之間滿足的數(shù)量關(guān)系,并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.
【例2】(2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))折一折:將正方形紙片48CD折疊,使邊/8、都落在對(duì)角線/C
上,展開得折痕NE、AF,連接跖,如圖1.
(1)NE4F=°,寫出圖中兩個(gè)等腰三角形:(不需要添加字母);
(2)轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn):將圖1中的/繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn),使它的兩邊分別交邊8C、CD于點(diǎn)、P、Q,連接P。,如圖2.線
段BP、PQ,。。之間的數(shù)量關(guān)系為
(3)連接正方形對(duì)角線3D,若圖2中的的邊/尸、分別交對(duì)角線AD于點(diǎn)M、點(diǎn)、N,如圖3,則
CQ=
BM-
(4)剪一剪:將圖3中的正方形紙片沿對(duì)角線AD剪開,如圖4.求證:BM2+DN2=MN2.
【例3】(2022?江蘇?八年級(jí)專題練習(xí))問題情境
在等邊△N8C的兩邊/C上分別有兩點(diǎn)〃,N,煎D為4ABC外一前,且/M)N=60。,ZBDC=nQ0,
BD=DC.
(圖1)(圖2)
特例探究
如圖1,當(dāng)zw=zw時(shí),
(1)/MDB=度;
(2)MN與BM,NC之間的數(shù)量關(guān)系為、
歸納證明
(3)如圖2,當(dāng)。跖伉W時(shí),在NC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E,使CE=3M,連接。E,猜想血W與8”,NC之間
的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.
拓展應(yīng)用
(4)△NVN的周長(zhǎng)與△48C的周長(zhǎng)的比為.
【例4】.(2020?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))請(qǐng)閱讀下列材料:
己知:如圖(1)在RtZ\/2C中,ZBAC=9Q°,AB=AC,點(diǎn)。、E分別為線段2C上兩動(dòng)點(diǎn),若ND4E=
45°.探究線段3D、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系:
(1)猜想3D、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式,直接寫出你的猜想;
(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在線段2C上,動(dòng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)在線段C2延長(zhǎng)線上時(shí),如圖(2),其它條件不變,(1)中探究
的結(jié)論是否發(fā)生改變?請(qǐng)說(shuō)明你的猜想并給予證明;
(3)已知:如圖(3),等邊三角形ABC中,點(diǎn)。、£在邊48上,且/DCE=30。,請(qǐng)你找出一個(gè)條件,使
線段AD,仍能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形,并求出此時(shí)等腰三角形頂角的度數(shù).
--培--優(yōu)--訓(xùn)--練--
一、解答題
1.(2022?陜西西安?七年級(jí)期末)問題背景:
如圖1,在四邊形A8CD中4B=AD,ABAD=120°,Z.B=AADC=90°,E、尸分別是8C,CD上的點(diǎn),
且NE4尸=60。,探究圖中線段EF,ED之間的數(shù)量關(guān)系.小王同學(xué)探究此問題的方法是,延長(zhǎng)ED到
點(diǎn)G,DG=BE,連接/G,先證明AABE三AADG,再證明△力EF三△AGF,可得出結(jié)論,他的結(jié)論應(yīng)是
G
圖1
實(shí)際應(yīng)用:
如圖2,在新修的小區(qū)中,有塊四邊形綠化N8CD,四周修有步行小徑,且/2+/。=180。,在
小徑8C,CD上各修一涼亭E,F,在涼亭E與尸之間有一池塘,不能直接到達(dá),經(jīng)測(cè)量得4&4尸=[484。,
BE=10米,。尸=15米,試求兩涼亭之間的距離所
BEC
圖2
2.(2022?河北邢臺(tái)?九年級(jí)期末)學(xué)完旋轉(zhuǎn)這一章,老師給同學(xué)們出了這樣一道題:
“如圖1,在正方形N8CD中,ZEAF=45°,求證:.EF=BE+DF.5,
小明同學(xué)的思路:;四邊形/BCD是正方形,:.AB=AD,NB=/ADC=90°.
把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△力DE'的位置,然后證明小AFE三△AFE,從而可得
E'F=E'D+DF=BE+DF,從而使問題得證
E'
DF------1CA
WA
1------V——BpC
BEC?E。5p
圖1圖2圖3圖4
(1)【探究】請(qǐng)你參考小明的解題思路解決下面問題:
如圖2,在四邊形/BCD中,AB=AD,ZB=ZD=90°,^EAF=^BAD,直接寫出斯,BE,之間的
數(shù)量關(guān)系.
(2)【應(yīng)用】如圖3,在四邊形/BCD中,AB=AD,ZJB+ZD=180°,^EAF=^BAD,求證:EF=BE+
DF.
(3)【知識(shí)遷移】如圖4,四邊形4BPC是。。的內(nèi)接四邊形,是直徑,AB=AC,請(qǐng)直接寫出尸2+PC與
NP的關(guān)系.
3.(2021?重慶?九年級(jí)專題練習(xí))將銳角為45。的直角三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)尸與正方形A8CD的頂
點(diǎn)/重合,正方形/BCD固定不動(dòng),然后將三角板繞著點(diǎn)N旋轉(zhuǎn),的兩邊分別與正方形的邊BC、
DC或其所在直線相交于點(diǎn)£、F,連接
(1)在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)/九0N的兩邊分別與正方形的邊C2、。。相交時(shí),如圖1所示,請(qǐng)直接寫
出線段8£、DF、M滿足的數(shù)量關(guān)系;
(2)在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)?shù)膬蛇叿謩e與正方形的邊CB、。。的延長(zhǎng)線相交時(shí),如圖2所示,
請(qǐng)直接寫出線段BE、DF、所滿足的數(shù)量關(guān)系;
(3)若正方形的邊長(zhǎng)為4,在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)/VPN的一邊恰好經(jīng)過(guò)3C邊的中點(diǎn)時(shí),試求線段昉
的長(zhǎng).
k;
D儼)力1^----\D
圖①圖②
4.(2022?全國(guó)?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))綜合與實(shí)踐
(1)如圖1,在正方形/BCD中,點(diǎn)M、N分別在CD上,若NMBN=45。,貝1JMV,AM,CN的數(shù)量
關(guān)系為
N
(2)如圖2,在四邊形48CZ)中,BC//AD,AB=BC,ZA+ZC=180°,點(diǎn)M、N分別在40、CD上,若
ZMBN=^ZABC,試探索線段AM.CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出猜想,并給予證明.
(3)如圖3,在四邊形A8C?中,AB=BC,N48C+/4DC=180。,點(diǎn)”、N分別在以、CD的延長(zhǎng)線上,
若/MBN^/ABC,試探究線段跖V、AM.CN的數(shù)量關(guān)系為.
5.(2022?江蘇?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))(1)如圖①,在四邊形A8CD中,AB=AD,NB==90。,E,F分別
是邊BC,CD上的點(diǎn),且4反1尸=亞34。.請(qǐng)直接寫出線段EF,BE,FD之間的數(shù)量關(guān)系:;
(2)如圖②,在四邊形A8CD中,48=AD,Z.B+^.D=180°,E,尸分別是邊BC,CD上的點(diǎn),且NE4F=^BAD,
Cl)中的結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)寫出證明過(guò)程;
(3)在四邊形4BCD中,AB=AD,48+40=180。,E,F分別是邊BC,CD所在直線上的點(diǎn),且NEHF=
請(qǐng)畫出圖形(除圖②外),并直接寫出線段EF,BE,FD之間的數(shù)量關(guān)系.
6.(2021?遼寧?沈陽(yáng)市南昌中學(xué)(含:西校區(qū)、光榮中學(xué))九年級(jí)階段練習(xí))如圖,菱形4BCD與菱形EBGF
的頂點(diǎn)2重合,頂點(diǎn)尸在射線/C上運(yùn)動(dòng),且NBCD=NBGF=120。,對(duì)角線/C、AD相交于點(diǎn)。.
(1)如圖1.當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)O重合時(shí),直接寫出我的值為;
(2)當(dāng)頂點(diǎn)下運(yùn)動(dòng)到如圖2的位置時(shí),連接CG,CG1BG,且CG=BC,試探究CG與。尸的數(shù)量關(guān)系,
說(shuō)明理由,并直接寫出直線CG與。下所夾銳角的度數(shù);
(3)如圖3,取點(diǎn)尸為的中點(diǎn),若8、E、P三點(diǎn)共線,且當(dāng)CF=2時(shí),請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng).
7.(2022?江蘇?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖,C4=C8,CA1CB,NECF=45。,CD=CF,乙ACD=^BCF.
(1)求N4CE+NBCF的度數(shù);
(2)以E為圓心,以力E長(zhǎng)為半徑作弧;以尸為圓心,以BF長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)G,試探索AEFG
的形狀?是銳角三形,直角三角形還是鈍角三角形?請(qǐng)說(shuō)明理由.
8.(2021?河南平頂山?九年級(jí)期中)(1)閱讀理解
如圖1,在正方形N5CN)中,若尸分別是CO,8c邊上的點(diǎn),ZEAF=45°,則我們常常會(huì)想到:把
繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,得到A/BG.易證出,得出線段3RDE,£尸之間的關(guān)系為;
(2)類比探究
如圖2,在等邊A/BC中,D,£為3C邊上的點(diǎn),NDAE=30。,BD=1,EC=2.求線段的長(zhǎng);
(3)拓展應(yīng)用
如圖3,在△4BC中,AB=AC=&+0,NR4c=150。,點(diǎn)。,E在邊上,/D4E=75。,若DE是等
腰△/£)£的腰,請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng).
D
9.(2022?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí))已知四邊形/BCD中,ABLAD,BCLCD,AB=BC,ZABC=nO°,NMBN
=60。,/MBN繞B點(diǎn)、旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交DC(或它們的延長(zhǎng)線)于E、F.
(1)當(dāng)/兒歸N繞3點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到N£=CF時(shí)(如圖1),試猜想4B,CF,E尸之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)將
三條線段分別填入后面橫線中:—+—=—.(不需證明)
(2)當(dāng)繞3點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到4E¥C尸(如圖2)時(shí),上述(1)中結(jié)論是否成立?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)當(dāng)繞8點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到/£力。尸(如圖3)時(shí),上述(1)中結(jié)論是否成立?若不成立,線段4B,CF,
£下又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫出你的猜想,不需證明.
10.(2022?江蘇?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖,在正方形N2C。中,點(diǎn)P在直線BC上,作射線/尸,將射線4P
繞點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。,得到射線/。,交直線CD于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)8作尸于點(diǎn)£,交/。于點(diǎn)尸,連接
DF.
(」)依題意補(bǔ)全圖形;
(2)用等式表示線段BE,EF,之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
11.(2022?全國(guó)?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))(1)如圖,在正方形A8CD中,E、F分另I」是BC,CD上的點(diǎn),且=45。.直
接寫出BE、DF、EF之間的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖,在四邊形4BCD中,AB=AD,NB=4。=90°,E、F分別是BC,CD上的點(diǎn),S.AEAF=^BAD,
(3)如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,乙B+AADC=180°,延長(zhǎng)BC至U點(diǎn)E,延長(zhǎng)CD至U點(diǎn)凡使得NE力F=
/皿則結(jié)論EF=BE+DF是否仍然成立?若成立,請(qǐng)證明;不成立,請(qǐng)寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明.
12.(2021?遼寧沈陽(yáng)?一模)(1)思維探究:
如圖1,點(diǎn)£,R分別在正方形的邊3C,CD上,且NENb=45。,連接£凡則三條線段昉,BE,
。產(chǎn)滿足的等量關(guān)系式是;小明的思路是:將尸繞點(diǎn)/順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。至A/BG的位置,并
說(shuō)明點(diǎn)G,B,E在同一條直線上,然后證明△/£/之—即可得證結(jié)論;(只需填空,無(wú)需證明)
(2)思維延伸:
如圖2,在△48C中,NBAC=90。,AB=AC,點(diǎn)、D,E均在邊2C上,點(diǎn)。在點(diǎn)E的左側(cè),且乙CUE=45。,
猜想三條線段BD,DE,EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)思維拓廣:
如圖3,在△/BC中,NBAC=60°,4B=4C=5,點(diǎn)D,E均在直線2C上,點(diǎn)。在點(diǎn)E的左側(cè),S.ZDAE
=30。,當(dāng)時(shí),請(qǐng)直接寫出線段CE的長(zhǎng).
13.(2021?河南安陽(yáng)?八年級(jí)期中)已知,正方形/BCD中,/MAN=45。,/M4N繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn),它的
兩邊分別交C3、DC(或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)/、N,4H_LMN于點(diǎn)、H.
(1)如圖①,當(dāng)繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)到時(shí),請(qǐng)你直接寫出與的數(shù)量關(guān)系:;
(2)如圖②,當(dāng)NK4N繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)到8A#r)N時(shí),(1)中發(fā)現(xiàn)的N"與N5的數(shù)量關(guān)系還成立嗎?如果不
成立請(qǐng)寫出理由,如果成立請(qǐng)證明;
(3)如圖③,己知/M4N=45。,AHLMN于點(diǎn)、H,且Affi=2,NH=3,求/〃的長(zhǎng).(可利用(2)得到的結(jié)
論)
14.(2020?四川成都?八年級(jí)期末)已知,APOQ=90°,分別在邊。P,OQ上取點(diǎn)4B,使04=OB,過(guò)點(diǎn)4
平行于0Q的直線與過(guò)點(diǎn)B平行于0P的直線相交于點(diǎn)C.點(diǎn)E,F分別是射線。P,OQ上動(dòng)點(diǎn),連接CE,CF,EF.
(1)求證:。4=。8=HC=BC;
(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E,F分別在線段40,B。上,且NECF=45。時(shí),請(qǐng)求出線段EF,AE,BF之間的等量關(guān)
系式;
(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E,F分別在40,8。的延長(zhǎng)線上,且NECF=135。時(shí),延長(zhǎng)力C交EF于點(diǎn)M,延長(zhǎng)BC交EF
于點(diǎn)N.請(qǐng)猜想線段EN,NM,FM之間的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
p
15.(2020?江西育華學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí))問題背景:如圖1,在四邊形力BCD中,/BAD=90°,乙BCD=90°,
BA=BC,^ABC=120°,Z.MBN=60°,乙MBN繞2點(diǎn)旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交4。、DC于E、F.探究圖中
線段力E,CF,EF之間的數(shù)量關(guān)系.小李同學(xué)探究此問題的方法是:延長(zhǎng)”到G,使CG=4E,連接BG,先證
明ABCG三ZiBHE,再證明ABGFmABEF,可得出結(jié)論,他的結(jié)論就是;
探究延伸:如圖2,在四邊形力BCD中,BA=BC,ABAD+^BCD=180°,乙ABC=2乙MBN,乙MBN繞B
點(diǎn)旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交AD、DC于E、F.上述結(jié)論是否仍然成立?并說(shuō)明理由.
實(shí)際應(yīng)用:如圖3,在某次軍事演習(xí)中,艦艇甲在指揮中心(。處)北偏西30。的4處艦艇乙在指揮中心南
偏東70。的B處,并且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動(dòng)指令后,艦艇甲向正東方向以75海里/小時(shí)的
速度前進(jìn),同時(shí)艦艇乙沿北偏東50。的方向以100海里/小時(shí)的速度前進(jìn),1.2小時(shí)后,指揮中心觀測(cè)到甲、
乙兩艦艇分別到達(dá)£、尸處,且指揮中心觀測(cè)兩艦艇視線之間的夾角為70。,試求此時(shí)兩艦艇之間的距離.
圖1圖2圖3
16.(2022?全國(guó)?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖,△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,△BDC是頂角為120。的等腰三
角形,以點(diǎn)。為頂點(diǎn)作AMDN=60。,點(diǎn)M、N分別在4B、AC±.
Cl)如圖①,當(dāng)MN〃BC時(shí),則AAMN的周長(zhǎng)為;
(2)如圖②,求證:BM+NC=MN.
A
N
MM
B,cBC
DD
圖①圖②
17.(2022?全國(guó)?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖,在四邊形4BCD中,NB=AD=90。,E,F分別是BC,CD上的點(diǎn),
連接4E,AF,EF.
(1)如圖①,AB=AD,ABAD=120°,
圖②
(2)如圖②,^BAD=120°,當(dāng)AAEF周長(zhǎng)最小時(shí),求N4EF+N力FE的度數(shù);
(3)如圖③,若四邊形力BCD為正方形,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,且NEAF=45。,若BE=3,DF=2,
請(qǐng)求出線段EF的長(zhǎng)度.
18.(2022?江蘇?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))(1)如圖1,在四邊形48CD中,AB=AD,ZBAD^100°,ZB=ZADC
=90°.E,歹分別是8C,CD上的點(diǎn).且/=50。.探究圖中線段£尸,BE,ED之間的數(shù)量關(guān)系.
小明同學(xué)探究的方法是:延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連接NG,先證明再證明
AAEF^^AGF,可得出結(jié)論,他的結(jié)論是(直接寫結(jié)論,不需證明);
(2)如圖2,若在四邊形/BCD中,AB=AD,Z5+Z£>=180°,E,歹分別是BC,CD上的點(diǎn),S.2ZEAF
=/B4D,上述結(jié)論是否仍然成立,若成立,請(qǐng)證明,若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)如圖3,四邊形/BCD是邊長(zhǎng)為7的正方形,/EBF=45°,直接寫出△DM的周長(zhǎng).
19.(2022?全國(guó)?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖,正方形/BCD中,E、尸分別在邊3C、CD上,且/瓦4尸=45。,
連接昉,這種模型屬于“半角模型”中的一類,在解決“半角模型”問題時(shí),旋轉(zhuǎn)是一種常用的分析思路.例
如圖中p與△48G可以看作繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)90。的關(guān)系.這可以證明結(jié)論尸,,請(qǐng)補(bǔ)充輔助線的
,連接NG;
(2)證明:EF=BE+DF
20.(2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))如圖1,在菱形N5C。中,/C=2,BD=2?AC,3。相交于點(diǎn)。
⑴求邊AB的長(zhǎng);
(2)求NR4c的度數(shù);
(3)如圖2,將一個(gè)足夠大的直角三角板60。角的頂點(diǎn)放在菱形/BCD的頂點(diǎn)/處,繞點(diǎn)/左右旋轉(zhuǎn),其中三
角板60。角的兩邊分別與邊8C,CD相交于點(diǎn)£,F,連接跖.判斷△/燈,是哪一種特殊三角形,并說(shuō)明理
由.
21.(2020?重慶江津?八年級(jí)期中)(1)如圖1,在正方形IB。中,E是上一點(diǎn),G是/。上一點(diǎn),NECG=45。,
求證EG=BE+GD.
圖1圖2
(2)請(qǐng)用(1)的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)完成此題:如圖2,在四邊形48CD中,AGHBC(BOAG),ZS=90°,AB=BC=12,
£是46上一點(diǎn),且N£CG=45。,BE=4,求EG的長(zhǎng)?
22.(2022?江蘇?八年級(jí)專題練習(xí))(2020?錦州模擬)問題情境:已知,在等邊△/8C中,/BAC與/ACB
的角平分線交于點(diǎn)。,點(diǎn)M、N分別在直線ZC,48上,且/M
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