2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-對點練17 函數(shù)模型及其應(yīng)用【含答案】

對點練17函數(shù)模型及其應(yīng)用【A級基礎(chǔ)鞏固】1.(2024·綿陽診斷)某檢測分析是用熒光定量PCR法，通過化學(xué)物質(zhì)的熒光信號，對在PCR擴(kuò)增進(jìn)程中指數(shù)級增加的靶標(biāo)DNA實時監(jiān)測，在PCR擴(kuò)增時期，熒光信號強(qiáng)度達(dá)到閾值時，DNA的數(shù)量X與擴(kuò)增次數(shù)n滿足lgX＝nlg(1＋p)＋lgX0，其中X0為DNA的初始數(shù)量，p為擴(kuò)增效率.已知某被測標(biāo)本DNA擴(kuò)增12次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?000倍，則擴(kuò)增效率p約為(參考數(shù)據(jù)：100.25≈1.778，10－0.25≈0.562)()A.22.2% B.43.8%C.56.2% D.77.8%2.在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)，現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個函數(shù)中的一個近似表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是()x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A.y＝2x－2 B.y＝eq\f(1,2)(x2－1)C.y＝log2x D.y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x3.(2024·煙臺調(diào)研)海水中的光照強(qiáng)度隨著深度增加而減弱，可用ID＝I0e－KD表示其總衰減規(guī)律，其中K是平均消光系數(shù)(也稱衰減系數(shù))，D(單位：米)是海水深度，ID(單位：坎德拉)和I0(單位：坎德拉)分別表示在深度D處和海面的光強(qiáng).已知某海區(qū)10米深處的光強(qiáng)是海面光強(qiáng)的30%，則該海區(qū)消光系數(shù)K的值約為(參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6)()A.0.12 B.0.11C.0.07 D.0.014.(2024·合肥聯(lián)考)一般地，聲音大小用聲強(qiáng)級LI(單位：dB)表示，其計算公式為：LI＝10lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I,10－12)))，其中I為聲強(qiáng)，單位：W/m2，若某種物體發(fā)出的聲強(qiáng)為5－10W/m2，其聲強(qiáng)級約為(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30)()A.50dB B.55dBC.60dB D.70dB5.(2024·深圳質(zhì)檢)某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來的發(fā)展機(jī)遇，開發(fā)生產(chǎn)一智能產(chǎn)品，該產(chǎn)品每年的固定成本是25萬元，每生產(chǎn)x萬件該產(chǎn)品，需另投入成本ω(x)萬元，其中ω(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋10x，0<x≤40，,71x＋\f(10000,x)－945，x>40.))若該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品全部售完，每件的售價為70元，則該企業(yè)每年利潤的最大值為()A.720萬元 B.800萬元C.875萬元 D.900萬元6.(多選)甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一座公園，甲同學(xué)家到公園的距離與乙同學(xué)家到公園的距離都是2km.如圖所示表示甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家經(jīng)過的路程y(km)與時間x(min)的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是()A.甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家走了60minB.甲從家到公園的時間是30minC.甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度快D.當(dāng)0≤x≤30時，y與x的關(guān)系式為y＝eq\f(1,15)x7.(多選)(2024·河北部分學(xué)校聯(lián)考)某大型商場開業(yè)期間為吸引顧客，推出“單次消費滿100元可參加抽獎”的活動，獎品為本商場現(xiàn)金購物卡，可用于以后在該商場消費.已知抽獎結(jié)果共分5個等級，等級x與購物卡的面值y(元)的關(guān)系式為y＝eax＋b＋k，三等獎比四等獎的面值多100元，比五等獎的面值多120元，且四等獎的面值是五等獎的面值的3倍，則()A.a＝－ln5 B.k＝15C.一等獎的面值為3130元 D.三等獎的面值為130元8.當(dāng)生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.當(dāng)死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一時，用一般的放射性探測器就測不到了.若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測器探測不到，則它至少要經(jīng)過________個“半衰期”.9.里氏震級M的計算公式為：M＝lgA－lgA0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅.假設(shè)在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000，此時標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為________級；9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的________倍.10.“百日沖刺”是各個學(xué)校針對高三學(xué)生進(jìn)行的高考前的激情教育，它能在短時間內(nèi)最大限度地激發(fā)一個人的潛能，使成績在原來的基礎(chǔ)上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人滿意的成績，特別對于成績在中等偏下的學(xué)生來講，其增加分?jǐn)?shù)的空間尤其大.現(xiàn)有某班主任老師根據(jù)歷年成績在中等偏下的學(xué)生經(jīng)歷“百日沖刺”之后的成績變化，構(gòu)造了一個經(jīng)過時間t(30≤t≤100)(單位：天)，增加總分?jǐn)?shù)f(t)(單位：分)的函數(shù)模型：f(t)＝eq\f(kP,1＋lg（t＋1）)，k為增分轉(zhuǎn)化系數(shù)，P為“百日沖刺”前的最后一次模考總分，且f(60)＝eq\f(1,6)P.現(xiàn)有某學(xué)生在高考前100天的最后一次模考總分為400分，依據(jù)此模型估計此學(xué)生在高考中可能取得的總分約為________.(保留到個位)(lg61≈1.79)11.某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達(dá)到了危險狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復(fù)正常.排氣4分鐘后測得車庫內(nèi)的一氧化碳濃度為64ppm，繼續(xù)排氣4分鐘后又測得濃度為32ppm.由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度y(ppm)與排氣時間t(分鐘)之間存在函數(shù)關(guān)系y＝ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(mt)(c，m為常數(shù)).(1)求c，m的值；(2)若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm為正常，問至少排氣多少分鐘，這個地下車庫中的一氧化碳含量才能達(dá)到正常狀態(tài)？12.“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點.研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度v(單位：千克/年)是養(yǎng)殖密度x(單位：尾/立方米)的函數(shù).當(dāng)x不超過4尾/立方米時，v的值為2千克/年；當(dāng)4<x≤20時，v是x的一次函數(shù)，當(dāng)x達(dá)到20尾/立方米時，因缺氧等原因，v的值為0千克/年.(1)當(dāng)0<x≤20時，求v關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)養(yǎng)殖密度x為多大時，魚的年生長量(單位：千克/立方米)可以達(dá)到最大？并求出最大值.【B級能力提升】13.(2023·紹興二模)某鄉(xiāng)村要修建一條100米長的水渠，水渠的過水橫斷面為底角為120°的等腰梯形(如圖)，水渠底面與側(cè)面的修建造價均為每平方米100元，為了提高水渠的過水率，要使過水橫斷面的面積盡可能大，現(xiàn)有資金3萬元，當(dāng)過水橫斷面面積最大時，水渠的深度(即梯形的高)約為(參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.732)()A.0.58米 B.0.87米C.1.17米 D.1.73米14.某共享單車公司計劃在甲、乙兩座城市共投資240萬元.根據(jù)行業(yè)規(guī)定，每個城市至少要投資80萬元，由前期市場調(diào)研可知：甲城市收益P與投入a(單位：萬元)滿足P＝4eq\r(2a)－6，乙城市收益Q與投入a(單位：萬元)滿足Q＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a＋2，80≤a≤120，,32，120<a≤160，))設(shè)甲城市的投入為x(單位：萬元)，兩個城市的總收益為f(x)(單位：萬元).(1)當(dāng)投資甲城市128萬元時，求此時公司的總收益；(2)試問：如何安排甲、乙兩個城市的投資，才能使公司總收益最大？對點練17函數(shù)模型及其應(yīng)用答案1．D[由題意知，lg(1000X0)＝12lg(1＋p)＋lgX0，即lg103＋lgX0＝12lg(1＋p)＋lgX0，即3＋lgX0＝12lg(1＋p)＋lgX0，所以1＋p＝100.25≈1.778，解得p≈0.778＝77.8%.故選D.]2．B[由題中表格可知函數(shù)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且y的變化隨x的增大而增大得越來越快，分析選項可知B符合，故選B.]3．A[由題意得，30%I0＝I0e－10K，即30%＝e－10K，兩邊取自然對數(shù)得，－10K＝ln3－ln10＝ln3－ln2－ln5，所以K＝eq\f(ln2＋ln5－ln3,10)≈eq\f(0.7＋1.6－1.1,10)＝0.12.故選A.]4．A[由已知得LI＝10lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5－10,10－12)))＝10×(12－10lg5)＝10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12－10lg\f(10,2)))＝10×(2＋10lg2)≈10×(2＋10×0.30)＝50(dB)．故選A.]5．C[該企業(yè)每年利潤f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(70x－（x2＋10x＋25），0<x≤40，,70x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(71x＋\f(10000,x)－945＋25))，x>40，))當(dāng)0<x≤40時，f(x)＝－x2＋60x－25＝－(x－30)2＋875，當(dāng)x＝30時，f(x)取得最大值875；當(dāng)x>40時，f(x)＝920－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(10000,x)))≤920－2eq\r(x·\f(10000,x))＝720(當(dāng)且僅當(dāng)x＝100時，等號成立)，即當(dāng)x＝100時，f(x)取得最大值720.由于875>720，所以該企業(yè)每年利潤最大值為875萬元．故選C.]6．BD[在A中，甲在公園休息的時間是10min，所以只走了50min，A錯誤；由題中圖象知，B正確；甲從家到公園所用的時間比從公園到乙同學(xué)家所用的時間長，而距離相等，所以甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度慢，C錯誤；當(dāng)0≤x≤30時，設(shè)y＝kx(k≠0)，則2＝30k，解得k＝eq\f(1,15)，D正確．]7．ACD[由題意可知，四等獎比五等獎的面值多20元，所以eq\f(（e3a＋b＋k）－（e4a＋b＋k）,（e4a＋b＋k）－（e5a＋b＋k）)＝e－a＝eq\f(100,20)＝5，則a＝－ln5，故A正確；由(e3a＋b＋k)－(e4a＋b＋k)＝e3a＋b(1－ea)＝100，可知e3a＋b＝125.因為四等獎的面值是五等獎的面值的3倍，所以e4a＋b＋k＝3(e5a＋b＋k)，解得k＝5，故B錯誤；三等獎的面值為e3a＋b＋k＝125＋5＝130(元)，故D正確；由ea＋b＋k＝e3a＋b·e－2a＋k＝125×25＋5＝3130，故一等獎的面值為3130元，故C正確．]8．10[設(shè)該死亡生物體內(nèi)原有的碳14的含量為1，則經(jīng)過n個“半衰期”后的含量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)＜eq\f(1,1000)，得n≥10.所以，若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測器探測不到，則它至少需要經(jīng)過10個“半衰期”．]9．610000[M＝lg1000－lg0.001＝3－(－3)＝6.設(shè)9級地震的最大振幅和5級地震的最大振幅分別為A1，A2，則9＝lgA1－lgA0＝lgeq\f(A1,A0)，則eq\f(A1,A0)＝109，5＝lgA2－lgA0＝lgeq\f(A2,A0)，則eq\f(A2,A0)＝105，所以eq\f(A1,A2)＝104，即9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的10000倍．]10．462[由題意得，f(60)＝eq\f(kP,1＋lg61)≈eq\f(kP,2.79)＝eq\f(1,6)P，∴k＝eq\f(2.79,6)＝0.465，∴f(100)＝eq\f(0.465×400,1＋lg101)＝eq\f(186,1＋lg100＋lg1.01)≈eq\f(186,3)＝62，∴該學(xué)生在高考中可能取得的總分約為400＋62＝462.]11．解(1)由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(64＝c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(4m)，,32＝c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(8m)，))兩式相除，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝128，,m＝\f(1,4).))(2)由題意可得128eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,4)t)≤0.5，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,4)t)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(8)，即eq\f(1,4)t≥8，解得t≥32.故至少排氣32分鐘，這個地下車庫中的一氧化碳含量才能達(dá)到正常狀態(tài)．12．解(1)由題意得，當(dāng)0<x≤4時，v＝2；當(dāng)4<x≤20時，設(shè)v＝ax＋b(a≠0)，顯然v＝ax＋b在(4，20]內(nèi)單調(diào)遞減，由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20a＋b＝0，,4a＋b＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,8)，,b＝\f(5,2).))所以v＝－eq\f(1,8)x＋eq\f(5,2).故函數(shù)v＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，0<x≤4，x∈N*，,－\f(1,8)x＋\f(5,2)，4<x≤20，x∈N*.))(2)設(shè)年生長量為f(x)千克/立方米，依題意并由(1)可得f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，0<x≤4，x∈N*，,－\f(1,8)x2＋\f(5,2)x，4<x≤20，x∈N*，))當(dāng)0<x≤4時，f(x)單調(diào)遞增，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；當(dāng)4<x≤20時，f(x)＝－eq\f(1,8)x2＋eq\f(5,2)x＝－eq\f(1,8)(x2－20x)＝－eq\f(1,8)(x－10)2＋eq\f(25,2)，f(x)max＝f(10)＝12.5.所以當(dāng)0<x≤20時，f(x)的最大值為12.5.即當(dāng)養(yǎng)殖密度為10尾/立方米時，魚的年生長量可以達(dá)到最大，最大值為12.5千克/立方米．13．B[如圖，設(shè)過水橫斷面為等腰梯形ABCD，過點B作BE⊥CD于點E，∠BAD＝∠ABC＝120°，要使過水橫斷面面積最大，則此時資金3萬元都用完，則100×(AB＋BC＋AD)×100＝30000，解得AB＋BC＋AD＝3米．設(shè)BC＝x，則AB＝3－2x，BE＝eq\f(\r(3),2)x，CE＝eq\f(1,2)x，CD＝3－x，且0<x<eq\f(3,2)，則梯形ABCD的面積S＝eq\f(（3－2x＋3－x）×\f(\r(3)