圓錐曲線的方程（一）講義-2025屆高三數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)（含答案）

2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復(fù)習(xí)）課時一知識點一求橢圓中的最值問題典例1、如圖，橢圓的左、右焦點為，過的直線與橢圓相交于、兩點.（1）若，且求橢圓的離心率.（2）若，求的最大值和最小值.

隨堂練習(xí)：已知橢圓的左、右焦點分別為，橢圓E的離心率為，且通徑長為1．（1）求E的方程；（2）直線l與E交于M，N兩點（M，N在x軸的同側(cè)），當(dāng)時，求四邊形面積的最大值．典例2、已知焦點在x軸的橢圓C：離心率e=，A是左頂點，E（2，0）（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）若斜率不為0的直線l過點E，且與橢圓C相交于點P，Q兩點，求三角形APQ面積的最大值隨堂練習(xí)：已知橢圓的中心在原點，焦點，且經(jīng)過點．（1）求橢圓的方程；（2）若橢圓上有一點P，另一焦點，求的面積的最大值．典例3、橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，過的長軸，短軸端點的一條直線方程是.（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線交橢圓于，兩點，若點關(guān)于軸的對稱點為，證明直線過定點.隨堂練習(xí)：已知橢圓經(jīng)過點和點．（1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；（2）若、為橢圓上異于點的兩點，且點在以為直徑的圓上，求證：直線恒過定點．知識點二求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題,根據(jù)韋達定理求參數(shù)典例4、已知雙曲線的左、右焦點分別為、，雙曲線的右頂點在圓上，且．（1）求雙曲線的方程；（2）動直線與雙曲線恰有1個公共點，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點、，設(shè)為坐標(biāo)原點．求證：的面積為定值．

隨堂練習(xí)：已知雙曲線C：的離心率為，焦點到其漸近線的距離為1．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線l：與雙曲線C交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，直線OA，OB的斜率之積為，求△OAB的面積．典例5、已知雙曲線W：的左、右焦點分別為、，點，右頂點是M，且，．（1）求雙曲線的方程；（2）過點的直線l交雙曲線W的右支于A、B兩個不同的點（B在A、Q之間），若點在以線段AB為直徑的圓的外部，試求△AQH與△BQH面積之比λ的取值范圍．

隨堂練習(xí)：在一張紙上有一圓：，定點，折疊紙片使圓C上某一點恰好與點M重合，這樣每次折疊都會留下一條直線折痕PQ，設(shè)折痕PQ與直線的交點為T.（1）求證：為定值，并求出點的軌跡方程；（2）曲線上一點P，點A?B分別為直線：在第一象限上的點與：在第四象限上的點，若，，求面積的取值范圍.典例6、已知雙曲線與雙曲線的漸近線相同，且經(jīng)過點．（1）求雙曲線的方程；（2）已知雙曲線的左右焦點分別為，，直線經(jīng)過，斜率為，與雙曲線交于A，兩點，求的值．

隨堂練習(xí)：已知雙曲線C的漸近線方程為，右焦點到漸近線的距離為.（1）求雙曲線C的方程；（2）過F作斜率為k的直線交雙曲線于A、B兩點，線段AB的中垂線交x軸于D，求證：為定值.2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復(fù)習(xí)）課時一答案典例1、答案：（1）；（2）最大值；最小值.解:（1），因為。所以，所以，所以（2）由于，得，則.①若垂直于軸，則，所以，所以②若與軸不垂直，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為由得，方程有兩個不等的實數(shù)根.設(shè)，.,=，所以當(dāng)直線垂于軸時，取得最大值當(dāng)直線與軸重合時，取得最小值隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）2.解:（1）依題意可知，解得故橢圓的方程為．（2）延長交E于點，由（1）可知，設(shè)，設(shè)的方程為，由得，故．設(shè)與的距離為d，則四邊形的面積為S，，又因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故四邊形面積的最大值為2．典例2、答案：（1）（2）解:（1）∵∴，a=4，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)直線l的方程為x=my+2，代入橢圓方程得，設(shè)P，Q，則∴三角形APQ面積為：，令∵函數(shù)y=x+在上單調(diào)遞增∴當(dāng)u=，即m=0時，三角形APQ的面積取最大值.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）解：（1）因為橢圓的焦點為且過，所以所以，，所以橢圓方程為：；（2）因為，因為，所以，此時P點位于短軸端點處典例3、答案：（1）；（2）見解析解:（1）對于，當(dāng)時，，即，當(dāng)，，即，橢圓的方程為，（2）證明：設(shè)直線，（），設(shè)，兩點的坐標(biāo)分別為，，則，聯(lián)立直線與橢圓得，得，，解得，，，直線，令，得，直線過定點隨堂練習(xí)：答案：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率為（2）證明見解析解：（1）將點、的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，解得，則，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率為.（2）分以下兩種情況討論：①當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立可得，可得，由韋達定理可得，，，同理可得，由已知，則，所以，，即，解得或.當(dāng)時，直線的方程為，此時直線過點，不合乎題意；當(dāng)時，直線的方程為，此時直線過定點，合乎題意；②當(dāng)直線軸，則點、關(guān)于軸對稱，所以，，，即點，由已知可得，，，由已知，則，所以，，因為，解得，此時直線的方程為，則直線過點.綜上所述，直線過定點.典例4、答案：（1）（2）證明見解析解：（1）不妨設(shè),因為,從而故由,又因為,所以,

又因為在圓上,所以

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）設(shè)直線與軸交于點，雙曲線的漸近線方程為由于動直線與雙曲線恰有1個公共點,且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點,當(dāng)動直線的斜率不存在時,,，,當(dāng)動直線的斜率存在時,且斜率,不妨設(shè)直線,故由

依題意，且,化簡得,

故由,同理可求,,

所以又因為原點到直線的距離,

所以,又由所以,

故的面積是為定值,定值為隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）解：（1）雙曲線C：的焦點坐標(biāo)為，其漸近線方程為，所以焦點到其漸近線的距離為．因為雙曲線C的離心率為，所以，解得，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，聯(lián)立，得，，所以，．由，解得t＝1（負值舍去），所以，．直線l：，所以原點O到直線l的距離為，，所以△OAB的面積為．典例5、答案：（1）；（2）.解:（1）由已知，，，，∵，則，∴，∴，解得，，∴雙曲線的方程為．（2）直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l:，設(shè)、，由，得，則，解得①，∵點在以線段AB為直徑的圓的外部，則，，解得②，由①、②得實數(shù)k的范圍是.由已知，∵B在A、Q之間，則，且，∴，則，∴，則，∵，∴，解得，又，∴．故λ的取值范圍是．隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析，（2）解：（1）證明：如圖，由點與關(guān)于對稱，則，，故為定值.由，由雙曲線定義知，點的軌跡為以為焦點，實軸長為8的雙曲線，設(shè)雙曲線方程為，，所以雙曲線方程為；（2）由題意知，分別為雙曲線的漸近線設(shè)，由，設(shè).，由于P點在雙曲線上又同理，設(shè)的傾斜角為，則.由函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，；當(dāng)時，；.典例6、答案：（1）（2）6解：（1）設(shè)所求雙曲線方程為，代入點得：，即，雙曲線方程為，即；（2）由（1）知：，，即直線