江蘇省南通市海安市2023-2024學年高三上學期期初學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題（解析版）

2024屆高三期初學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試卷數(shù)學09.04注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1.本試卷共4頁，滿分150分，考試時間為120分鐘.考試結(jié)束后，請將答題卷交回.2.答題前，請您務必將自己的姓名、準考證號、座位號用0.5毫米黑色字跡簽字筆填寫在答題卷上.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、考試證號與你本人的是否相符.4.作答選擇題必須用2B鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案.作答非選擇題必須用書寫黑色字跡的0.5毫米的簽字筆寫在答題卷上的指定位置，在其它位置作答一律無效.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設全集，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合的并集與補集運算計算即可【詳解】由題意得：，所以.故選：D.2.設，則的共軛復數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)除法運算法則以及共軛復數(shù)的概念直接計算即可.【詳解】由題意得，，所以.故選：A3.已知，，，則（）A.5 B.6 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.【詳解】由于，∴，故選：B.4.已知聲強級（單位：分貝），其中常數(shù)是能夠引起聽覺的最弱的聲強，是實際聲強.當聲強級降低1分貝時，實際聲強是原來的（）A.倍 B.倍 C.倍 D.倍【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題干列式，再應用對數(shù)運算律計算即可.【詳解】，則，所以，∴.故選：D.5.為了得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象（）A.向左平移1個單位長度 B.向左平移個單位長度C.向右平移1個單位長度 D.向右平移個單位長度【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平移“左加右減”準則，即可求解．【詳解】解：，把函數(shù)的圖形向左平移個單位可得到函數(shù)．故選：B．6.設函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】在單調(diào)遞增，故在單調(diào)遞減，則，又∵在恒成立，則，故，∴，故選：D.7.設，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判斷，然后利用構造函數(shù)法，結(jié)合導數(shù)判斷出正確答案.【詳解】，，所以，設，所以在上單調(diào)遞減，所以，，所以，所以.故選：C8.已知某圓柱的上、下底面圓周分別在同一圓錐的側(cè)面和底面上，則圓柱與圓錐的體積比的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)幾何特征及柱錐體積公式列出體積比，再利用導數(shù)研究函數(shù)的最值計算即可.【詳解】如圖，設，圓柱半徑，圓柱的高為，圓錐的半徑為.則，令，，令，所以，令，令，所以上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，，故選：C.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)及指對函數(shù)的性質(zhì)一一判定即可.【詳解】對于A，，∴，A錯.對于B，由定義域上單調(diào)遞增得，B對.對于C，當，時，，，此時，C錯對于D，，則，在定義域上單調(diào)遞增，∴，D對.故選：BD.10.下列區(qū)間上，函數(shù)有零點的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)零點存在性定理計算函數(shù)值即可求解.【詳解】時，，，,∴在有零點，C正確.，所以，在連續(xù)則在有零點，D正確.時，時，由于當時，所以在單調(diào)遞減，故，而當時，，所以無實數(shù)根，故在無零點.B錯誤，，，∴，∴在有零點，A正確，故選：ACD.11.已知函數(shù)的定義域為，則為奇函數(shù)的必要不充分條件是（）A. B.為奇函數(shù)C.存在無數(shù)個， D.為偶函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)結(jié)合奇偶性判斷各個選項即可.【詳解】不能得到為奇函數(shù)，為奇函數(shù)一定有，∴是為奇函數(shù)的必要不充分條件，A對.，，既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，則，∴則為奇函數(shù)，充要條件，B不選.有無數(shù)個，不一定有為奇函數(shù)，不充分，為奇函數(shù)一定有無數(shù)個，必要，C選.為偶函數(shù)，，∴，∴，∴為奇函數(shù)，充分，D不選.故選：AC.12.已知定義在上的函數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.若，則D.若對任意的實數(shù)，，則是單調(diào)增函數(shù)【答案】BCD【解析】【分析】利用賦值法即可判斷AB，結(jié)合基本不等式即可判斷C，由單調(diào)性的定義即可判斷D.【詳解】時，，∴或，A錯.取，，B對.，由B知：所以，C對.由可知：當時，，此時，∴，故對任意的有，所以不存在使，故對，，當時，，故，∴在上單調(diào)遞增，D對.故選：BCD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.設命題：，.寫出一個實數(shù)___________，使得為真命題.【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】根據(jù)命題為真求參即可.【詳解】若正確，時,有解，

時,則或，所以，綜上，真，則，即中任取一個值都可以.故答案為：(答案不唯一)14.某單位建造一個長方體無蓋水池，其容積為，深3m.若池底每平米的造價為150元，池壁每平米的造價為120元，則最低總造價為__________元.【答案】8160【解析】【分析】利用基本不等式計算即可.【詳解】設長，寬，∴，∴，總造價.當且僅當時取得等號.故答案為：816015.已知定義在上的函數(shù)同時滿足下列三個條件：①為奇函數(shù)；②當時，，③當時，.則函數(shù)的零點的個數(shù)為__________.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性及分段函數(shù)解析式畫圖象數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】，則，，在上為負，遞減；在為正，遞增，，，，作出在的圖象.時，，向上平移2個單位；時，，再向上平移2個單位，，.縱軸右邊圖象與左邊圖形關于原點對稱，由圖可知函數(shù)的圖象在縱軸右邊上有4個交點，在縱軸左邊上有1個交點點，∴共有5個零點.故答案為：5.16.若函數(shù)，存在最值，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】##【解析】【分析】利用一次函數(shù)的性質(zhì)分類討論去絕對值符號，分析即可.【詳解】①當時，，，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞減，此時無最值；②當時，，則易知有最小值-3.③當時，，，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增，即有最小值，則，∴，綜上：.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，點滿足，點為棱與平面的交點.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）過作交于點，連接，通過證明四點共面即可求解；（2）以為原點建立坐標系，利用空間向量法求解即可.【小問1詳解】過作交于點，連接，因為為正方形，所以，所以四點共面，即平面延伸至平面，所以即為棱與平面的交點，所以.【小問2詳解】因為平面，且為正方形，所以兩兩垂直，以為原點建立如圖所示坐標系，所以由題意可知，，，因為點滿足且，所以，，所以，，，設平面的法向量，則，令可得平面的一個法向量為，設與平面所成角為，.18.記的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且.點在上，且為的平分線，.（1）若，求；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等面積法可得出，利用三角形的面積公式以及可求得、的值，再利用余弦定理可求得的值；（2）利用角平分線定理可得出，，在、分別利用余弦定理可得出關于、的方程組，解出的值，再利用三角形的面積公式可求得的面積.【小問1詳解】解：因為，為的平分線，，，則，即，則，所以，，解得，由余弦定理可得.【小問2詳解】解：因為為的平分線，則，又因為，則，，因為，則，在中，由余弦定理可得，即，①在中，由余弦定理可得，即，②，聯(lián)立①②可得，因此，.19.如圖，一個各項均為正數(shù)的數(shù)表中，每一行從左至右均是等差數(shù)列，每一列從上至下均是等比數(shù)列，且公比相等，記第行第列的數(shù)為.1…620…（1）求；（2）記，求數(shù)列的前項的和.【答案】（1）56（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)表格提供數(shù)據(jù)求得公差、公比，由此求得.（2）先求得，然后利用錯位相減求和法求得.小問1詳解】設第一行從左至右公差為，各側(cè)自上而下公比為，∴，∴.【小問2詳解】，∴①，②，①②得：，∴.20.現(xiàn)有甲、乙兩個盒子，甲盒中有3個紅球和1個白球，乙盒中有2個紅球和2個白球，所有的球除顏色外都相同.某人隨機選擇一個盒子，并從中隨機摸出2個球觀察顏色后放回，此過程為一次試驗.重復以上試驗，直到某次試驗中摸出2個紅球時，停止試驗.（1）求一次試驗中摸出2個紅球的概率；（2）在3次試驗后恰好停止試驗的條件下，求累計摸到2個紅球的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)全概率公式求得正確答案.（2）根據(jù)條件概型、獨立重復試驗等知識求得累計摸到2個紅球的概率.【小問1詳解】一次試驗摸出2個紅球的概率為.【小問2詳解】記在3次試驗后恰好停止試驗為事件，累計摸到2個紅球為事件，∴，，，∴21.在直角坐標系中，點到點的距離與到直線：的距離之比為，記動點的軌跡為.（1）求的方程；（2）過上兩點，作斜率均為的兩條直線，與的另兩個交點分別為，.若直線，的斜率分別為，，證明：為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）首先設點，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為的方程，即可求解；（2）利用點斜式方程設出直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系表示和的關系，再代入斜率公式，即可證明.小問1詳解】設，由題意可知，所以的方程為；【小問2詳解】設，，∴方程：代入橢圓方程，∴，∴，∴，∴，∴同理設，，∴，∴為定值.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.22.已知函數(shù).（1）若在處的切線在軸上的截距為，求；（2）若不是單調(diào)函數(shù)，證明：，且.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設出切點坐標，求得切線方程，根據(jù)切線的縱截距求得.（2）先由不是單調(diào)函數(shù)求得，然后結(jié)合導數(shù)以及零點存在性定理求得的最小值，證明