基于數(shù)學(xué)思想培養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)案例探究

摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)具體的數(shù)學(xué)知識，更要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。教師可以“數(shù)形結(jié)合”“類比”等數(shù)學(xué)思想為主線，通過對“函數(shù)的奇偶性”這一教學(xué)內(nèi)容進行內(nèi)容重構(gòu)，設(shè)計基于教材、課程標(biāo)準(zhǔn)和基本學(xué)情的單元教學(xué)案例。案例中所蘊含的數(shù)學(xué)思想與方法、所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、所構(gòu)建的數(shù)學(xué)知識體系，應(yīng)有利于進一步引導(dǎo)學(xué)生更加深入地理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的性質(zhì)。關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思想；單元教學(xué)；函數(shù)的奇偶性《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標(biāo)》）指出“高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實立德樹人根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。”為了全面培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，落實立德樹人的根本任務(wù)，教師應(yīng)深入探究適合實際學(xué)情的教學(xué)模式，通過積極構(gòu)建符合《課標(biāo)》、教材要求的知識體系，編制合理的教學(xué)單元，設(shè)計符合學(xué)生認知水平發(fā)展的教學(xué)流程，來實現(xiàn)從傳統(tǒng)的“學(xué)科本位”到“學(xué)生本位”的跨越。《課標(biāo)》對于課程目標(biāo)明確提出要落實“四基”，提高“四能”，那么在單元教學(xué)中如何具體實施呢？本文以“函數(shù)的奇偶性”為例，探討以數(shù)學(xué)基本思想作為主線的單元教學(xué)設(shè)計。“函數(shù)的奇偶性”是《課標(biāo)》中必修課程的“主題二函數(shù)”的重要內(nèi)容，本研究以此內(nèi)容作為教學(xué)單元，將類比、數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般等數(shù)學(xué)思想作為主線進行單元整體設(shè)計，主要突出以下三個方面：一是調(diào)整教學(xué)順序，突出類比等思想。本案例將第1課時設(shè)計為“由偶函數(shù)的定義，探究得到偶函數(shù)的性質(zhì)及判定，再逐步深入到函數(shù)的軸對稱”等內(nèi)容，類比第1課時，在第2課時中研究奇函數(shù)的定義，再逐步深入到函數(shù)的中心對稱。這樣，將函數(shù)的奇偶性分開教學(xué)，提前滲透了函數(shù)的軸對稱和中心對稱等特殊的性質(zhì)，打破了教材中原有的知識體系，重新編制了符合學(xué)情的教學(xué)流程。二是強調(diào)數(shù)形結(jié)合在研究函數(shù)性質(zhì)時的重要作用。本案例通過讓學(xué)生直觀感受偶函數(shù)和奇函數(shù)的圖象及性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)具體函數(shù)的圖象總結(jié)并且歸納出函數(shù)的奇偶性的定義，將數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想貫穿整個教學(xué)過程，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。與此同時，在函數(shù)的奇偶性的教學(xué)中深化對函數(shù)單調(diào)性的理解，引導(dǎo)學(xué)生思考對稱性（軸對稱、中心對稱）與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，通過函數(shù)圖象的變化規(guī)律，總結(jié)函數(shù)的性質(zhì)。這不僅僅體現(xiàn)了知識之間的結(jié)構(gòu)性，更重要的是體現(xiàn)了不同內(nèi)容之間數(shù)學(xué)思想的一致性。一、單元教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)目標(biāo)分析函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最基本的數(shù)學(xué)語言和工具，其不僅刻畫了變量之間的依賴關(guān)系，也可以被理解為實數(shù)集合之間的對應(yīng)關(guān)系。函數(shù)的性質(zhì)表現(xiàn)為因變量隨自變量的變化而變化的規(guī)律性和變化中的不變性。具體來說，函數(shù)的單調(diào)性研究的是隨自變量的增大，因變量是增大還是減小的規(guī)律性，這是事物發(fā)展趨勢的一種數(shù)學(xué)表達；函數(shù)的奇偶性研究的是當(dāng)自變量互為相反數(shù)時，因變量的變化規(guī)律（相等還是互為相反數(shù)），這是事物對稱性的一種數(shù)學(xué)表達。奇偶性從“形”的角度，揭示了函數(shù)圖象整體的對稱性；從“數(shù)”的角度，刻畫了自變量與函數(shù)值之間一種特殊的數(shù)量關(guān)系。函數(shù)的奇偶性對于簡化函數(shù)圖象和性質(zhì)的研究過程具有事半功倍的作用。在解決函數(shù)問題的過程中，借助具體的函數(shù)圖象和函數(shù)性質(zhì)的研究，滲透用符號語言解釋直觀圖形、用圖形語言解釋符號語言的含義，蘊含著數(shù)形結(jié)合的思想。在解決函數(shù)性質(zhì)的具體問題中，通過邏輯推理、數(shù)學(xué)運算判斷代數(shù)式的大小關(guān)系或相等關(guān)系，蘊含著轉(zhuǎn)化與化歸等思想?！昂瘮?shù)的奇偶性”單元教學(xué)主要是通過探究函數(shù)的局部性質(zhì)，利用從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，延伸到函數(shù)的整體性質(zhì)，其設(shè)計是借助代數(shù)運算、圖象分析，對函數(shù)性質(zhì)做出精確表達，完成函數(shù)基本性質(zhì)符號化定義的抽象過程，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)概念與性質(zhì)奠定思想方法和能力的基礎(chǔ)?；谝陨蠈卧虒W(xué)內(nèi)容的分析，筆者設(shè)計單元（主題）的教學(xué)目標(biāo)為：（1）結(jié)合具體的函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義及相應(yīng)對稱性。（2）能夠運用代數(shù)運算、圖象分析的方法來研究函數(shù)的奇偶性、對稱性，建立不同函數(shù)圖象與代數(shù)特征之間的關(guān)聯(lián)，發(fā)現(xiàn)不同函數(shù)圖象之間共有的性質(zhì)。（3）能夠理解“符號化表達與幾何圖象相對應(yīng)”的本質(zhì)，體會“從特殊到一般”“數(shù)形結(jié)合”“類比”的數(shù)學(xué)思想，會用聯(lián)系的觀點學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，將新知識納入已有的知識體系中。（4）能夠在運用代數(shù)運算和圖象分析的過程中觀察到函數(shù)奇偶性的代數(shù)特征及相關(guān)性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上類比至函數(shù)奇偶性相關(guān)性質(zhì)的研究；在研究函數(shù)奇偶性相關(guān)性質(zhì)的過程中能夠運用特殊到一般、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法猜想函數(shù)奇偶性的相關(guān)性質(zhì)，并運用嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)語言表達關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的邏輯推理過程和結(jié)論，發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)表達能力。二、單元—課時教學(xué)內(nèi)容設(shè)計單元—課時教學(xué)內(nèi)容如圖1所示，下面以第1課時為例，具體闡述單元視角下的課時設(shè)計。課時教學(xué)目標(biāo)：通過對不同函數(shù)由“形”到“數(shù)”的探究，得到偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱的代數(shù)特征，理解偶函數(shù)的圖象特征和形式化定義，建構(gòu)偶函數(shù)的概念；通過對復(fù)雜情境中函數(shù)對稱性的符號語言表達，經(jīng)歷從具體到抽象的研究過程，借助圖形性質(zhì)探索數(shù)學(xué)規(guī)律，形成解決問題的思路；體會從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想在研究偶函數(shù)概念及對稱性過程中的意義，發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)表達能力。學(xué)情分析：初中階段，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了軸對稱圖形、中心對稱圖形以及相應(yīng)的性質(zhì)，對二次函數(shù)、反比例函數(shù)的對稱性也非常熟悉，能夠結(jié)合具體的函數(shù)圖象，用自然語言定性刻畫函數(shù)的單調(diào)性。高中階段，學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、函數(shù)的表示和函數(shù)的單調(diào)性，對自然語言、邏輯語言、邏輯推理有一定的體會，能理解函數(shù)單調(diào)性的符號化定義以及研究過程，這些知識和經(jīng)驗的積累為后續(xù)函數(shù)基本性質(zhì)的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。雖然學(xué)生通過函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)，具備了用數(shù)量關(guān)系刻畫函數(shù)圖象上升或下降趨勢的基本活動經(jīng)驗，但是關(guān)于對稱性的認識仍處于幾何直觀角度的描述階段。學(xué)生對從數(shù)量關(guān)系角度的刻畫函數(shù)對稱性比較陌生，多表現(xiàn)為面對函數(shù)問題時從“形”的角度進行直觀想象，缺乏從“數(shù)”的角度進行邏輯推理。另外，由于學(xué)生對函數(shù)定義中的符號語言比較陌生，抽象概括能力比較薄弱。為此，學(xué)生在抽象概括偶函數(shù)符號化語言方面存在困難。在教學(xué)中，教師一方面應(yīng)通過類比函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)，明確研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法；另一方面，應(yīng)通過探究活動再次經(jīng)歷從函數(shù)圖象的對稱到特殊（具體）點的對稱，再到任意點的對稱（函數(shù)圖象對稱），直至函數(shù)對稱性的代數(shù)表征的研究過程，使學(xué)生的認識在感性的基礎(chǔ)上，逐漸上升到理性層面?；谏鲜龇治霰菊n時教學(xué)難點：用對稱點坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系刻畫函數(shù)圖象對稱性的符號化表達。教學(xué)策略分析：結(jié)合課時的內(nèi)容特點和學(xué)情分析，可以采用問題鏈的教學(xué)模式，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理的核心素養(yǎng)為根本出發(fā)點，以數(shù)形結(jié)合的思想方法直觀想象偶函數(shù)的對稱性；通過數(shù)學(xué)運算刻畫函數(shù)圖象對稱，體會從特殊到一般、從具體到抽象在解決數(shù)學(xué)問題過程中的一般性和有效性的研究方法；由淺入深，逐層遞進，給學(xué)生提供比較、分析、歸納、總結(jié)的機會，幫助學(xué)生在解題和反思中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用。三、教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計與實施本節(jié)課，筆者設(shè)計了五個教學(xué)環(huán)節(jié)：引例探究，形成概念→任務(wù)驅(qū)動，建構(gòu)概念→任務(wù)驅(qū)動，延伸概念→典例分析，加深理解→歸納反思，概括提升。（一）引例探究，形成概念導(dǎo)入：函數(shù)是刻畫變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，函數(shù)圖象直觀形象地反映了函數(shù)的變化情況，如圖2中左邊函數(shù)圖象，函數(shù)[f（x）=x2]在區(qū)間[0，+∞]內(nèi)，隨著x的增大，[f（x）]也隨之增大；如圖2中右邊函數(shù)圖象，函數(shù)[f（x）=1x]在區(qū)間[0，+∞]內(nèi)，隨著x的增大，[f（x）]隨之減小，用數(shù)量關(guān)系刻畫圖象的上升與下降的幾何特征，如圖2中左邊的函數(shù)，就是[x1，x2∈0，+∞]，當(dāng)[]都有[f（x1）lt;f（x2）]?！締栴}1】換一個角度再來觀察這兩個函數(shù)圖象，還具有其他特征嗎？【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生回顧單調(diào)性中自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，通過觀察函數(shù)圖象特征，啟發(fā)學(xué)生從對稱性的角度思考自變量與函數(shù)值的關(guān)系，為學(xué)習(xí)新知作好鋪墊?！締栴}2】還有哪些函數(shù)圖象也具有對稱性？請說明函數(shù)的解析式。【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生再次回顧已學(xué)的函數(shù)，從函數(shù)圖象和解析式兩個角度，充分挖掘已有認知中具有對稱性的函數(shù)圖象，為后面學(xué)習(xí)用符號語言刻畫函數(shù)圖象對稱性作鋪墊。【問題3】（選取學(xué)生舉出的偶函數(shù)，結(jié)合引例中的函數(shù)）能說明這些函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱的理由嗎？【預(yù)案1】學(xué)生回答畫圖觀察，依據(jù)初中所學(xué)，函數(shù)[f（x）=x2]圖象在y軸一側(cè)的部分沿著y軸翻折與另一側(cè)圖象重合，說明函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱?！咀穯枴繛槭裁春瘮?shù)圖象沿著y軸的一側(cè)翻折與另一側(cè)圖象重合，可以說函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱？【設(shè)計意圖】引發(fā)學(xué)生思考：對于函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱的研究要考慮圖象上的點關(guān)于y軸對稱的問題，最終落實到點的坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系，進而從數(shù)量的角度探究函數(shù)圖象的對稱性。【預(yù)案2】例如，[f（x）]=[x]具有對稱性，因為該函數(shù)圖象是兩條射線組成的圖形，學(xué)生從圖形的角度比較容易說明對稱性，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)量的角度探究函數(shù)圖象的對稱性。【問題4】如果函數(shù)圖象沿著y軸翻折與另一側(cè)圖象必須完全重合，可以判定函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，那么如何說明完全重合？【預(yù)案】教師引導(dǎo)：從點出發(fā)，如圖3所示f（-1）="f（1），f（-2）=f（2），f（-3）=f（3）……f（-x）=f（x）。于是，根據(jù)[（x，f（x）），（-x，f（-x））f（x）=f（-x）][均在函數(shù)f（x）的圖象上]，[?f]（x）圖形關(guān)于y軸對稱?！驹O(shè)計意圖】通過問題引領(lǐng)學(xué)生回到圖形，回到用點研究問題，實現(xiàn)從具體到抽象，特殊到一般來研究，從點對稱到線對稱，形成用數(shù)量關(guān)系刻畫函數(shù)圖象對稱的概念雛形，逐步培養(yǎng)學(xué)生善于觀察思考，提升邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)?！締栴}5】請總結(jié)，函數(shù)的自變量與函數(shù)值具有什么樣的對應(yīng)關(guān)系時，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱？【設(shè)計意圖】讓學(xué)生從文字語言和數(shù)學(xué)符號語言表達函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，并強調(diào)[x∈D]，"""""[-x∈D]。（二）任務(wù)驅(qū)動，建構(gòu)概念【問題6】請再舉出一個具體的函數(shù)解析式，判定此函數(shù)的圖象是否關(guān)于y軸對稱，以及是一種怎樣的對應(yīng)關(guān)系。教師讓學(xué)生同桌為一個合作小組，完成學(xué)習(xí)任務(wù)1并且分享。【學(xué)習(xí)任務(wù)1】請從點對稱的角度說明該函數(shù)是否關(guān)于y軸對稱？說出自變量特征與函數(shù)值特征。【設(shè)計意圖】讓學(xué)生從自選函數(shù)圖象入手，再次感悟用數(shù)量關(guān)系刻畫函數(shù)的對稱性，將圖象的對稱轉(zhuǎn)化為點的對稱，體會研究函數(shù)性質(zhì)的一般方法，有利于提升學(xué)生分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)?！締栴}7】對于函數(shù)[y=f（x）]，如果函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，請用符號語言刻畫函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱。我們把滿足上述條件的函數(shù)稱為偶函數(shù)，進而得到偶函數(shù)定義（教師板書）?！窘處熆偨Y(jié)】一般地，設(shè)函數(shù)[f（x）]的定義域為D。如果對于??x[∈D]，都有-x[∈D]。且[f（-x）=f（x）]，那么函數(shù)[f（x）]就叫做偶函數(shù)?！咀穯?】函數(shù)[f（x）]是偶函數(shù)與圖象關(guān)于y軸對稱是什么關(guān)系？【設(shè)計意圖】在抽象表達偶函數(shù)定義的過程中，提高學(xué)生使用符號語言的能力，深刻理解偶函數(shù)的定義與函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱的充要關(guān)系，為后面奇函數(shù)的對稱性作鋪墊。（三）任務(wù)驅(qū)動，延伸概念【問題8】如果函數(shù)[y=f（x）]對稱軸為x=1，x=a，那么該如何用符號語言表示上述規(guī)律？【學(xué)習(xí)任務(wù)2】同桌為一個合作小組，完成下頁表1并且分享?！驹O(shè)計意圖】利用小組討論的形式，通過類比偶函數(shù)的學(xué)習(xí)，自主得出一般函數(shù)對稱性的規(guī)律。學(xué)生再次經(jīng)歷“函數(shù)圖象的對稱性→函數(shù)圖象中任意一點的對稱性→自變量和函數(shù)值的代數(shù)特征→得到規(guī)律”的過程，進一步培養(yǎng)自主研究問題的能力。（四）典例分析，加深理解【問題9】判斷下列函數(shù)是否是偶函數(shù)。（1）f（x）=（x-2）2；（2）f（x）=[x]；（3）f（x）=x2+[1x4]；（4）f（x）=0?！驹O(shè)計意圖】通過四個函數(shù)的辨析，強調(diào)定義的層次性，進而掌握函數(shù)奇偶性的判斷方法。（五）歸納反思，概括提升【問題10】探究偶函數(shù)概念形成及函數(shù)對稱性的研究過程中，用到哪些方法和數(shù)學(xué)思想？通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，在研究函數(shù)的性質(zhì)方面有哪些收獲？【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生歸納反思，對本節(jié)的重點知識和方法進行總結(jié)。主要是圍繞偶函數(shù)概念的形成及其在形成概念過程中所利用的研究方法。四、教學(xué)反思與經(jīng)驗提升一是明確函數(shù)主線，體現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)這一單元教學(xué)的“整體有序性”。教師以數(shù)形結(jié)合的思想方法，引導(dǎo)學(xué)生直觀想象圖象對稱并通過數(shù)學(xué)運算進行數(shù)量刻畫，用點對稱研究函數(shù)圖象對稱問題，體會“從特殊到一般、從具體到抽象”在解決數(shù)學(xué)問題中的一般性和有效性。學(xué)生通過典型例題及一題多變的學(xué)習(xí)，由淺入深、逐層遞進。教師給學(xué)生提供比較、分析、歸納、總結(jié)的機會，幫助學(xué)生在探究和反思中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用。二是函數(shù)性質(zhì)刻畫的是函數(shù)的要素之間的關(guān)系，是函數(shù)概念精致化和系統(tǒng)化的一部分。本案例重點在于對函數(shù)的性質(zhì)的刻畫，體現(xiàn)了對函數(shù)的概念的深入理解。一方面，體現(xiàn)在教學(xué)中從學(xué)生所熟知的基本初等函數(shù)入手，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷直觀描述到符號語言表達的抽象過程；另一方面，體現(xiàn)在學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)的過程中對函數(shù)概念與性質(zhì)的進一步理解：當(dāng)自變量x變化的時候，對應(yīng)的函數(shù)值y也隨之變化，這種變化中不變的規(guī)律正是函數(shù)的