1.1.2 等腰三角形的判定 同步練習(xí)

第一章三角形的證明第一節(jié)等腰三角形第二課時(shí)等腰三角形的判定基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點(diǎn)4等腰三角形的判定定理1.如圖，在等腰△ABC中，BD為∠ABC的平分線，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，則△ABD的周長為()A.a+2b B.2a-b C.2a+b D.a-2b2.如圖，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑畫弧交AC于點(diǎn)D，連接BD，則△ABD的周長為.

第2題圖 第3題圖3.如圖，△ABC中，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，ED∥BC交AB于點(diǎn)D，如果AB=10，AE=3，那么△ADE的周長等于.

4.小明在一塊如圖所示的三角形紙板上，測得∠ACB=2∠B，折疊△ABC使點(diǎn)C與AB邊上的點(diǎn)E重合，折痕AD交BC于點(diǎn)D，連接EC，ED，小明猜測△BED是等腰三角形，他的猜測正確嗎?若正確，請證明；若不正確，請說明理由.知識點(diǎn)5反證法5.利用反證法求證：在一個三角形中，至少有一個角小于或等于60°.知識點(diǎn)6等邊三角形的判定6.(2022山東菏澤期中)如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，若AB=10，BD=5，則△ADE的周長為()A.5 B.10 C.15 D.207.如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D，E在AB上，且AD=AC，BE=BC，若∠A=60°，則∠DCE=.

第7題圖 第8題圖8.(2021山西太原迎澤月考)由于木質(zhì)衣架不易變形，在掛置衣服的時(shí)候不太方便操作.小明設(shè)計(jì)了一種衣架，在使用時(shí)能輕易收攏，然后套進(jìn)衣服后松開即可.如圖①，OA=OB=16cm，當(dāng)衣架收攏時(shí)，∠AOB=60°，如圖②，此時(shí)A，B兩點(diǎn)之間的距離是cm.

9.已知：如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在BC，AC上，且BD=CE，連接AD，BE，AD交BE于點(diǎn)F，在BF的延長線上取點(diǎn)G，使得FG=AF，連接AG.求證：△AFG為等邊三角形.知識點(diǎn)7含30°角的直角三角形的性質(zhì)定理10.(2022安徽安慶期末)如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分線，且交AD于點(diǎn)P，如果AP=3，則AC的長為.

11.已知等腰三角形腰上的高等于腰長的一半，則頂角的度數(shù)為.

22.如圖，把等邊△ABC沿著DE折疊，使點(diǎn)B恰好落在AC邊上的點(diǎn)B'處，且DB'⊥AC，若B'C=6cm，求AE的長.能力提升全練12.(2022四川成都中考)如圖，在△ABC和△DEF中，點(diǎn)A，E，B，D在同一直線上，AC∥DF，AC=DF，只添加一個條件，能判定△ABC≌△DEF的是()A.BC=DE B.AE=DB C.∠A=∠DEF D.∠ABC=∠D13.(2022四川自貢中考)等腰三角形頂角度數(shù)比一個底角度數(shù)的2倍多20°，則這個底角的度數(shù)為()A.30° B.40° C.50° D.60°14.(2022甘肅蘭州教育局第四片區(qū)期中)如圖，△ABC是等邊三角形，且AD=BE=CF，則△DEF是()A.等邊三角形 B.等腰直角三角形 C.鈍角三角形 D.直角三角形15.(2022河北中考)題目：“如圖，∠B=45°，BC=2，在射線BM上取一點(diǎn)A，設(shè)AC=d，若對于d的一個數(shù)值，只能作出唯一一個△ABC，求d的取值范圍.”對于其答案，甲答：d≥2，乙答：d=1.6，丙答：d=2，則正確的是()A.只有甲答得對 B.甲、丙答案合在一起才完整C.甲、乙答案合在一起才完整 D.三人答案合在一起才完整16.(2022浙江嘉興中考)小曹同學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)將幾種三角形的關(guān)系整理如圖，請幫他在括號里填上一個適當(dāng)?shù)臈l件.17.(2022福建漳州漳浦期中)如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=15°，∠ADB=30°，AB=3，則CD=.

18.(2022廣東佛山月考)如圖，已知∠MON=30°，點(diǎn)A1、A2、A3、…在射線ON上，點(diǎn)B1、B2、B3、…在射線OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均為等邊三角形，若OA1=a，則△A6B6A7的邊長為.

19.(2022山東青島膠州期中)如圖，直線a，b交于點(diǎn)O，∠α=40°，點(diǎn)A是直線a上的一個定點(diǎn)，點(diǎn)B在直線b上運(yùn)動，且始終位于直線a的上方，若以點(diǎn)O，A，B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則∠OAB=.

20.(2021江西中考)如圖，在△ABC中，∠A=40°，∠ABC=80°，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，ED⊥AB于點(diǎn)D，求證：AD=BD.21.(2022山西運(yùn)城實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中)如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D.(1)若∠C=40°，求∠BAD的度數(shù)；(2)若點(diǎn)E在邊AB上，EF∥AC交AD的延長線于點(diǎn)F，求證：AE=FE.素養(yǎng)探究全練22.如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=16cm，BC=12cm，AC=20cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→A方向運(yùn)動，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒.(1)當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動時(shí)，出發(fā)幾秒后，△PQB是等腰三角形?(2)當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動時(shí)，出發(fā)幾秒后，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形? 備用圖23.(2022廣東清遠(yuǎn)清城期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0)，以線段OA為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形AOB，點(diǎn)C為x軸正半軸上一動點(diǎn)(OC>1)，連接BC，以線段BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形CBD，連接DA并延長交y軸于點(diǎn)E.(1)求證：△OBC≌△ABD.(2)在點(diǎn)C的運(yùn)動過程中，∠CAD的度數(shù)是否會變化?如果不變，請求出∠CAD的度數(shù)；如果變化，請說明理由.(3)以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)和CD的長度.

第一章三角形的證明第一節(jié)等腰三角形第二課時(shí)等腰三角形的判定答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.A∵在等腰△ABC中，AB=AC，BD為∠ABC的平分線，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=2∠ABD=12×(180°-36°)=72°，∴∠ABD=36°=∠A，∴BD=AD，∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，∴AD=BD=BC，∵AB=AC=a，BC=b，∴△ABD的周長為AD+BD+AB=b+b+a=2b+a，故選A2.答案2b+a解析∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，由畫圖知BC=BD=b，∴∠BDC=∠C=72°，∴∠CBD=180°-72°-72°=36°，∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=72°-36°=36°，∴∠A=∠ABD，∴AD=BD=BC=b，∴△ABD的周長為AD+BD+AB=b+b+a=2b+a.3.答案13解析∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵ED∥BC，∴∠BED=∠CBE，∴∠ABE=∠BED，∴BD=DE，∵AB=10，AE=3，∴△ADE的周長=AD+DE+AE=AD+BD+AE=AB+AE=10+3=13，故答案為13.4.解析小明的猜測是正確的.證明：由折疊可知，△AED≌△ACD，∴∠AED=∠ACB，∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B，又∵∠AED=∠B+∠EDB，∴∠B=∠EDB，∴BE=DE，∴△BED是等腰三角形.5.解析已知：△ABC.求證：∠A，∠B，∠C中至少有一個角小于或等于60°.證明：假設(shè)∠A，∠B，∠C中沒有一個角小于或等于60°，即∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°，∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°.這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，∴在一個三角形中，至少有一個角小于或等于60°.6.C∵△ABC是等邊三角形，∴∠C=∠B=60°，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°，∴△ADE是等邊三角形，∴AD=DE=AE，∵AB=10，BD=5，∴AD=AB-BD=10-5=5，∴△ADE的周長為AD+DE+AE=5+5+5=15，故選C.7.答案45°解析∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AD=AC，∴△ACD是等邊三角形，∠B=30°，∵∠BCD=∠ADC-∠B，∴∠BCD=30°，∵BE=BC，∴∠BCE=∠BEC=(180°-30°)÷2=75°，∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=75°-30°=45°，故答案為45°.8.答案16解析連接AB(圖略)，∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴AB=OA=OB=16cm，故答案為16.9.證明∵△ABC為等邊三角形，∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°.又∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，∴∠AFG=∠BAF+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°.又∵AF=FG，∴△AFG為等邊三角形.10.答案9解析∵∠BAC=90°，∠C=30°，∴∠ABC=60°，∵BE是∠ABC的平分線，∴∠ABP=∠DBP=30°，∵AD⊥BC，∴∠BAD=30°，∴∠PAB=∠PBA，∴BP=AP=3，又∵在Rt△PBD中，∠DBP=30°，∴PD=12PB=32，∴AD=AP+PD=92，又∵在Rt△ADC中，∠C=30°，∴AC=2故答案為9.11.答案30°或150°解析分兩種情況討論：①如圖1，當(dāng)BD在三角形內(nèi)部時(shí)，∵BD=12AB，∠ADB=90°，∴∠A=30°②如圖2，當(dāng)BD在三角形外部時(shí)，∵BD=12AB，∠ADB=90°，∴∠DAB=30°，∴∠BAC=180°-∠DAB=180°-30°=150故答案為30°或150°.圖1 圖212.解析∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=BC，∵DB'⊥AC，∴∠B'DC=30°，∵B'C=6cm，∴CD=2B'C=12cm，∴DB'=CD2?B'由折疊可知∠B=∠DB'E=60°，DB'=BD=63cm，∴∠AB'E=30°，AC=BC=DC+BD=(12+63)cm，∴∠B'EA=180°-∠A-∠AB'E=90°，AB'=AC-B'C=(6+63)cm，∴AE=12AB'=(3+33)cm能力提升全練13.B∵AC∥DF，∴∠A=∠D.A.添加BC=DE，不能判定△ABC≌△DEF，故該選項(xiàng)不符合題意；B.添加AE=DB，可得AB=DE，利用SAS可以判定△ABC≌△DEF，故該選項(xiàng)符合題意；C.添加∠A=∠DEF，不能判定△ABC≌△DEF，故該選項(xiàng)不符合題意；D.添加∠ABC=∠D，不能判定△ABC≌△DEF，故該選項(xiàng)不符合題意.故選B.14.B設(shè)這個底角的度數(shù)為x，則頂角的度數(shù)為2x+20°，根據(jù)題意得2x+2x+20°=180°，解得x=40°，即這個底角的度數(shù)為40°.故選B.15.A∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∵AD=BE=CF，∴AB-AD=AC-CF=BC-BE，∴BD=AF=CE，在△BDE和△AFD中，BD=AF,∠B=∠A,BE=AD,∴△BDE≌△AFD(SAS)，同理△BDE≌△CEF，則△BDE≌△AFD≌△CEF，∴16.B如圖，過點(diǎn)C作CA'⊥BM于A'，在A'M上取A'A″=BA'.∵∠B=45°，BC=2，CA'⊥BM，∴△BA'C是等腰直角三角形，∴A'C=BA'=BC2=2.∵A'A″=BA'，∴A″C=A'A″2+CA'2=2通過觀察可知：點(diǎn)A與A'點(diǎn)重合時(shí)，只能作出唯一一個△ABC，此時(shí)d=2，即丙的答案；點(diǎn)A在射線A″M上時(shí)，只能作出唯一一個△ABC，此時(shí)d≥2，即甲的答案；點(diǎn)A在線段BA″(不包括A'點(diǎn)、B點(diǎn)和A″點(diǎn))上時(shí)，可作出兩個△ABC.故選B.17.答案∠A=60°(答案不唯一)解析這種按定義填寫條件的題比較新穎，可添加∠A=60°，理由如下：∵△ABC為等腰三角形，∠A=60°，∴∠B=∠C=180°?∠A2=60°，∴△ABC為等邊三角形，故答案為∠A=60°18.答案6解析∵在△ABD中，∠B=90°，∠ADB=30°，∴AD=2AB=2×3=6，∵∠ADB=30°，∠ACB=15°，∴∠DAC=∠ADB-∠ACB=15°，∴∠ACB=∠DAC，∴CD=AD=6，故答案為6.19.答案32a解析如圖所示：∵△A1B1A2是等邊三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=a，∴A2B1=a，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等邊三角形，∴∠11=∠10=∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4a，A4B4=8B1A2=8a，A5B5=16B1A2=16a，以此類推A6B6=32B1A2=32a.故答案是32a.20.答案40°或70°或100°解析要使△OAB為等腰三角形，需要分三種情況討論：①當(dāng)OB=AB時(shí)，∠OAB=∠α=40°；②當(dāng)OA=AB時(shí)，∠OAB=180°-2×40°=100°；③當(dāng)OA=OB時(shí)，∠OAB=∠OBA=12×(180°-40°)=70故答案為40°或70°或100°.31.證明∵BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，∴∠ABE=12∠ABC=12×80°=40°，∵∠A=40°，∴∠A=∠∴△ABE為等腰三角形，∵ED⊥AB，∴AD=BD.21.解析(1)∵AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，∴∠B=∠C，∠ADC=90°，又∠C=40°，∴∠B=40°，∴∠BAD=90°-40°=50°.(2)證明：∵AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，∴∠BAD=∠CAD，∵EF∥AC，∴∠F=∠CAD，∴∠BAD=∠F，∴AE=FE.素養(yǎng)探究全練22.解析(1)由題意可知AP=tcm，BQ=2tcm，∵AB=16cm，∴BP=AB-AP=(16-t)cm，當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，BP=BQ，∴16-t=2t，解得t=163∴出發(fā)163秒后，△PQB是等腰三角形(2)①當(dāng)△BCQ是以BC為底邊的等腰三角形時(shí)，CQ=BQ，如圖1所示，圖1則∠C=∠CBQ，∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠A