1.3乘法公式（10大題型提分練）七年級數(shù)學(xué)下冊同步課堂（北師大版2024）

PAGE1（北師大版）七年級下冊數(shù)學(xué)《第1章整式的乘除》1.3乘法公式知識點一知識點一完全平方公式◆1、完全平方公式：兩個數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍.用字母表示為：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧記為：“首平方，末平方，首末兩倍中間放”．◆2、完全平方公式有以下幾個特征：①左邊是兩個數(shù)的和的平方；②右邊是一個三項式，其中首末兩項分別是兩項的平方，都為正，中間一項是兩項積的2倍；其符號與左邊的運算符號相同．◆3、應(yīng)用完全平方公式時，要注意：①公式中的a，b可是單項式，也可以是多項式；②對形如兩數(shù)和（或差）的平方的計算，都可以用這個公式；③對于三項的可以把其中的兩項看做一項后，也可以用完全平方公式．知識點二知識點二平方差公式◆1、平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差．用字母表示為：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．◆2、應(yīng)用平方差公式計算時，應(yīng)注意以下幾個問題：①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；②右邊是相同項的平方減去相反項的平方；③公式中的a和b可以是具體數(shù)，也可以是單項式或多項式；④對形如兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘的算式，都可以運用這個公式計算，且會比用多項式乘以多項式法則簡便．題型一平方差公式的幾何意義解題技巧提煉平方差公式的幾何意義主要是利用“等積法”來表示出圖形的面積，從而得出平方差公式.1．（2024春?江都區(qū)期末）我們知道，借助圖形可以驗證公式．下列圖形可以用來驗證平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的是（）A．B．C． D．【分析】根據(jù)各選項圖形所表達的整式運算進行判斷、選擇．【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴選項A不符合題意；∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），∴選項B符合題意；∵（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，∴選項C不符合題意；∵（a+x）（b+x）＝a2+ax+bx+x2，∴選項D不符合題意，故選：B．【點評】此題考查了整式乘法幾何背景問題的解決能力，關(guān)鍵是能根據(jù)圖形準(zhǔn)確列式并正確運算．2．（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）【分析】第一個圖形中陰影部分的面積計算方法是邊長是a的正方形的面積減去邊長是b的小正方形的面積，等于a2﹣b2；第二個圖形陰影部分是一個長是（a+b），寬是（a﹣b）的長方形，面積是（a+b）（a﹣b）；這兩個圖形的陰影部分的面積相等．【解答】解：∵圖中陰影部分的面積＝a2﹣b2，圖中陰影部分的面積＝（a+b）（a﹣b），而兩個圖形中陰影部分的面積相等，∴陰影部分的面積＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故選：A．【點評】此題主要考查了乘法的平方差公式．即兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差，這個公式就叫做平方差公式．3．A．a(chǎn)（a﹣b）+b2 B．a(chǎn)2﹣b2 C．12（b+a）（a﹣b）×2 D．a(chǎn)（a﹣b）+b（a﹣b【分析】用不同的方法，用代數(shù)式分別表示圖形中陰影部分的面積即可》【解答】解：圖中陰影部分的面積可以看作兩個正方形的面積差，即a2﹣b2，如圖1，兩塊陰影部分的面積和為a（a﹣b）+b（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，如圖2，兩塊陰影部分的面積和為12（b+a）（a﹣b）×2＝（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2而a（a﹣b）表示圖1中陰影部分①的面積，而b2是圖1正方形②的面積，因此a（a﹣b）+b2不是陰影部分的面積，因此選項A符合題意，選項B、C、D不符合題意；故選：A．【點評】本題考查平方差公式的幾何背景，多項式乘多項式，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征以及多項式乘多項式的幾何意義是正確解答的關(guān)鍵．4．（2024秋?吉林期末）如圖，從邊長為a的大正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開，拼成右邊的長方形，根據(jù)圖形的變化過程寫出正確的等式是（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a(chǎn)2﹣ab＝a（a﹣b） C．a(chǎn)2﹣b2＝（a﹣b）2 D．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2【分析】利用正方形的面積公式和矩形的面積公式分別表示出陰影部分的面積，然后根據(jù)面積相等列出等式即可．【解答】解：第一個圖形陰影部分的面積是a2﹣b2，第二個圖形的面積是（a+b）（a﹣b）．∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故選：A．【點評】本題考查了平方差公式的幾何背景，正確用兩種方法表示陰影部分的面積是關(guān)鍵．5．（2024春?新泰市期末）將圖甲中陰影部分的小長方形變換到圖乙位置，你能根據(jù)兩個圖形的面積關(guān)系得到的數(shù)學(xué)公式是（）A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2【分析】利用兩個圖形面積之間的關(guān)系進行解答即可．【解答】解：如圖，圖甲中①、②的總面積為（a+b）（a﹣b），圖乙中①、②的總面積可以看作兩個正方形的面積差，即a2﹣b2，因此有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故選：A．【點評】本題考查平方差公式的幾何背景，完全平方公式的幾何背景，用代數(shù)式表示各個部分的面積是正確解答的關(guān)鍵．6．（2023秋?湛江期末）【探究】如圖①，從邊長為a的大正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開，拼成圖②的長方形．（1）請你分別表示出這兩個圖形中陰影部分的面積：圖①圖②；（2）比較兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式：（用字母a、b表示）；【應(yīng)用】請應(yīng)用這個公式完成下列各題：①已知2m﹣n＝3，2m+n＝4，則4m2﹣n2的值為12；②計算：（x﹣3）（x+3）（x2+9）；【拓展】計算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）的結(jié)果為．【分析】（1）圖①陰影部分的面積為兩個正方形的面積差，即a2﹣b2，而圖②的陰影部分為長為（a+b），寬為（a﹣b）的矩形，可表示出面積為（a+b）（a﹣b）．（2）由圖①與圖②的面積相等，可以得到乘法公式；①利用公式將4m2﹣n2寫成（2m﹣n）（2m+n）進而求出答案，②連續(xù)兩次利用平方差公式進行計算即可，將原式轉(zhuǎn)化為（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1），再連續(xù)使用平方差公式，得出最后的結(jié)果．【解答】解：【探究】（1）圖①陰影部分的面積為兩個正方形的面積差，即a2﹣b2；圖②的陰影部分為長為（a+b），寬為（a﹣b）的矩形，其面積為（a+b）（a﹣b）．故答案為：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）由圖①與圖②的面積相等，可以得到乘法公式，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案為：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；【應(yīng)用】①4m2﹣n2＝（2m﹣n）（2m+n）＝3×4＝12，故答案為：12；②（x﹣3）（x+3）（x2+9）＝（x2﹣9）（x2+9）＝x4﹣81；【拓展】（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1），＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1），＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1），＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1），＝（28﹣1）（28+1）…（232+1），＝264﹣1．【點評】考查平方差公式，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提．題型二直接利用平方差公式計算解題技巧提煉應(yīng)用平方差公式計算時，應(yīng)注意以下幾個問題：(1)左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；(2)右邊是相同項的平方減去相反項的平方；(3)公式中的a和b可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式．1．（2024秋?禮縣期末）在下列多項式乘法中，可以用平方差公式計算的是（）A．（2a﹣3b）（﹣2a+3b） B．（﹣3a+4b）（﹣4b﹣3a） C．（a+1）（﹣a﹣1） D．（a2﹣b）（a+b2）【分析】根據(jù)組成平方差公式的前提是兩式必須一項相同，另一項互為相反數(shù)，即可得出答案．【解答】解：可以用平方差公式計算的只有B．故選：B．【點評】此題主要考查了進行平方差公式運算的性質(zhì)，根據(jù)組成平方差公式的前提是兩式必須一項相同，另一項互為相反數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．2．（2024春?沈北新區(qū)期中）若（3b+a）（）＝9b2﹣a2，則括號內(nèi)應(yīng)填的代數(shù)式是（）A．﹣a﹣3b B．a(chǎn)+3b C．﹣3b+a D．3b﹣a【分析】根據(jù)平方差公式的特點確定此題結(jié)果．【解答】解：∵9b2﹣a2＝（3b+a）（3b﹣a），故選：D．【點評】此題考查了平方差公式的應(yīng)用能力，解題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運用平方差公式的規(guī)律特點．3．（2024秋?渭源縣期中）計算：（2a+b）（2a﹣b）＝（）A．4a2+b2 B．4a2﹣b2 C．2a2﹣b2 D．2a2+b2【分析】根據(jù)平方差公式計算即可．【解答】解：（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2，故選：B．【點評】本題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋?莒南縣期末）在等式（﹣a﹣b）（）＝a2﹣b2中，括號里應(yīng)填的多項式是（）A．﹣a+b B．a(chǎn)+b C．﹣a﹣b D．a(chǎn)﹣b【分析】根據(jù)平方差公式的逆運用，a的符號相同，b的符號相反，寫出即可．【解答】解：a2﹣b2＝（﹣a﹣b）（b﹣a）．故選：A．【點評】主要考查平方差公式，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．5．（2024春?鋼城區(qū)期末）（﹣2x+3）（﹣2x﹣3）＝．【分析】應(yīng)用平方差公式兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2進行計算即可得出答案．【解答】解：原式＝（﹣2x）2﹣32＝4x2﹣9．故答案為：4x2﹣9．【點評】本題主要考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式進計算是解決本題的關(guān)鍵．6．（2024春?化州市月考）若（x+y2）（x﹣y2）（x2+y4）＝xm﹣yn，則m＝，n＝．【分析】根據(jù)平方差公式，即可解答．【解答】解：（x+y2）（x﹣y2）（x2+y4）＝（x2﹣y4）（x2+y4）＝（x4﹣y8），則m＝4，n＝8，故答案為：4，8．【點評】本題考查了平方差公式，解決本題的關(guān)鍵是熟記平方差公式．7．計算：（1）（5ab﹣3x）（﹣3x﹣5ab）（2）（﹣y2+x）（x+y2）（3）x（x+5）﹣（x﹣3）（x+3）（4）（﹣1+a）（﹣1﹣a）（1+b2）【分析】（1）利用平方差公式即可求解；（2）利用平方差公式即可求解；（3）首先利用單項式的乘法以及平方差公式計算，然后去括號合并同類項即可求解；（4）首先利用平方差公式計算前兩個多項式的乘法，然后利用多項式的乘法計算．【解答】解：（1）原式＝（﹣3x）2﹣（5ab）2＝9x2﹣25a2b2；（2）原式＝x2﹣（y2）2＝x2﹣y4；（3）原式＝x2+5x﹣（x2﹣9）＝x2+5x﹣x2+9＝5x+9；（4）原式＝[（﹣1）2﹣a2]（1+b2）＝（1﹣a2）（1+b2）＝1+b2﹣a2﹣a2b2．【點評】本題考查了平方差公式，運用平方差公式計算時，關(guān)鍵要找相同項和相反項，其結(jié)果是相同項的平方減去相反項的平方．題型三完全平方公式的幾何意義解題技巧提煉平方差公式的幾何意義主要是利用“等積法”來表示出圖形的面積，從而得出完全平方公式.1．（2024春?碑林區(qū)校級月考）如圖，根據(jù)陰影部分面積和圖形的面積關(guān)系可以得到的數(shù)學(xué)公式是（）A．a(chǎn)（a+b）＝a2+ab B．a(chǎn)（a﹣b）＝a2﹣ab C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【分析】陰影部分的面積等于邊長為a的正方形面積減去2個長為（a﹣b）寬為b的長方形面積和邊長為b的正方形面積，【解答】解：陰影部分正方形的邊長為a﹣b，陰影部分的面積為（a﹣b）2，根據(jù)題意可得，（a﹣b）2＝a2﹣2（a﹣b）×b﹣b2＝a2﹣2ab+b2．故選：D．【點評】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，熟練掌握完全平方公式的幾何背景計算方法進行求解是解決本題的關(guān)鍵．2．（2024春?太原期中）通過兩種不同的方法計算同一圖形的面積可以得到一個數(shù)學(xué)等式，用這種方法可得到整式乘法中的一些運算法則或公式，例如，由圖1可得等式（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，即為多項式乘法法則．利用圖2可得的乘法公式為（）A．（a+b）2＝a2+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+b2+ab D．（a+b）（a+b）＝a2+b2【分析】根據(jù)面積的兩種表示方法即可得出．【解答】解：根據(jù)圖2可得，（a+b）2＝a2+2ab+b2，故選：B．【點評】本題主要考查完全平方公式的幾何背景，熟練利用面積的兩種表示方法得出完全平方公式是解題的關(guān)鍵．3．（2024春?阜寧縣期末）圖1，是一個長為2m、寬為2n（m＞n）的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖2形式拼成一個正方形，那么中間陰影部分的面積為（）A．mn B．m2﹣n2 C．（m﹣n）2 D．（m+n）2【分析】陰影部分的面積＝大正方形的面積﹣四個小長方形的面積，四個小長方形的面積＝圖1中的長2m、寬2n的長方形的面積，圖2中的大正方形的面積＝（m+n）2，化簡后求得陰影的面積．【解答】解：方法一：圖2中四個長方形的面積的和＝圖1的長方形的面積＝2m×2n＝4mn，圖2的大正方形的面積＝（m+n）2，圖2中陰影部分的面積＝圖2的大正方形的面積﹣圖2中四個長方形的面積的和＝（m+n）2﹣4mn＝m2+2mn+n2﹣4mn＝m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2．方法二：圖中陰影部分是正方形，且四個邊長都是（m﹣n），∴陰影部分的面積＝（m﹣n）2．故選：C．【點評】本題考查完全平方公式的幾何背景，通過觀察圖形特點、熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋?呼和浩特期末）如圖1是一個長為4a寬為b的長方形，用剪刀沿圖中虛線把這個長方形剪成四塊完全相同的小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個大正方形，如圖2所示，則可以得到一個等式為．【分析】用a和b分別表示出大正方形的邊長和小正方形的邊長，用兩種方法分別表示出陰影部分正方形的面積，從而得到一個等式．【解答】解：∵圖2中小正方形的邊長為（b﹣a），∴S陰影＝（b﹣a）2，∵圖2中大正方形的邊長為（a+b），∴S陰影＝（a+b）2﹣4ab，∴（b﹣a）2＝（a+b）2﹣4ab，故答案為：（b﹣a）2＝（a+b）2﹣4ab．【點評】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握正方形的面積公式是本題的關(guān)鍵．5．（2024秋?豐臺區(qū)期末）如圖中的四邊形均為長方形或正方形，根據(jù)圖形的面積關(guān)系，寫出一個等式：．【分析】用代數(shù)式表示圖形各個部分的面積，再根據(jù)圖形之間的關(guān)系即可得出答案．【解答】解：整體上是邊長為a+b的正方形，因此面積為（a+b）2，拼成整體的四個部分的面積和為a2+2ab+b2，所以有（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案為：（a+b）2＝a2+2ab+b2．【點評】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的關(guān)鍵．6．（2024秋?蒸湘區(qū)校級月考）在學(xué)習(xí)完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2后，我們對公式的運用進一步探討．（1）若ab＝30，a+b＝10，求a2+b2的值．（2）閱讀以下解法，并解決相應(yīng)問題．“若y滿足（40﹣y）（y﹣20）＝50，求（40﹣y）2+（y﹣20）2的值”．解：設(shè)40﹣y＝a，y﹣20＝b，則a+b＝（40﹣y）+（y﹣20）＝20，ab＝（40﹣y）（（y﹣20））＝50，ab＝（40﹣y）（y﹣20）＝50，這樣就可以利用（1）的方法進行求值了．①若x滿足（50﹣x）（x﹣40）＝2，則（50﹣x）2+（x﹣40）2＝．②若x滿足4（x+3）2+（2x﹣1）2＝169，求2（x+3）?（2x﹣1）的值；③如圖，在長方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且BE＝DF＝x，分別以FC，CE為邊在長方形ABCD外側(cè)作正方形CFGH和正方形CEMN，若長方形CEPF的面積為45，求圖中陰影部分的面積．【分析】（1）根據(jù)a2+b2＝（a+b）2﹣2ab進行求解即可；（2）①設(shè)m＝50﹣x，n＝x﹣40，則m+n＝10，mn＝2，再根據(jù)m2+n2＝（m+n）2﹣2mn進行求解即可；②設(shè)s＝2（x+3）＝2x+6，t＝2x﹣1，則s2+t2＝169，s﹣t＝7，再根據(jù)﹣2st＝（s﹣t）2﹣（s2+t2）求出st＝60，據(jù)此可得答案；③由題意得S陰影=(10?x)2+(6?x)2，設(shè)10﹣x＝a，6﹣x＝b，則S陰影=a2+b2，根據(jù)長方形CEPF的面積為45，得到ab＝45，再根據(jù)【解答】解：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×30＝40；（2）①設(shè)m＝50﹣x，n＝x﹣40，則有m+n＝10，mn＝2，∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝102﹣2×2＝96，∴（50﹣x）2+（x﹣40）2＝96，故答案為：96；②設(shè)s＝2（x+3）＝2x+6，t＝2x﹣1，∴s2+t2＝169，s﹣t＝7，∴﹣2st＝（s﹣t）2﹣（s2+t2）＝72﹣169＝﹣120，∴st＝60，∴2（x+3）?（2x﹣1）＝60；③由題意得S陰影設(shè)10﹣x＝a，6﹣x＝b，則S陰影∴a﹣b＝4，∵（10﹣x）?（6﹣x）＝ab＝45，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝106，∴S陰影【點評】本題主要考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式的變形是關(guān)鍵．題型四直接利用完全平方公式計算解題技巧提煉公式特征：1.積為二次三項式；2.積中兩項為兩數(shù)的平方和；3.另一項是兩數(shù)積的2倍，且與兩數(shù)中間的符號相同；4.公式中的字母a，b可以表示數(shù)，單項式和多項式.1．（2024秋?太康縣期中）計算（﹣x+2）2的結(jié)果是（）A．x2﹣4x+4 B．﹣x2﹣4x+4 C．x2+4x+4 D．﹣x2+4x+4【分析】利用完全平方公式計算即可．【解答】解：原式＝x2﹣4x+4，故選：A．【點評】本題考查完全平方公式，熟練掌握該公式是解題的關(guān)鍵．2．（2024春?碑林區(qū)期末）如果（x+3）2＝x2+ax+9，那么a的值為（）A．3 B．±3 C．6 D．±6【分析】根據(jù)完全平方公式可得出答案．【解答】解：∵（x+3）2＝x2+6x+9，∴a＝6．故選：C．【點評】本題主要考查了完全平方式，熟記完全平方公式是解題的關(guān)鍵．3．（2024春?鐵嶺期中）若（3x+2y）2＝（3x﹣2y）2+A，則代數(shù)式A是（）A．﹣12xy B．12xy C．24xy D．﹣24xy【分析】表示出A，再利用完全平方公式展開計算即可得解．【解答】解：∵（3x+2y）2＝（3x﹣2y）2+A，∴A＝（3x+2y）2﹣（3x﹣2y）2＝9x2+12xy+4y2﹣9x2+12xy﹣4y2＝24xy．故選：C．【點評】本題考查了完全平方公式，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．4．（2024春?肥城市期中）下列各式正確的是（）A．（2a﹣1）2＝4a2﹣1 B．（x+12）2＝x2+xC．（3m+n）2＝9m2+n2 D．（﹣x﹣1）2＝x2﹣2x+1【分析】根據(jù)完全平方公式展開判斷即可．【解答】解：（2a﹣1）2＝4a2﹣4a+1，選項A錯誤；（x+12）2＝x2+x+1（3m+n）2＝9m+6mn+n2，C選項錯誤；（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1，選項D錯誤．故選：B．【點評】本題考查了完全平方公式，做題關(guān)鍵是掌握完全平方公式的運用．5．（2023秋?順義區(qū)校級月考）已知2m2+5m﹣1＝0，求代數(shù)式（m+3）2+m（m﹣1）的值．【分析】求出2m2+5m＝1，再根據(jù)完全平方公式和單項式乘多項式進行計算，合并同類項，最后代入求出答案即可．【解答】解：∵2m2+5m﹣1＝0，∴2m2+5m＝1，∴（m+3）2+m（m﹣1）＝m2+6m+9+m2﹣5m＝2m2﹣5m+9＝1+9＝10．【點評】本題考查了整式的化簡求值，能夠整體代入是解此題的關(guān)鍵．6．利用完全平方公式計算：（1）（﹣x?12y）（2）（12a﹣3b）（3b?1（3）99.82；（4）1012+992．【分析】（1）用完全平方公式計算；（2）先把負號提取到括號外面，再用完全平方公式計算；（3）把99.8化為（100﹣0.2），再用完全平方公式計算；（4）先把原式化為（100+1）2+（100﹣1）2，再用完全平方公式計算．【解答】解：（1）原式＝x2+xy+1（2）原式＝﹣（3b?12a）（3b?＝﹣（9b2﹣3ab+1＝﹣9b2+3ab?14a（3）原式＝（100﹣0.2）2＝10000﹣40+0.04＝9960.04；（4）原式＝（100+1）2+（100﹣1）2＝10000+200+1+10000﹣200+1＝20002．【點評】本題考查了完全平方公式、平方差公式，掌握這兩個公式的熟練應(yīng)用，題目中的變形是運用完全平方公式、平方差公式的關(guān)鍵．題型五運用乘法公式進行簡便計算解題技巧提煉1、通過合理變形，利用平方差公式，可以簡化運算.2、運用完全平方公式進行簡便計算，要熟記完全平方公式的特征，將原式轉(zhuǎn)化為能利用完全平方公式的形式．1．（2024春?包頭期中）若a＝20180，b＝2016×2018﹣20172，c=(?23)2017×(32A．b＜c＜a B．a(chǎn)＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a【分析】根據(jù)零指數(shù)冪法則，平方差公式，積的乘方法則求出a、b、c，再進行大小比較便可．【解答】解：∵a＝20180＝0，b＝2016×2018﹣20172＝20072﹣1﹣20072＝﹣1，c=(?2∴b＜c＜a，故選：A．【點評】本題主要考查了有理數(shù)大小比較，零指數(shù)冪法則，平方差公式，積的乘方法則，關(guān)鍵是熟記這些法則．2．（2024秋?德惠市期末）計算20242﹣2023×2025＝．【分析】將原式變形為20242﹣（2024﹣1）×（2024+1），然后再按平方差公式計算可得答案．【解答】解：原式＝20242﹣（2024﹣1）×（2024+1）＝20242﹣20242+1＝1．故答案為：1．【點評】此題考查的是平方差公式，將原式變形為20242﹣（2024﹣1）×（2024+1）是解決此題的關(guān)鍵．3．（2024春?牟平區(qū)期中）用乘法公式簡便計算：（1）5034×4914【分析】（1）將原式化為（50+34）（50（2）先把124×122﹣1232化為（123+1）（123﹣1）﹣1232的形式，再用平方差公式計算；【解答】解：（1）原式＝（50+34）（50＝2500?＝2499716（2）124×122﹣1232＝（123+1）（123﹣1）﹣1232＝1232﹣1﹣1232＝﹣1；【點評】本題考查平方差公式，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提．4．利用完全平方公式計算：（1）992；（2）1032．【分析】（1）將99寫成（100﹣1）的形式，利用完全平方公式進行計算即可；（2）將103寫成（100+3）的形式，利用完全平方公式進行計算即可．【解答】解：（1）992＝（100﹣1）2＝1002﹣2×1×100+1＝10000﹣200+1＝9801；（2）1032＝（100+3）2＝1002+2×100×3+32＝10000+600+9＝10609．【點評】本題主要考查完全平方公式，靈活運用完全平方公式是解題的關(guān)鍵．5．利用平方差公式計算：（1）10002﹣9992；（2）（9912）2﹣（10012）【分析】（1）根據(jù)平方差公式，即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）進行計算即可；（2）根據(jù)平方差公式，即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）進行計算即可．【解答】解：（1）原式＝（1000+999）×（1000﹣999）＝1999×1＝1999；（2）原式＝（9912+10012）×（991＝200×（﹣1）＝﹣200．【點評】本題考查平方差公式，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是正確計算的關(guān)鍵．6．（2023秋?綠園區(qū)校級月考）用簡便方法計算：（1）498×502；（2）20222﹣2023×2021．【分析】（1）將原式化為（500﹣2）（500+2），再根據(jù)平方差公式進行計算即可；（2）將原式化為20222﹣（2022+1）（2022﹣1），根據(jù)平方差公式得出20222﹣20222+1即可．【解答】解：（1）原式＝（500﹣2）（500+2）＝5002﹣22＝250000﹣4＝249996；（2）原式＝20222﹣（2022+1）（2022﹣1）＝20222﹣20222+1＝1．【點評】本題考查平方差公式，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提．7．（2024春?墾利區(qū)期末）閱讀例題的解答過程，并解答下列各題．例：用簡便方法計算103×97．解：103×97＝（100+3）（100﹣3）①＝1002﹣32②＝9991．（1）例題求解過程中，第②步變形的依據(jù)是；（2）用簡便方法計算9×11×101；（3）用簡便方法計算20212﹣2020×2022．【分析】（1）根據(jù)例題得出結(jié)論即可；（2）根據(jù)平方差公式變形求解即可；（3）根據(jù)平方差公式變形求解即可．【解答】解：（1）平方差公式；（2）9×11×101＝（10﹣1）×（10+1）×101＝（100﹣1）×101＝（100﹣1）（100+1）＝1002﹣12＝9999；（3）20212﹣2020×2022＝20212﹣（2021﹣1）（2021+1）＝20212﹣（20212﹣12）＝20212﹣20212+1＝1．【點評】本題主要考查平方差公式，熟練掌握平方差公式并靈活運用是解題的關(guān)鍵．題型六綜合運用乘法公式計算解題技巧提煉綜合運用乘法公式計算就是對完全平方公式和平方差公式的靈活運用，計算時要認真仔細，另外要注意運算的順序．1．（2023秋?思明區(qū)校級期中）計算：（x+5）（x﹣1）﹣（x+3）（x﹣3）．【分析】先根據(jù)多項式乘多項式公式和平方差公式計算，再合并同類項即可．【解答】解：（x+5）（x﹣1）﹣（x+3）（x﹣3）＝x2+4x﹣5﹣x2+9＝4x+4．【點評】此題主要考查了多項式乘多項式和平方差公式，正確掌握多項式乘法公式和平方差公式是解題關(guān)鍵．2．（2023春?陳倉區(qū)期中）計算：（3x+1）2﹣（3x+2）（3x﹣2）．【分析】先根據(jù)完全平方公式和平方差公式進行計算，再合并同類項即可．【解答】解：（3x+1）2﹣（3x+2）（3x﹣2）＝9x2+6x+1﹣（9x2﹣4）＝9x2+6x+1﹣9x2+4＝6x+5．【點評】本題考查了平方差公式和完全平方公式，能靈活運算公式進行計算是解此題的關(guān)鍵，注意：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．3．計算：（1）（2x﹣1）2﹣（3x+1）（x﹣2）﹣1；（2）4（3x+2y）（2x+3y）﹣2（x﹣3y）（3x+4y）．【分析】（1）先根據(jù)多項式乘法，將待求式展開，得（4x2﹣4x+1）﹣（3x2﹣6x+x﹣2）﹣1，再去括號，合并同類項即可；（2）由多項式乘法，得4（6x2+9xy+4xy+6y2）﹣2（3x2+4xy﹣9xy﹣12y2），再去括號，合并同類項即可．【解答】解：（1）原式＝（4x2﹣4x+1）﹣（3x2﹣6x+x﹣2）﹣1＝4x2﹣4x+1﹣3x2+6x﹣x+2﹣1＝x2+x+2．（2）原式＝4（6x2+9xy+4xy+6y2）﹣2（3x2+4xy﹣9xy﹣12y2）＝24x2+36xy+16xy+24y2﹣6x2﹣8xy+18xy+24y2＝18x2+62xy+48y2．【點評】本題主要考查整式的混合運算，能夠結(jié)合多項式乘法，整式加減等知識進行求解是解題的關(guān)鍵．4．（2024春?玄武區(qū)校級期中）用乘法公式計算：（1）（x﹣y）（x+y）﹣（x﹣y）2；（2）（2x﹣3）（2x+3）（4x2﹣9）；【分析】（1）先利用平方差公式，再利用完全平方差公式進行計算．（2）利用平方差公式和完全平方公式展開，去括號，合并同類項即可；【解答】解：（1）原式＝x2﹣y2﹣（x2﹣2xy+y2）＝x2﹣y2﹣x2+2xy﹣y2＝2xy﹣2y2；（2）（2x﹣3）（2x+3）（4x2﹣9）＝（4x2﹣9）（4x2﹣9）＝（4x2）2﹣2×4x2×9+92＝16x4﹣72x2+81．5．（2023秋?東城區(qū)校級期中）計算：（1）（x+y+z）2﹣（x+y﹣z）2；（2）（a+2b）2﹣2（a+2b）（a﹣2b）+（a﹣2b）2．【分析】（1）根據(jù)平方差公式計算即可；（2）先根據(jù)完全平方公式分解因式，再合并即可．【解答】解：（1）原式＝[x+y+z+（x+y﹣z）][x+y+z﹣（x+y﹣z）]＝（2x+2y）?2z＝4z（x+y）；（2）原式＝[a+2b﹣（a﹣2b）]2＝（4b）2＝16b2．【點評】此題考查的是平方差公式及完全平方公式，兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差．6．利用乘法公式計算：（1）（2x﹣3y）2﹣（y+3x）（3x﹣y）；（2）（x+y）（x2+y2）（x﹣y）（x4+y4）；（3）（a﹣2b+3）（a+2b﹣3）；（4）[（x﹣y）2+（x+y）2]（x2﹣y2）；（5）（m﹣n﹣3）2．【分析】用完全平方公式和平方差公式結(jié)合合并同類項計算．【解答】解：（1）原式＝（2x﹣3y）2﹣（9x2﹣y2），＝（4x2+9y2﹣12xy）﹣9x2+y2，＝10y2﹣12xy﹣5x2；（2）原式＝（x+y）（x2+y2）（x﹣y）（x4+y4），＝（x2﹣y2）（x2+y2）（x4+y4），＝（x4﹣y4）（x4+y4），＝x8﹣y8；（3）原式＝[a﹣（2b﹣3）][a+（2b﹣3）]，＝a2﹣（2b﹣3）2，＝a2﹣4b2﹣9+12b；（4）原式＝[（x﹣y）2+（x+y）2]（x2﹣y2），＝（x2﹣2xy+y2+x2+y2+2xy）（x2﹣y2），＝2（x2+y2）（x2﹣y2），＝2（x4﹣y4），＝2x4﹣2y4；（5）原式＝（m﹣n﹣3）（m﹣n﹣3），＝m2﹣mn﹣3m﹣mn+n2+3n﹣3m+3n+9，＝n2+m2﹣2mn﹣6m+6n+9．【點評】本題組考查了完全平方公式和平方差公式的靈活運用，計算時要認真仔細．題型七利用乘法公式進行化簡求值解題技巧提煉利用乘法公式進行化簡求值時先按運算順序把利用乘法公式把整式化簡，再把對應(yīng)字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合運算中，要按照先乘方后乘除的順序運算，其運算順序和有理數(shù)的混合運算順序相似．1．（2024秋?鯉城區(qū)校級期中）若x2+x﹣2＝0，則（x+1）（x﹣1）+x的值是．【分析】利用平方差公式將（x+1）（x﹣1）+x展開并把已知條件代入計算即可．【解答】解：∵x2+x﹣2＝0，∴x2+x＝2，∴（x+1）（x﹣1）+x＝x2﹣1+x＝x2+x﹣1＝2﹣1＝1．故答案為：1．【點評】本題考查平方差公式，掌握平方差公式及整體代入法求代數(shù)式的值是解題的關(guān)鍵．2．（2024秋?長寧縣期中）已知a2+a＝2，則代數(shù)式（a+2）（a﹣2）+a（a+2）值為．【分析】本題考查的是整式的乘法運算，代數(shù)式的求值，先計算整式的乘法，合并同類項，再結(jié)合分配律整體代入求值即可．【解答】解：由題意，∵（a+2）（a﹣2）+a（a+2）＝a2﹣4+a2+2a＝2a2+2a﹣4＝2（a2+a）﹣4，∴當(dāng)a2+a＝2時，原式＝2×2﹣4＝4﹣4＝0．故答案為：0．【點評】本題主要考查了平方差公式、單項式乘多項式，解題時要熟練掌握并能靈活運用平方差公式進行運算是關(guān)鍵．3．﹣2y）（x+2y）﹣2x（x﹣y），其中x=?38，【分析】根據(jù)整式的加減運算法則進行化簡，然后將x與y的值代入原式即可求出答案．【解答】解：原式＝x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2﹣2x2+2xy＝﹣2xy．當(dāng)x=?38，原式=?2×(?3【點評】本題考查整式的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用整式的加減運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．4．（2023秋?天山區(qū)校級期末）先化簡，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b），其中a=1，b=?1【分析】原式利用單項式乘多項式法則，完全平方公式，以及平方差公式化簡，去括號合并得到最簡結(jié)果，把a與b的值代入計算即可求出值．【解答】解：原式＝（a2﹣2ab）+（a2+2ab+b2）﹣（a2﹣b2）＝a2﹣2ab+a2+2ab+b2﹣a2+b2＝a2+2b2，當(dāng)a＝1，b=?1原式＝1+2×（?12＝1+=3【點評】此題考查了整式的混合運算﹣化簡求值，熟練掌握運算法則及公式是解本題的關(guān)鍵．5．（2024春?鹽湖區(qū)校級期末）已知，x2+4x﹣4＝0，求3（x﹣2）2﹣6（x+1）（x﹣1）的值．【分析】根據(jù)完全平方公式、平方差公式可以化簡題目中的式子，然后對式子x2+4x﹣4＝0變形，即可解答．【解答】解：3（x﹣2）2﹣6（x+1）（x﹣1）＝3x2﹣12x+12﹣6x2+6＝﹣3x2﹣12x+18，∵x2+4x﹣4＝0，∴x2+4x＝4，∴原式＝﹣3（x2+4x）+18＝﹣3×4+18＝6．【點評】本題考查整式的混合運算﹣化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確整式的化簡求值的方法．6．（2024秋?老河口市期末）先化簡，再求值：（x+3y）（x﹣3y）﹣（2x﹣y）2﹣y（3x﹣7y），其中x，y滿足x+y＝3，xy＝1．【分析】利用完全平方公式計算乘方，利用平方差公式和單項式乘多項式的運算法則計算乘法，然后去括號，合并同類項進行化簡，最后利用整體思想代入求值．【解答】解：原式＝（x2﹣9y2）﹣（4x2﹣4xy+y2）﹣3xy+7y2＝x2﹣9y2﹣4x2+4xy﹣y2﹣3xy+7y2＝﹣3x2+xy﹣3y2，∵x+y＝3，xy＝1，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝32﹣2×1＝9﹣2＝7，∴原式＝﹣3（x2+y2）+xy＝﹣3×7+1＝﹣20．【點評】本題考查整式的混合運算，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2和平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解題關(guān)鍵．題型八利用完全平方公式的變形求值解題技巧提煉利用完全平方公式的變形求值，主要是根據(jù)已知條件與待求式的特點，靈活選用恰當(dāng)?shù)淖冃喂竭M行化簡計算，同時能逆用公式進行配方運算，從而挖掘隱含條件求解.1．（2023秋?城口縣期末）若a+b＝5，ab＝1，則（a﹣b）2的值（）A．1 B．9 C．16 D．21【分析】利用完全平方公式將原式變形后代入數(shù)值計算即可．【解答】解：∵a+b＝5，ab＝1，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝52﹣4×1＝25﹣4＝21，故選：D．【點評】本題考查完全平方公式，將原式進行正確的變形是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?重慶期末）已知m+n＝5，mn＝3，則m2﹣mn+n2的值為（）A．16 B．22 C．28 D．36【分析】將m2﹣mn+n2變形為（m+n）2﹣3mn，然后整體代入計算即可．【解答】解：∵m+n＝5，mn＝3，∴m2﹣mn+n2＝（m+n）2﹣3mn＝52﹣3×3＝25﹣9＝16，故選：A．【點評】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式的變形是解題的關(guān)鍵．3．（2024春?包河區(qū)期中）已知（2022﹣m）（2020﹣m）＝2021，那么（2022﹣m）2+（2020﹣m）2的值為（）A．4046 B．2023 C．4042 D．4043【分析】利用完全平方公式變形即可．【解答】解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab．∴（2022﹣m）2+（2020﹣m）2＝[（2022﹣m）﹣（2020﹣m）]2+2×（2022﹣m）（2020﹣m）＝4+2×2021＝4046．故選：A．【點評】本題考查的是完全平方公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式的各種變式．4．（2023春?金寨縣期末）已知a+b＝2，ab＝﹣1，求下列各式的值．（1）求a2+b2的值；（2）求（a﹣b）2的值．【分析】（1）變形a2+b2為（a+b）2﹣2ab，整體代入求值；（2）利用（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab進行計算即可．【解答】解：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．∵a+b＝2，ab＝﹣1，∴原式＝22﹣2×（﹣1）＝4+2＝6；（2）∵a+b＝2，ab＝﹣1，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝22﹣4×（﹣1）＝4+4＝8．【點評】本題主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的變形及整體代入的思想方法是解決本題的關(guān)鍵．5．（2024秋?汝南縣期末）已知x+y＝4，xy＝2，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）yx【分析】（1）先根據(jù)完全平方公式進行變形，再代入求出答案即可；（2）先通分，再把x2+y2＝12和xy＝2代入，即可求出答案．【解答】解：（1）∵x+y＝4，xy＝2，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝42﹣2×2＝16﹣4＝12；（2）由（1）知x2+y2＝12，又∵xy＝2，∴y=y=12＝6．【點評】本題考查了完全平方公式，能靈活運用完全平方公式進行變形是解此題的關(guān)鍵，（a+b）2＝a2+2ab+b2．6．（2023春?永豐縣期中）已知：a2+b2＝3，a+b＝2．求：（1）ab的值；（2）（a﹣b）2的值；（3）a4+b4的值．【分析】（1）把a+b＝2兩邊平方，利用完全平方公式得到a2+2ab+b2＝4，然后把a2+b2＝3代入可計算出ab的值；（2）利用完全平方公式得到（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，然后利用整體代入的方法計算；（3）利用完全平方公式得到a4+b4＝（a2+b2）2﹣2（ab）2，然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：（1）∵a+b＝2，∴（a+b）2＝4，即a2+2ab+b2＝4，∵a2+b2＝3，∴3+2ab＝4，∴ab=1（2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝4﹣4×1（3）a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝（a2+b2）2﹣2（ab）2＝32﹣2×（12）＝9?=17【點評】本題考查了完全平方公式：記住完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵．7．（2023春?福田區(qū)校級期中）閱讀：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．請你根據(jù)上述解題思路解答下面問題：（1）已知a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2，求a2+b2的值；（2）已知a﹣b﹣c＝﹣10，（a﹣b）c＝﹣12，求（a﹣b）2+c2的值．【分析】（1）利用完全平方公式得到a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，然后利用整體代入的方法計算；（2）利用完全平方公式得變形，然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：（1）∵a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝（﹣3）2+2×（﹣2）＝5；（2）∵a﹣b﹣c＝﹣10，（a﹣b）c＝﹣12，∴（a﹣b）2+c2＝[（a﹣b）﹣c]2+2（a﹣b）c＝（﹣10）2+2×（﹣12）＝76．【點評】本題考查了完全平方公式：記住完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．也考查了整式的運算．題型九乘法公式的實際應(yīng)用問題解題技巧提煉利用整式的乘法公式解決實際問題主要是先根據(jù)實際問題中的數(shù)量關(guān)系列出整式，然后再進行整式的混合運算即可，另外要注意結(jié)合圖形來分析.1．如圖，從邊長為a+2的正方形紙片中剪去一個邊長為a的小正方形，剩余部分可剪拼成一個不重疊、無縫隙的長方形，若拼成的長方形一邊長為2，則它另一邊的長是（）A．2a﹣2 B．2a C．2a+1 D．2a+2【分析】根據(jù)圖形的拼接，可得出答案．【解答】解：由拼圖過程可得，長為（a+2）+a＝2a+2，故選：D．【點評】本題考查平方差公式的幾何背景，正確表示兩個圖形的面積是得出關(guān)系式的關(guān)鍵．2．（2023景縣校級模擬）如圖，有兩個正方形紙板A，B，紙板A與B的面積之和為34．現(xiàn)將紙板B按甲方式放在紙板A的內(nèi)部，陰影部分的面積為4．若將紙板A，B按乙方式并列放置后，構(gòu)造新的正方形，則陰影部分的面積為（）A．30 B．32 C．34 D．36【分析】先設(shè)A，B的邊長分別是a，b，再用a，b邊上陰影部分的面積求解．【解答】解：設(shè)A的邊長a，B的邊長是b，則a2+b2＝34，根據(jù)題意得：（a﹣b）2＝4，∴a2+b2﹣2ab＝4，∴2ab＝30，∴乙圖陰影部分的面積為：（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab＝30，故選：A．【點評】本題考查了完全平方公式的幾何背景，用字母表示面積是解題的關(guān)鍵．3．（2024春?桓臺縣期末）某種植基地有一塊長方形和一塊正方形實驗田，兩塊實驗田均種植了豌豆幼苗．長方形實驗田每排種植（3a﹣b）株，種植了（3a+b）排；正方形實驗田每排種植（2a﹣b）株，種植了（2a﹣b）排，其中a＞b＞0．（1）正方形實驗田比長方形實驗田少種植豌豆幼苗多少株？（2）當(dāng)a＝5，b＝2時，該種植基地這兩塊實驗田一共種植了多少株豌豆幼苗？【分析】（1）根據(jù)題意列出算式，計算后即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)題意列出算式，化簡后把a＝5，b＝2代入計算，即可得出結(jié)果．【解答】解：（1）由題意得：（3a﹣b）（3a+b）﹣（2a﹣b）2＝9a2﹣b2﹣4a2+4ab﹣b2＝5a2+4ab﹣2b2，答：正方形實驗田比長方形實驗田少種植豌豆幼苗（5a2+4ab﹣2b2）株；（2）由題意得：（3a﹣b）（3a+b）+（2a﹣b）2＝9a2﹣b2+4a2﹣4ab+b2＝13a2﹣4ab，當(dāng)a＝5，b＝2時，原式＝13×52﹣4×5×2＝325﹣40＝285，答：該種植基地這兩塊實驗田一共種植了285株豌豆幼苗．【點評】本題考查了多項式乘多項式，弄清題意，列出算式，掌握平方差公式，完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵．4．某公司門前一塊長為（6a+2b）米，寬為（4a+2b）米的長方形空地要鋪地磚，如圖所示，空白的A、B兩正方形區(qū)域是建筑物，不需要鋪地磚．兩正方形區(qū)域的邊長均為（a+b）米．（1）求鋪設(shè)地磚的面積是多少平方米；（2）當(dāng)a＝2，b＝3時，需要鋪地磚的面積是多少？【分析】（1）長方形空地的面積減去建筑物A、B的面積即可；（2）把a＝2，b＝3時代入計算即可．【解答】解：（1）鋪設(shè)地磚的面積為：（6a+2b）（4a+2b）﹣2（a+b）2＝24a2+20ab+4b2﹣2a2﹣4ab﹣2b2＝22a2+16ab+2b2（平方米），答：鋪設(shè)地磚的面積為（22a2+16ab+2b2）平方米；（2）當(dāng)a＝2，b＝3時，原式＝22×22+16×2×3+2×32＝202（平方米），答：當(dāng)a＝2，b＝3時，需要鋪地磚的面積是202平方米．【點評】本題考查多項式乘以多項式，掌握計算法則是正確計算的前提．5．（2023春?新都區(qū)期末）【閱讀材料】眾所周知，圖形是一種重要的數(shù)學(xué)語言，它直觀形象，能表現(xiàn)一些代數(shù)中的數(shù)量關(guān)系，運用代數(shù)思想也能巧妙地解決一些圖形問題．在某次數(shù)學(xué)活動課上，王老師準(zhǔn)備了若干張如圖1所示的甲，乙兩種紙片，其中甲種紙片是邊長為x的正方形，乙種紙片是邊長為y的正方形，現(xiàn)用甲種紙片一張，乙種紙片一張，將甲種紙片放置在乙種紙片內(nèi)部右下角，如圖所示．【拓展升華】（2）利用（1）中的等式解決下列問題．①已知（a﹣b）2＝4，b2＝9，且a＞b，求a2的值；②已知（4044x﹣2）?2022x＝2021，求（1﹣2022x）2+20222x2的值．【分析】（1）根據(jù)面積關(guān)系寫恒等式．（2）利用（1）中等式求解即可．【解答】解：（1）圖2中大正方形的面積為：y2，還可以表示為：（y﹣x）2+2x（y﹣x）+x2，∴y2＝（y﹣x）2+2x（y﹣x）+x2，∴（y﹣x）2＝y(tǒng)2﹣2xy+x2．（2）①∵（a﹣b）2＝4，∴a﹣b＝±2，∵a＞b，∴a﹣b＝2，∵b2＝9，∴b＝±3，∴a＝b+2＝5或﹣1，∴a2＝25或1．②設(shè)a＝1﹣2022x，b＝2022x，則a+b＝1，2ab＝﹣2021，∴原式＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝1+2021＝2022．【點評】本題考查完全平方公式的幾何背景，利用面積得到代數(shù)恒等式是求解本題的關(guān)鍵．6．（2024秋?馬尾區(qū)校級期中）將完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2進行適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學(xué)問題，例如：a+b＝2，ab＝1，求a2+b2的值．解：∵a+b＝2，∴（a+b）2＝4，即a2+2ab+b2＝4又ab＝1，∴a2+2×1+b2＝4，得a2+b2＝2．根據(jù)上面得接題思路與方法，解決下列問題：（1）若a﹣b＝5，a2+b2＝21，則ab＝；（2）為推動學(xué)生勞動實踐得有效進行，某學(xué)校在校園開辟了勞動教育基地，培養(yǎng)學(xué)生勞動品質(zhì)．如圖，校園內(nèi)有兩個正方形場地ABCD、AEFG，（AB＞AG）兩個正方形面積和為218m2，兩個正方形邊長和為20m，學(xué)校計劃在中間陰影部分擺放花卉，其余地方分配給各班作為種植基地．請求出擺放花卉場地的面積．【分析】（1）根據(jù)（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，代入計算即可；（2）設(shè)大正方形的邊長為xm，小正方形的邊長為ym，由題意得x+y＝20，x2+y2＝218，根據(jù)（x+y）2＝x2+y2+2xy，求出xy的值，再根據(jù)（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy求出x﹣y的值，由S陰影部分=12x?（x﹣【解答】解：（1）∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，而a﹣b＝5，a2+b2＝21，∴25＝21﹣2ab，解得ab＝﹣2，故答案為：﹣2；（2）設(shè)大正方形的邊長為xm，小正方形的邊長為ym，由題意得，x+y＝20，x2+y2＝218，∵（x+y）2＝x2+y2+2xy，即400＝218+2xy，∴xy＝91，又∵（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，而x+y＝20，x2+y2＝218，∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝400﹣4×91＝36，∵x＞y，∴x﹣y＝6，又∵x+y＝20，∴x＝13，y＝7，∴S陰影部分=12x?（x﹣y）=12答：擺放花卉場地的面積為39m2．【點評】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的關(guān)鍵．題型十運用乘法公式找規(guī)律解題技巧提煉運用整式的乘法公式的規(guī)律探索問題主要是根據(jù)題中的等式探究出規(guī)律，然后再由規(guī)律解決問題.1．（2023春?龍崗區(qū)期末）【觀察】①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1：②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；…【歸納】由此可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝xn+1﹣1；【應(yīng)用】請運用上面的結(jié)論，計算：22023+22022+22011…+22+2+1＝（）A．22023﹣1 B．22024﹣1 C．22024 D．22025﹣1【分析】變形為22023+22022+22011…+22+2+1＝（2﹣1）×（22023+22022+22011…+22+2+1），再根據(jù)已知算式得出的規(guī)律得出答案即可．【解答】解：22023+22022+22011…+22+2+1＝（2﹣1）×（22023+22022+22011…+22+2+1）＝22024﹣1，故選：B．【點評】本題考查了平方差公式，能根據(jù)已知算式得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．2．（2023秋?農(nóng)安縣期中）你能求（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+?+x2+x+1）的值嗎？遇到這樣的問題，我們可以先思考一下，從簡單的情形入手，先分別計算下列各式的值．①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1……（1）由此我們可以得到：（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+?+x2+x+1）＝．（2）請你利用上面的結(jié)論，再完成下面的計算：（﹣2）99+（﹣2）98+（﹣2）97+?+（﹣2）+1．【分析】（1）觀察已知等式得到一般性規(guī)律，寫出即可；（2）式子轉(zhuǎn)化為?13×（﹣2﹣1）×[（﹣2）99+（﹣2）98【解答】解：（1）由此我們可以得到：（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+…+x+1）＝x2023﹣1；故答案為：x2023﹣1；（2）原式=?13×（﹣2﹣1）×[（﹣2）99+（﹣2）98=?13×=1?【點評】此題考查了平方差公式和數(shù)字的變化規(guī)律，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．3．（2023秋?朝陽區(qū)校級期中）探究與應(yīng)用我們學(xué)習(xí)過（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，那么（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）計算結(jié)果呢？完成下面的探究：（1）（x﹣1）（x2+x+1）＝；（2）（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝；……（3）（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝；應(yīng)用：計算2+22+23+24+……+22022．【分析】（1）先根據(jù)多項式乘多項式法則進行計算，再合并同類項即可；（2）先根據(jù)多項式乘多項式法則進行計算，再合并同類項即可；（3）先根據(jù)多項式乘多項式法則進行計算，再合并同類項即可；應(yīng)用：先根據(jù)以上算式得出（2﹣1）×（22022+22021+22020+……+1）＝22023﹣1，再得出答案即可．【解答】解：（1）（x﹣1）（x2+x+1）＝x3+x2+x﹣x2﹣x﹣1＝x3﹣1，故答案為：x3﹣1；（2