2.1兩條直線的位置關(guān)系（12大題型提分練）七年級數(shù)學(xué)下冊同步課堂（北師大版2024）

PAGE1（北師大版）七年級下冊數(shù)學(xué)《第2章相交線與平行線》2.1兩條直線的位置關(guān)系知識點(diǎn)知識點(diǎn)一相交線和平行線★1、相交線的定義（1）若兩條直線只有一個公共點(diǎn)，我們稱這兩條直線為相交線.（2）兩條相交線在形成的角中有特殊的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系的有對頂角和鄰補(bǔ)角兩類.★2、平行線定義：在同一個平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線．【注意】1、在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線只有兩種位置關(guān)系：相交和平行．(重合的直線視為一條直線)2、.線段或射線平行是指它們所在的直線平行．知識點(diǎn)知識點(diǎn)二余角和補(bǔ)角★1、余角和補(bǔ)角的概念名稱概念數(shù)學(xué)語言圖示互為余角如果兩個銳角的和是一個直角，我們就說這兩個角互為余角，簡稱互余，也可以說其中一個角是另一個角的余角.若∠1+∠2=90°，則∠1與∠2互余，∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角.互為補(bǔ)角如果兩個角的和是一個平角，我們就說這兩個角互為補(bǔ)角，簡稱互補(bǔ)，也可以說其中一個角是另一個角的補(bǔ)角.若∠3+∠4=180°，則∠3與∠4互補(bǔ)，∠3是∠4的補(bǔ)角，∠4也是∠3的補(bǔ)角.【注意】（1）兩個角互余或互補(bǔ)是兩個角之間的數(shù)量關(guān)系，與它們的位置無關(guān)。（2）若兩個角互余，則這兩個角一定都是銳角；若兩個角互補(bǔ)，則這兩個角可能都是直角，也可能一個是銳角，另一個是鈍角?！?、余角和補(bǔ)角的性質(zhì)◆1、同角（等角）的余角相等.幾何語言：（1）如果∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，那么∠2=∠3；（同角的余角相等）（2）如果∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，且∠1=∠3，那么∠2=∠4；（等角的余角相等）◆2、同角（等角）的補(bǔ)角相等.幾何語言：（1）如果∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，那么∠2=∠3；（同角的補(bǔ)角相等）如果∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，且∠1=∠3，那么∠2=∠4；（等角的補(bǔ)角相等）.知識點(diǎn)知識點(diǎn)三鄰補(bǔ)角和對頂角概念和性質(zhì)★1、鄰補(bǔ)角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，互為鄰補(bǔ)角．如圖中∠1和∠2，∠1和∠3都互為鄰補(bǔ)角.★2、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，即和為180°．互為鄰補(bǔ)角是互為補(bǔ)角的特殊情況.如上圖：∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°.【注意】（1）鄰補(bǔ)角是成對出現(xiàn)的，單獨(dú)的一個角或兩個以上的角不能稱為鄰補(bǔ)角.（2）（3）互為鄰補(bǔ)角的兩個角一定互補(bǔ)，但互補(bǔ)的兩個角不一定是鄰補(bǔ)角.★3、對頂角：有一個公共頂點(diǎn)，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為對頂角．如圖中∠1與∠3互為對頂角，∠2與∠4互為對頂角.【注意】對頂角是成對出現(xiàn)的，指兩個角之間的關(guān)系，一個角的對頂角只有一個.★4、對頂角的性質(zhì)：對頂角相等．如圖，因?yàn)橹本€AB與CD相交于O點(diǎn)，所以∠1=∠3，∠2=∠4.【注意】兩個角互為對頂角，它們一定相等，但相等的兩個角不一定互為對頂角.知識點(diǎn)知識點(diǎn)四垂線的概念、畫法及其性質(zhì)★1、垂線的概念：垂線：當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中有一個角為90°時，這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.【注意】兩條直線互相垂直是它們相交的一種特殊情況.★2、垂直的表示方法：如圖，①若AB⊥CD，則∠BOC=∠AOC=∠AOD=∠BOD=90°；②若∠BOC=90°，則AB⊥CD.★3、垂線的畫法一落：讓三角板的一條直角邊落在已知直線上，使其與已知直線重合；二移：沿直線移動三角板，使其另一直角邊經(jīng)過所給的點(diǎn)；三畫：沿此直角邊畫直線，則這條直線就是已知直線的垂線．★4、垂線的性質(zhì)【注意】知識點(diǎn)知識點(diǎn)五垂線段與點(diǎn)到直線的距離★1、垂線段：從直線外一點(diǎn)引一條直線的垂線，這點(diǎn)和垂足之間的線段叫做垂線段．★2、垂線段的性質(zhì)：連接直線外一點(diǎn)與這條直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短，簡單說成：垂線段最短．【注意】正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短．它是相對于這點(diǎn)與直線上其他各點(diǎn)的連線而言．★3、點(diǎn)到直線的距離：（1）點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離．（2）點(diǎn)到直線的距離是一個長度，而不是一個圖形，也就是垂線段的長度，而不是垂線段．它只能量出或求出，而不能說畫出，畫出的是垂線段這個圖形．如圖，線段AD的長度是點(diǎn)A到直線l的距離.題型一兩條直線的位置關(guān)系解題技巧提煉在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線只有兩種位置關(guān)系：相交和平行．(重合的直線視為一條直線)1．（2024春?招遠(yuǎn)市期末）同一平面內(nèi)不重合的兩條直線的位置關(guān)系有（）A．相交、垂直 B．相交、平行 C．垂直、平行 D．相交、垂直、平行【分析】根據(jù)同一平面內(nèi)的直線有相交與平行兩種位置關(guān)系即可解答．【解答】解：同一平面內(nèi)的兩直線只有相交與平行兩種位置關(guān)系．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了直線的位置關(guān)系，垂直是相交的特殊情況，這也是同學(xué)們?nèi)菀壮鲥e的地方．2．（2024春?東阿縣校級月考）在下列4個判斷中：①在同一平面內(nèi)，不相交也不重合的兩條線段一定平行；②在同一平面內(nèi)，不相交也不重合的兩條直線一定平行；③在同一平面內(nèi)，不平行也不重合的兩條線段一定相交；④在同一平面內(nèi)，不平行也不重合的兩條直線一定相交．正確判斷的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根據(jù)平面內(nèi)兩條直線的三種位置關(guān)系：平行或相交或重合進(jìn)行判斷．【解答】解：在同一平面內(nèi)，不相交也不重合的兩條直線一定平行，故①錯誤，②正確；在同一平面內(nèi)，不平行也不重合的兩條直線一定相交故，③錯誤，④正確．故正確判斷的個數(shù)是2．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了平行線和相交的定義．同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系：平行或相交或重合，對于這一知識的理解過程中要注意：①前提是在同一平面內(nèi)；②對于線段或射線來說，指的是它們所在的直線．3．（2023秋?海港區(qū)期末）“直線AB與射線CD相交于點(diǎn)O”，畫圖正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)直線、射線相交的定義判斷即可．【解答】解：如圖，直線AB與射線CD相交于點(diǎn)O，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了相交線，熟練掌握直線、射線的定義以及相交線的定義是解題的關(guān)鍵．4．（2023春?遵化市期中）任意畫三條不重合的直線，交點(diǎn)的個數(shù)是（）A．1 B．1或3 C．0或1或2或3 D．不能確定【分析】在平面上任意畫三條直線，相交的情況有四種可能．①三直線平行；②三條直線相交于一點(diǎn)；③兩直線平行被第三直線所截；④兩直線相交，又被第三直線所截．故可得出答案．【解答】解：任意畫三條直線，相交的情況有四種可能：1、三直線平行，沒有交點(diǎn)；2、三條直線相交于同一點(diǎn)，一個交點(diǎn)；3、兩直線平行被第三直線所截，得到兩個交點(diǎn)；4、兩直線相交得到一個交點(diǎn)，又被第三直線所截，共三個交點(diǎn)．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查直線的相交情況，要注意分情況討論，要細(xì)心，查找時要不重不漏．5．（2023秋?峨眉山市校級期末）一平面內(nèi)，三條直線兩兩相交，最多有3個交點(diǎn)；4條直線兩兩相交，最多有6個交點(diǎn)；5條直線兩兩相交，最多有10個交點(diǎn)；8條直線兩兩相交，最多有（）個交點(diǎn)．A．24 B．26 C．28 D．30【分析】根據(jù)所給數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：n條直線兩兩相交，最多有n(n?1)2【解答】解：∵3條直線兩兩相交，最多有3×(3?1)24條直線兩兩相交，最多有4×(4?1)25條直線兩兩相交，最多有5×(5?1)2∴n條直線兩兩相交，最多有n(n?1)2∴8條直線兩兩相交，最多有8×(8?1)2故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了規(guī)律型—數(shù)字的變化類．題型二余角的定義及其性質(zhì)運(yùn)用解題技巧提煉1、余角：如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角．即其中一個角是另一個角的余角．2、余角的性質(zhì)：同角（等角）的余角相等．1．（2024?惠城區(qū)二模）已知∠1與∠2互余，∠1＝42°，則∠2的度數(shù)為（）A．38° B．48° C．58° D．138°【分析】根據(jù)互為余角的定義得∠1+∠2＝90°，再根據(jù)∠1＝42°即可求出∠2的度數(shù)．【解答】解：∵∠1與∠2互余，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1＝42°，∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣42°＝48°．故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了互為余角的定義，角的計算，理解互為余角的定義，熟練掌握角的計算是解決問題的關(guān)鍵．2．（）A．20° B．40° C．50° D．140°【分析】根據(jù)余角的概念進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵∠1和∠2互余，∠2與∠3互余，∴∠1＝∠3，∵∠1＝40°，∴∠3＝40°．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了余角的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握同角的余角相等．3．（2024?和平區(qū)模擬）將一副三角板（含30°，45°，60°，90°角）按如圖所示的位置擺放在直尺上，則∠1的余角度數(shù)是（）A．15° B．60° C．75° D．105°【分析】依題意得：∠2＝45°，∠3＝60°，由此可得∠4＝75°，再根據(jù)直尺的對邊平行得∠1＝∠4＝75°，進(jìn)而求出∠1的余角即可得出答案．【解答】解：如圖所示：依題意得：∠2＝45°，∠3＝60°，∴∠2+∠3＝105°，∵∠4+∠2+∠3＝180°，∴∠4＝75°，根據(jù)直尺的對邊平行得∠1＝∠4＝75°，∴∠1的余角為：90°﹣∠1＝90°﹣75°＝15°．故選：A．【點(diǎn)評】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義，互為余角的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)，理解鄰補(bǔ)角的定義，互為余角的定義是解決問題的關(guān)鍵．4．（2024秋?欒城區(qū)期中）已知∠α＝60°32'，∠α與∠β互余，則∠β＝．【分析】利用余角的定義，度分秒的換算法則計算．【解答】解：∠β＝90°﹣∠α＝90°﹣60°32′＝29°28′．故答案為：29°28′．【點(diǎn)評】本題考查了余角的定義和度分秒的換算，解題的關(guān)鍵是掌握余角的定義和度分秒的換算法則．5．（2023秋?肥西縣月考）若∠α與∠β互余，且∠α＝3∠β，則∠β＝．【分析】根據(jù)∠α與∠β互余，可得∠α+∠β＝90°，與∠α＝3∠β組成二元一次方程組即可求解．【解答】解：由題意得：∠α+∠β＝90°，∠α＝3∠β．解得：∠β＝22.5°．故答案為：22.5°．【點(diǎn)評】本題主要考查余角的定義、角的換算，熟練掌握余角的定義以及角的換算是解決本題的關(guān)鍵．6．（2024春?鋼城區(qū)期末）如圖，點(diǎn)A，O，B在同一直線上，∠AOC＝120°，OD是∠AOC的平分線，且∠DOE＝90°．（1）求∠BOE的度數(shù)；（2）寫出圖中所有與∠AOD互余的角是．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠AOD=∠COD=12∠AOC=6（2）根據(jù)余角的定義即可解答；【解答】解：（1）∵OD平分∠AOC，∠AOC＝120°，∴∠AOD=∠COD=1∵∠DOE＝90°，∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝150°，∵∠AOE+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝30°．（2）∵∠DOE＝90°，∴∠AOD+∠BOE＝90°，∵OD是∠AOC的平分線，∴∠AOD=∠COD=1∴∠COD+∠COE＝90°，∴與∠AOD互余的角是∠COE和∠BOE，故答案為：∠COE和∠BOE．【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的定義，補(bǔ)角的定義，余角的定義，掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．7．（2024秋?陽曲縣期末）如圖（甲），∠AOC和∠BOD都是直角．（1）如果∠DOC＝25°，∠AOB的度數(shù)為．（2）圖（甲）中相等的角有．如果∠DOC≠25°，它們（填“相等”或“不等”）（3）在圖（乙）中利用能夠畫直角的工具再畫一個與∠COB相等的角．【分析】（1）利用余角的定義可求得∠AOD＝65°，從而可求解；（2）結(jié)合圖形，利用余角的性質(zhì)進(jìn)行分析即可；（3）利用等角的余角相等進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）∵∠AOC和∠BOD都是直角，∠DOC＝25°，∴∠AOC＝∠BOD＝90°，∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝65°，∴∠AOB＝∠BOD+∠AOD＝155°，故答案為：155°；（2）∵∠AOC和∠BOD都是直角，∴∠AOD+∠DOC＝90°，∠BOC+∠DOC＝90°，∴∠AOD＝∠BOC；如果∠DOC≠25°，它們?nèi)韵嗟?；故答案為：∠AOD＝∠BOC，相等；（3）如圖乙，以AB為邊畫∠AOB＝90°，再以O(shè)C為邊畫∠COD＝90°，由同角的余角相等得∠AOD＝∠BOC．題型三補(bǔ)角的定義及其性質(zhì)運(yùn)用解題技巧提煉1、補(bǔ)角：如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補(bǔ)角．即其中一個角是另一個角的補(bǔ)角．2、補(bǔ)角的性質(zhì)：同角（等角）的補(bǔ)角相等．1．（2023秋?安新縣期末）如果∠1與∠2互余，∠2與∠3互補(bǔ)，則∠3與∠1的關(guān)系是（）A．∠3＝∠1 B．∠3＝90°+∠1 C．∠3＝90°﹣∠1 D．∠3＝180°﹣∠1【分析】根據(jù)∠1與∠2互余，∠2與∠3互補(bǔ)，可得∠1+∠2＝90°①，∠2+∠3＝180°②，通過求差，可得∠3與∠1的關(guān)系．【解答】解：∵∠1與∠2互余，∠2與∠3互補(bǔ)，∴∠1+∠2＝90°①，∠2+∠3＝180°②，②﹣①得，∠3﹣∠1＝180°﹣90°＝90°，變形為：∠3＝90°+∠1，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查互為余角、互為補(bǔ)角的意義，利用等式的性質(zhì)進(jìn)行恒等變形，是尋找關(guān)系的一般方法．2．（2024秋?邢臺期中）已知∠a＝35°30′12″，則它的補(bǔ)角為（）A．144°29′48″ B．54°29′48″ C．144°30′48″ D．154°29′48″【分析】根據(jù)補(bǔ)角及角度的運(yùn)算可進(jìn)行求解．【解答】解：由題意得：180°﹣35°30′12″＝144°29′48″，所以∠α的補(bǔ)角為144°29′48″，故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查余角和補(bǔ)角及度分秒的換算，熟練掌握補(bǔ)角的意義及角度的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．3．（2024秋?肥西縣期末）若∠α與∠β互補(bǔ)，且∠α＞∠β，則下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③180°﹣∠α；④12（∠α﹣∠βA．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④【分析】根據(jù)和為90°的兩個角互為余角即可求解．【解答】解：∵∠α與∠β互補(bǔ)，∴∠α+∠β＝180°，∴∠β＝180°﹣∠α，∴∠β的余角為90°﹣∠β，則①符合題意；∵90°﹣∠β＝90°﹣（180°﹣∠α）＝90°﹣180°+∠α＝∠α﹣90°，則②符合題意；∵∠β＝180°﹣∠α，則③不符合題意；∵12（∠α﹣∠β）=12（180°﹣∠β∠β）=12（180°﹣2∠β∴符合題意的有：①②④，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了余角和補(bǔ)角以及角的概念，掌握角的概念以及余角和補(bǔ)角的定義是解題的關(guān)鍵．4．（2024秋?玄武區(qū)期末）如圖，O是直線AB上的一點(diǎn)，OC是一條射線，OD是∠AOC的角平分線，∠COE＝∠BOE，當(dāng)∠COD與∠BOE互補(bǔ)時，則∠AOC＝°．【分析】OD是∠AOC的角平分線，∠COE＝∠BOE，∠COD與∠BOE互補(bǔ)，可以推出∠BOE＝3∠COD，從而可求∠COD．【解答】解：∵OD是∠AOC的角平分線，∴∠COD＝∠AOD，∵∠AOE+∠BOE＝180°，當(dāng)∠COD與∠BOE互補(bǔ)時，∴∠AOE＝∠COD，∴∠COE＝3∠COD，∵∠COE＝∠BOE，∴∠BOE＝3∠COD，∵∠AOE+∠BOE＝180°，∴4∠COD＝180°，∴∠COD＝45°，∴∠AOC＝90°．故答案為：90．【點(diǎn)評】本題考查有關(guān)角的計算，關(guān)鍵是由條件推出∠BOE＝3∠COD．5．（2024春?閔行區(qū)期末）在平面上，∠AOB和∠AOC有公共的頂點(diǎn)O，且有一條邊重合，如果∠AOB＝65°，∠AOC＝25°，那么，∠BOC的補(bǔ)角的度數(shù)是．【分析】分兩種情況討論：①∠AOC在∠AOB的內(nèi)部，∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC；②∠AOC在∠AOB的外部，∠BOC＝∠AOB+∠AOC．【解答】解：①當(dāng)∠AOC在∠AOB的內(nèi)部時，如圖（1），∵∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC，∴∠BOC＝65°﹣25°＝40°，∴∠BOC的補(bǔ)角為180°﹣40°＝140°；②當(dāng)∠AOC在∠AOB的外部時，如圖（2），∵∠BOC＝∠AOB+∠AOC，∴∠BOC＝65°+25°＝90°，∴∠BOC的補(bǔ)角為180°﹣90°＝90°．故答案為：140°或90°．【點(diǎn)評】此題考查了角的計算，解題的關(guān)鍵是：分兩種情況討論：①∠AOC在∠AOB的內(nèi)部，∠COB的度數(shù)＝∠AOB﹣∠AOC，②∠AOC在∠AOB的外部，∠COB的度數(shù)＝∠AOB+∠AOC．6．補(bǔ)．（1）求∠BOC的度數(shù)；（2）點(diǎn)M為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，且∠BOC＝3∠COM，求∠BOM的度數(shù)．【分析】（1）由角平分線的定義可求解∠AOC＝60°，結(jié)合補(bǔ)角的定義可得2∠BOC+∠AOC＝180°，計算可求解∠BOC的度數(shù)；（2）由∠BOC＝3∠COM可求解∠COM的度數(shù)，再分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)M在∠BOC內(nèi)部時，當(dāng)點(diǎn)M在∠BOC內(nèi)外部時，分別計算可求解．【解答】解：（1）∵∠AOD＝30°，OD平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠AOD＝60°，∵∠AOB與∠BOC互補(bǔ)，∴∠AOB+∠BOC＝180°，∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∴2∠BOC+∠AOC＝180°，即2∠BOC+60°＝180°，解得∠BOC＝60°；（2）∵∠BOC＝3∠COM，∠BOC＝60°，∴∠COM＝20°，當(dāng)點(diǎn)M在∠BOC內(nèi)部時，∠BOM＝∠BOC﹣∠COM＝60°﹣20°＝40°；當(dāng)點(diǎn)M在∠BOC內(nèi)外部時，∠BOM＝∠BOC+∠COM＝60°+20°＝80°．綜上，∠BOM的度數(shù)為40°或80°．【點(diǎn)評】本題主要考查余角和補(bǔ)角，角平分線的定義，角的計算，求解∠AOC的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．7．（2024秋?望花區(qū)期末）已知∠AOB與∠BOC互為補(bǔ)角，OD平分∠BOC．（1）如圖1，若∠AOB＝80°，請分別求出∠BOC與∠AOD的度數(shù)；（2）如圖2，若∠AOB＝140°，請直接寫出∠AOD的度數(shù)．【分析】（1）由補(bǔ)角的定義解得∠BOC＝100°，再根據(jù)角平分線的定義解出∠BOD＝50°，最后由∠AOD＝∠AOB+∠BOD解答；（2）分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)C在∠AOB的內(nèi)部或外部分別畫出相應(yīng)圖形，再由補(bǔ)角的定義解得∠BOC的度數(shù)，結(jié)合角平分線性質(zhì)解出∠BOD的度數(shù)，最后根據(jù)角的和差解答．【解答】解：（1）∠BOC互為補(bǔ)角，所以∠AOB+∠BOC＝180°，因?yàn)椤螦OB＝80°，所以∠BOC＝180°﹣∠AOB＝180°﹣80°＝100°，因?yàn)镺D平分∠BOC，所以∠BOD=1所以∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝80°+50°＝130°．（2）分兩種情況討論，如圖1，因?yàn)椤螦OB與∠BOC互為補(bǔ)角，所以∠AOB+∠BOC＝180°，因?yàn)椤螦OB＝140°，所以∠BOC＝180°﹣∠AOB＝180°﹣140°＝40°，因?yàn)镺D平分∠BOC，所以∠BOD=1所以∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝140°+20°＝160°．如圖2，因?yàn)椤螦OB與∠BOC互為補(bǔ)角，所以∠AOB+∠BOC＝180°，因?yàn)椤螦OB＝140°，所以∠BOC＝180°﹣∠AOB＝180°﹣140°＝40°，因?yàn)镺D平分∠BOC，所以∠BOD=1所以∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝140°﹣20°＝120°，綜上所述，∠AOD的度數(shù)為120°或160°．【點(diǎn)評】本題考查角度的和差，涉及角平分線的性質(zhì)、分類討論等知識，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．題型四余角與補(bǔ)角的計算問題解題技巧提煉綜合運(yùn)用余角與補(bǔ)角的性質(zhì)來解決角度的計算問題.1．（2023秋?綿陽期末）若一個角的余角是它的補(bǔ)角的25A．30° B．60° C．120° D．150°【分析】設(shè)這個角為α，則它的余角為90°﹣α，它的補(bǔ)角為180°﹣α，根據(jù)題意列出關(guān)系式，求出α的值即可【解答】解：設(shè)這個角為α，則它的余角為90°﹣α，它的補(bǔ)角為180°﹣α．由題意得，90°﹣α=25（180°﹣解得：α＝30°．故這個角的度數(shù)為30°．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了余角和補(bǔ)角的知識，解題的關(guān)鍵是掌握互余和補(bǔ)角的定義．2．（2024春?莘縣期末）已知∠A與∠B互為余角，∠C與∠B互為補(bǔ)角，則∠C比∠A大（）A．45° B．90° C．135° D．180°【分析】根據(jù)余角補(bǔ)角定義可得∠A+∠B＝90°，∠B+∠C＝180°，于是得到結(jié)論．【解答】解：∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠C＝180°，∴∠C﹣∠A＝90°，即∠C比∠A大90°，故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了余角和補(bǔ)角，關(guān)鍵是掌握如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角．即其中一個角是另一個角的余角．如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補(bǔ)角．即其中一個角是另一個角的補(bǔ)角．3．（2024秋?市南區(qū)校級期中）已知一個角的余角是這個角的4倍，那么這個角的度數(shù)是．【分析】設(shè)這個角的度數(shù)為α，則它的余角度數(shù)為（90°﹣α），然后根據(jù)已知條件列出方程4α＝90°﹣α，由此解出α即可．【解答】解：設(shè)這個角的度數(shù)為α，則它的余角度數(shù)為（90°﹣α），∴依題意得：4α＝90°﹣α，解得：α＝18°，∴這個角的度數(shù)為18°，故答案為：18°．【點(diǎn)評】此題主要考查了互為余角的定義，理解互為余角的定義是解決問題的關(guān)鍵．4．（2024秋?汝南縣期末）如果一個角的余角的3倍比這個角的補(bǔ)角少24°，那么這個角的度數(shù)為．【分析】設(shè)這個角為x，根據(jù)余角和補(bǔ)角的概念列出方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)這個角為x，由題意得，180°﹣x﹣24°＝3（90°﹣x），解得x＝57°．故答案為：57°．【點(diǎn)評】本題主要考查余角和補(bǔ)角，若兩個角的和為90°，則這兩個角互余；若兩個角的和等于180°，則這兩個角互補(bǔ)．5．（2024秋?老河口市期末）已知一個銳角的補(bǔ)角比這個角的余角的3倍大30°，求這個角的度數(shù)．【分析】根據(jù)余角、補(bǔ)角的定義即可解答．【解答】解：設(shè)這個銳角等于x°．根據(jù)題意，得180﹣x＝3（90﹣x）+30．解得x＝60．答：這個銳角的度數(shù)是60°．【點(diǎn)評】本題考查余角、補(bǔ)角，掌握余角、補(bǔ)角的定義是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋?甘肅期末）如圖，O為直線DA上一點(diǎn)，OE是∠AOB的平分線，∠FOB＝90°．（1）∠AOF的余角是；（2）∠DOB的補(bǔ)角是；（3）若∠EOF＝20°，求∠AOF的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平角定義可得∠AOF+∠BOD＝90°，再根據(jù)余角定義可得答案；（2）根據(jù)如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補(bǔ)角．即其中一個角是另一個角的補(bǔ)角可得答案；（3）首先計算出∠BOE的度數(shù)，進(jìn)而可得∠AOE的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關(guān)系可得答案．【解答】解：（1）∵∠BOF＝90°，∴∠AOF+∠BOD＝180°﹣90°＝90°，∴∠AOF的余角是∠BOD，故答案為：∠BOD；（2）∠DOB的補(bǔ)角是∠AOB，故答案為：∠AOB；（3）∵∠EOF＝20°，∠FOB＝90°，∴∠BOE＝70°，∵OE是∠AOB的平分線，∴∠AOE＝∠BOE＝70°，∵∠EOF＝20°，∴∠AOF＝50°．【點(diǎn)評】此題主要考查了余角和補(bǔ)角，以及角的計算，關(guān)鍵是掌握余角：如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角．即其中一個角是另一個角的余角．補(bǔ)角：如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補(bǔ)角．即其中一個角是另一個角的補(bǔ)角．7．（2023秋?和平區(qū)校級期末）如圖，∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠DOE．（1）圖中與∠COB互余的角是，圖中與∠COB互補(bǔ)的角是．（2）求∠COE的度數(shù)．【分析】（1）利用余角的定義與補(bǔ)角的定義進(jìn)行判斷即可；（2）由（1）可知∠COB＝∠BOD＝45°，再結(jié)合條件可求得∠BOE的度數(shù)，從而可求解．【解答】解：（1）∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC+∠COB＝90°，∠BOD+∠COB＝90°，∴∠COB的余角為：∠AOC，∠BOD；∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠COB＝45°，∴∠BOD＝45°，∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝135°，∴∠AOD+∠COB＝180°，即與∠COB互補(bǔ)的角是∠AOD；故答案為：∠AOC和∠BOD，∠AOD；（2）由（1）得：∠COB＝∠BOD＝45°，∵∠BOD＝3∠DOE，∴∠DOE＝15°，∴∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝30°，∴∠COE＝∠COB+∠BOE＝75°．【點(diǎn)評】本題主要考查余角與補(bǔ)角，角平分線的定義，解答的關(guān)鍵是明確互余的兩角之和為90°，互補(bǔ)的兩角之和為180°．題型五鄰補(bǔ)角的識別和性質(zhì)解題技巧提煉1、鄰補(bǔ)角的識別方法：互為鄰補(bǔ)角的兩個角必須滿足以下條件：①有一條公共邊；②另一條邊互為反向延長線.二者缺一不可.2、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ).1．鄰補(bǔ)角是（）A.和為180°的兩個角；B.有公共頂點(diǎn)且互補(bǔ)的兩個角；C.有一條公共邊且相等的兩個角；D.有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊，另一邊互為反向延長線的兩個角.【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念進(jìn)行解答；【解答】解:只有一條公共邊，它們的另一邊互為延長線，具有這種的關(guān)系的兩個角，互為鄰補(bǔ)角，故選：B.【點(diǎn)評】此題主要考查了鄰補(bǔ)角的定義，正確記憶鄰補(bǔ)角定義中的重要條件是關(guān)鍵．2．（2024春?灤南縣校級期末）下列四個圖中，∠α與∠β互為鄰補(bǔ)角的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，互為鄰補(bǔ)角，作出判斷即可．【解答】解：根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可知：只有選項(xiàng)C中的是鄰補(bǔ)角，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了鄰補(bǔ)角的定義，正確掌握鄰補(bǔ)角的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2024秋?蘭西縣期末）如圖，圖中鄰補(bǔ)角有幾對（）A．4對 B．5對 C．6對 D．8對【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念判斷即可．【解答】解：∠1與∠2是鄰補(bǔ)角，∠1與∠4是鄰補(bǔ)角，∠3與∠2是鄰補(bǔ)角，∠3與∠4是鄰補(bǔ)角，∠5與∠6是鄰補(bǔ)角，∠5與∠8是鄰補(bǔ)角，∠6與∠7是鄰補(bǔ)角，∠7與∠8是鄰補(bǔ)角共8對，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的是鄰補(bǔ)角的概念，只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，互為鄰補(bǔ)角．4．（2024春?東洲區(qū)期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，若∠1＝45°，則∠2的度數(shù)為（）A．45° B．55° C．125° D．135°【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得∠2＝135°．【解答】解：∵∠1＝45°，∠2與∠1是鄰補(bǔ)角，∴∠2＝180°﹣45°＝135°．故選：D．【點(diǎn)評】此題考查了鄰補(bǔ)角，解題的關(guān)鍵是掌握鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，即和為180°．5．（2024秋?肇慶期末）如圖，直線AB、CD交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC，若∠1＝50°，則∠BOE等于（）A．65° B．60° C．50° D．45°【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角求出∠BOC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線求出∠BOE的度數(shù)．【解答】解：∠BOC＝180°﹣50°＝130°，∠BOE＝130°÷2＝65°，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了鄰補(bǔ)角和角平分線，解題的關(guān)鍵是根據(jù)互為補(bǔ)角的兩個角和為180度，先求出∠BOC的度數(shù)．6．（2024秋?道里區(qū)校級月考）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，且∠AOC：∠AOD＝1：3，則∠BOD的度數(shù)是（）A．45° B．50° C．55° D．60°【分析】利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)結(jié)合∠AOC：∠AOD＝1：3，求出∠AOC，再利用對頂角相等即可求解．【解答】解：∵直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∴∠AOC+∠AOD＝180°，∵∠AOC：∠AOD＝1：3，∴∠AOD＝3∠AOC，∴∠AOC+3∠AOC＝180°，∴∠AOC＝45°，∴∠BOD＝45°，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查鄰補(bǔ)角和對頂角，熟練掌握鄰補(bǔ)角和對頂角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型六對頂角的識別和性質(zhì)解題技巧提煉1、對頂角的識別方法：兩個角互為對頂角必須滿足兩個條件：①兩個角有一個公共頂點(diǎn)；②一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線.二者缺一不可.2、對頂角的性質(zhì)：對頂角相等.1．（2024秋?九臺區(qū)期末）在下列圖中，∠1與∠2屬于對頂角的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)對頂角的定義：有一個公共頂點(diǎn)，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為對頂角，可得結(jié)論．【解答】解：在選項(xiàng)A、C、D中，∠1與∠2的兩邊都不互為反向延長線，所以不是對頂角，是對頂角的只有選項(xiàng)B．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了對頂角的定義，熟記有一個公共頂點(diǎn)，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為對頂角是解答此題的關(guān)鍵．2．（2024秋?長春期末）下列語句中，正確的是（）A．相等的角一定為對頂角 B．不是對頂角的角一定不相等 C．不相等的角一定不是對頂角 D．有公共頂點(diǎn)且和為180°的兩個角一定為鄰補(bǔ)角【分析】根據(jù)對頂角、鄰補(bǔ)角的定義及性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：A、相等的角不一定為對頂角，原說法錯誤，故此選項(xiàng)不符合題意；B、不是對頂角的角有可能相等，原說法錯誤，故此選項(xiàng)不符合題意；C、不相等的角一定不是對頂角，正確，故此選項(xiàng)符合題意；D、有公共頂點(diǎn)且和為180°的兩個角不一定為鄰補(bǔ)角，原說法錯誤，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了對頂角、鄰補(bǔ)角，熟練掌握這兩個概念是解題的關(guān)鍵．3．（2024秋?南崗區(qū)校級期中）如圖直線AB、CD交于點(diǎn)O，OE為射線，那么（）A．∠AOC和∠BOE是對頂角 B．∠COE和∠AOD是對頂角 C．∠BOC和∠AOD是對頂角 D．∠AOE和∠DOE是對頂角【分析】根據(jù)對頂角的定義可解此題．【解答】解：∵OE⊥AB于點(diǎn)O，∴∠AOE＝90°，∵OC平分∠AOE，∴∠AOC＝∠COE，∵∠BOD與∠AOC是對頂角且相等，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了對頂角的定義，熟記概念，準(zhǔn)確識圖求出各角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．4．（2024秋?婺城區(qū)期末）如圖，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，若∠AOC增大40°，則∠BOD（）A．減少40° B．增大40° C．不變 D．增大0°【分析】根據(jù)對頂角的定義和性質(zhì)求解即可．【解答】解：由圖得，∠AOC＝∠BOD，∴若∠AOC增大40°，則∠BOD增大40°．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了對頂角的定義和性質(zhì)，掌握對頂角的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋?宿城區(qū)期末）泰勒斯被譽(yù)為古希臘及西方第一個自然科學(xué)家和哲學(xué)家，據(jù)說“兩條直線相交，對頂角相等”就是泰勒斯首次發(fā)現(xiàn)并論證的．論證“對頂角相等”使用的依據(jù)是（）A．同角的余角相等 B．同角的補(bǔ)角相等 C．等角的余角相等 D．等角的補(bǔ)角相等【分析】由補(bǔ)角的性質(zhì)：同角的補(bǔ)角相等，即可判斷．【解答】解：論證“對頂角相等”使用的依據(jù)是：同角的補(bǔ)角相等．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查對頂角，鄰補(bǔ)角，補(bǔ)角的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握：補(bǔ)角的性質(zhì)．6．（2023秋?青山湖區(qū)校級期末）如圖，圖中的對頂角共有（）A．4對 B．5對 C．6對 D．7對【分析】利用對頂角定義可得答案．【解答】解：圖中的對頂角共有4對，有∠FHG和∠BHC，∠FHB和∠GHC，∠HCB和∠ECD，∠BCE和∠DCH，故選：A．【點(diǎn)評】此題主要考查了對頂角，關(guān)鍵是掌握有一個公共頂點(diǎn)，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為對頂角．題型七有關(guān)鄰補(bǔ)角、對頂角的綜合應(yīng)用解題技巧提煉準(zhǔn)確識別圖形，理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，再綜合角平分線的定義、對頂角的性質(zhì)及鄰補(bǔ)角的定義求解.1．（2024秋?洛陽期末）如圖，直線AE與CD相交于點(diǎn)B，∠ABC＝60°，∠FBE＝95°，則∠CBF的度數(shù)是（）A．35° B．85° C．145° D．155°【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠ABF即可．【解答】解：∵∠FBE+∠ABF＝180°，∠FBE＝95°，∴∠ABF＝180°﹣95°＝85°，∴∠CBF＝∠ABC+∠ABF＝60°+85°＝145°，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查鄰補(bǔ)角、對頂角，掌握鄰補(bǔ)角的定義是正確解答的前提．（2024秋?呈貢區(qū)期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠AOE＝∠COF＝90°，圖中∠AOD的補(bǔ)角有（）A．4個 B．2個 C．3個 D．1個【分析】根據(jù)對頂角、互為余角、互為補(bǔ)角的定義以及等量代換進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵∠AOE＝∠COF＝90°，即∠AOC+∠COE＝∠COE+∠EOF＝90°，∴∠AOC＝∠EOF，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC＝∠BOD＝∠EOF，又∵∠AOD+∠AOC＝180°，∴∠AOD+∠AOC＝∠AOD+∠BOD＝∠AOD+∠EOF＝180°，即圖中∠AOD的補(bǔ)角有3個，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查對頂角、鄰補(bǔ)角，掌握對頂角、鄰補(bǔ)角以及互為余角、互為補(bǔ)角的定義是正確解答的關(guān)鍵．3．（2024秋?肇源縣期中）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，且∠DOE＝3∠COE，∠EOB＝90°，則∠AOD＝．【分析】先根據(jù)∠DOE＝3∠COE，和平角等于180°，可求出∠DOE，根據(jù)∠EOB＝90°，故可得出∠DOB，再根據(jù)平角關(guān)系，即可得出∠AOD的度數(shù)．【解答】解：∵∠DOE＝3∠COE，∠DOE+∠COE＝180°，∴∠DOE＝135°，∵OE⊥AB，∴∠BOD＝45°，∵∠AOB＝180°，∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝135°．故答案為：135°．【點(diǎn)評】本題考查了鄰補(bǔ)角、對頂角等知識點(diǎn)，能靈活運(yùn)用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)和對頂角相等進(jìn)行求解是解此題的關(guān)鍵．4．（2024春?禹城市校級月考）如圖，直線MD、CN相交于點(diǎn)O，OA是∠MOC內(nèi)的一條射線，OB是∠NOD內(nèi)的一條射線，∠MON＝70°．若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度數(shù)．【分析】先由對頂角相等得到∠COD＝∠MON＝70°，設(shè)∠AOC＝x，則∠BOC＝3x，∠AOD＝x+70°，∠BOD＝3x﹣70°，再由∠AOD＝2∠BOD得到x+70°＝2（3x﹣70°），解方程求出BOC＝126°，則∠BON＝180°﹣∠BOC＝54°．【解答】解：∵∠MON＝70°，∴∠COD＝∠MON＝70°，設(shè)∠AOC＝x，則∠BOC＝3x，∠AOD＝x+70°，∴∠BOD＝3x﹣70°，∵∠AOD＝2∠BOD，∴x+70°＝2（3x﹣70°），解得x＝42°，∴BOC＝126°，∴∠BON＝180°﹣∠BOC＝54°．【點(diǎn)評】此題主要考查了角的計算，關(guān)鍵是掌握鄰補(bǔ)角互補(bǔ)．5．（2024春?上思縣月考）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，OE為射線．（1）寫出∠AOC的對頂角．（2）寫出∠AOE的鄰補(bǔ)角．（3）若∠AOC＝38°，∠DOE＝108°，求∠BOE和∠COE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)對頂角的定義，圖形結(jié)合即可求解；（2）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，圖形結(jié)合即可求解；（3）根據(jù)題意可得∠AOC＝∠BOD＝38°，∠BOE＝∠BOD+∠DOE，由此可求出∠BOE的度數(shù)，根據(jù)鄰補(bǔ)角可求出∠AOE的度數(shù)，再根據(jù)∠COE＝∠AOC+∠AOE即可求解．【解答】解：（1）∠AOC的對頂角是∠BOD．（2）∠AOE的鄰補(bǔ)角∠BOE．（3）∵∠AOC＝∠BOD＝38°，∠BOE＝∠BOD+∠DOE，且∠DOE＝108°，∴∠BOE＝38°+108＝146°，∵∠BOE+∠AOE＝180°，∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣146°＝34°，∵∠COE＝∠AOC+∠AOE＝38°+34°＝72°．【點(diǎn)評】本題主要考查對頂角、鄰補(bǔ)角的定義，理解定義，圖形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．6．如圖，已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠COE＝90°．（1）若∠BOE＝54°，求∠AOC的度數(shù)；（2）若∠BOE：∠BOC＝2：5，求∠AOE的度數(shù)．【分析】（1）先根據(jù)余角的定義求得∠BOD的度數(shù)，再根據(jù)對頂角的性質(zhì)可求∠AOC的度數(shù)；（2）設(shè)∠BOE＝2x，∠BOC＝5x，表示出∠BOC的度數(shù)進(jìn)而求得x，求出∠BOE的度數(shù)，利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求得∠AOE的度數(shù)．【解答】解：（1）∵∠COE＝90°，∴∠DOE＝90°，∵∠BOE＝54°，∴∠BOD＝∠DOE﹣∠BOE＝90°﹣54°＝36°，∴∠AOC＝∠BOD＝36°；（2）設(shè)∠BOE＝2x，∠BOC＝5x，則∠COE＝3x，∵∠COE＝90°，∴3x＝90°，解得x＝30°，∴∠BOE＝2×30°＝60°，∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣60°＝120°．【點(diǎn)評】此題考查了對頂角、鄰補(bǔ)角，熟練掌握平角等于180度，直角等于90度，對頂角相等是解答本題的關(guān)鍵．7．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，ON把∠AOD分成兩個角，且∠AON：∠NOD＝2：3．∠BOC＝75°．（1）求∠AON的度數(shù)．（2）若OM平分∠BON，那么OB是∠COM的平分線嗎？試說明理由．【分析】（1）設(shè)∠AON＝2x，∠NOD＝3x，根據(jù)角的倍數(shù)關(guān)系可得答案；（2）先計算∠BOM的度數(shù)，判斷∠BOM、∠BOC是否相等，即可說明理由．【解答】解：（1）∵∠AON：∠NOD＝2：3，設(shè)∠AON＝2x，∠NOD＝3x，∴∠AOD＝5x，∵∠BOC＝75°，∴∠AOD＝5x＝75°，∴x＝15°，∴∠AON＝30°；（2）OB是∠COM的平分線，理由如下：∵∠AON＝30°，∴∠BON＝180°﹣∠AON＝150°，∵OM平分∠BON，∴∠BOM＝75°，∴∠BOM＝∠BOC，∴OB是∠COM的角平分線．【點(diǎn)評】本題考查的是對頂角、鄰補(bǔ)角的概念和性質(zhì)、角平分線的定義，掌握對頂角相等、鄰補(bǔ)角之和等于180°是解題的關(guān)鍵．題型八垂直的定義解題技巧提煉垂線：當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中有一個角為90°時，這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.1．（2024春?景縣月考）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，下列條件：①∠AOD＝90°；②∠AOC＝∠BOC；③∠AOC＝∠BOD，其中能說明AB⊥CD的有（）A．① B．①或② C．①或③ D．①或②或③【分析】根據(jù)垂直定義：當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直進(jìn)行判定即可．【解答】解：①∠AOD＝90°，可以得出AB⊥CD；②∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝∠BOC，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，可以得出AB⊥CD；③∠AOC＝∠BOD，不能得到AB⊥CD；故能說明AB⊥CD的有①②．故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了垂直定義，關(guān)鍵是通過條件計算出其中一個角為90°．2．（2024秋?城關(guān)區(qū)期末）如圖，直線AB和CD相交于點(diǎn)O，OE⊥OC，若∠AOC＝68°，則∠EOB的大小為（）A．32° B．58° C．45° D．22°【分析】根據(jù)OE⊥OC得到∠COE＝90°，再由平角∠AOB＝180°即可求解．【解答】解：∵OE⊥OC，∴∠COE＝90°，∵∠AOC+∠COE+∠BOE＝180°，∠AOC＝68°，∴∠EOB＝180°﹣90°﹣68°＝22°．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查垂線，對頂角、鄰補(bǔ)角，掌握互相垂直的定義是正確解答的關(guān)鍵．3．A．45°12′ B．45°20′ C．44°48′ D．44°80′【分析】證明∠AOE＝∠COF即可解決問題．【解答】解：∵OC⊥AB，OE⊥OF，∴∠AOE+∠COE＝90°，∠COF+∠COE＝90°，∴∠COF＝∠AOE＝45.2°＝45°12′，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查同角或等角的余角相等，角度單位的換算，掌握余角的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．4．在如圖所示的條件中，可以判斷兩條直線互相垂直的是（）①兩直線相交所成的四個直角都是直角；②兩直線相交，對頂角互補(bǔ)；③兩直線相交所成的四個角都相等.A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】根據(jù)垂線的定義，可得答案．【解答】解：①兩直線相交所成的四個角都是直角；②兩條直線相交，對頂角互補(bǔ)；③兩直線相交所成的四個角都相等.故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了垂線，余角和補(bǔ)角，對頂角、鄰補(bǔ)角，熟練掌握了垂線，余角和補(bǔ)角，對頂角、鄰補(bǔ)角的定義進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．5．（2024秋?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，從點(diǎn)A出發(fā)的四條射線AB，AC，AD，AE滿足AB⊥AC，AD⊥AE，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．∠CAE＝∠BAD＝45° B．∠CAD+∠EAB＝180° C．∠CAD﹣∠EAB＝90° D．∠CAE+∠BAD＝90°【分析】根據(jù)互為余角、互為補(bǔ)角的定義逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：如圖，延長DA到F，∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC＝∠DAE＝90°，即∠CAE+∠BAE＝∠BAE+∠BAD＝90°，∴∠CAE＝∠BAD，同理∠CAF＝∠BAE，∵∠CAD+∠CAF＝180°，∴∠CAD+∠BAE＝180°，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查互為余角、互為補(bǔ)角，理解互為余角、互為補(bǔ)角的定義是正確解答的關(guān)鍵．6．（2024春?禮泉縣期中）如圖，是一副三角板的擺放圖，已知OA⊥OB，OC⊥OD，若∠AOC＝35°，則∠BOD的度數(shù)是°．【分析】根據(jù)題意可得：∠AOB＝∠COD＝90°，然后利用等式的性質(zhì)進(jìn)行計算，即可解答．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB﹣∠AOD＝∠COD﹣∠AOD，∴∠DOB＝∠AOC＝35°，故答案為：35．【點(diǎn)評】本題考查了垂線，余角和補(bǔ)角，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．題型九垂線的畫法及性質(zhì)解題技巧提煉1、垂線的畫法：用三角尺畫（1）落：讓三角尺的一條直角邊落在已知直線上，使其與已知直線重合.（2）移：沿已知直線移動三角尺，使其另一條直角邊經(jīng)過已知點(diǎn).（3）畫：沿此直角邊畫直線，則這條直線就是已知直線的垂線.2、垂線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.1．（2023春?裕華區(qū)期中）如圖，在直線l外任取一點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q畫直線l的垂線，可畫出的垂線有（）A．0條 B．1條 C．2條 D．無數(shù)條【分析】根據(jù)在平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，即可選出答案．【解答】解：在平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了垂線的性質(zhì)，在平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“過一點(diǎn)”的點(diǎn)在直線上或直線外都可以．2．（2024春?南沙區(qū)期末）過點(diǎn)P向線段AB所在的直線畫垂線，正確的畫法是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線的作法判斷即可．【解答】解：A選項(xiàng)，沒有過點(diǎn)P，過該選項(xiàng)不符合題意；B選項(xiàng)，過點(diǎn)P作AB的垂線，垂線是直線，故該選項(xiàng)符合題意；C選項(xiàng)，PO為垂線段，不是直線，故該選項(xiàng)不符合題意；D選項(xiàng)，PA沒有垂直于AB，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了垂線的畫法，同學(xué)們應(yīng)熟練掌握垂線畫法，此知識考查較多．3．（2024春?大同期末）過直線m外的一點(diǎn)Q作m的垂線，下列圖中借助直角三角尺操作正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)垂線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：過直線外一點(diǎn)向直線作垂線，則過點(diǎn)Q的垂線垂直于直線m，交點(diǎn)處所成角度為90°，∴運(yùn)用直角尺操作正確的是D選項(xiàng)．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查尺規(guī)作垂直，掌握尺規(guī)作垂直的方法是關(guān)鍵．4．（2024春?南城縣校級月考）已知點(diǎn)P在直線l上，過點(diǎn)P畫直線l的垂線，可以畫出多少條（）A．1條 B．2條 C．3條 D．無數(shù)條【分析】在同一平面內(nèi)，經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線，據(jù)此即可得到答案．【解答】解：∵在同一平面時，經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線，∴過點(diǎn)P畫直線l的垂線，畫1條．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查垂線，掌握在平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直是解題的關(guān)鍵．5．（2024春?屏南縣期中）過點(diǎn)P向線段AB所在直線引垂線，正確的畫法是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線的作法判斷即可．【解答】解：A選項(xiàng)，沒有垂直，故該選項(xiàng)不符合題意；B選項(xiàng)，沒有過點(diǎn)P，故該選項(xiàng)不符合題意；C選項(xiàng)，過點(diǎn)P作AB的垂線，垂線是直線，故該選項(xiàng)符合題意；D選項(xiàng)，PO為垂線段，不是直線，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了垂線，掌握當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直是解題的關(guān)鍵．6．（2024春?朝陽區(qū)期末）如圖，過點(diǎn)P作線段AB的垂線，垂足在（）A．線段AB上 B．線段AB的延長線上 C．線段AB的反向延長線上 D．直線AB外【分析】過點(diǎn)P作線段AB的垂線，垂足在線段AB的延長線上．【解答】解：如圖，過點(diǎn)P作線段AB的垂線，垂足在線段AB的延長線上．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了垂線，熟練掌握垂線的作法是關(guān)鍵．題型十有關(guān)垂線的綜合應(yīng)用解題技巧提煉結(jié)合垂直的條件確定已知角和未知角之間的關(guān)系，再結(jié)合角平分線、對頂角、鄰補(bǔ)角等定義計算.1．（2024秋?朝陽區(qū)校級月考）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠COE為直角，∠AOE＝60°，則∠BOD＝（）A．130° B．150° C．120° D．140°【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義以及圖形中角的和差關(guān)系進(jìn)行計算即可．【解答】解：∵∠COE為直角，∠AOE＝60°，∴∠DOE＝180°﹣∠COE＝180°﹣90°＝90°，∴∠AOD＝∠DOE﹣∠AOE＝90°﹣60°＝30°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣30°＝150°．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查對頂角、鄰補(bǔ)角，掌握對頂角、鄰補(bǔ)角的定義是正確解答的關(guān)鍵．2．（2023春?撫寧區(qū)期末）已知，∠AOB＝25°，OC⊥OA，OD⊥OB，則∠COD等于（）A．25° B．115° C．155° D．25°或155°【分析】分類討論：如圖1、2所示．根據(jù)圖中相關(guān)角與角間的和差關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵OC⊥OA，OD⊥OB，∴∠AOC＝90°，∠BOD＝90°．如圖1，∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝90°﹣25°＝65°，則∠COD＝∠AOD+∠AOC＝65°+90°＝155°；如圖2，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝90°﹣25°＝65°，∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°．綜上所述，∠COD等于155°或25°．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了垂線的定義．要注意領(lǐng)會由垂直得直角這一要點(diǎn)．3．（2024春?云陽縣校級月考）如圖，直線AB、EF相交于點(diǎn)O，CD⊥AB于點(diǎn)O，∠EOD＝128°，則∠BOF的度數(shù)為．【分析】由平角的定義可知∠EOD+∠EOC＝180°，從而可求得∠EOC的度數(shù)，根據(jù)對頂角相等得∠DOF＝∠EOC＝52°，然后由垂線的定義可知∠DOB＝90°，從而求得∠BOF的度數(shù)．【解答】解：∵∠EOD+∠EOC＝180°，∴∠EOC＝180°﹣128°＝52°，∴∠DOF＝∠EOC＝52°，∵CD⊥AB，∴∠DOB＝90°，∴∠BOF＝90°﹣52°＝38°，故答案為：38°．【點(diǎn)評】本題主要考查的是鄰補(bǔ)角的性質(zhì)、對頂角的性質(zhì)和垂線的定義，求得∠DOF的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．4．（2024春?涼州區(qū)校級期末）已知AO⊥BO，DO⊥CO，∠AOD＝4∠BOC，則∠AOD的度數(shù)為．【分析】根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠AOC與∠BOD的關(guān)系，根據(jù)角的和差，可得∠AOC與∠BOC的關(guān)系，根據(jù)余角的定義，可得∠BOD的度數(shù)，根據(jù)∠AOD＝4∠BOC，可得答案．【解答】解：由AO⊥BO，DO⊥CO，得∠AOB＝∠COD＝90°．由余角的性質(zhì)，得∠AOC＝∠BOD，由角的和差，得∠AOC+∠BOC+∠BOD＝∠AOD，即2∠AOC+∠BOC＝4∠BOC，解得∠AOC=32∠由于角的定義，得∠AOC+∠BOC＝90°，即32∠BOC+∠BOC解得∠BOC＝36°，∠AOD＝4∠BOC＝4×36°＝144°，故答案為：144°．【點(diǎn)評】本題考查了垂線，利用了垂線的定義，余角的性質(zhì)，角的和差及余角的定義．5．（1）求∠COE；（2）如果∠COF＝125°，OE與OF有怎樣的位置關(guān)系？為什么？【分析】（1）根據(jù)平角的定義，角平分線的定義以及角的和差關(guān)系進(jìn)行計算即可；（2）根據(jù)角平分線的定義，平角的定義以及角的和差關(guān)系求出∠EOF的度數(shù)，再根據(jù)垂直的定義進(jìn)行解答即可．【解答】解：（1）∵∠AOC：∠AOD＝7：11．∠AOC+∠AOD＝180°，∴∠AOC＝180°×77+11=70°，∠∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE=12∠∵∠AOC＝∠BOD＝70°，∠AOD＝∠BOC＝110°，∴∠BOE＝35°，∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝145°；（2）OE⊥OF，理由：∵∠COF＝125°，∴∠DOF＝180°﹣125°＝55°，又∵∠DOE＝35°，∴∠EOF＝∠DOF+∠DOE＝90°，∴OE⊥OF．6．（2024春?榆陽區(qū)期末）如圖，直線AB、CD交于點(diǎn)O，∠AOC＝120°，射線OE將∠BOC分成兩個角，∠BOE＝2∠COE．（1）求∠COE的度數(shù)；（2）若OF⊥OE，且射線OF在∠AOC內(nèi)部，求∠DOF的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)∠AOC＝120°，得出∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，根據(jù)∠BOE＝2∠COE，∠BOE+∠COE＝60°，求出∠COE＝20°即可；（2）根據(jù)垂線定義得出∠EOF＝90°，求出∠COF＝90°﹣∠COE＝70°，根據(jù)鄰補(bǔ)角求出∠DOF＝180°﹣∠COF＝110°．【解答】解：（1）因?yàn)椤螦OC＝120°，所以∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，因?yàn)椤螧OE＝2∠COE，∠BOE+∠COE＝60°，所以2∠COE+∠COE＝60°，所以∠COE＝20°．（2）因?yàn)镺E⊥OF，所以∠EOF＝90°，所以∠COF＝90°﹣∠COE＝70°，所以∠DOF＝180°﹣∠COF＝110°．【點(diǎn)評】本題主要考查了垂線定義，鄰補(bǔ)角定義，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握角度間的關(guān)系．7．（2024春?江西校級月考）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，EO⊥CD于點(diǎn)O．（1）若∠BOE＝45°，求∠AOC的度數(shù)；（2）若∠AOC：∠BOE＝2：3，求∠AOE的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，如果過點(diǎn)O作直線MN⊥AB，并在直線MN上取一點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)O不重合），求∠EOF的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)垂線的定義可得∠EOD＝90°，從而可得∠BOD＝45°，再根據(jù)對頂角相等即可求解；（2）由垂線的定義可得∠EOD＝∠COE＝90°，根據(jù)對頂角相等可得∠BOD＝∠AOC，再結(jié)合題意可得∠BOD：∠BOE＝2：3，再由∠BOE+∠BOD＝90°，可得BOE＝54°，再由平角的定義求解即可；（3）由（2）可得，BOE＝54°，根據(jù)垂線的性質(zhì)可得∠BOF＝90°，分兩種情況：點(diǎn)F在直線AB的下方，點(diǎn)F在直線AB的上方，即可求解．【解答】解：（1）∵EO⊥CD，∴∠EOD＝90°，∵∠BOE＝45°，∴∠BOD＝∠AOC＝45°，（2）∵EO⊥CD，∴∠EOD＝∠COE＝90°，∴∠BOE+∠BOD＝90°，∵∠AOC：∠BOE＝2：3，∠BOD＝∠AOC，∴∠BOD：∠BOE＝2：3，∴BOE=3∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝126°；（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)F在直線AB的下方，∵M(jìn)N⊥AB，∴∠BOF＝90°，由（2）可得，BOE＝54°，∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝54°+90°＝144°；當(dāng)點(diǎn)F在直線AB的上方，∵M(jìn)N⊥AB，∴∠BOF＝90°，由（2）可得，BOE＝54°，∴∠EOF＝∠BOF﹣∠BOE＝90°﹣54°＝36°，綜上所述，∠EOF的度數(shù)為144°或36°．【點(diǎn)評】本題考查角幾何圖形中角的計算、余角的定義、垂線的定義、對頂角相等，根據(jù)題目中的條件和圖形進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．題型十一垂線段最短的實(shí)際應(yīng)用解題技巧提煉抽象成利用“垂線段最短”和“兩點(diǎn)之間，線段最短”求解的模型，再借助垂線段的性質(zhì)和線段的性質(zhì)求解.1．（2024春?圍場縣期末）過點(diǎn)A畫線段BC所在直線的垂線段，其中正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)垂線段的定義解決此題．【解答】解：根據(jù)垂線段的定義，僅D選項(xiàng)符合要求．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線段，熟練掌握過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線段的作法是解決本題的關(guān)鍵．2．（2024?惠州模擬）如圖，要在河堤兩岸搭建一座橋，搭建方式中最短的是線段PN，理由是（）A．經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線 B．兩點(diǎn)之間的所有連線中線段最短 C．垂線段最短 D．在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【分析】根據(jù)垂線段最短即可得出答案．【解答】解：∵PN⊥QM，∴要在河堤兩岸搭建一座橋，搭建方式中最短的是線段PN，理由是垂線段最短．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了垂線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握相關(guān)概念．3．（2024秋?南崗區(qū)校級期中）數(shù)學(xué)源于生活，寓于生活，用于生活．下列各選項(xiàng)中能用“垂線段最短”來解釋的現(xiàn)象是（）A．測量跳遠(yuǎn)成績 B．木板上彈墨線 C．彎曲河道改直 D．兩釘子固定木條【分析】根據(jù)垂線段最短，線段的性質(zhì)分別判斷即可．【解答】解：A、測量跳遠(yuǎn)成績是求腳后跟到起跳線的距離，數(shù)學(xué)常識為垂線段最短，故該選項(xiàng)符合題意；B、木板上彈墨線，能彈出一條筆直的墨線，數(shù)學(xué)常識為兩點(diǎn)確定一條直線，故該選項(xiàng)不符合題意；C、彎曲河道改直，就能夠縮短路程，數(shù)學(xué)常識為兩點(diǎn)之間，線段最短，故該選項(xiàng)不符合題意；D、兩釘子固定木條，數(shù)學(xué)常識為兩點(diǎn)確定一條直線，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了垂線段最短，線段的性質(zhì)，熟記垂線段最短是解題的關(guān)鍵．4．（2024春?桂林期末）如圖，點(diǎn)P與直線l上的四個點(diǎn)A、B、C、D的所有連線中，最短的線段是（）A．PA B．PB C．PC D．PD【分析】根據(jù)直線外一點(diǎn)與直線上各個點(diǎn)的連線中，垂線段最短，進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵垂線段最短，∴點(diǎn)P與直線l上的四個點(diǎn)A、B、C、D的所有連線中，最短的線段是PB，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了垂線段最短，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識的靈活運(yùn)用．5．如圖，直線AB表示某天然氣的主管道，現(xiàn)在要從主管道引一條分管道到某村莊P，則沿圖中線段修建可使用料最省，理由是.【分析】根據(jù)垂線段的性質(zhì)進(jìn)行證明即可.【解答】解：PD最短，理由：直線外一點(diǎn)到直線上所有的線段中，垂線段最短。故答案為：PD，垂線段最短.【點(diǎn)評】本題考查的是垂線段的性質(zhì)，熟知垂線段最短是解答此題的關(guān)鍵．6．如圖，點(diǎn)P，點(diǎn)Q