南京一中2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期10月階段性考試試卷高三數(shù) 學(xué)-教師用卷

南京一中2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期10月考試試卷高三數(shù)學(xué)命題人:張志軍校對(duì)人:趙澤旭審核人:張志軍一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知集合A={x∈Z|A.{0,2} B.{-2,0,2} C.{-2,0} D.{-2,0,2,4}【答案】C

【解析】【分析】本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

利用列舉法表示集合A，B，再利用交集的定義求解作答．【解答】解：因?yàn)锳={xB={x所以

A∩故選：C2.若z-11-i=1+2i(A.22 B.10 C.【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題．【解答】

解：，

所以|z-3.設(shè){an}是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“{an}為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)N0，當(dāng)nA.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查充分必要條件的判斷，屬于中檔題．【解答】

解：?①充分性證明：

若{an}為遞增數(shù)列，則有對(duì)?n∈N*，an+1>an，公差d=an+1-an>0，

故數(shù)列中從某項(xiàng)開始后均為正數(shù)且數(shù)列遞增，則存在正整數(shù)N0，當(dāng)n>N0時(shí)，an>0，

充分性成立；

?②必要性證明：

若存在正整數(shù)N0，當(dāng)n>N0時(shí)，an>0，

∵an=a1+(n-1)4.已知a=0,5,b=2,-1，則b在A.0,1 B.-1,0 C.0,-1 D.【答案】C

【解析】【分析】本題考查投影向量的定義及運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．

根據(jù)投影向量的定義即可求解．【解答】解：

b

在

a

上的投影向量為

bcosa故選：C5.我國(guó)油紙傘的制作工藝巧妙．如圖(1)，傘不管是張開還是收攏，傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角∠BAC，且AB=AC，從而保證傘圈D能夠沿著傘柄滑動(dòng)．如圖(2)，傘完全收攏時(shí)，傘圈D已滑動(dòng)到D'的位置，且A，B，D'三點(diǎn)共線，AD'=40cm，B為AD'中點(diǎn)，當(dāng)傘從完全張開到完全收攏，傘圈D沿著傘柄向下滑動(dòng)的距離為24cm，則當(dāng)傘完全A.-1725 B.-42125【答案】A

【解析】【分析】本題二倍角公式及其應(yīng)用，解三角形的實(shí)際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意求出AD的值，得出AE，求出cos∠BAE，利用二倍角公式cos∠【解答】

解：∵B為AD'中點(diǎn)，∴AB=12AD'，

∵AD'=40cm，∴AB=20cm，

如圖：

過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，

∵AB=BD，∴AD=2AE，

因?yàn)閭闳沿著傘柄向下滑動(dòng)的距離為24cm，

所以AD=40-24=16cm6.函數(shù)f(x)=12x2A. B.

C. D.【答案】C

【解析】【分析】本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷，屬于中檔題．

判斷函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用排除法進(jìn)一步得解．【解答】

解：因?yàn)閒-x=12-x2--xsin-x=12x2-xsinx=fx，定義域?yàn)镽，

所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故排除A、B；

當(dāng)0<x<π7.已知雙曲線E：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是雙曲線A.2 B.2 C.52【答案】B

【解析】【分析】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

由三角形面積公式得|F1Q【解答】

解：作出圖形，如圖所示：

∵PF2⊥F1F2，

，即|F1Q||F2Q|=53，

∵PQ是∠F1PF2的平分線，

∴|PF1||PF2|=8.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E為棱C1D1上的一動(dòng)點(diǎn)，記直線A.12 B.22 C.【答案】C

【解析】【分析】本題考查直線與平面所成角，利用空間向量求線面的夾角，考查計(jì)算能力，屬于中檔題

由題意，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)|AD|=1，|D1E|=a(0?a?【解答】

解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)|AD|=1，|D1E|=a(0?a?1)，則A1(1,0,1)，B(1,1,0)，E(0,a,1)，C1(0,1,1)，

則A1B=(0,1,-1)，A1E=(-1,a,0)，BC1=(-1,0,1)，

設(shè)平面A1BE的一個(gè)法向量為n=(x,二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.某校組織了300名學(xué)生參與測(cè)試，隨機(jī)抽取了40名學(xué)生的考試成績(jī)(單位：分)，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是(

)

A.圖中a的值為0.015

B.估計(jì)這40名學(xué)生考試成績(jī)的眾數(shù)為75

C.估計(jì)這40名學(xué)生考試成績(jī)的中位數(shù)為82

D.估計(jì)這40名學(xué)生考試成績(jī)的上四分位數(shù)約為85【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查了頻率分布直方圖、眾數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．對(duì)于A，根據(jù)頻率之和為1計(jì)算即可；對(duì)于B，根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)的方法判斷即可；對(duì)于C，根據(jù)中位數(shù)可能所在的區(qū)間進(jìn)行判斷；對(duì)于D，根據(jù)百位分?jǐn)?shù)的估算方法求解即可．【解答】解：根據(jù)頻率和等于1得：10a∴a=0.015，故由頻率分布直方圖可知，最高矩形對(duì)應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)為75，則估計(jì)眾數(shù)也為75，故B正確；0.010×10+0.015×10=0.25，0.010×10+0.015×10+0.035×10=0.6，可知中位數(shù)落在[70,80)內(nèi)，即中位數(shù)的估計(jì)值不是82，故C錯(cuò)誤；上圖各組對(duì)應(yīng)的頻率分別為：0.1，0.15，0.35，0.3，0.1，上四分位數(shù)在80,90內(nèi)，設(shè)第75百分位數(shù)約為x，則：0.1+0.15+0.35+(x得x=85，故D10.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ωA.23 B.2 C.13 【答案】AB

【解析】【分析】本題考查了正弦函數(shù)的周期性以及單調(diào)性，考查了學(xué)生的邏輯推理能力，屬于中檔題．

由已知單調(diào)區(qū)間可判斷周期的范圍，進(jìn)而可以得出ω的范圍，然后再對(duì)周期討論求出對(duì)應(yīng)的ω的可能值．【解答】

解：∵函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)[π2,π]上是單調(diào)函數(shù)，

∴T2=12?2πω≥π-π2，∴T≥π，且ω≤2．

∵f11.過拋物線C：y2=2px上一點(diǎn)A(1,-4)作兩條相互垂直的直線，與C的另外兩個(gè)交點(diǎn)分別為M，NA.C的準(zhǔn)線方程是x=-4

B.過C的焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為8

C.直線MN過定點(diǎn)(0,4)

D.當(dāng)點(diǎn)A到直線MN的距離最大時(shí)，直線MN的方程為【答案】AD

【解析】【分析】本題主要考查直線與拋物線的綜合，需要學(xué)生較強(qiáng)的綜合能力，屬于中檔題．

將A(1,-4)代入C中，即可求解拋物線方程，判斷AB；設(shè)M(y1216,y1)，N(y2216,y2)，直線MN為x=【解答】

解：將A(1,-4)代入拋物線C中得p=8，

則拋物線C為y2=16x，

故拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=-4，故A正確，

當(dāng)過拋物線C的焦點(diǎn)且與x軸垂直時(shí)弦長(zhǎng)最短，此時(shí)弦長(zhǎng)為16，故B錯(cuò)誤，

設(shè)直線MN為x=my+n，M(y1216,y1)，N(y2216,y2)，

聯(lián)立拋物線可得，y2-16my-16n=0，

∴y1+y2=16m，y1y2=-16n，

∵AM⊥AN，

∴AM?12.已知a>b>0，a+bA.a+2b的最大值為32 B.22a+【答案】BC

【解析】【分析】本題考查了最值問題和利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，基本不等式，屬于中檔題．

先得出0<b<12<a<1，對(duì)于A:a+2b=1-b+【解答】

解：因?yàn)閍>b>0，a+b=1，所以0<b<12<a<1，

對(duì)于A:a+2b=1-b+2b=-(b-22)2+32，

當(dāng)b=22，即b=12時(shí)，有最大值32，

而0<b<12，取不到最值，故A錯(cuò)；

對(duì)于B:22a三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.甲、乙、丙3人從1樓上了同一部電梯，已知3人都在2至6層的某一層出電梯，且在每一層最多只有兩人同時(shí)出電梯，從同一層出電梯的兩人不區(qū)分出電梯的順序，則甲、乙、丙3人出電梯的不同方法總數(shù)是

．【答案】120

【解析】【分析】本題考查分類加法計(jì)數(shù)原理和排列與組合的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

分①3人都在2至6層的某一層1人獨(dú)自出電梯；②3人中有2人在同一層出電梯，另1人在另外一層出電梯，兩種情況討論即可求解．【解答】

解：由題意，

①3人都在2至6層的某一層1人獨(dú)自出電梯，共有A53=60種；

②3人中有2人在同一層出電梯，另1人在另外一層出電梯，共有C32A514.臺(tái)風(fēng)中心從A地以20?km/h的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30?km內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A地正東40?km處，求城市B處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的持續(xù)時(shí)間為【答案】1

【解析】【分析】本題考查直線與圓的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題．

以A地為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求出以定點(diǎn)B(40,0)為圓心，半徑為30【解答】解：如圖，以A地為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

以B(40,0)為圓心，30為半徑的圓的方程為x-402+y2=302，

臺(tái)風(fēng)中心的運(yùn)動(dòng)軌跡為x-y=0，

圓心B到直線x-y=0則以B(40,0)為圓心，30為半徑的圓內(nèi)MN之間(含端點(diǎn))可求得|MN則城市B處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為1小時(shí)，故答案為：1．15.已知點(diǎn)S，A，B，C均在半徑為2的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，SA⊥平面ABC，則SA=

【答案】2

【解析】【分析】本題主要考查球的切接問題，涉及線面垂直，屬于較難題．根據(jù)題意先作出?ABC【解答】解：如圖所示，作出△ABC的外心O1

，則球心O與O1的連線OAD=3×sin?60°=3×作出平面圖，設(shè)SA=h，

則由邊長(zhǎng)關(guān)系可得：(h2則SA16.若關(guān)于x的不等式a(x+1)ex-x<0有且只有2【答案】[3【解析】【分析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．

將不等a(x+1)ex-x<0有且只有2個(gè)正整數(shù)解，轉(zhuǎn)化為a【解答】

解：不等式a(x+1)ex-x<0即ax+1<xex，

令f(x)=xex，則f'(x)=1-xex，

當(dāng)x∈-∞,1時(shí)，f'(x四、解答題（本大題共6小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題12.0分)

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a=b(3sinC+cosC)．

(1)求B；

(2)已知BC=23，D為邊【答案】解：(1)因?yàn)閍=b(3sinC+cosC)，

所以sinA=sinB(3sinC+cosC)，

即sinBcosC+cosBsinC=3sinBsinC+sinBcosC，

所以cosBsinC=3sinBsinC，因?yàn)閟inC>0，

所以cosB=3sinB，所以tanB=33，

因?yàn)锽∈(0,π)，所以B=π6．

(2)因?yàn)锽C【解析】本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理，誘導(dǎo)公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．

(1)由正弦定理，兩角和的正弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)已知等式可得tanB的值，結(jié)合B的范圍即可求解B的值．

(2)由題意利用余弦定理可求CD的值，由∠BDC=π2+∠A，利用誘導(dǎo)公式，正弦定理可求18.(本小題12.0分)數(shù)列{an}滿足a(1)設(shè)bn=n(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和【答案】解：(1)由an+13an=1+1n得an+1n+1=3×ann，又a11=1，

∴ann是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

∴ann=3n-1，可得an=n×3n-1，

則bn=n-73n-1，

當(dāng)1≤n≤7時(shí)，bn≤0；當(dāng)n>7時(shí)，bn>0，

設(shè)bk是最大項(xiàng)，顯然k>7，【解析】本題考查數(shù)列的遞推公式，等比數(shù)列的判定或證明，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的最大項(xiàng)問題以及錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題．

(1)由an+1n+1=3×ann，可得ann是以1為首項(xiàng)，319.(本小題12.0分)如圖．在直三棱柱ABC-A1B1C1

(1)求點(diǎn)A到平面A1(2)設(shè)D為A1C的中點(diǎn)，求平面ABD與平面CBD【答案】解：(1)在直三棱柱

ABC-A1B1C設(shè)點(diǎn)

A

到平面

A1BC

的距離為

h

，取

A1B

的中點(diǎn)

E

，連接AE，則因?yàn)槠矫?/p>

A1BC⊥

平面

ABB1A1

，平面

A1BC∩

平面

ABB1A1=A1B

，，則有

AE⊥因?yàn)?/p>

AA1⊥

平面

ABC,BC?

平面

ABC因?yàn)?/p>

AA1∩AE=A,AA1,AE?

又

AB?

平面

ABB1A1

，因此

BC⊥AB

VA-A1BC=13S?所以點(diǎn)

A

到平面

A1BC

的距離為

(2)由(1)可知，BC，BA.BB1兩兩互相垂直，以

B

為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以

BC,BA,BB1

的方向?yàn)?/p>

x

軸，

y

則

A(0,2,0),C(2,0,0),A1(0,2,2),設(shè)平面

ABD

的法向量

n=(x則

n?BD=x+y+z=0n由(1)知，平面

BDC

的一個(gè)法向量為

AE=(0,-1,1)

因此

cos?AE所以平面

ABD

與平面

CBD

夾角的正弦值為

32

【解析】本題考查點(diǎn)到平面的距離的幾何求法、平面與平面所成角的向量求法，是中檔題．

(1)取

A1B

的中點(diǎn)

E

，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直(2)利用(1)中信息，建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，利用空間向量求解作答．20.(本小題12.0分)科學(xué)家為研究對(duì)某病毒有效的疫苗，通過小鼠進(jìn)行毒性和藥效預(yù)實(shí)驗(yàn).已知5只小鼠中有1只患有這種病毒引起的疾病，需要通過化驗(yàn)血液來確定患病的小鼠.血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的即為患病小鼠，呈陰性即沒患病.下面是兩種化驗(yàn)方案：方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病小鼠為止．方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn).若結(jié)果呈陽性則表明患病動(dòng)物為這3只中的1只，然后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病小鼠為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗(yàn)．(1)求方案甲化驗(yàn)次數(shù)X的分布列；(2)判斷哪一個(gè)方案的效率更高，并說明理由．【答案】解：(1)方案甲化驗(yàn)次數(shù)X的可能取值為1，2，3，4，

P(X=1)=P(X=2)=X1234P0.20.20.20.4(2)方案乙化驗(yàn)次數(shù)Y的可能取值為2，3，

，

，

∴Y分布列為：Y23P0.60.4E(Y)=2×0.6+3×0.4=2.4，

E(X)=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.4=2.8，

【解析】本題考查離散型隨機(jī)變量及其分布列，屬于中檔題．

(1)方案甲化驗(yàn)次數(shù)X的可能取值為1，2，3，4，P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=0.2，P(X=4)=0.4，由此能求出X的分布列．

21.(本小題12.0分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，點(diǎn)A(-1,3(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求?PM+【答案】解：(1)由題意得：e=ca=12，1a2+94b2=1，