中考數(shù)學二輪培優(yōu)復習專題30 中考命題核心元素全等三角形的基本模型的應用（解析版）

專題30中考命題核心元素全等三角形的基本模型的應用（解析版）模塊一典例剖析+針對訓練模型一平移模型【模型解讀】有一組邊共線或部分重合，另兩組邊分別平行，常要在移動方向上加(減)公共線段，構造線段相等，或利用平行線性質(zhì)找到對應角相等．基本圖形：典例1（2022春?廣州期中）如圖，點A、D、B、E在一條直線上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF，求證：△ABC≌△DEF．思路引領：根據(jù)線段的和差得到AB＝DE，由平行線的性質(zhì)得到∠A＝∠EDF，根據(jù)全等三角形的判定定理證得結論．證明：∵AD＝BE，∴AD+BD＝BE+BD，即AB＝DE，∵AC∥DF，∴∠A＝∠EDF，在△ABC與△DEF中，AB=DE∠A=∠EDF∴△ABC≌△DEF（SAS）．總結提升：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．針對訓練1．（2021春?高州市校級月考）如圖，點A，B，C，D在一條直線上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．（1）求證：∠E＝∠F．（2）若EA＝CA，∠A＝40°，求∠D的度數(shù)．思路引領：（1）由EA∥FB，利用“兩直線平行，同位角相等”可得出∠A＝∠EBD，由AB＝CD可得出AC＝BD，結合EA＝FB即可證出△EAC≌△FBD（SAS），再利用全等三角形的性質(zhì)可證出∠E＝∠F；（2）由EA＝CA，利用等邊對等角可得出∠E＝∠ACE，結合∠A＝40°可求出∠ACE＝70°，由△EAC≌△FBD，再利用全等三角形的性質(zhì)可求出∠D＝70°．（1）證明：∵EA∥FB，∴∠A＝∠EBD．∵AB＝CD，∴AB+BC＝BC+CD，即AC＝BD．在△EAC和△FBD中，EA=FB∠A=∠FBD∴△EAC≌△FBD（SAS），∴∠E＝∠F．（2）解：∵EA＝CA，∴∠E＝∠ACE．∵∠A＝40°，∴∠ACE=12×（180°﹣40°∵△EAC≌△FBD，∴∠D＝∠ACE＝70°．總結提升：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，解題的關鍵是：（1）利用全等三角形的判定定理SAS，證出△EAC≌△FBD；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，求出∠ACE的度數(shù)是解題的關鍵．2．（2022秋?武城縣月考）如圖，在四邊形ABCD中，E為AB的中點，DE∥BC，∠ADE＝∠ECB，（1）求證：△AED≌△EBC；（2）當AB＝6時，求CD的長．思路引領：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠AED＝∠B，再利用AAS證明△AED≌△EBC即可；（2）利用SAS證明△DEC≌△BCE，得CD＝BE，從而得出答案．（1）證明：∵E為AB的中點，∴AE＝BE，∵DE∥BC，∴∠AED＝∠B，在△AED與△EBC中，∠ADE=∠ECB∠AED=∠B∴△AED≌△EBC（AAS）；（2）解：∵DE∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∵△AED≌△EBC，∴ED＝BC，在△DEC和△BCE中，DE=BC∠DEC=∠ECB∴△DEC≌△BCE（SAS），∴CD＝BE，∵點E為AB的中點，∴BE=12∴CD＝BE＝3．總結提升：本題主要考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．模型二對稱模型【模型解讀】所給圖形可沿某一直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，重合的頂點就是全等三角形的對應頂點，解題時要注意其隱含條件，即公共邊或公共角相等．基本圖形：典例2（2021秋?黃埔區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，（1）求證：△ABC≌△ADC；（2）測量OB與OD、∠BOA與∠DOA，你有何猜想？證明你的猜想．（3）在“箏形”ABCD中，已知AC＝6，BD＝4，求“箏形”ABCD的面積．思路引領：（1）根據(jù)SSS即可得出結論；（2）由△ABC≌△ADC，得出∠BAC＝∠DAC，進而根據(jù)SAS判斷出△ABO≌△ADO，即可得出結論；（3）由∠BOA＝∠DOA判斷出AC⊥BD，即可求出答案．（1）證明：在△ABC和△ADC中，AB=ADBC=DC∴△ABC≌△ADC（SSS）；（2）解：OB＝OD，∠BOA＝∠DOA，證明：由（1）知，△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC，在△ABO和△ADO中，AB=AD∠BAC=∠DAC∴△ABO≌△ADO（SAS），∴OB＝OD，∠BOA＝∠DOA；（3）由（2）知，∠BOA＝∠DOA，∵∠BOA+∠DOA＝180°，∴∠BOA＝90°，即AC⊥BD，∴“箏形”ABCD的面積為12BD?AC=12總結提升：此題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，“箏形”的面積求法，判斷出△ABC≌△ADC是解本題的關鍵．針對訓練1．（2022秋?梁溪區(qū)校級期中）已知：如圖，AC、DB相交于點O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．（1）求證：△ABO≌△DCO；（2）若∠OBC＝34°，求∠OCB的度數(shù)．思路引領：（1）根據(jù)AAS即可得出結論；（2）由△ABO≌△DCO，得出OB＝OC，即可推出結果．（1）證明：在△ABO和△DCO中，∠AOB=∠DOC∠ABO=∠DCO∴△ABO≌△DCO（AAS）；（2）解：由（1）知，△ABO≌△DCO，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝34°．總結提升：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．模型三一線三垂直【模型解讀】一線：經(jīng)過直角頂點的直線(BE)；三垂直：直角兩邊互相垂直(AC⊥CD)，分別過直角兩邊上的點向過直角頂點的直線作垂線(AB⊥BC，DE⊥CE)．利用“同角的余角相等”找等角(如∠1＝∠2)．基本圖形：典例3（2017秋?汝城縣期末）如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD邊上運動，且始終保持BE＝CF．連接AE、BF．（1）求證：△ABE≌△BCF；（2）求證：AE⊥BF；（3）若AB＝10cm，紅螞蟻P以2.6厘米/秒的爬行速度從點B出發(fā)，黑螞蟻Q以3厘米/秒的爬行速度從點C同時出發(fā)，都逆時針沿正方形ABCD的邊爬行，求經(jīng)過多長時間，兩只螞蟻第一次在正方形ABCD的哪條邊上相遇？思路引領：（1）由正方形的性質(zhì)可得AB＝BC，∠ABE＝∠BCF，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△BCF全等；（2）由全等三角形對應角相等可得∠BAE＝∠CAF，然后求出∠BAE+∠ABF＝∠ABC＝90°，判斷出AE⊥BF；（3）由黑螞蟻Q的路程﹣紅螞蟻P的路程＝30cm，列出方程可求解．證明：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，在△ABE和△BCF中，AB=BC∠ABE=∠BCF∴△ABE≌△BCF（SAS）；（2）∵△ABE≌△BCF，∴∠BAE＝∠CAF，∴∠BAE+∠ABF＝∠CAF+∠ABF＝∠ABC＝90°，∴AE⊥BF；（3）設經(jīng)過x秒，兩只螞蟻第一次相遇，由題意可得：3x﹣2.6x＝30∴x＝75秒，∴75×3＝5×40+25，∴經(jīng)過75秒，兩只螞蟻第一次在正方形ABCD的AB邊上相遇．總結提升：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△ABE≌△BCF是解題的關鍵．針對訓練1．（2020?蘇州）問題1：如圖①，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一點，PA＝PD，∠APD＝90°．求證：AB+CD＝BC．問題2：如圖②，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一點，PA＝PD，∠APD＝90°．求AB+CDBC思路引領：（1）由“AAS”可知△BAP≌△CPD，可得BP＝CD，AB＝PC，可得結論；（2）過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥BC于F，由（1）可知EF＝AE+DF，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得BE＝AE，CF＝DF，AB=2AE，CD=2證明：（1）∵∠B＝∠APD＝90°，∴∠BAP+∠APB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，∴∠BAP＝∠DPC，又PA＝PD，∠B＝∠C＝90°，∴△BAP≌△CPD（AAS），∴BP＝CD，AB＝PC，∴BC＝BP+PC＝AB+CD；（2）如圖2，過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥BC于F，由（1）可知，EF＝AE+DF，∵∠B＝∠C＝45°，AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠B＝∠BAE＝45°，∠C＝∠CDF＝45°，∴BE＝AE，CF＝DF，AB=2AE，CD=2∴BC＝BE+EF+CF＝2（AE+DF），∴AB+CDBC總結提升：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．2．（2022?定遠縣模擬）如圖，已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D是BC的中點，點P是BC邊上的一個動點．（1）如圖1，若點P與點D重合，連接AP，則AP與BC的位置關系是AP⊥BC；（2）如圖2，若點P在線段BD上，過點B作BE⊥AP于點E，過點C作CF⊥AP于點F，則CF，BE和EF這三條線段之間的數(shù)量關系是CF＝BE+EF；（3）如圖3，在（2）的條件下，若BE的延長線交直線AD于點M，求證：CP＝AM；（4）如圖4，已知BC＝4，若點P從點B出發(fā)沿著BC向點C運動，過點B作BE⊥AP于點E，過點C作CF⊥AP于點F，設線段BE的長度為d1，線段CF的長度為d2，試求出點P在運動的過程中d1+d2的最大值．思路引領：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)可得答案；（2）利用AAS證明△ACF≌△BAE，得CF＝AE，AF＝BE即可；（3）由（2）同理可證CF＝AE．再利用ASA證明△CFP≌△AEM，得CP＝AM；（4）用兩種方法表示△ABC的面積，可得d1+d2=8AP，當AP解：（1）∵點D是BC的中點，∴AP⊥BC，故答案為：AP⊥BC；（2）CF＝BE+EF，∵BE⊥AP，CF⊥AP，∴∠AEB＝∠AFC＝90°，∠BAE＝∠ACF，∵AB＝AC，∴△ACF≌△BAE（AAS），∴CF＝AE，AF＝BE，∴CF＝BE+EF，故答案為：CF＝BE+EF；（3）CP＝AM，理由如下：證明：∵BE⊥AP，CF⊥AP．∴∠AFC＝∠AEB＝90°．∵∠BAE+∠FAC＝90°，∠ACF+∠FAC＝90°．∴∠BAE＝∠ACF．又∵AB＝AC．∴△ACF≌△BAE（AAS）．∴∠BAE＝∠ACF，CF＝AE．∵在等腰Rt△ABC中，點D是BC的中點．∴∠BAD＝∠ACD＝45°∵∠BAE＝∠ACF．∴∠EAM＝∠FCP．在△CFP和△AEM中，∠FCP＝∠EAM，CF＝AE，∠CFP＝∠AEM∴△CFP≌△AEM（ASA），∴CP＝AM；（4）∵AD⊥BC，∴S△ABC由圖形可知，S△ABC∴d1∴當AP⊥BC時，AP最小，此時AP＝2；∴d1+d2最大值為4．總結提升：本題是三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，垂線段最短等知識，利用面積法表示出d1模型四旋轉(zhuǎn)模型【模型解讀】可看成將三角形繞著公共頂點旋轉(zhuǎn)一定角度，旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形之間存在兩種情況：(1)無重疊：兩個三角形有公共頂點，無重疊部分一般有一對相等的角隱含在平行線、對頂角中．(2)有重疊：兩個三角形含有一部分公共角，運用角的和差得到等角．典例4（2021秋?長豐縣月考）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE，BD與CE交于點O，BD與AC交于點F．（1）求證：BD＝CE．（2）若∠BAC＝48°，求∠COD的度數(shù)．（3）若G為CE上一點，GE＝OD，AG＝OC，且AG∥BD，求證：BD⊥AC．思路引領：（1）根據(jù)AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD，從而得出∠BAD＝∠CAE，即可得出△BAD≌△CAE，進而可以解決問題；（2）結合（1）證明∠COF＝∠BAC＝48°，進而可以解決問題；（3）連接AO，證明△ADO≌△AEG，可得AG＝AO，∠DAO＝∠EAG，然后證明∠COF＝∠OAG，根據(jù)AG∥BD，可得∠AOF＝∠OAG，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題．（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD與△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠AFB＝∠CFO，∴∠COF＝∠BAC＝48°，∴∠COD＝180°﹣∠COF＝180°﹣48°＝132°，答：∠COD的度數(shù)為132°．（3）證明：如圖，連接AO，∵△BAD≌△CAE，∴∠ADB＝∠AEC，∵AD＝AE，GE＝OD，在△ADO和△AEG中，AD=AE∠ADO=∠AEG∴△ADO≌△AEG（SAS），∴AG＝AO，∠DAO＝∠EAG，∵AG＝OC，∴OA＝OC，∵∠OAG＝∠DAO+∠DAG，∴∠OAG＝∠EAG+∠DAG＝∠DAE＝∠BAC，由（2）知：∠COF＝∠BAC，∴∠COF＝∠OAG，∵AG∥BD，∴∠AOF＝∠OAG，∴∠COF＝∠AOF，∵OA＝OC，∴BD⊥AC．總結提升：此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及角之間的關系，判斷出∠COF＝∠AOF，是解本題的關鍵．針對訓練1．（2022春?駐馬店期末）如圖，在△ADC中，DB是高，點E是DB上一點，AB＝DB，EB＝CB，M，N分別是AE，CD上的點，且AM＝DN．（1）試說明：△ABE≌△DBC；（2）探索BM和BN的位置關系和數(shù)量關系，并說明理由．思路引領：（1）根據(jù)SAS可證明△ABE≌△DBC；（2）證得∠BAM＝∠BDN．證明△ABM≌△DBN．得出BM＝BN，∠ABM＝∠DBN．得出∠ABD＝90°．則結論得證．（1）證明：∵DB是高，∴∠ABE＝∠DBC＝90°．在△ABE和△DBC中，AB=DB∠ABE=∠DBC∴△ABE≌△DBC（SAS）；（2）解：BM＝BN，BM⊥BN，理由如下：∵△ABE≌△DBC，∴∠BAM＝∠BDN，在△ABM和△DBN中，AB=DB∠BAM=∠BDN∴△ABM≌△DBN（SAS），∴BM＝BN，∠ABM＝∠DBN，∴∠DBN+∠DBM＝∠ABM+∠DBM＝∠ABD＝90°，∴MB⊥BN．總結提升：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．2．（2021?南通一模）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是平面內(nèi)異于點A的任意一點，以線段AE為邊作正方形AEFG，連接EB，GD．（1）如圖1，求證EB＝GD；（2）如圖2，若點E在線段DG上，AB＝5，AG＝32，求BE的長．思路引領：（1）根據(jù)正方形性質(zhì)求出A＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠GAE＝90°，求出∠BAE＝∠DAG，根據(jù)SAS推出△AGD≌△AEB即可；（2）根據(jù)勾股定理求出DH、EG，求出GH，根據(jù)全等得出BE＝DG，即可求出答案．（1）證明：∵四邊形ABCD和四邊形BEFG都是正方形，∴AB＝AD，AG＝AE，∠BAD＝∠GAE＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，在△AGD和△AEB中，AG=AE∠GAD=∠EAB∴△AGD≌△AEB（SAS），∴EB＝GD；（2）解：作AH⊥DG于H，∵四邊形ABCD和四邊形BEFG都是正方形，∴AD＝AB＝5，AE＝AG＝32．∴由勾股定理得：EG=(3AH＝GH=12∴DH=A∴BE＝DG＝DH+GH＝3+4＝7．總結提升：本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，能求出△AGD≌△AEB是解此題的關鍵模塊二2023中考押題預測1．（2021秋?西山區(qū)期末）如圖，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求證：△ABC≌△DEF．思路引領：根據(jù)BE＝CF求出BC＝EF，再根據(jù)全等三角形的判定定理SSS推出即可．證明：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，AB=DEBC=EF∴△ABC≌△DEF（SSS）．總結提升：本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL等．2．（2020秋?開福區(qū)月考）如圖，在△ABC中，點D是BC上一點，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，連接DE交AC于點F．（1）若∠C＝40°，求∠B的度數(shù)；（2）若AD平分∠BDE，求證：AE＝AC．思路引領：（1）由AD＝AB，得∠B＝∠ADB．由AE∥BC，得∠EAC＝∠C，那么∠C+∠DAC＝∠EAC+∠DAC，即∠ADB＝∠DAE．由∠BAD＝∠CAE，得∠BAC＝∠DAE，那么∠B＝∠BAC．已知∠C＝40°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠B＝70°．（2）欲證AE＝AC，可證△ABC≌△ADE．由AD平分∠BDE，得∠BDA＝∠ADE，那么∠B＝∠ADE．由∠BAD＝∠CAE，得∠BAC＝∠DAE，從而推斷出△ABC≌△ADE．解：（1）∵AD＝AB，∴∠B＝∠ADB．∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠C．又∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＝∠C．∵∠BDA＝∠C+∠DAC，∴∠BDA＝∠BAD+∠DAC＝∠BAC．又∵∠B＝∠BDA，∴∠B＝∠BAC．∵∠C＝40°，∴∠B+∠BAC＝180°﹣∠C＝140°．∴2∠B＝140°．∴∠B＝70°．（2）由（1）得：∠B＝∠ADB．∵AD平分∠BDE，∴∠BDA＝∠ADE．∴∠B＝∠ADE．∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC．∴∠BAC＝∠DAE．在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAEAB=AD∴△ABC≌△ADE（ASA）．∴AE＝AC．總結提升：本題主要考查平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關鍵．3．（2022秋?南昌期末）如圖，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，點E是BC的中點，DE⊥AB于點F，且AB＝DE．（1）求證：△ACB≌△EBD；（2）若DB＝12，求AC的長．思路引領：（1）由“AAS”可證△ACB≌△EBD；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得BC＝DB＝12，AC＝EB，即可求解．（1）證明：∵∠ACB＝∠DBC＝90°，DE⊥AB，∴∠DEB+∠ABC＝90°，∠A+∠ABC＝90°，∴∠DEB＝∠A，在△ACB和△EBD中，∠ACB=∠EBD=90°∠A=∠DEB∴△ACB≌△EBD（AAS）；（2）解：∵△ACB≌△EBD，∴BC＝DB，AC＝EB，∵E是BC的中點，∴EB=1∵DB＝12，BC＝DB，∴BC＝12，∴AC＝EB=12總結提升：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關鍵．4．如圖（1）矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，BP＝1，∠MPN＝90°將∠MPN繞點P從PB處開始按順時針方向旋轉(zhuǎn)，PM交AB（或AD）于點E，PN交邊AD（或CD）于點F，當PN旋轉(zhuǎn)至PC處時，∠MPN的旋轉(zhuǎn)隨即停止（1）特殊情形：如圖（2），發(fā)現(xiàn)當PM過點A時，PN也恰好過點D，此時，△ABP∽△PCD（填：“≌”或“～”）；（2）類比探究：如圖（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，PEPF（3）拓展延伸：設AE＝t，當△EPF面積為4.2時，直接寫出所對應的t的值．思路引領：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)找出∠B＝∠C＝90°，再通過角的計算得出∠BAP＝∠CPD，由此即可得出△ABP∽△PCD；（2）過點F作FH⊥PC于點H，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及角的計算找出∠B＝∠FHP＝90°、∠BEP＝∠HPF，由此即可得出△BEP∽△HPF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，找出邊與邊之間的關系即可得出結論；（3）分點E在AB和AD上兩種情況考慮，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出各邊的長度，再利用分割圖形求面積法找出S與t之間的函數(shù)關系式，令S＝4.2求出t值，此題得解．解：（1）如圖2中，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAP+∠BPA＝90°．∵∠MPN＝90°，∴∠BPA+∠CPD＝90°，∴∠BAP＝∠CPD，∴△ABP∽△PCD，故答案為：∽．（2）是定值．如圖3，過點F作FH⊥PC于點H，∵矩形ABCD中，AB＝2，∴∠B＝∠FHP＝90°，HF＝AB＝2，∴∠BPE+∠BEP＝90°．∵∠MPN＝90°，∴∠BPE+∠HPE＝90°，∴∠BEP＝∠HPF，∴△BEP∽△HPF，∴PEPF∵BP＝1，∴PEPF（3）分兩種情況：①如圖3，當點E在AB上時，0≤t≤2．∵AE＝t，AB＝2，∴BE＝2﹣t．由（2）可知：△BEP∽△HPE，∴BEHP=PE∴HP＝4﹣2t．∵AF＝BH＝PB+PH＝5﹣2t，∴S＝S矩形ABHF﹣S△AEF﹣S△BEP﹣S△PHF＝AB?AF?12AE?AF?12BE?PB?12PH?FH＝t2﹣4當S＝4.2時，t2﹣4t+5＝4.2，解得：t＝2±45∵0≤t≤2，∴t＝2?4②如圖4，當點E在AD上時，0≤t≤1，過點E作EK⊥BP于點K，∵AE＝t，BP＝1，∴PK＝1﹣t．同理可證：△PKE∽△FCP，∴PKFC=EK∴FC＝2﹣2t．∴DF＝CD﹣FC＝2t，DE＝AD﹣AE＝5﹣t，∴S＝S矩形EKCD﹣S△EKP﹣S△EDF﹣S△PCF＝CD?DE?12EK?KP?12DE?DF?12PC?FC＝t2﹣2當S＝4.2時，t2﹣2t+5＝4.2，解得：t＝1±55∵0≤t≤1，∴t＝1?5綜上所述：當點E在AB上時，S＝t2﹣4t+5（0≤t≤2），當S＝4.2時，t＝2?455；當點E在AD上時，S＝t2﹣2t+5（0≤t≤1），當S＝4.2時，t總結提升：本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的面積，解題的關鍵是：（1）熟練掌握相似三角形的判定定理；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出PEPF=BPHF；（3）分點E在5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過C點任作一條直線PQ，過A作AM⊥PQ于M，過B作BN⊥PQ于N．（1）如圖1，當直線MN在△ABC的外部時，MN，AM，BN有什么關系呢？為什么？（2）如圖2，當直線MN經(jīng)過△ABC內(nèi)部時，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請指出MN與AM，BN之間的數(shù)量關系并說明理由.思路引領：（1）先根據(jù)垂直的定義得到∠AMC＝∠CNB＝90°，則∠MAC+∠ACM＝90°，又∠ACB＝90°，則∠ACM+∠NCB＝90°，可得∠MAC＝∠NCB，根據(jù)“AAS”可證明△ACM≌△CBN，即得AM＝CN，CM＝BN，故MN＝MC+CN＝AM+BN；（2）與（1）證明方法一樣可得到△ACM≌△CBN，根據(jù)全等的性質(zhì)得AM＝CN，CM＝BN，故MN＝CN﹣CM＝AM﹣BN．解：（1）MN＝AM+BN；理由如下：∵AM⊥PQ于M，BN⊥PQ于N，∴∠AMC＝∠CNB＝90°，∴∠MAC+∠ACM＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACM+∠NCB＝90°，∴∠MAC＝∠NCB，在△ACM和△CBN中，∠AMC=∠CNB∠MAC=∠NCB∴△ACM≌△CBN（AAS），∴AM＝CN，CM＝BN，∴MN＝MC+CN＝AM+BN；（2）（1）中的結論不成立，MN與AM、BN之間的數(shù)量關系為MN＝AM﹣BN．理由如下：∵AM⊥PQ于M，BN⊥PQ于N，∴∠AMC＝∠CNB＝90°，∴∠MAC+∠ACM＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACM+∠NCB＝90°，∴∠MAC＝∠NCB，在△ACM和△CBN中，∠AMC=∠CNB∠MAC=∠NCB∴△ACM≌△CBN（AAS），∴AM＝CN，CM＝BN，∴MN＝CN﹣CM＝AM﹣BN．總結提升：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應邊相等．6．（2021?泗洪縣三模）如圖，E、F是正方形ABCD的對角線AC上的兩點，BE∥DF．求證：AE＝CF．思路引領：先證∠AEB＝∠CFD，再根據(jù)AAS證△ABE≌△CDF，從而得出AE＝CF．證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAE＝∠DCF，∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠DFA，∴∠AEB＝∠CFD，在△ABE和△CDF中，∠AEB=∠CFD∠BAE=∠DCF∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF．總結提升：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)和判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定是解決問題的關鍵．7．（2021秋?遷安市期末）小明將兩個大小不同的含45°角的直角三角板如圖1所示放置在同一平面內(nèi)．從圖1中抽象出一個幾何圖形（如圖2），B、C、E三點在同一條直線上，連結DC．猜想線段CD與BE的數(shù)量關系和位置關系，并證明．思路引領：證明△ABE≌△ACD（SAS），由全等三角形的性質(zhì)即可解決問題．解：BE＝CD．CD⊥BE．證明：∵△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，即∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，∴∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，AB=AC∠BAE=∠CAD∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝45°，∴∠ACD+∠ACB＝45°+45°＝90°，∴∠BCD＝90°，∴CD⊥BE．總結提升：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明△ABE≌△ACD是解題的關鍵．8．（2020?渝中區(qū)二模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于點D，E為線段CD上一點（不含端點），連接AE，設F為AE的中點，作CG⊥CF交直線AB于點G．（1）猜想：線段AG、BC、EC之間有何等量關系？并加以證明；（2）如果將題設中的條件“E為線段CD上一點（不含端點）”改變?yōu)椤癊為直線CD上任意一點”，試探究發(fā)現(xiàn)線段AG、BC、EC之間有怎樣的等量關系，請直接寫出你的結論，不用證明．思路引領：（1）結論：AG=2BC+EC．證明△AFM≌△EFC（SAS），推出EC＝AM，∠M＝∠ECF，再證明△ACM≌△BCG（AAS），推出AM＝BG（2）分兩種情形：點E在線段DC的延長線上時，點E在線段CD的延長線上時，分別畫出圖形考慮問題即可．解：（1）結論：AG=2BC+EC理由：如圖1中，延長CF到M，使得FM＝CF．∵AF＝EF，∠AFM＝∠EFC，F(xiàn)M＝FC，∴△AFM≌△EFC（SAS），∴EC＝AM，∠M＝∠ECF，∵GC⊥CF，∴∠GCF＝∠ACB＝90°，∴∠ACM＝∠BCG，∵CD⊥AB，∴∠G+∠GCD＝90°，∠GCD+∠ECF＝90°，∴∠G＝∠ECF＝∠M，∵CA＝CB，∴△ACM≌△BCG（AAS），∴AM＝BG，∴EC＝BG，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴AB=2BC∴AG＝AB+BG=2BC+EC（2）①如圖2﹣1中，當點E在線段DC的延長線上時，AG＝|2BC﹣EC|．理由：延長CF到H，使得FH＝CF．同法可證，△AFH≌△EFC（SAS），△ACH≌△BCG（AAS），∴EC＝AH，AH＝BG，∵AB=2BC∴AG＝|2BC﹣EC|．②如圖2﹣2中，當?shù)菶在線段CD的延長線上時，AG=2BC+CE總結提升：本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．9．（2020秋?鹽都區(qū)期末）已知：如圖，AC與BD相交于點O，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分別為點C、D，且AC＝BD．求證：OA＝OB．思路引領：根據(jù)HL證明Rt△ABC≌Rt△BAD，進而解答即可．證明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C＝∠D＝90°，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AC=BDAB=BA∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴∠BAC＝∠ABD，∴OA＝OB．總結提升：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)HL證明Rt△ABC≌Rt△BAD解答是解題的關鍵．10．（2021?南通一模）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是平面內(nèi)異于點A的任意一點，以線段AE為邊作正方形AEFG，連接EB，GD．（1）如圖1，求證EB＝GD；（2）如圖2，若點E在線段DG上，AB＝5，AG＝32，求BE的長．思路引領：（1）根據(jù)正方形性質(zhì)求出A＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠GAE＝90°，求出∠BAE＝∠DAG，根據(jù)SAS推出△AGD≌△AEB即可；（2）根據(jù)勾股定理求出DH、EG，求出GH，根據(jù)全等得出BE＝DG，即可求出答案．（1）證明：∵四邊形ABCD和四邊形BEFG都是正方形，∴AB＝AD，AG＝AE，∠BAD＝∠GAE＝90°，∴∠BAE＝∠DAG