高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修三）第14講812向量數(shù)量積的運(yùn)算律

8.1.2向量數(shù)量積的運(yùn)算律TOC\o"13"\h\u題型1向量數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用 ②兩個(gè)向量a，b的夾角為鈍角?a·b<0且a，b不共線．【例題4】已知i,j為互相垂直的單位向量，a=?i+2j,A．0,+∞ B．0,10C．?∞,0 D．?∞,?2【答案】B【分析】根據(jù)a與a?b的夾角為銳角，由a?a?【詳解】解：因?yàn)閍=?所以a?因?yàn)閍與a?所以4+2λ?2>0，且a解得λ>0當(dāng)a//a?即?1=?4k2=k當(dāng)λ=10時(shí)，a與a所以λ的取值范圍為0,10∪故選：B【變式41】1.已知i，j為互相垂直的單位向量，a=i+2j，b=3i?A．0,+∞ B．0,10C．?∞,?2∪?2,8 【答案】C【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得a?a+b=16?2λ，a=5，【詳解】因?yàn)閕，j為互相垂直的單位向量，所以i?j=0由題設(shè)，a?a2=ia+b2所以cos<a,a當(dāng)16?2λ5×λ?62+16=1，可得綜上，λ的范圍為?∞,?2∪故選：C.【變式41】2．（多選）（2021·江蘇·高一假期作業(yè)）在△ABCA．ABB．ABC．若(AB+ACD．若AC?AB>0【答案】BC【解析】根據(jù)向量加減法法則和數(shù)量積的運(yùn)算判斷各選項(xiàng)．【詳解】AB?由向量加法法則AB+(AB+AC)?(AB?ACAC?AB>0故選：BC．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查向量的加減法運(yùn)算，考查數(shù)量積的運(yùn)算．在由AC?AB>0判斷∠BAC是銳角時(shí)要注意，本題是△ABC，因此有銳角的結(jié)論，如果一般的兩個(gè)向量AB,AC滿足AC?AB【變式41】3．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）已知a=2,b=1（1）求a+2（2）若向量2a-λb與【答案】（1）a+2b=10【分析】（1）根據(jù)向量模的計(jì)算公式，結(jié)合題中條件，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果；（2）先由題意，得到(2a?λb)?(λa【詳解】（1）∵a=2,b=1∴a+2（2）∵(2a?λ∴(2a?λb)?(由(2a?λb)?(解得：1<λ若(2a?λb)與(所以2=kλ?λ又(2a?λb)因此，1<λ<6【點(diǎn)睛】本題主要考查求平面向量的模，以及由向量的夾角求參數(shù)的問題，熟記向量數(shù)量積的運(yùn)算，以及向量共線定理即可，屬于?？碱}型.【變式41】4．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量a=(1,2)，b（1）若(a+2b（2）若向量a與向量b的夾角為銳角，求x的取值范圍．【答案】（1）x=?2或72；（2）{x【解析】（1）先求出a+2b，2a?b的坐標(biāo)，再由(（2）由向量a與向量b的夾角為銳角，可得a?b>0，且向量a與向量b【詳解】解：（1）因?yàn)橄蛄縜=(1,2)，b所以a+2b=(1,2)+2(因?yàn)?a+2b所以(2x+1)(2?x解得x=?2或x（2）因?yàn)橄蛄縜與向量b的夾角為銳角，所以a?b>0，且向量a所以{x+2>012≠所以x的取值范圍為{x|【變式41】5．（2021·高一單元測(cè)試）已知|a|=2，|b|=1，a（1）求a在b方向上的投影；（2）求|a（3）若向量(2a?λb)【答案】（1）1；（2）10；（3）1,6【分析】（1）由向量投影概念可得結(jié)果；（2）運(yùn)用向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)，向量的平方即為模的平方，計(jì)算即可得到所求值；（3）由題意可得(2a?λb)?(【詳解】（1）a在b方向上的投影為|a（2）a?|a則|a（3）向量(2a?λ可得(2a?λb)?(即為2λ即有7λ?(6+λ由(2a?λb)解得λ=±則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為(1，6)∪(6，【變式41】6．（2022春·江蘇南京·高一校考階段練習(xí)）已知a=2b=2,e是與b方向相同的單位向量，且向量a在向量b方向上的投影向量為?e.（1）a與b【答案】

2π3【分析】由投影向量的概念計(jì)算；由數(shù)量積的定義與運(yùn)算求解【詳解】向量a在向量b方向上的投影向量為|a|cos向量λa+b則(λa+b)?((得λ<4故λ的取值范圍是(?∞,故答案為：2π3題型5取值范圍最值問題【例題5】在中，點(diǎn)滿足，當(dāng)點(diǎn)在線段（不包含端點(diǎn)）上移動(dòng)時(shí)，若，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖所示，△ABC中，，∴（），又點(diǎn)E在線段AD（不含端點(diǎn)）上移動(dòng)，設(shè)k，0＜k＜1，∴，又，∴，∴．∵在（0，1）上單調(diào)遞減，∴λ的取值范圍為（，+∞），故選：C．【變式51】1.在ΔABC中，點(diǎn)D在線段BC上，且BD→=2DC→，點(diǎn)O在線段CD上（與點(diǎn)C，D不重合）若A.0,1B.23,1C.0,1【答案】C【解析】∵AO=xAB→∴|CO||CB|=x，∵BD→=2DC→,即【變式51】2.在四面體中，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，若，且，，三點(diǎn)共線，則A．B．C．D．【答案】B【解析】若，，三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)使得成立，所以，可得，所以，可得.故選：B【變式51】3.（2022春·江蘇鹽城·高一統(tǒng)考期末）在△ABC中，AB=AC=2，∠A=120°，點(diǎn)A．217 B．2114 C．2 【答案】A【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可求得AM2【詳解】∵AB∴AM2=則當(dāng)μ=2056=5故選：A.【變式51】4.已知向量a,b為單位向量，且a?b=?12A．1 B．12 C．34 【答案】D【分析】由題意c=λ(a+【詳解】由題意，向量c與a+b共線，故存在實(shí)數(shù)λ，使得c=故選：D【變式51】5.在平行四邊形ABCD中，AB=2,AD=2,∠A=135°,E,F分別是AB,ADA．36 B．37 C．21 D．22【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算將CM用AB和AD表示，然后利用AB和AD的長度和夾角求出|CM【詳解】CM=AM?AC=(1所以|CM|=2(1=25所以|MC因?yàn)棣?1?3λ∈(0,1)所以當(dāng)λ=125時(shí)，|MC|所以μλ故選：D【變式51】6.（2022春·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）八卦是中國古代的基本哲學(xué)概念，八卦文化是中華文化的核心精髓，八卦圖（圖1）的輪廓為正八邊形ABCDEFGH（圖2），其中O是正八邊形的中心，點(diǎn)P在八條邊上運(yùn)動(dòng)．若OA=1，則OP【答案】??【分析】根據(jù)題意可知，利用余弦定理可得AB=2?2，余弦的二倍角可知cos3π8=2?22，可知OA?AB=22?1，又OP?AB=OA+【詳解】因?yàn)榘素詧D為正八變形，故中心角為π4因?yàn)镺A=1，所以A即AB2=2?又cos3π4所以O(shè)A?因?yàn)镺P?又OA?AB為定值，所以O(shè)P?設(shè)?AP所以AP?AB=AB?又APcosθ表示向量AP在向量AB上的投影，故APcosθ取最大值時(shí)，點(diǎn)P不可能在路徑AHGF上（在此路徑上θ為鈍角），所以點(diǎn)延長AB與DC，延長線交于M點(diǎn)，則三角形BMC為等腰直角三角形，且AB=所以BM=2?所以當(dāng)點(diǎn)P在DC上時(shí)，向量AP在向量AB上的投影最大，即APcos即APcos所以AP=所以O(shè)P?故答案為：22【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)OP?AB=OA+AP?AB=OA?AB+AP?AB，由于OA?AB為定值，可知OP?AB取最大值時(shí)，即【變式51】7．在2022年2月4日舉行的北京冬奧會(huì)開幕式上，貫穿全場(chǎng)的雪花元素為觀眾帶來了一場(chǎng)視覺盛宴，象征各國、各地區(qū)代表團(tuán)的91朵“小雪花”匯聚成一朵代表全人類“一起走向未來”的“大雪花”的意境驚艷了全世界（如圖①），順次連接圖中各頂點(diǎn)可近似得到正六