新疆維吾爾自治區(qū)2025屆高三12月大聯考新課標卷數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1新疆維吾爾自治區(qū)2025屆高三12月大聯考（新課標卷)數學試題本卷滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】將代入中，可知成立，不成立，．故選：D．2.已知函數滿足，則實數的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，故，故選：B3.已知平面向量，滿足，，，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】由可得，故，又，故，故，故選：C4.蘇州荻溪倉始建于明代，曾作為古代官方桹倉，圓筒桹倉簡約美觀、儲存容量大，在糧食儲存方面優(yōu)勢明顯，如圖（1）.某校模型制作小組設計圓筒糧倉模型時，將糧倉的屋頂近似看成一個圓錐，如圖（2）.若該圓錐的側面展開圖為半圓，底面圓的直徑為，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，知該圓錐底面圓的半徑為，設該圓錐的母線長為，高為.由，得，，所以該圓錐的體積.故選：A.5.已知函數，若為偶函數，且在區(qū)間上不單調，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】為偶函數，故，故，由于，故，則，令,解得，故的一個單調遞增區(qū)間為，由于區(qū)間關于原點對稱，要使在區(qū)間上不單調，故，故選：A6.物理學中的“波義耳定律”是指一定質量的氣體，在溫度不變的情況下，壓強p與體積V成反比．若容器的容積為V，容器內某種氣體的初始壓強為，真空泵每次抽出該氣體的體積為，n次抽氣后，設容器內剩余該氣體的壓強為，則．若，設抽氣時該氣體溫度不變，欲使容器內剩余該氣體的壓強低于初始壓強的，則最少需要抽氣的次數為（參考數據：）（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因為，，所以，所以，即得，要使，即得，即得.所以.故選：C.7已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于，，故，由，可得由可得，則，故選：D8.已知定義在上的函數滿足，且當時，，設，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】任取，，且，設，，由，得，即，所以，所以在上為減函數，記，則，記，所以，所以在上單調遞增且，所以當時，，，單調遞減，當時，，，單調遞增，所以，所以恒成立，所以，即.故選：.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知為虛數單位，復數，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】對于A，，故，A錯誤，對于B，，故，B正確，對于C,，解得，故C錯誤，對于D，由，則，故，D正確，故選：BD10.已知是邊長為3的等邊三角形，點P在內或邊界上，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則點P的軌跡長度為 D.若，則【答案】ABD【解析】對于A,當時，為的中點，則,故，A正確，對于B，，則，由余弦定理可得，B正確，對于C,若，則點P的軌跡為以圓心，以為半徑的圓（在內部及邊界部分），故長度為，C錯誤，對于D，當，則位于邊的高上，故,又，故，D正確，故選：ABD11.如圖所示的多面體中，為矩形，平面，且，，點為的重心，設，則下列說法正確的是（）A.該多面體的體積為B.存在，使得平面C.若，則四點共面D.若點在該多面體外接球的球面上，則【答案】ACD【解析】將該多面體補成長方體，如圖所示：對于A，故該多面體的體積為，A正確，對于B，由于為的重心，故，，顯然不垂直，故，因此，故不垂直，因此不存在，使得平面，B錯誤，對于C，建立如圖所示的空間之間坐標系，則，則，由于，故是的中點，故，故，故，因此共面，進而可得共面，C正確，對于D，，該多面體的外接球與長方體的外接球相同，故球的直徑為長方體對角線，而，故，故位于，故，，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則的最大值為______．【答案】1【解析】由題意，，即，解得，因為，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，即的最大值為1.故答案為：113.某密碼鎖的密碼由三位不重復的數字組成，請根據下面三張圖片提供的信息，判斷這個密碼鎖的解碼為______．【答案】698【解析】假設第一個圖片中的3號碼正確，且位置正確，則第二圖片中的3也滿足號碼正確，且位置正確，不合要求，假設第一個圖片中的1號碼正確，且位置正確，則從第三個圖片可知，剩余的2個號碼為8和3，且位置要互換，故密碼鎖的解碼為318，但此時第一個圖片將有2個號碼正確，不合要求，假設第一個圖片中的8正確，則從第三個圖片可知，有1個號碼為6，從第二個圖片可知，第三個號碼為7或9，若第三個號碼為7，且密碼鎖的解碼為678，此時第二個圖片中7的位置正確，不合要求，若第三個號碼為9，且密碼鎖的解碼為698，滿足所有圖片要求.故答案為：69814.若關于x的方程有且僅有兩個解，則實數a的值為______．【答案】【解析】由題意可知當，即時，方程為不成立，故可得，則此方程可化為，令，，則，當時，，則，令，解得，故當時，，函數為增函數；當時，，函數為減函數，故.當時，，則在上恒成立，故函數為增函數，作出和函數圖象如下：故由圖象可知當時，這兩個函數的圖象只有2個公共點.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）若，求；（2）若，，求．解：（1），由余弦定理得，故，將其代入中得，，故；（2），故，，因為，所以①，由余弦定理得，又，所以，，由余弦定理得，故②，聯立①②得③，又，故，將其代入中得④，聯立③④得，解得，解得，負值舍去16.已知數列的前n項和為S，且，．數列滿足．（1）求數列的通項公式；（2）求數列的通項公式及．解：（1）因為，所以，當時，，所以，當時，，作差得，所以，所以，所以.（2）當時，因為，所以，，所以累加法得出，所以，所以，當時，，所以，所以，所以.17.已知函數．（1）若，求證：；（2）若且在上恒成立，求t的最大值．（1）證明：的定義域為0,+∞，當時，，，當時，，所以在上單調遞增，當時，，所以在上單調遞減，所以.（2）解：令，則gx<0在0,+∞上恒成立，求導得當時，在0,+∞上恒成立，又，不合題意，舍去；當時，若，可得，所以在上單調遞增，若，可得，所以在上單調遞減，所以，故只需即可.設，則，所以hx在上單調遞增.又，所以當時，hx<0恒成立，即需使.又，所以的最大值為.18.如圖，在四棱臺中，平面，底面為菱形，，點為的中點．（1）求證：平面；（2）若，，二面角的大小為45°，求該四棱臺的體積．（1）證明：由于，底面為菱形，且為四棱臺，故四邊形也為菱形，故且，由于點為的中點,故,故四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，故平面，（2）解：因為平面，且平面，故,,則,,故,由于也為菱形，故,故為等邊三角形，,,且也為等邊三角形，由于點為的中點,故,因為平面，故平面，故,平面，故平面，過作于,連接,平面，平面,故,平面,故平面,平面,故,故為二面角的平面角，所以，,故,又，故,故，因此，,則,故四棱臺的體積為19.已知函數．（1）若為增函