第7章自動(dòng)控制原理課件胡壽松

第7章非線性控制系統(tǒng)

7.1非線性系統(tǒng)的基本概念7.2二階線性和非線性系統(tǒng)的特征7.3非線性系統(tǒng)的相平面分析7.4非線性系統(tǒng)一種線性近似表示——描述函數(shù)7.5非線性環(huán)節(jié)的串并聯(lián)及系統(tǒng)的變換7.6利用非線性特性改善系統(tǒng)的性能7.1非線性系統(tǒng)的基本概念7.1.1非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述非線性系統(tǒng)：如果一個(gè)系統(tǒng)中包含一個(gè)或一個(gè)以上具有非線性特性的元件或環(huán)節(jié)時(shí)，即稱該系統(tǒng)為非線性控制系統(tǒng)。

式中：fv——粘性摩擦系數(shù)

k(y)——彈性系數(shù)，是

y(t)的函數(shù)例：彈簧阻尼系統(tǒng)其運(yùn)動(dòng)可用下面非線性微分方程描述：

描述大多數(shù)非線性物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是n階非線性微分方程

式中，u(t)為輸入函數(shù)，

y(t)為輸出函數(shù)在通常情況下，可以將構(gòu)成系統(tǒng)環(huán)節(jié)分為線性與非線性兩部分，可用框圖表示非線性系統(tǒng)的基本形式。

質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的框圖表示

當(dāng)用框圖作為非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型時(shí)，多數(shù)情況下不必再用微分方程去描述系統(tǒng)，而只需將系統(tǒng)的線性部分用傳遞函數(shù)或脈沖響應(yīng)表示，非線性部分則用非線性等效增益或描述函數(shù)表示即可（將在后面介紹）。但是，對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)而言，則必須考慮非線性環(huán)節(jié)加于系統(tǒng)何處以及以何種加入的問(wèn)題，而不能像這樣簡(jiǎn)單。7.1.2非線性特性的分類按非線性環(huán)節(jié)的物理性能及非線性特性的形狀劃分，非線性特性有死區(qū)、飽和、間隙和繼電器等。1.飽和特性

在控制系統(tǒng)中若存在飽和特性，將使系統(tǒng)在大信號(hào)作用下的等效放大倍數(shù)降低，從而引起瞬態(tài)過(guò)程時(shí)間的延長(zhǎng)和穩(wěn)態(tài)誤差的增加。對(duì)于條件穩(wěn)定系統(tǒng)，甚至可能出現(xiàn)小信號(hào)時(shí)穩(wěn)定，而大信號(hào)時(shí)不穩(wěn)定的情況。

當(dāng)e(t)>0時(shí)，sgn

e(t)=+1；當(dāng)e(t)<0時(shí)，sgne(t)=－1

2.死區(qū)（不靈敏區(qū)）特性伺服電機(jī)的死區(qū)電壓（啟動(dòng)電壓），測(cè)量元件的不靈敏區(qū)等都屬于死區(qū)非線性特性。由于有死區(qū)特性存在，將使系統(tǒng)產(chǎn)生靜態(tài)誤差，特別是測(cè)量元件的不靈敏區(qū)影響最為突出。3.間隙特性齒輪傳動(dòng)的齒隙特性，液壓傳動(dòng)的的油隙特性等均屬于這類特性。當(dāng)系統(tǒng)中有間隙特性存在時(shí)，將使系統(tǒng)輸出信號(hào)在相位上產(chǎn)生滯后，從而使系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度減少，動(dòng)態(tài)特性變壞。間隙的存在常常是系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩的主要原因。4.繼電器特性

式中，a——繼電器吸合電壓

ma——釋放電壓

b——飽和輸出

由于繼電器元件在控制系統(tǒng)中常用來(lái)作為改善系統(tǒng)品質(zhì)的切換元件，因此繼電器特性在非線性系統(tǒng)的分析中占有重要地位。

5.變放大系數(shù)特性變放大系數(shù)特性使系統(tǒng)在大誤差信號(hào)時(shí)具有較大的放大系數(shù)，系統(tǒng)響應(yīng)迅速。而在小誤差信號(hào)時(shí)具有較小的放大系數(shù)，使系統(tǒng)響應(yīng)既緩且穩(wěn)。具有這種特性的系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)品質(zhì)較好。以非線性環(huán)節(jié)的輸出與輸入之間存在的函數(shù)關(guān)系劃分，非線性特性又可分為單值函數(shù)與多值函數(shù)兩類。7.1.3非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)

1.線性系統(tǒng)描述其運(yùn)動(dòng)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型是線性微分方程，故可以采用疊加原理。而非線性系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型為非線性微分方程，不能采用疊加原理，必須研究不同輸入所引起的輸出響應(yīng)。2.線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與輸入響應(yīng)的性質(zhì)只由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參量決定，而與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無(wú)關(guān)。而非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性及零輸入響應(yīng)的性質(zhì)不僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參量，而且還與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)。3.線性系統(tǒng)的工作狀態(tài)只可能有穩(wěn)定或不穩(wěn)定兩種，系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)在物理上是不能實(shí)現(xiàn)的。在沒(méi)有外作用時(shí)，非線性系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)在物理上可以實(shí)現(xiàn)，其頻率和振幅均由系統(tǒng)本身的特性所決定。所以通常把它稱為自激振蕩，簡(jiǎn)稱自振。自振是非線性系統(tǒng)的一個(gè)非常重要的特征，也是研究非線性系統(tǒng)的重要內(nèi)容之一。4．可以用頻率特性的概念來(lái)研究和分析線性系統(tǒng)的固有特性。不能用頻率特性、傳遞函數(shù)等線性系統(tǒng)常用的方法來(lái)研究非線性系統(tǒng)。7.1.4非線性系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)方法1.相平面法

相平面法是求解一階或二階非線性系統(tǒng)的圖解法。這種方法既能提供的穩(wěn)定性信息，又能提供時(shí)間響應(yīng)信息。其缺點(diǎn)是只限于一階和二階系統(tǒng)。2.描述函數(shù)法

描述函數(shù)法是基于頻率域的等效線性化方法。該法不受系統(tǒng)階次的限制，但系統(tǒng)必須滿足一定的假設(shè)條件，且只能提供系統(tǒng)穩(wěn)定性和自激振蕩的信息。3.波波夫法

波波夫法是一個(gè)關(guān)于系統(tǒng)漸近穩(wěn)定充分條件的頻率域判據(jù)。它可以應(yīng)用于高階系統(tǒng)，并且是一個(gè)準(zhǔn)確判定穩(wěn)定性的方法。7.2二階線性和非線性系統(tǒng)的特征

7.2.1相平面、相軌跡和平衡點(diǎn)心

一般說(shuō)來(lái)，描述二階系統(tǒng)的二階常微分方程可以用兩個(gè)一階微分方程表示狀態(tài)平面是一般的二維平面，其水平軸記為x1，垂直軸記為x2。假設(shè)(x1(t)，x2(t))表示為上式的一個(gè)解，則當(dāng)t為固定值時(shí)，解對(duì)應(yīng)于狀態(tài)平面上的一個(gè)點(diǎn)。當(dāng)t變化時(shí)，對(duì)于在狀態(tài)平面上形成的運(yùn)動(dòng)軌跡稱為狀態(tài)平面軌跡。

（7.8）當(dāng)這種特殊情況下的狀態(tài)平面稱為相平面，相應(yīng)的狀態(tài)平面軌跡稱為相平面軌跡，或直接稱為相軌跡。

某二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)與相軌跡。圖中用A、B、C分別表示不同的初始狀態(tài)，每一初始狀態(tài)下對(duì)應(yīng)一條相軌跡。

狀態(tài)(x10，x20)稱為式（7.8）在t0時(shí)刻的一個(gè)平衡點(diǎn)，其條件為對(duì)于所有的t≥t0

，有在相軌跡上滿足條件：

尤其是非時(shí)變系統(tǒng)（常稱為自治系統(tǒng)），t0時(shí)刻的平衡點(diǎn)必然也是t≥t0所有時(shí)刻的平衡點(diǎn)。

為不定值的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。

（7.11）（7.10）式（7.10）和式（7.11）是等價(jià)的，因此，奇點(diǎn)也必然就是平衡點(diǎn)。

1、只有坐標(biāo)原點(diǎn)（即相平面的原點(diǎn)）是奇點(diǎn)；

2、無(wú)數(shù)條相軌跡都通過(guò)原點(diǎn)，在相平面上相軌跡在原點(diǎn)的斜率不是定值；

3、相平面上任何其他點(diǎn)都只有一條相軌跡通過(guò)，該點(diǎn)的相軌跡斜率必為定值，故都不是奇點(diǎn)。

7.2.2

二階線性系統(tǒng)的特征

二階線性系統(tǒng)的微分方程為（7.12）令x=x1，則可改寫為下列一階微分方程組

得

或

由此式解得x1與x2的關(guān)系式就是二階線性系統(tǒng)的相軌跡方程。其特征根（或二階線性系統(tǒng)的極點(diǎn)）為：

線性二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)由其特征根決定，而時(shí)間響應(yīng)又決定了系統(tǒng)相軌跡的性質(zhì)。

式（7.12）的特征為程為：

1.當(dāng)ξ=0時(shí)（無(wú)阻尼狀態(tài)），λ1、λ2為一對(duì)共軛純虛根，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)作等幅振蕩但不能持續(xù)，系統(tǒng)的相軌跡是一族同心的橢圓每—橢圓對(duì)應(yīng)一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)（見(jiàn)圖7.10a）在相平面原點(diǎn)處有一孤立奇點(diǎn)，被周圍封閉的橢圓曲線包圍。此種奇點(diǎn)稱為中心點(diǎn)。

2.當(dāng)0<ξ<1時(shí)（欠阻尼狀態(tài)），λ1、λ2為一對(duì)負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)呈衰減振蕩，最終趨于零。對(duì)應(yīng)的相軌跡是對(duì)數(shù)螺旋線，收斂于相平面原點(diǎn)（見(jiàn)圖7.10b）。此種奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定的焦點(diǎn)。3.當(dāng)ξ>1時(shí)（過(guò)阻尼狀態(tài)），λ1、λ2為兩個(gè)負(fù)實(shí)根。其零輸入響應(yīng)是隨時(shí)間非周期地衰減到零。對(duì)應(yīng)的相軌跡是一族趨向相平面原點(diǎn)的拋物線（見(jiàn)圖7.10c）。相平面原點(diǎn)為奇點(diǎn)，并稱其為穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)。

4.當(dāng)λ1、λ2為實(shí)根，且λ1位于根平面左半部，λ2位于根平面右半部時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)也是非周期發(fā)散的。相應(yīng)的相軌跡如圖7.10d所示。此種奇點(diǎn)稱為鞍點(diǎn)。

6.當(dāng)ξ<－1時(shí)，λ1、λ2且為位于根平面右半部的兩個(gè)正實(shí)根。系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為非周期發(fā)散的，對(duì)應(yīng)的相軌跡是由相平面原點(diǎn)出發(fā)的發(fā)散型拋物線族（見(jiàn)圖7.10f）。此種奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)。

5.當(dāng)－1<ξ<0時(shí)，λ1、λ2為位于根平面右半部的一對(duì)共軛復(fù)根。系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是發(fā)散振蕩的。對(duì)應(yīng)的相軌跡為由相平面原點(diǎn)出發(fā)的對(duì)數(shù)螺旋線（見(jiàn)圖7.10e）。此種奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定的焦點(diǎn)。

1、二階線性系統(tǒng)的相軌跡和奇點(diǎn)的性質(zhì)由系統(tǒng)的特征根決定，即由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參量決定，而與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)。2、不同的初始狀態(tài)只能在相平面上形成一組幾何形狀相似的相軌跡，而不能改變相軌跡的性質(zhì)。3、由不同初始狀態(tài)決定的相軌跡不會(huì)相交，但有可能部分重合。只有在奇點(diǎn)處，才能有無(wú)數(shù)條相軌跡逼近或離開(kāi)它。4、二階或更高階的線性系統(tǒng)不會(huì)形成在全部時(shí)間內(nèi)有定義的孤立封閉曲線形狀的相軌跡。小結(jié)：注意：當(dāng)ξ=0時(shí)，線性系統(tǒng)處于無(wú)阻尼運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，相軌跡雖然是封閉曲線形的，但不是孤立的。7.2.3

二階非線性系統(tǒng)的特征

二階非線性系統(tǒng)在零輸人情況下的數(shù)學(xué)描述

（7.15）用線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型介紹的小范圍線性方法求出其在平衡點(diǎn)附近的線性化方程，然后再去分析系統(tǒng)的相軌跡與奇點(diǎn)的情況。（7.16）式（7.15）、式（7.16）所表示的系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是（0，0），因?yàn)橹挥挟?dāng)x1、x2均為零時(shí)，函數(shù)f1、f2均等于零。根據(jù)泰勒定理，將函數(shù)f1、f2展開(kāi)式中，；r1，r2為余項(xiàng)或稱高次項(xiàng)

在其平衡點(diǎn)（0,0）附近小范圍內(nèi)線性化方程為

在大多數(shù)情況下，線性化系統(tǒng)的相軌跡與原非線性系統(tǒng)的相軌跡在相平面原點(diǎn)（平衡點(diǎn)）某個(gè)適當(dāng)小范圍內(nèi)有著相同的定性特征。

1.除了線性化系統(tǒng)的特征根是一對(duì)純虛根的情況外，非線性系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的相軌跡與線性化系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的相軌跡具有同樣的形狀特征。2.在非線性系統(tǒng)中，有可能其相軌跡為一個(gè)（或多于一個(gè)）孤立的封閉曲線（極限環(huán)），說(shuō)明非線性系統(tǒng)可能存在自持振蕩。這是非線性系統(tǒng)固有的特征。3.非線性系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的相軌跡與其線性化系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的相軌跡有時(shí)存在性質(zhì)上的差異。原因是線性化過(guò)程中略去了高次項(xiàng)，在這種情況下，研究線性化系統(tǒng)并不能提供關(guān)于非線性系統(tǒng)確切的答案。

因此，非線性系統(tǒng)的線性化方法常能提供有用的結(jié)果，但有局限性。7.3非線性系統(tǒng)的相平面分析

相平面分析法，是基于時(shí)域的狀態(tài)空間分析設(shè)計(jì)方法。它是一種用圖解方法來(lái)求解二階非線性控制系統(tǒng)的精確方法。這種方法不局限于普通的非線性因素，而且能夠解決特別明顯的非線性控制問(wèn)題，不僅能給出穩(wěn)定性信息和動(dòng)態(tài)特性的信息，還能給出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡的清晰圖像。由于相平面法的局限性，故在本節(jié)所討論的問(wèn)題仍然僅限于二階非線性系統(tǒng)。7.3.1繪制相軌跡的方法

在繪制系統(tǒng)相軌跡時(shí)，通常需將系統(tǒng)的微分方程改變?yōu)橄嘧兞糠匠痰男问剑矗?.25）1.解析法

將上式寫為：對(duì)式（7.26）進(jìn)行積分，得到x1與x2的關(guān)系式，即為相軌跡方程，以x1與x2作為平面坐標(biāo)，描繪出相應(yīng)曲線即得到相軌跡。（7.26）2.等傾線法

不求微分方程的解，而通過(guò)作圖的辦法，直接在相平面上繪制相軌跡。給定不同的q值，可在相平面上畫出許多等傾線。在給定初始狀態(tài)條件，便可沿著給定的相軌跡切線方向畫出系統(tǒng)的相軌跡。式（7.26）實(shí)際上表示了相軌跡的斜率，若取斜率為常數(shù)q，則該式變?yōu)椋?.27）3.δ法由式（7.25）變?yōu)椋涸邳c(diǎn)(x1，x2)附近小領(lǐng)域內(nèi)，視δ(x1，x2)為常量，并對(duì)上式進(jìn)行積分，即可得

如果選取新坐標(biāo)系為

，在新坐標(biāo)系中以為圓心，半徑為從圓心到所取點(diǎn)的距離（如圖7.16），畫出的圓弧就近似地表示了所選取點(diǎn)附近的相軌跡。因此，相軌跡就可用一段小圓弧連接而成。7.3.2相軌跡求系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)

1.相軌跡的平均斜率求時(shí)間t

若x1的微小增量△x1及時(shí)間增量△t

，則與△x1相應(yīng)的縱坐標(biāo)平均值為：或系統(tǒng)狀態(tài)x1由A點(diǎn)轉(zhuǎn)換到B點(diǎn)所需要時(shí)間為：如此求得x1(t)的圖形。令x1(t)=c(t)，即可得到系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)。

同理可求得系統(tǒng)狀態(tài)x1由B點(diǎn)轉(zhuǎn)換到C點(diǎn)所需要時(shí)間△tBC。2.面積法求時(shí)間t

圖示曲線可表示為則積分得表明：系統(tǒng)狀態(tài)x1從t=0開(kāi)始時(shí)的初始狀態(tài)x1(0)轉(zhuǎn)移到某一狀態(tài)x1(t)所需時(shí)間等于曲線與軸x1之間包含的面積（圖中陰影部分）。此面積可采用矩形面積來(lái)似近表示。

7.3.3相軌跡分析非線性系統(tǒng)

分析步驟（1）將非線性特性用分段的線性來(lái)表示，寫出相應(yīng)各段的數(shù)學(xué)表達(dá)式。（2）在相平面上選擇合適的坐標(biāo)（一般常用誤差e及其導(dǎo)數(shù)做為坐標(biāo)軸）。然后根據(jù)分段情況，在相平面上畫出分界線，將相平面分割成幾個(gè)區(qū)域。（3）根據(jù)各線性域的微分方程決定奇點(diǎn)的類別和在相平面上的位置，以及基準(zhǔn)線的位置。再畫出各域的相軌跡。（4）把相鄰區(qū)域的相軌跡，在分界線上適當(dāng)?shù)你暯悠饋?lái)，便得到整個(gè)非線性系統(tǒng)的相平面圖。（5）由相圖判斷系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性。注：

（1）如果相軌跡圖較復(fù)雜，經(jīng)分析可能有極限環(huán)，需確定其位置；（2）如果分界線較復(fù)雜，是非線性曲線等等，建議用實(shí)驗(yàn)法繪制精確相圖。（3）在一般情況下，只需根據(jù)分界線，基準(zhǔn)線的位置和奇點(diǎn)的性質(zhì)和位置，繪制出相軌跡草圖，便可分析出系統(tǒng)的品質(zhì)。1.具有死區(qū)特性的非線性控制系統(tǒng)列寫系統(tǒng)微分方程組則系統(tǒng)的分段線性方程分界線方程為

方程，把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ個(gè)線性區(qū)域（1）當(dāng)時(shí)Ⅰ區(qū)微分方程為線為奇線相軌跡的斜率恒值相軌跡是一組斜率為-1/T的直線

Ⅱ區(qū)微分方程為奇點(diǎn)坐標(biāo)(-e0,0)，相軌跡與Ⅱ區(qū)對(duì)稱于坐標(biāo)原點(diǎn)Ⅲ區(qū)微分方程為奇點(diǎn)坐標(biāo)(e0,0)，奇點(diǎn)可能為穩(wěn)定焦點(diǎn)或穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。則系統(tǒng)的分段線性方程分界線方程為

方程，把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ個(gè)線性區(qū)域（2）當(dāng)時(shí)Ⅰ區(qū)相軌跡的斜率為0

Ⅱ區(qū)Ⅲ區(qū)相軌跡漸近于直線奇點(diǎn)坐標(biāo)，實(shí)奇點(diǎn)奇點(diǎn)坐標(biāo)，虛奇點(diǎn)相軌跡最終趨于穩(wěn)定焦點(diǎn)。代表系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。可見(jiàn)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號(hào)的速度v成正比，與線性部分的放大系數(shù)K成反比。2.具有繼電器特性的非線性控制系統(tǒng)（1）具有理想繼電器特性的控制系統(tǒng)則系統(tǒng)的分段線性方程分界線方程為

把平面分成Ⅰ、Ⅱ兩個(gè)線性區(qū)域，相軌跡圖對(duì)稱于坐標(biāo)原點(diǎn)。系統(tǒng)沒(méi)有奇點(diǎn)，但有漸近線。當(dāng)時(shí)Ⅰ區(qū)相軌跡的斜率為0相軌跡漸近線方程在階躍信號(hào)作用下，系統(tǒng)由初始相點(diǎn)A出發(fā)，沿Ⅰ區(qū)相軌跡前進(jìn)，在分界線的B點(diǎn)進(jìn)入Ⅱ區(qū)，然后沿著Ⅱ區(qū)相軌跡前進(jìn)，在C點(diǎn)又進(jìn)入Ⅰ區(qū)，經(jīng)過(guò)幾次振蕩，系統(tǒng)逐漸收斂于原點(diǎn)。原點(diǎn)不是奇點(diǎn)，是動(dòng)平衡點(diǎn)。相跡的斜率方程為等傾線為一族平行于e軸的直線Ⅱ區(qū)和Ⅰ區(qū)對(duì)稱（2）具有死區(qū)特性的繼電控制系統(tǒng)則系統(tǒng)的分段線性方程分界線方程為

把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個(gè)線性區(qū)域，相軌跡圖對(duì)稱于坐標(biāo)原點(diǎn)。系統(tǒng)沒(méi)有奇點(diǎn)，但有漸近線。當(dāng)時(shí)Ⅲ區(qū)相軌跡是一組斜率為-1/T的直線

（3）具有死區(qū)滯環(huán)特性的繼電控制系統(tǒng)

當(dāng)時(shí)相平面的上下兩部分各分成三個(gè)線性區(qū)域，三個(gè)域的微分方程與圖7.26三個(gè)域的微分方程分別相同，兩圖響應(yīng)域的相跡也相同。但在圖7.28中由于繼電器有滯環(huán)，致使繼電器釋放時(shí)的都比圖7.26大，這就增加了系統(tǒng)的振蕩趨勢(shì)。當(dāng)Ⅲ域中的相跡斜率的絕對(duì)值不是很大時(shí)，系統(tǒng)將出現(xiàn)穩(wěn)定的極限環(huán)。只有當(dāng)足夠大時(shí)，相軌跡才能趨向于e軸的-e至e的線段。這時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的系統(tǒng)。7.4非線性系統(tǒng)一種線性近似表示

——描述函數(shù)

描述函數(shù)是非線性特性的一種線性近似方法。它是線性系統(tǒng)理論中的頻率特性法在一定假設(shè)條件下，在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用。它主要用來(lái)分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，以及確定非線性系統(tǒng)在正弦函數(shù)作用下的輸出響應(yīng)特性。應(yīng)用這種方法時(shí)非線性系統(tǒng)的階數(shù)不受限制。描述函數(shù)的最基本思想是用輸出信號(hào)中的基波分量來(lái)代替非線性元件在正弦輸入信號(hào)作用下的實(shí)際輸出。

7.4.1描述函數(shù)的意義

非線性元件

線性部分

假設(shè)非線性元件的輸出是對(duì)稱函數(shù)，則若，其輸出

假設(shè)系統(tǒng)線性部分具有低通濾波特性，非線性元件的輸出可化為非線性元件在正弦函數(shù)作用下，輸出中的基波分量和輸入正弦波的復(fù)數(shù)比——描述函數(shù)上圖等效為：Y——非線性元件輸出信號(hào)基波分量的振幅A——輸入正弦信號(hào)的振幅Φ1——非線性元件輸出信號(hào)基波與輸入正弦信號(hào)的相位差7.4.2典型非線性特性的描述函數(shù)

描述函數(shù)

式中

1.飽和特性的描述函數(shù)若，其輸出

描述函數(shù)——基準(zhǔn)描述函數(shù)2.死區(qū)特性的描述函數(shù)若，其輸出

描述函數(shù)——基準(zhǔn)描述函數(shù)3.回環(huán)特性的描述函數(shù)若，其輸出

描述函數(shù)4.繼電器特性的描述函數(shù)若，其輸出

（1）m=－1（2）m=1，a>0（3）m=1，a=0（4）7.4.3非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析

系統(tǒng)的閉環(huán)特征式為非線性元件

線性部分

或Kn——非線性元件非線性部分的放大系數(shù)當(dāng)線性系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)時(shí)，-1點(diǎn)是判斷穩(wěn)定的參考點(diǎn)。如果線性部分仍是穩(wěn)定系統(tǒng)，但是，由于系統(tǒng)中存在非線性元件，則用來(lái)判斷非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的不再是臨界點(diǎn)-1，而是一條臨界線。在應(yīng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，主要利用特性曲線和軌跡線之間的相對(duì)位置進(jìn)行判別。（1）當(dāng)ω由0→∞，曲線位于軌跡的右側(cè)，非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的；（2）當(dāng)ω由0→∞，曲線包圍軌跡，非線性系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；（3）當(dāng)ω由0→∞，曲線與軌跡相交，非線性系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，系統(tǒng)將出現(xiàn)極限環(huán)。相應(yīng)的振蕩近似于正弦振蕩。其振幅和頻率分別為交點(diǎn)處曲線上相應(yīng)的ω值和軌跡上的A值極限環(huán)的穩(wěn)定性可根據(jù)的曲線方向來(lái)判斷。1）如果交點(diǎn)是曲線穿進(jìn)曲線時(shí)的交點(diǎn)，則該交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的極限環(huán)是不穩(wěn)定的。如圖中的Q點(diǎn)。2）如果交點(diǎn)是曲線穿出曲線時(shí)的交點(diǎn)，則該交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的極限環(huán)是穩(wěn)定的。如圖中的P點(diǎn)。Q點(diǎn)具有發(fā)散特性，P點(diǎn)具有收斂特性。7.5非線性環(huán)節(jié)的串并聯(lián)及系統(tǒng)的變換7.5.1系統(tǒng)線性部分的變換與集中7.5.2非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)的特性線性部分的增益飽和值注：非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)后的等效非線性環(huán)節(jié)的特性與兩個(gè)環(huán)節(jié)的前后順序有關(guān)，改換前后次序則等效特性亦會(huì)變化。死區(qū)參量7.5.3非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)的特性a1<a2a1=a2=aa1>a27.6利用非線性特性改善系統(tǒng)的性能在線性系統(tǒng)中，為了提高系統(tǒng)穩(wěn)定精度則希望增大系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)放大系數(shù)，或者在系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中增添s=0極點(diǎn)，但由此可能導(dǎo)致系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性能降低，使暫態(tài)性能惡化；又如，在暫態(tài)性能中，響應(yīng)的快速性與超調(diào)量之間也有矛盾。因此，在系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，往往采取折衷方案。但是，如果人為有目的的地在線性系統(tǒng)中加入某些非線性環(huán)節(jié)，卻有可能使系統(tǒng)的性能大幅度地提高，以達(dá)到單純線性系統(tǒng)根本無(wú)法實(shí)現(xiàn)的預(yù)期效果。

開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為

1.具有微分反饋的二階系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為

2.當(dāng)未引入局部微分反饋（β=0）時(shí)

曲線①為未引入微分反饋時(shí)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，超調(diào)量過(guò)大。曲線②為引入微分反饋后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，雖無(wú)超調(diào)，但響應(yīng)過(guò)慢。

3.非線性微分負(fù)反饋的二階系統(tǒng)

兩個(gè)輸入：c(t)，e(t)特性：Kcc(t)<Kee(t)時(shí)，N(·)=0Kcc(t)>Kee(t)時(shí)，N(·)∝c(t)

在階躍信號(hào)剛作用時(shí)，e(t)很大，c(t)很小，微分反饋環(huán)節(jié)不起作用，相當(dāng)于系統(tǒng)傳遞函數(shù)中β等于零；隨著時(shí)間推移，e(t)減小，c(t)增長(zhǎng)，適當(dāng)?shù)卣ù朔蔷€性環(huán)節(jié)的