2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)16空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示含解析新人教A版選修2-1

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(十六)空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示(建議用時(shí)：60分鐘)[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]一、選擇題1．給出下列命題：①若{a，b，c}可以作為空間的一個(gè)基底，d與c共線，d≠0，則{a，b，d}也可以作為空間的一個(gè)基底；②已知向量a∥b，則a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底；③A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(BM,\s\up8(→))，eq\o(BN,\s\up8(→))不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則A，B，M，N四點(diǎn)共面；④已知{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，若m＝a＋c，則{a，b，m}也是空間的一個(gè)基底．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4D[依據(jù)基底的概念，知空間中任何三個(gè)不共面的向量都可作為空間的一個(gè)基底．明顯②正確．③中由eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(BM,\s\up8(→))，eq\o(BN,\s\up8(→))不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，知eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(BM,\s\up8(→))，eq\o(BN,\s\up8(→))共面．又eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(BM,\s\up8(→))，eq\o(BN,\s\up8(→))過相同點(diǎn)B，知A，B，M，N四點(diǎn)共面．所以③正確．下面證明①④正確：①假設(shè)d與a，b共面，則存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d與c共線，c≠0，∴存在實(shí)數(shù)k，使得d＝kc.∵d≠eq\a\vs4\al(0)，∴k≠0，從而c＝eq\f(λ,k)a＋eq\f(μ,k)b，∴c與a，b共面，與條件沖突，∴d與a，b不共面．同理可證④也是正確的．于是①②③④四個(gè)命題都正確，故選D.]2．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M是上底面對角線AC與BD的交點(diǎn)，若eq\o(A1B1,\s\up8(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up8(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up8(→))＝c，則eq\o(B1M,\s\up8(→))可表示為()A.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c D．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cD[由于eq\o(B1M,\s\up8(→))＝eq\o(B1B,\s\up8(→))＋eq\o(BM,\s\up8(→))＝eq\o(B1B,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c，故選D.]3．正方體ABCD-A′B′C′D′中，O1，O2，O3分別是AC，AB′，AD′的中點(diǎn)，以{eq\o(AO,\s\up8(→))1，eq\o(AO,\s\up8(→))2，eq\o(AO,\s\up8(→))3}為基底，eq\o(AC′,\s\up8(→))＝xeq\o(AO,\s\up8(→))1＋yeq\o(AO2,\s\up8(→))＋zeq\o(AO,\s\up8(→))3，則x，y，z的值是()A．x＝y(tǒng)＝z＝1 B．x＝y(tǒng)＝z＝eq\f(1,2)C．x＝y(tǒng)＝z＝eq\f(\r(2),2) D．x＝y(tǒng)＝z＝2A[eq\o(AC′,\s\up8(→))＝eq\o(AA′,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AA′,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AA′,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD′,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB′,\s\up8(→))＝eq\o(AO1,\s\up8(→))＋eq\o(AO3,\s\up8(→))＋eq\o(AO2,\s\up8(→))，由空間向量的基本定理，得x＝y(tǒng)＝z＝1.]4．已知點(diǎn)O，A，B，C為空間不共面的四點(diǎn)，且向量a＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))，向量b＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))，則與a，b不能構(gòu)成空間基底的向量是()A.eq\o(OA,\s\up8(→)) B.eq\o(OB,\s\up8(→))C.eq\o(OC,\s\up8(→)) D.eq\o(OA,\s\up8(→))或eq\o(OB,\s\up8(→))C[因?yàn)閍－b＝2eq\o(OC,\s\up8(→))，所以a，b與eq\o(OC,\s\up8(→))共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底．]5．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，B1E＝eq\f(1,4)A1B1，則eq\o(BE,\s\up8(→))等于()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)，－1))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,4)，1))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0，－1))C[由題圖知B(1，1，0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,4)，1))，所以eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,4)，1)).]二、填空題6．已知空間的一個(gè)基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m與n共線，則x＝________，y＝________．1－1[因?yàn)閙與n共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝λx，,－1＝λy，,1＝λ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))]7．如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為AC和BD的交點(diǎn)，若eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝c，則eq\o(B1M,\s\up8(→))＝________．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－c[eq\o(B1M,\s\up8(→))＝eq\o(AM,\s\up8(→))－eq\o(AB1,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))－(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－c.]8．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，并且PA＝AD＝1，則eq\o(MN,\s\up8(→))的坐標(biāo)為________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，\f(1,2)))[∵PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0))，P(0，0，1)，C(－1，1，0)，則Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，\f(1,2))).∴eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，\f(1,2))).]三、解答題9．如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，eq\o(MA,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(ND,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(A1D,\s\up8(→))，設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝c，試用a，b，c表示eq\o(MN,\s\up8(→)).[解]連接AN，則eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(MA,\s\up8(→))＋eq\o(AN,\s\up8(→)).由已知可得四邊形ABCD是平行四邊形，從而可得eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝a＋b，eq\o(MA,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)(a＋b)，又eq\o(A1D,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→))＝b－c，故eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(DN,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(ND,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\f(1,3)eq\o(A1D,\s\up8(→))＝b－eq\f(1,3)(b－c)，所以eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(MA,\s\up8(→))＋eq\o(AN,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)(a＋b)＋b－eq\f(1,3)(b－c)＝eq\f(1,3)(－a＋b＋c)．10．如圖，在正四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，O是AC與BD的交點(diǎn)，PO＝1，M是PC的中點(diǎn)．設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AP,\s\up8(→))＝c.(1)用向量a，b，c表示eq\o(BM,\s\up8(→)).(2)在如圖的空間直角坐標(biāo)系中，求eq\o(BM,\s\up8(→))的坐標(biāo)．[解](1)∵eq\o(BM,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CM,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(CM,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CP,\s\up8(→))，eq\o(CP,\s\up8(→))＝eq\o(AP,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))，∴eq\o(BM,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AP,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AP,\s\up8(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AP,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.(2)a＝eq\o(AB,\s\up8(→))＝(1，0，0)，b＝eq\o(AD,\s\up8(→))＝(0，1，0)．∵A(0，0，0)，Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))，∴c＝eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\o(OP,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))，∴eq\o(BM,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c＝－eq\f(1,2)(1，0，0)＋eq\f(1,2)(0，1，0)＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(3,4)，\f(1,2))).[實(shí)力提升練]1．已知M，A，B，C四點(diǎn)互不重合且隨意三點(diǎn)不共線，則下列式子中能使向量eq\o(MA,\s\up8(→))，eq\o(MB,\s\up8(→))，eq\o(MC,\s\up8(→))成為空間的一個(gè)基底的是()A.eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)OA＋eq\f(1,3)OB＋eq\f(1,3)OCB.eq\o(MA,\s\up8(→))＝eq\o(MB,\s\up8(→))＋eq\o(MC,\s\up8(→))C.eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))D.eq\o(MA,\s\up8(→))＝2eq\o(MB,\s\up8(→))－eq\o(MC,\s\up8(→))C[對于選項(xiàng)A，由eq\o(OM,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))＋zeq\o(OC,\s\up8(→))(x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四點(diǎn)共面，知eq\o(MA,\s\up8(→))，eq\o(MB,\s\up8(→))，eq\o(MC,\s\up8(→))共面；對于選項(xiàng)B，D，易知eq\o(MA,\s\up8(→))，eq\o(MB,\s\up8(→))，eq\o(MC,\s\up8(→))共面，故選C.]2．已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中，向量a在基底{eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AA1,\s\up8(→))}下的坐標(biāo)為(2，1，－3)，則向量a在基底{eq\o(DA,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(DD1,\s\up8(→))}下的坐標(biāo)為()A．(2，1，－3) B．(－1，2，－3)C．(1，－8，9) D．(－1，8，－9)B[∵a＝2eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))－3eq\o(AA1,\s\up8(→))＝2eq\o(DC,\s\up8(→))－eq\o(DA,\s\up8(→))－3eq\o(DD1,\s\up8(→))＝－eq\o(DA,\s\up8(→))＋2eq\o(DC,\s\up8(→))－3DD1，∴向量a在基底{eq\o(DA,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(DD1,\s\up8(→))}下的坐標(biāo)為(－1，2，－3)，故選B.]3．在空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a－2c，eq\o(CD,\s\up8(→))＝5a－5b＋8c，對角線AC，BD的中點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，則eq\o(EF,\s\up8(→))＝________．3a－eq\f(5,2)b＋3c[eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(ED,\s\up8(→))＋eq\o(EB,\s\up8(→)))＝eq\f(1,4)(eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→)))＋eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(CB,\s\up8(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up8(→))＋eq\f(1,4)eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,4)eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\f(1,4)eq\o(DB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→)))＝3a－eq\f(5,2)b＋3c.]4．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(2，1，－1)，則p在基底{2a，b，－c}下的坐標(biāo)為________；在基底{a＋b，a－b，c(1，1，1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)，－1))[由題意知p＝2a＋b－c，則向量p在基底{2a，b，－c}下的坐標(biāo)為(1，1，1)設(shè)向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為(x，y，z)，則p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，又∵p＝2a＋b－c∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,x－y＝1,z＝－1))，解得x＝eq\f(3,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝－1；∴p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)，－1)).]5．已知{e1，e2，e3}為空間的一個(gè)基底，且eq\o(OP,\s\up8(→))＝2e1－e2＋3e3，eq\o(OA,\s\up8(→))＝e1＋2e2－e3，eq\o(OB,\s\up8(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o(OC,\s\up8(→))＝e1＋e2－e3.(1)推斷P，A，B，C四點(diǎn)是否共面．(2)能否以{eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))}作為空間的一個(gè)基底？若能，試以這一基底表示eq\o(OP,\s\up8(→