2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.1.1函數(shù)的平均變化率3.1.2瞬時(shí)速度與導(dǎo)數(shù)學(xué)案新人教B版選修1-1

PAGE1-3.1.1函數(shù)的平均變更率學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，理解平均變更率和瞬時(shí)速度．(易混點(diǎn))2.會(huì)求函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x)．(重點(diǎn))3.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)．(難點(diǎn))1.由實(shí)際背景變更率到導(dǎo)數(shù)的概念，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.通過(guò)利用定義求函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1．函數(shù)的平均變更率函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變更率(1)定義式：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).(2)實(shí)質(zhì)：函數(shù)值的增量與自變量的增量之比．(3)作用：刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變更的快慢．(4)幾何意義：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函數(shù)y＝f(x)的圖象上兩點(diǎn)，則平均變更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)表示割線P1P2的斜率．思索1：視察函數(shù)y＝f(x)的圖象，平均變更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)表示什么？[提示]eq\f(Δy,Δx)表示曲線y＝f(x)上兩點(diǎn)(x1，f(x1))，(x2，f(x2))連線的斜率．2．瞬時(shí)變更率(1)物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的路程與時(shí)間的關(guān)系是s＝f(t)，當(dāng)t0到t0＋Δt時(shí)，當(dāng)Δt趨近于0時(shí)，函數(shù)f(t)在t0到t0＋Δt之間的平均變更率為eq\f(ft0＋Δt－ft0,Δt)趨近于常數(shù)，這個(gè)常數(shù)稱為t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度．(2)函數(shù)的瞬時(shí)變更率設(shè)函數(shù)y＝f(x)在x0旁邊有定義，當(dāng)自變量在x＝x0旁邊變更Δx時(shí)，函數(shù)值相應(yīng)地變更Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，假如當(dāng)Δx趨近于0時(shí)，平均變更率eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)趨近于一個(gè)常數(shù)l，則常數(shù)l稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的瞬時(shí)變更率．3．函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)(1)函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變更率稱為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|eq\s\do5(x＝x0)，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).(2)導(dǎo)函數(shù)定義假如f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)x導(dǎo)數(shù)都存在，則稱f(x)在區(qū)間(a，b)可導(dǎo)，這樣，對(duì)開區(qū)間(a，b)內(nèi)每個(gè)值x，都對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f(x)，于是在區(qū)間(a，b)內(nèi)f′(x)構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們把這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)．記為f′(x)(或y′x、y′)．(3)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在點(diǎn)x＝x0處的函數(shù)值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.思索2：f′(x0)與f′(x)表示的意義一樣嗎？[提示]f′(x0)表示f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，是一個(gè)確定的值．f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，它是一個(gè)函數(shù)．f′(x0)是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值．1．已知函數(shù)f(x)＝x2＋1，則在x＝2，Δx＝0.1時(shí)，Δy的值為()A．0.40 B．0.41C．0.43 D．0.44B[由Δy＝f(Δx＋2)－f(2)＝(0.1＋2)2－4＝0.41，知選B.]2．已知函數(shù)f(x)＝2x2－4的圖象上一點(diǎn)(1，－2)及鄰近一點(diǎn)(1＋Δx，－2＋Δy)，則eq\f(Δy,Δx)等于()A．4 B．4xC．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2C[eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(21＋Δx2－2,Δx)＝4＋2Δx.]3．質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s(t)＝at＋1運(yùn)動(dòng)，若t＝2時(shí)刻的瞬時(shí)速度為eq\f(1,2)，則a的值為________．eq\f(1,2)[eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(s2＋Δt－s2,Δt)＝a＝eq\f(1,2)]函數(shù)的平均變更率【例1】(1)已知函數(shù)f(x)＝2x2＋3x－5.①求：當(dāng)x1＝4，x2＝5時(shí)，函數(shù)增量Δy和平均變更率eq\f(Δy,Δx)；②求：當(dāng)x1＝4，x2＝4.1時(shí)，函數(shù)增量Δy和平均變更率eq\f(Δy,Δx).(2)求函數(shù)y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3旁邊的平均變更率，取Δx都為eq\f(1,3)，哪一點(diǎn)旁邊的平均變更率最大？[解](1)因?yàn)閒(x)＝2x2＋3x－5，所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2xeq\o\al(2,1)＋3x1－5)＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx2＋4x1＋3Δx,Δx)＝2Δx＋4x1＋3.①當(dāng)x1＝4，x2＝5時(shí)，Δx＝1，Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝2＋19＝21，eq\f(Δy,Δx)＝21.②當(dāng)x1＝4，x2＝4.1時(shí)，Δx＝0.1，Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝0.02＋1.9＝1.92.eq\f(Δy,Δx)＝2Δx＋4x1＋3＝19.2.(2)在x＝1旁邊的平均變更率為k1＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1＋Δx2－1,Δx)＝2＋Δx；在x＝2旁邊的平均變更率為k2＝eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq\f(2＋Δx2－22,Δx)＝4＋Δx；在x＝3旁邊的平均變更率為k3＝eq\f(f3＋Δx－f3,Δx)＝eq\f(3＋Δx2－32,Δx)＝6＋Δx.當(dāng)Δx＝eq\f(1,3)時(shí)，k1＝2＋eq\f(1,3)＝eq\f(7,3)，k2＝4＋eq\f(1,3)＝eq\f(13,3)，k3＝6＋eq\f(1,3)＝eq\f(19,3).由于k1<k2<k3，所以在x＝3旁邊的平均變更率最大．求平均變更率的主要步驟1先計(jì)算函數(shù)值的變更量Δy＝fx2－fx1；2再計(jì)算自變量的變更量Δx＝x2－x1；3得平均變更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).1．(1)已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x－5的圖象上的一點(diǎn)A(－1，－6)及鄰近一點(diǎn)B(－1＋Δx，－6＋Δy)，則eq\f(Δy,Δx)＝________.(2)如圖所示是函數(shù)y＝f(x)的圖象，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上的平均變更率為________；函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的平均變更率為________．(1)Δx(2)eq\f(1,2)eq\f(3,4)[(1)eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f－1＋Δx－f－1,Δx)＝eq\f(－1＋Δx2＋2－1＋Δx－5－－6,Δx)＝Δx.(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上的平均變更率為eq\f(f1－f－1,1－－1)＝eq\f(2－1,2)＝eq\f(1,2).由函數(shù)f(x)的圖象知，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,2)，－1≤x≤1，,x＋1，1＜x≤3.))所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的平均變更率為eq\f(f2－f0,2－0)＝eq\f(3－\f(3,2),2)＝eq\f(3,4).]導(dǎo)數(shù)的定義及求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)【例2】(1)若eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝k，則eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)等于()A．2kB．kC．eq\f(1,2)kD．以上都不是(2)求函數(shù)y＝eq\r(x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．[思路探究](1)嚴(yán)格根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義推導(dǎo)求解．(2)(1)A[∵eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝k，∴eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2×\f(fx0＋2Δx－fx0,2Δx)))，＝2eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,2Δx)＝2k.](2)法一：(定義法)Δy＝eq\r(1＋Δx)－1，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)，∴當(dāng)Δx無(wú)限趨近于0時(shí)，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)趨近于eq\f(1,2)，即y＝eq\r(x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)是eq\f(1,2).∴y′|x＝1＝eq\f(1,2).法二：(求導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法)Δy＝eq\r(x＋Δx)－eq\r(x)＝eq\f(Δx,\r(x＋Δx)＋\r(x))，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1,\r(x＋Δx)＋\r(x))，∴當(dāng)Δx無(wú)限趨近于0時(shí)，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1,\r(x＋Δx)＋\r(x))趨近于eq\f(1,2\r(x))，∴當(dāng)x＝1時(shí)導(dǎo)函數(shù)值為eq\f(1,2)，即y′|x＝1＝eq\f(1,2).1用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y＝fx在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟：①求函數(shù)的增量Δy＝fx0＋Δx－fx0；②求平均變更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；,③取極限，得導(dǎo)數(shù)f′x0＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).2求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，還可以先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再計(jì)算此點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值.提示：可以簡(jiǎn)記為：一差、二比、三極限.2．已知f(x)＝3x2，f′(x0)＝6，求x0.[解]∵f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(3x0＋Δx2－3x\o\al(2,0),Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))(6x0＋3Δx)＝6x0，又f′(x0)＝6，∴6x0＝6，即x0＝1.求物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度[探究問(wèn)題]1．平均變更率與瞬時(shí)變更率有什么聯(lián)系？[提示]①區(qū)分：平均變更率刻畫函數(shù)值在區(qū)間x1到x2這一段上變更的快慢，瞬時(shí)變更率刻畫函數(shù)值在x0點(diǎn)處變更的快慢．②聯(lián)系：當(dāng)Δx趨于0時(shí)，平均變更率eq\f(Δy,Δx)趨于一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)即為函數(shù)在x0處的瞬時(shí)變更率，它是一個(gè)固定值．2．Δx趨近于0的含義是什么？[提示]Δx趨于0的距離要多近有多近，即|Δx－0|可以小于給定的隨意小的正數(shù)，且始終Δx≠0.3．導(dǎo)數(shù)與瞬時(shí)變更率有什么關(guān)系？提示：導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在x0及其旁邊函數(shù)的變更量Δy與自變量的變更量Δx之比的極限，它是一個(gè)局部性的概念，若eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)存在，則函數(shù)y＝f(x)在x0處有導(dǎo)數(shù)，否則不存在導(dǎo)數(shù)．【例3】某物體的運(yùn)動(dòng)路程s(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)＝t2＋t＋1表示，求物體在t＝1s時(shí)的瞬時(shí)速度．[思路探究]eq\x(求函數(shù)增量Δs)→eq\x(求\f(Δs,Δt))→eq\x(求極限)[解]∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s1＋Δt－s1,Δt)＝eq\f(1＋Δt2＋1＋Δt＋1－12＋1＋1,Δt)＝3＋Δt，∴eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))(3＋Δt)＝3.∴物體在t＝1s處的瞬時(shí)變更率為3，即物體在t＝1s時(shí)的瞬時(shí)速度為3m/s.1．(變結(jié)論)若本例條件不變，試求物體的初速度．[解]∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s0＋Δt－s0,Δt)＝eq\f(0＋Δt2＋0＋Δt＋1－1,Δt)＝1＋Δt，∴eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))(1＋Δt)＝1.∴物體在t＝0處的瞬時(shí)變更率為1，即物體的初速度為1m/s.2．(變結(jié)論)若本例的條件不變，試問(wèn)物體在哪一時(shí)刻瞬時(shí)速度為9m/s.[解]設(shè)物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9m/s，∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt)＝2t0＋1＋Δt，∴eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.則2t0＋1＝9，∴t0＝4.則物體在4s時(shí)的瞬時(shí)速度為9m/s.1不能將物體的瞬時(shí)速度轉(zhuǎn)化為函數(shù)的瞬時(shí)變更率是導(dǎo)致無(wú)從下手解答本題的常見問(wèn)題.2求運(yùn)動(dòng)物體瞬時(shí)速度的三個(gè)步驟①求時(shí)間變更量Δt和位移變更量Δs＝st0＋Δt－st0.②求平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt).③求瞬時(shí)速度，當(dāng)Δt無(wú)限趨近于0時(shí)，eq\f(Δs,Δt)無(wú)限趨近于的常數(shù)v即為瞬時(shí)速度，即v＝s′t0.1．思索辨析(1)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與Δx的正、負(fù)無(wú)關(guān)． ()(2)瞬時(shí)變更率是刻畫某函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變更快慢的物理量． ()(3)在導(dǎo)數(shù)的定義中，Δx，Δy都不行能為零． ()[提示](1)√(2)×(3)×2．一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是s＝4－2t2，則在時(shí)間段[1,1＋Δt]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為()A．2Δt＋4 B．－2Δt－4C．4 D．－2Δt2－4ΔtB[eq\x\to(v)＝e