浙江省紹興市上虞區(qū)華維外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(解析)

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2高二數(shù)學(xué)一、單選題1.的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出展開(kāi)式的通項(xiàng)，令的指數(shù)為5即可求出.【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，可得，所以展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)是.故選：D2.將5本不同的書(shū)分給4人,每人至少1本,不同的分法種數(shù)有()A.120種 B.5種 C.240種 D.180種【答案】C【解析】【分析】5本書(shū)分給4人，每人至少1本，說(shuō)明其中1人得2本，其他三個(gè)各得1本，由此可分配．【詳解】由題意分法種數(shù)為，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查排列組合中的分配問(wèn)題，由于元素與位置都不相同，因此可把其中兩個(gè)元素捆綁在一起為一個(gè)元素，然后4個(gè)元素進(jìn)行排列即可．3.電燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率為0.8，則3個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)內(nèi)恰好壞了一個(gè)的概率為（）A.0.384 B. C.0.128 D.0.104【答案】A【解析】【分析】分析知這是二項(xiàng)分布，3重伯努利試驗(yàn).【詳解】電燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率為0.8，1個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)內(nèi)壞了的概率為，則3個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)內(nèi)恰好壞了一個(gè)的概率為.故選：A4.某考生回答一道四選一的考題，假設(shè)他知道正確答案的概率為0.5，知道正確答案時(shí)，答對(duì)的概率為100%，而不知道正確答案時(shí)猜對(duì)的概率為0.25，那么他答對(duì)題目的概率為（）A.0.625 B.0.75 C.0.5 D.0【答案】A【解析】【分析】他答對(duì)題目的概率等于知道正確答案時(shí)答對(duì)和不知道正確答案時(shí)猜對(duì)的概率和，依題意求解即可．【詳解】用A表示事件“考生答對(duì)了”，用B表示“考生知道正確答案”，用表示“考生不知道正確答案”，則，，，，則故選：A5.若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，其中，則以下正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合兩點(diǎn)分布的定義，利用期望計(jì)算公式和性質(zhì)可判斷.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且，則，故，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：D.6.設(shè)，隨機(jī)變量的分布列是則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)（）A.增大，增大 B.減小，增大C.增大，減小 D.減小，減小【答案】A【解析】【分析】根據(jù)離散型分布列求期望和方差的方法，求得期望和方差，再運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，可得出期望和方差的變化趨勢(shì).【詳解】由已知得，所以當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，增大，，設(shè)，所以當(dāng)在內(nèi)時(shí)，，所以當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，增大，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查離散型分布列的期望和方差的求法，以及運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)研究其變化趨勢(shì)，屬于中檔題.7.已知A，B為某隨機(jī)試驗(yàn)的兩個(gè)事件，為事件A的對(duì)立事件．若，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知可求得，，然后根據(jù)條件概率，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，，根據(jù)條件概率可知，.故選：A.8.已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)滿足，則下列結(jié)論中正確的是（）A.恒成立 B.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，C.恒成立 D.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后與已知不等式的變形相同，再利用單調(diào)性和判斷即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的減函數(shù)，所以，又，所以，令，則，則在上單調(diào)遞增，且，故時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，則，所以恒成立.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于能發(fā)現(xiàn)已知不等式變形后與構(gòu)造導(dǎo)數(shù)相同.二、多選題9.對(duì)于定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù)，下列說(shuō)法不正確的是（）A.使的一定是函數(shù)的極值點(diǎn)B.在R上單調(diào)遞增是在R上恒成立的充要條件C.若函數(shù)既有極小值又有極大值，則其極小值一定不會(huì)比它的極大值大D.若在R上存在極值，則它在R一定不單調(diào)【答案】ABC【解析】【分析】ABC均可以舉出反例，D可以通過(guò)極值點(diǎn)和極值定義進(jìn)行判斷.【詳解】A選項(xiàng)，的不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)，比如在處導(dǎo)函數(shù)的值為0，但不是的極值點(diǎn)，A說(shuō)法錯(cuò)誤；在R上單調(diào)遞增，可能會(huì)在某點(diǎn)導(dǎo)函數(shù)等于0，比如為單調(diào)遞增函數(shù)，在處導(dǎo)函數(shù)值為0，故在R上單調(diào)遞增不是在R上恒成立的充要條件，B說(shuō)法錯(cuò)誤；若函數(shù)既有極小值又有極大值，則其極小值可能會(huì)比它的極大值大，比如，在處取得極大值-2，在處取得極小值2，極小值大于極大值，故C說(shuō)法錯(cuò)誤；根據(jù)極值點(diǎn)和極值的定義可以判斷，若在R上存在極值，則它在R一定不單調(diào)，D說(shuō)法正確.故選：ABC10.隨機(jī)變量X，Y分別服從正態(tài)分布和二項(xiàng)分布，即，，則（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱(chēng)性得到A正確；BC選項(xiàng)，根據(jù)正態(tài)分布和二項(xiàng)分布求期望和方差公式求出答案；D選項(xiàng)，利用二項(xiàng)分布求概率公式進(jìn)行求解.【詳解】A選項(xiàng)，根據(jù)正態(tài)分布的定義得，故A正確；B選項(xiàng)，，，故，故B正確；C選項(xiàng)，，，故，故C正確；D選項(xiàng)，，故D錯(cuò)誤.故選：ABC．11.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是（）A.展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256 B.展開(kāi)式中含的一次項(xiàng)為C.展開(kāi)式中第4項(xiàng)是有理項(xiàng) D.展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)為第3項(xiàng)【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列求得n，寫(xiě)出通項(xiàng)，對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可.【詳解】由二項(xiàng)展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)為，前3項(xiàng)的系數(shù)分別為，，，又前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則，解得則所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故A正確；展開(kāi)式中含的一次項(xiàng)為，故B正確；展開(kāi)式中第4項(xiàng)是，不是有理項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；展開(kāi)式中的系數(shù)分別為：，，，，，，根據(jù)組合數(shù)計(jì)算及指數(shù)的單調(diào)性知，后面的系數(shù)越來(lái)越小，則展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)為第3項(xiàng)或第4項(xiàng).故D錯(cuò)誤；故選：AB三、填空題12隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則___________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布且，所以；故答案為：13.若，則_______，________．【答案】①.0②.【解析】【分析】賦值法，令，得．換元：設(shè)，則．只有中含有項(xiàng)，展開(kāi)式的通項(xiàng)得解【詳解】令，得．設(shè)，則．因?yàn)閮H有中含有項(xiàng)，展開(kāi)式的通項(xiàng)，所以當(dāng)，即時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，考查運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題.14.我們把形如的函數(shù)稱(chēng)為冪指函數(shù)，冪指函數(shù)在求導(dǎo)時(shí)，可以利用對(duì)數(shù)法：在函數(shù)解析式兩邊取對(duì)數(shù)得，兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得于是，運(yùn)用此方法可以求得函數(shù)在(1,1)處的切線方程是_________.【答案】【解析】【分析】函數(shù)式兩邊取自然對(duì)數(shù)，然后由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)，令得出切線斜率，從而可得切線方程．【詳解】，，兩邊對(duì)求導(dǎo)，，，，，切線方程為，即．故答案為：．四、解答題15.在的展開(kāi)式中．（1）若，求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)；（2）若第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)比第二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)大35，求的值．【答案】（1）45；（2）10.【解析】【分析】（1）求出展開(kāi)式得通項(xiàng)公式，利用展開(kāi)式得通項(xiàng)公式進(jìn)行求常數(shù)項(xiàng)；（2）分別求出第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和第二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，利用已知條件即可求出答案.小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，令，解得：，所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榈谌?xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)比第二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)大35，所以，即，解得：或(舍去)，所以16.2024年3月12日是我國(guó)第46個(gè)植樹(shù)節(jié)，為建設(shè)美麗新重慶，重慶市禮嘉中學(xué)高二年級(jí)7名志愿者參加了植樹(shù)節(jié)活動(dòng)，3名男生和4名女生站成一排．（最后答案用數(shù)字作答）（1）甲不在中間也不在兩端的站法有多少種?（2）男、女相間的站法有多少種?（3）甲、乙、丙三人從左到右順序一定的站法有多少種?【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）特殊元素優(yōu)先排列即可得；（2）不相鄰問(wèn)題用插空法排列即可得，（3）定序問(wèn)題用倍縮法排列即可得.【小問(wèn)1詳解】甲不在中間也不在兩端，故甲可選個(gè)位置，其余六人可排除種，故共有種；【小問(wèn)2詳解】先排男生，共有種，則女生可在男生排完后的四個(gè)空中選擇四個(gè)，即有種，故共有種；【小問(wèn)3詳解】全部排好共有種，由甲、乙、丙三人順序一定，共有故種.17.一個(gè)袋子中有8個(gè)大小相同顏色不同的小球，其中4個(gè)紅球，3個(gè)白球，1個(gè)黃球，從袋中任意取出3個(gè)小球.（1）求其中恰有2個(gè)小球顏色相同的概率；（2）設(shè)隨機(jī)變量X為取出的3個(gè)小球中紅球的個(gè)數(shù)，求X的均值和方差.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）利用超幾何分布概率公式，求出2個(gè)顏色相同的小球?yàn)榧t球和2個(gè)顏色相同的小球?yàn)榘浊驎r(shí)的概率，相加即可；（2）求出X的可能取值及相應(yīng)的概率，從而得到分布列，計(jì)算出期望和方差.【小問(wèn)1詳解】取到兩個(gè)紅球的概率：，取到兩個(gè)白球的概率：，故恰有2個(gè)小球顏色相同的概率為.【小問(wèn)2詳解】隨機(jī)變量X的取值為，1，2，3；，，，，分布列為：X0123P所以均值，方差，或.18.2022年是中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年，某市團(tuán)委決定舉辦一次共青團(tuán)史知識(shí)擂臺(tái)賽．該市A縣團(tuán)委為此舉辦了一場(chǎng)選拔賽，選拔賽分為初賽和決賽，初賽通過(guò)后才能參加決賽，決賽通過(guò)后將代表A縣參加市賽．已知A縣甲、乙、丙3位選手都參加初賽且通過(guò)初賽的概率均為，通過(guò)初賽后再通過(guò)決賽的概率依次為，，，假設(shè)他們之間通過(guò)與否互不影響．（1）求這3人中至少有1人通過(guò)初賽的概率；（2）設(shè)這3人中參加市賽的人數(shù)為，求的分布列；（3）某品牌商贊助了A縣的這次共青團(tuán)史知識(shí)擂臺(tái)賽，提供了兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案：方案1：參加了選拔賽的選手都可參與抽獎(jiǎng)，每人抽獎(jiǎng)1次，每次中獎(jiǎng)的概率均為，且每次抽獎(jiǎng)互不影響，中獎(jiǎng)一次獎(jiǎng)1000元；方案2：參加了選拔賽未進(jìn)市賽的選手一律獎(jiǎng)600元，進(jìn)入了市賽的選手獎(jiǎng)1200元．若品牌商希望給予選手更多的獎(jiǎng)勵(lì)，試從三人獎(jiǎng)金總額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，品牌商選擇哪種方案更好．【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析（3）品牌商選擇方案2更好【解析】【分析】（1）利用對(duì)立事件以及相互獨(dú)立事件的概率公式進(jìn)行求解.（2）利用互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率公式以及離散型隨機(jī)變量分布列的寫(xiě)法求解.（3）利用二項(xiàng)分布以及離散型隨機(jī)變量分布列的期望計(jì)算進(jìn)行比較.【小問(wèn)1詳解】3人都沒(méi)通過(guò)初賽的概率為，所以這三人中至少有1人通過(guò)初賽的概率．【小問(wèn)2詳解】依題意可能取值為0，1，2，3．設(shè)事件A表示“甲參加市賽”，事件B表示“乙參加市賽”，事件C表示“丙參加市賽”，則，則，，，，所以的分布列為：0123P【小問(wèn)3詳解】方案1：設(shè)三人中獎(jiǎng)人數(shù)為X，所獲獎(jiǎng)金總額為Y元，則，且，所以元，方案2：記甲、乙、丙三人獲得獎(jiǎng)金之和為Z元，方法1：則Z的所有可能取值為1800，2400，3000，3600，由（2）知，Z的分布列為：Z1800240030003600P則，因?yàn)?，所以從三人?jiǎng)金總額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，品牌商選擇方案2更好．方法2：由（2）知，，方案2等價(jià)于只要參加了選拔賽即獎(jiǎng)勵(lì)600元，進(jìn)入了市賽選手再獎(jiǎng)600元．則，因?yàn)?，所以從三人?jiǎng)金總額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，品牌商選擇方案2更好．19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)的值域?yàn)?，求的取值范圍．【答案】?）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性；（2）正難則反，通過(guò)條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成對(duì)恒成立，再利用，即