全等三角形題庫考試-含答案

全等三角形題庫(70題)

一、解答題(本大題共70小題，共560.0分)

1.如圖，在△ABC中，BE、。廠分別是AC、A8兩邊

上的高，在BE上截取8。=47,在CF的延長線

上截取CG=AB,連結(jié)AO.AG.

(1)求證：AD=AGx

(2)AO與AG的位置關(guān)系如何.

【答案】解：(1)；8E、C尸分別是AC、A8兩邊上的高，

Z.AFC=乙BFC=Z-BEC=Z-BEA=90°

...Z.BAC+Z-ACF=90°,Z-BAC+乙ABE=90°,乙G+/.GAF=90°,

???Z.ABE=乙4c尸.

在AABD和AGCA中，

BD=AC

乙ABE=Z.ACF,

AB=CG

.??△480wZkGC4(Si4S),

AD=GA,

(2)結(jié)論:AGLAD.

理由：???△48。三△GCA(SAS),

:.Z.BAD=Z.G?

???Z.BAD+Z.GAF=90°,

???AG1AD.

【解析】(1)先由條件可以得出乙485=乙4c凡就可以得出A/BDEAGCA,就有力。=

GA,乙BAD=NG；

(2)結(jié)論：AG1力。.由(1)可以得出4GAD=90。，進而得出AG1AD.

本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運用、直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是

熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，學會利用等量代換證明垂直，屬于中考?？碱}型.

2.如圖，ZBAD=ZCAE=90°,AB=AD,AC=AE,連接BC,DE,且BC1AF于點

F,OE與直線4尸交于點G.求證：點G是。石的中點；

【答案】解：作OMJ.力廣于M,EN1AF于N,

-BCLAF,

Z.BFA=LAMD=90°,

vLEAD=90%

Z.1+Z2=Z1+ZB=90°,

:.乙B—Z_2,

在△骸尸與404M中，

ZBFA=Z.AMD

NB=Z2

AB=AD

???△W三△DAM(AAS),

.'.AF=DM,

同理，△4CF三△瓦4N(AAS),AF=EN,

EN=DM,

vDM1AF,EN1AF,

???Z.GMD=乙GNE=90°,

?EADMG與AENG中，

笫2頁，共139頁

ZDMG=乙ENG

Z.DGM=4EGN,

DM=EN

???△DMGNAENG0L4S),

???DG=EG,

即點G是DE的中點.

【解析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直的定義，余角的性質(zhì)，正確的作出

輔助線是解題的關(guān)鍵.作0M1"于M,EN14產(chǎn)于N,根據(jù)余角的性質(zhì)得到乙8=42,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到4r二DM,同理4F=EN,求得EN=DM,由全等三角形

的性質(zhì)得到。G=EG,于是得到點G是。E的中點.

3.如圖，將RtAABC沿斜邊翻折得到ZkAOC,點E,尸分

別為0cBe邊上的點，且NE4F=試猜想DE,

BF,E尸之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

【答案】解：猜想：?！?8"二￡凡證明：延長。尸，作乙4=/1,如圖:

?.?將沿斜邊翻折得至IJA/OC,點E,尸分別為。C,8C邊上的點，且“"

/.DAB,

zl+z2=z3+N5,N2+N3=+N5,

???z.4=zl,

z2+z3=z44-z5,

???Z.GAF=Z.FAE,

在A/IGB和A/IE。中，

z4=zl

AB=AD

Z-ABG=Z.ADE

???△AGB^h,AED(ASA),

???AG=AE,BG=DE,

在△力G尸和△力E尸中，

AG=AE

Z.GAF=Z.EAF,

AF=AF

???△4GF三△AEF(SAS),

GF=EF,

ADE+BF=EF.

【解析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助角，將OE和

放在一起，便于數(shù)量關(guān)系的猜想和證明.

通過延長CR將OE和8尸放在一起，便于尋找等量關(guān)系，通過兩次三角形全等證明,

得出結(jié)論.

4.已知△ABC為等邊三角形，點。為直線8C上一動點(點。不與點點。重合).以

A。為邊作等邊三角形4OE連接CE.

(1)如圖1,當點。在邊8C上時.

①求證：LABD^LACEx

②直接判斷結(jié)論8c=DC+CE是否成立(不需證明)；

(2)如圖2,當點。在邊3C的延長線上時，其他條件不變，請寫出UC,DC,CE

之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程.

【答案】解：(1)①???△A8C和AADE是等邊三角形,

Z.BAC=/-DAE=60°,AB=BC=AC,AD=DE=AE.

*e?z^BAC—z^DAC—z-DAE-z^DAC>

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???/.BAD=Z-EAC.

在△A8D和A4CE中

AB=AC

/.BAD=NEAC,

AD=AE

???△43。三△ACE(SAS).

(2)VAABD=^ACE,

BD=CE.

vBC=BD+CD,

???BC=CE+CD.

(2)BC+CD=CE.

???△ABC^A1是等邊三角形，

/.Z.BAC=/-DAE=60°,AB=BC=AC,AD=DE=AE.

Z.BAC+Z.DAC=Z-DAE+Z.DAC,

???/.BAD=Z-EAC.

在△ABD和△ACE中

AB=AC

LBAD=LEACy

AD=AE

：^ABD=LACE(SAS}.

ABD-CE.

BD=BC+CD,

CE=BC+CD；

【解析】(1)①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出乙BAC=Z.DAE=60°,AB=BC=AC,

AD=DE=AE,進而就可以得HSABD^hACE；②由△ABD^hACE就可以得出BC=

DC+CE；

(2)由等邊三角形的性質(zhì)就可以得出NBAC=/-DAE=60°,AB=BC=AC,AD=DE=

AE,進而就可以得出△48。三△4CE,就可以得出BC+CD=CE.

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運用，等式的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的

運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵.

5.已知點C是，MAN平分線上一點，ZBCO的兩邊C8、CO分別與射線AM、AN相交

于8,。兩點，且41BC+乙4DC=180。.過點。作J.4B,或足為E.

(1)如圖1,當點E在線段AB上時，求證：BC=DC：

(2)如圖2,當點七在線段A8的延長線上時，探究線段AB、A。與8E之間的等量

關(guān)系；

(3)如圖3,在(2)的條件下，若NMAN=60。，連接BD,作NABO的平分線8尸交

A。于點F,交AC于點O,連接。。并延長交A8于點G.若BG=1,DF=2,求線

段D8的長.

【答案】(1)證明：如圖1,過點C作垂足為“,

??TC平分/MAN,CELAB,CF1AD,

CE=CF,

???Z-CBE+/.ADC=180°,乙CDF+LADC=180%

:.Z-CBE=Z.CDF,

在△BCE和ADC尸中，

ZCBE=乙CDF

乙CEB=乙CFD=90%

CE=CF

?BCE=LDCF(AAS)

???BC=DC；

(2)解:AD-AB=2BE,

理由如下：如圖2,過點。作CF1AD,垂足為尸，

???AC平分/MAN,CELAB,CFLAD,

CE=CF,AE=AF,

V乙ABC+乙ADC=180°,乙ABC+乙CBE=180°,

???乙CDF=乙CBE,

在和△OC尸中，

Z.CBE=乙CDF

乙CEB=Z.CFD=90°,

CE=CF

???△BCEwADCF(AAS),

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???DF=BE,

AD=AF+DF=AE+DF=AB+BE+DF=AB+2BE,

???AD-AB=2BE；

(3)解：如圖3,在BD上截取3H=BG,連接O”，

???BH=BG,乙OBH=乙OBG,OB=OB

在ZkOB"和AOBG中，

BH=BG

乙OBH=4OBG,

OB=OB

OBH"OBG{SAS)

???4OHB=乙OGB,

???40是/MAN的平分線，BO是乙48。的平分線，

,??點。到AD,AB,8。的距離相等，

Z.0DH=乙0DF,

vZ.0HB=Z.0DH+Z.D0H,Z-0GB=Z.0DF+Z-DAB,]

Z.D0H=Z.DAB=60°,/\

..“OH=120°,

???乙BOG=乙BOH=60°,-----"

Z.DOF=LBOG=60°,圖3

乙DOH=乙DOF,

在△。?！焙虯OO尸中，

ZD0H=乙DOF

OD=OD,

zODH-cODF

??.△0DH三△ODF(ASA),

DH=DF,

；.DB=DH+BH=DF+BG=2+1=3.

【解析】(1)過點。作CF14D,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CE=C凡證明△BCE=ADCF,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；

(2)過點。作CF14。，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CE=CHAE=AF,證明ABCEWA

DCF,得到DF=BE,結(jié)合圖形解答即可；

(3)在8/)上截取BH=8G,連接0從證明AOB”三A08G,根據(jù)合等三角形的性質(zhì)得

至U乙0H8=Z.OGB,根據(jù)角平分線的判定定理得至IJ40。"=Z.ODF,證明△0DHmODF,

得到DH=DF,計算即可.

本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理

和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，在AABC和△ADE中，AB=AD,AC=AE,zl=Z.2.

(1)求證：^ABC=hADE：

(2)找出圖中與21、42相等的角(直接寫出結(jié)論，不需證明).

【答案】(1)證明：vzl=z2,

:.zl+LDAC=Z.2+乙DAC,

即N8AC=Z.DAE,

(AB=AD

在^BAC^^DAE^Z.BAC=ZD/1E,

AC=AE

???△ABCmAADE(SAS)；

(2)解：???△ABC三AAOE,

乙B=zD?

,:Z.AMB=Z.DMF,

Z1=ZMFD?

???Z.MFD=乙NFC,

Z1=(NFC,

與41、42相等的角有4N/C,4MFD.

【解析】⑴根據(jù)等式的性質(zhì)可得乙84?=4AE,然后利用SAS判定△為8C三ZkADE；

(2)利用三角形內(nèi)角和定理可得△=乙MFD,再由對頂角相等可得，1=乙NFC.

此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線

段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件.

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7.在AA8C中=90。"。=8C,直線A/N經(jīng)過點C,WAD1MN于D,BE1MN

于E.

(1)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖(1)的位置時，

求證：@△71DC=ACEB.?DE=AD+BEx

(2)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖(2)的位置時，求證：DE=AD-BE；

(3)當直線MN繞點。旋轉(zhuǎn)到圖(3)的位置時,請寫出之間的等量關(guān)系.

【答案】解:

(1)@-ADLMN,BE工MN,

Z-ADC=Z.ACB=90°=乙CEB,

:.Z.CAD+Z.ACD=90°,乙BCE+Z-ACD=90°,

Z.CAD=乙BCE,

???在△ADC和ACEB中，

皿。=乙BCE

Z.ADC=乙CEB,

AC=BC

??.△A0C三ACEBOMS)：

(1)

②???△/WC三ACEB,

???CE=AD,CD=BE,

???DE=CE+CD=AD+BE；

(2)證明：；4D_LMN,BE1MN,

???Z-ADC=乙CEB=Z-ACB=90°,

^.CAD—乙BCE>

?.?在△4DC和^CEB中,

ZCAD=乙BCE

乙ADC=乙CEB，

AC=BC

??.△AOC三ACE8(AAS)：

???CE=AD,CD=BE?

DE=CE-CD=AD-BE；

(3)當MN旋轉(zhuǎn)到題圖(3)的位置時,A。,DE,BE所滿足的等量關(guān)系是：DE=BE-AD.

理由如下：vAD1MN,BE工MN,

Z-ADC=乙CEB=LACB=90°,

???乙CAD=乙BCE,

?.?在△AOC和中，

ZCAD=乙BCE

乙ADC=乙CEB,

AC=BC

ADC空△CE8QL4S),

???CE=AD,CD=BE,

..DE=CD-CE=BE-AD.

【解析】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解

題時注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，同角的余角相等，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)線段的

和差關(guān)系進行推導，得出結(jié)論.

(1)①根據(jù)4O1MN,BE1MN,乙4cB=90。，得出NC4D=48CE,再根據(jù)AAS即可

判定△ADCwaCEB；②根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可得出CE=AD,CD=BE,

進而得到DE=CE+CD=AD+BE；

(2)先根據(jù)401MN,BE1MN.得到乙40c=乙CEB=乙4cB=90°,進而得出

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乙BCE,再根據(jù)AAS即可判定AAD。三ZkCEB,進而得到CE=OCD=BE,最后得出

DE=CE-CD=AD-BE；

(3)DE=BE-AZ),與(2)同理，即可證明：DE=BE-AD.

8.如圖，已知4AOB=乙COD=90°,AB=CD,OA=OC.

求證：⑴△408三△COO

(2)OE=BF.

【答案】證明：(1)?.?乙4。8=LCOD=90°,

.?.在Rt△AOB^Rt△COO中，

(AB=CD

lOA=OC，

Rt△AOB=Rt△COD(HL),

即△408三△COD；

(2)???△AOB空△COD

???OD=OB>乙4=zC>

???Z-AOB=乙COD=90°

:.Z.AOB-Z.EOF=乙COD-4EOF,

=乙COF

在A/lOE和△CO尸中，

NAOE=Z.COF

OA=OF,

Z.A=Z.C

??.△AOE三△COF(ASA),

OE=OF,

OD=OB,

.-.OD-OE=OB-OF,

即OE=BF.

【解析】(1)根據(jù)題意，利用”L定理可以證明結(jié)論成立；

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論，再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)和判定，可以證明結(jié)論成立.

本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求結(jié)論需要的

條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

9.以點A為頂點作兩個等腰直角三角形SABCAADE),如圖1所示放置，使得一直

角邊重合，連接8D,CE.

(1)試說明:BD=CEx

(2)延長B。交CE于點F,求N8FC的度數(shù)；

(3)若如圖2放置，上面的結(jié)論還成立嗎？請簡單說明理由.

【答案】解：(1)FA6C、AAOE是等腰直角三角形，

..AB=AC,Z.BAD=^.EAC=90°,AD=AE,

AD=AE

???在△ADB^^AEC中，Z.DAB=乙EAC,

AB=AC

.??△40BwzkAEC(S4S),

BD-CE.

(2)???△ADB三△4EC,

Z.ACE=Z-ABD,

而在AC。f中，LBFC=180°-LACE-LCDF,

又?:乙CDF=￡.BDA,

Z.BFC=180°-4DBA-Z.BDA=/.DAB=90°.

(3)BO=CE成立，且兩線段所在直線互相垂直，即NBFC=90。.

理由如下：

???△ABC、△/WE是等腰直角三角形，

..AB=AC,AD=AE,Z.BAC=Z.EAD=90°,

,:LBAC+Z.CAD=￡.EAD+Z.CAD,

???4BAD=Z.CAEr

AD=AE

???在△ADB^L4EC中，Z,DAB=Z.EAC,

AB=AC

.-.^ADB^AEC(SAS),

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BD=CE,Z-ACE=乙DBA,

Z.BFC=乙CAB=90°.

【解析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、

“SAS”、“ASA”、“A4S”；全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.也考查了等腰

直角三角形的性質(zhì).

(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得至必8=AC,/,BAD=AEAC=90°,AD=AEt利用

“SAS”可證明△4D8三A/EC,則BO=CE；

(2)由&ADBEAAEC得至此ACE="BA,利用三角形內(nèi)角和定理可以得到MFC=

180°-^.ACE-乙CDF=180°-WBA-Z.BDA=Z.DAB=90°；

(3)與(1)一樣可證明△ADB三AAEC,得到BD=CE,LACE=￡DBA,利用三角形內(nèi)角

和定理得到NBFC=Z.CAB=90°.

10.如圖所示，已知力E_L4B,AFLAC,AE=AB,4F=AC.求證:

(2)EC1BF.

【答案】證明：AFLAC,

???LBAE=LCAF=90°,

Z.BAE+Z.BAC=乙CAF+Z.BAC,

即/EAC=Z.BAF,

在尸和AAEC中，

AE=AB

???Z.EAC=Z.BAF,

AF=AC

???△ABF三△AEC(SAS),

???EC=BF；

(2)如圖，根據(jù)(1),△45F三△NEC,

???Z.AEC=LABF,

R

vAE1ABf

???/-BAE=90°,

???Z.AEC+LADE=90°,

?"ADE=4BOM(對頂角相等)，

乙ABF+LBDM=90°,

在^BDM中，Z.BMD=180°-LABF-乙BDM=180°-90°=90°,

所以EC1BF.

【解析】(1)先求出NE4C=2BAG然后利用“邊角邊”證明△48F和△AEC全等，根

據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可證明；

(2)根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得乙4EC=乙48凡設(shè)A8、CE相交于點Z),根據(jù)乙4EC+

Z.ADE=90?？傻靡?8F+LADM=90°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理推出/BM。=90°,

從而得證.

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)條件找出兩組對應(yīng)邊的夾角NE4c=ABAF

是證明的關(guān)鍵，也是解答本題的難點.

11.如圖，/.BAD=Z-CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF1CB，垂足為

(1)求證：△ABC三△力DE：

(2)求NF4E的度數(shù);

(3)求證：CD=2BF+DE.

【答案】證明：(1)???=乙CAE=90°,

Z.BAC+乙CAD=90°,Z.CAD+Z.DAE=90%

???Z.BAC=Z-DAE,

在△B4C和△04E中，

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AB=AD

Z.BAC=Z.DAEf

AC=AE

BAC三△DAE(SAS)；

(2)vLCAE=90°,AC=AE,

LE=45°,

由(1)知4BAC=ADAE,

乙BCA=ZF=45°,

???AF18C,

Z.CFA=90°,

???LCAF=45°,

￡.FAE=LFAC+乙CAE=45。+90°=135°；

(3)延長B尸到G,使得FG="8,

vAF1BG,

Z.AFG=Z-AFB=90°,

在△AFB和△AFG中，

BF=GF

Z-AFB=乙AFG，

AF=AF

???△A尸B三△AFG(SAS),

???AB=AG,乙ABF=Z.G?

；△BAC=ADAE,

AB-AD,Z-CBA-Z.EDA,CB-ED,

AG=AD,Z.ABF=Z.CDA,

乙G=/.CDA,

???Z.GCA=LDCA=45°,

在△CGA和ACOA中，

Z-GCA=/-DCA

Z.CGA=Z-CDAf

AG=AD

CGA^hCDALAAS'),

???CG=CD,

???CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,

:.CD=2BF+DE.

【解析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問

題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

(1)根據(jù)題意和題目中的條件可以找出△BACNADAE的條件；

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論和等腰直角三角形的定義可以得到，兄4E的度數(shù)；

(3)根據(jù)題意和三角形全等的知識，作出合適的輔助線即可證明結(jié)論成立.

12.如圖1,四邊形48co是正方形，點E是邊8C上的動點(不與B,C重合)，將線段

AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段EF,連接",EAAF分別與CO交于點M、N,

作FG1BC于點G；

(1)求證：BE=CG

(2)探究線段BE、EN、ON間的等量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖2,當點E運動到BC的中點時，若48=6,求MN的長.

【答案】（1）證明：-EFLAE,

Z.AEB+乙GEF=90°,

又；Z.AEB+Z.BAE=90°

:.Z.GEF=Z.BAEi

又???FG1BC,

???Z-ABE=Z.EGF=90°,

在AABE與AEGF中，

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/.ABE=Z.EGF

Z.BAE=Z.GEF,

AE=EF

ABE^EGRAAS),

???AB=EG,

-AB=BC,

BC—EG,

BE=CG.

(2)解：結(jié)論：EN=BE+DN.

理由：如圖1中，延長EB到K,使得BK=DN.

???四邊形ABC。是正方形，

AD=AB,Z-DAB=zD=Z.ABC=Z.ABK=90°,

???DN=BK,

??.△AON三△ABK(SAS),

???AK=AN,乙BAK=々DAN,

???EA=EF,Z,AEF=90°,

:.Z.EAF=45°,

???Z.KAE=乙BAK+Z-BAE=Z-DAN+Z-BAE=45°,

???Z.EAK=LEAN=45°,

vAE=AE,

.?.△￡;4KNAE4N(SAS),

???EN=EK,

vEK=BK+BE=DN+BE,

二EN=BE+DN.

(3)解；如圖2中，作FKJ./B于K,交C￡＞于J.

???△ABE=.^EGF,

???BE=GE,

???BE=CE=3,

???FG=BE=CG=3,

-AB//CD,

Z.FKB=Z.FJC=90。，

???Z.G=4CG=90°,

???四邊形FGG/是矩形，

???CG=FG,

???四邊形R7CJ是正方形，

CG=FG=3,

vEC=CG,CM//FG,

CM=-FG=

22

3

JM=CJ-CM=：,

???四邊形BG五K是矩形，

FK=BG=9,BK=FG=AK=3,

-JN//AK,

?巴=旦

AKFK'

.”一

??3-9’

???NJ=1,

...MN=NJ+/M=1+；］.

【解析】(1)根據(jù)同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，且4E=EF,

利用A4S得到三角形與三角形EPG全等即可解決問題.

(2)結(jié)論：EN=8E+DN.如圖1中，延長砧到K,使得BK=DN.構(gòu)造全等三角形解決

問題即可.

(3)如圖2中，作FK148于K,交CO于J.分別求出NJ,W即可解決問題.

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此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定

和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相

似三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

13.已知點C為線段A8上一點，分別以AC、8C為邊在線段48同側(cè)作△4CD和△B",

且C4=C0,CB=CE,乙ACD=LBCE,直線AE與3。交于點尸，

(1)如圖1,若乙48=60°,則乙4FB=:

(2)如圖2,若乙4CD=a,則乙4FB=(用含a的式子表示)；

(3)將圖2中的△ACD繞點、C順時針旋轉(zhuǎn)任意角度(交點產(chǎn)至少在BD、AE中的一條

線段上)，如圖3.試探究乙與a的數(shù)量關(guān)系，并予以證明.

【答案】解：(1)120。；

(2)180°-a；

(3)NA/B=180。-a,

證明：vZ-ACD=LBCE,

???Z.ACD+￡.DCE=乙BCE+乙DCE,

???Z.ACE=乙DCB,

在和ZiDCB中

AC=DC

Z-ACE=乙DCB,

CE=CB

ACE=LDCB,

Z.AEC=Z-DBC,

Z.AFB=Z.AEC+乙CEB+Z.EBD

=Z.DBC+乙CEB+Z.EBC

=乙CEB+Z-EBC

=180°-zECF

=180°-a,

即產(chǎn)B=180°-a.

【解析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理

的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出AACE三ADCB.

(1)求出NACE=Z.DCB,證4ACE=hDCB,推出NG4E=乙CDB,求出匕力=Z.CDA+

△D4C,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；

(2)求出RACE=乙DCB,證4ACE=^DCB,推出ZCAE=Z.CDB,求出44尸8=Z.CDA+

△D4C,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；

(3)求出/ACE=乙DCB,證乙ACEWADCB,推出zCAE=乙CDB,求出4=乙CEB+

乙CBE,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可.

【解答】

解：VZ.ACD=Z-BCE,

Z-ACD+Z.DCE=Z.BCE+乙DCE,

Z.ACE=乙DCB,

在△ACE和ADCB中

AC=DC

Z.ACE=乙DCB

CE=CB

ACE=hDCB,

???乙CAE=乙CDB,

???Z-AFB=Z-CDB+Z.CDA+Z.DAE

=乙CDA+Z.DAE+LBAE

=Z.CDA+^.DAC

=180°-60°

=120°,

故答案為：120°；

(2)解：???Z.ACD=乙BCE,

Z.ACD+Z-DCE=乙BCE+乙DCE,

???Z-ACE=乙DCB,

在△ACE和△DCB中

AC=DC

LACE=乙DCB

CE=CB

ACE=L.DCB,

笫20頁，共139頁

Z.CAE=乙CDB,

ZJ4FB=乙CDB4-Z.CDA+Z.DAE

=Z.CDA+￡.DAE+LBAE

=乙CDA+Z.DAC

=180°-Z.ACD

=180°-a,

故答案為：180°-a；

(3)見答案.

14.⑴問題發(fā)現(xiàn):如圖與△CDE均為等腰直角三角形，"1C8=Z.DCE=90°,

則線段AE、8。的數(shù)量關(guān)系為,AE、BZ)所在直線的位置關(guān)系為；

(2)深入探究：在(1)的條件下，若點A,E,。在同一直線上，CM為二DCE中DE

邊上的高，請判斷乙4DB的度數(shù)及線段CMAD,8。之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理

由.

【答案】解：(1){E=BD,AE1BD；

(2)結(jié)論：AD=2CM+8O,

理由：如圖2中，

圖2

???△4。8和4DCE均為等腰直角三角形,

LACB=乙DCE=90°,

???AC=BC?CD-CE?

Z.ACE=乙BCD,

.MACEmABCD(SAS),

AE=BD,Z.BDC=^.AEC=135°.

￡ADB=乙BDC-乙CDE=135°-45°=90°；

在等腰直角三角形OCE中，CM為斜邊OE上的高，

CM=DM=ME,

DE=2CM.

AD=DEAE=2CM+BD.

【解析】

【分析】

本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知

識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬

于中考壓軸題.

(1)結(jié)論：AE=BD,力￡_18。.如圖1中，延長AE交8。于點兒47交BC于點。.只要

證明△ACE=￡,BCD(SAS),即可解決問題；

(2)結(jié)論：AD=2CM+BD,只要證明△ACEZABCD(SAS),即可解決問題.

【解答】

解：(1)結(jié)論：AE=BD,AELBD.

理由：如圖1中，延長AE交BD于點H,A"交8C于點O.

???△OCE均為等腰宜角三角形，

Z.ACB=乙DCE=90°,

???AC=BC,CD=CE,

???Z.ACE=乙BCD,

ACE三△BCD(SAS),

???AE=BD,Z.CAE=乙CBD,

???Z.CAE+Z.AOC=90°,LAOC=乙BOH,

Z.BOH4-乙CBD=90°

Z.AHB=90°,

笫22頁，共139頁

AE1.BD.

故答案為=AELBD.

(2)見答案.

15.如圖，AABC是等腰直角三角形，乙4cB=90。，AC=BC,。在線段8C上，E是

線段AO上一點.現(xiàn)以CE為直角邊,C為直角頂點，在CE的下方作等腰直角

連接BF.

(1)如圖1,求證：乙CAE=^CBF；

(2)當A、E、尸三點共線時，取A尸的中點G,連接CG,求證：AE2+EF2=4CG2；

(3)如圖3,若AC=BC=3V3^BAD=15°,連接DF,當E運動到使得乙4CE=30°

時，求AOEF的面積.

【答案】(1)證明：???△ABC,AECF都是等腰直角三角形,

1.CA=CB,CE=CF,Z.ACB=乙ECF=90%

???Z-ACE=乙BCF,

.-.AACE^^BCF(SAS),

Z.CAE=乙CBF；

(2)解：延長4C至點從使CH=AC,連接BE.

由(1)得：AACEZABCF,

.'.AE=BF,

且4C4D=乙DBF,

???Z.ADB=Z.CAD+Z.ACD=乙DBF+乙DFB,

乙DFB=乙4co=90°,

：.BF2+EF2=BE2.

易證△CEBWACFH,

??.BE=HF=2CG,

BF2+EF2=BE2=4CG2；

(3)解：過點尸作FHIBC于"，如圖3所示:

笫24頁，共139頁

???△4BC是等腰直角三角形，Z-ACB=90°,AC=BC,

Z.BAC=Z.ABC=45°,

???Z.BAD=15°,

???Z.CAE=45°-15°=30°,

二/.ACE=Z.CAE=30°,

AE=CE=CF,

同(1)得：△ACENABCF(SAS),

ABF=AE,Z-ACE=乙BCF=30°,

CF=BF,

：.LBCF=乙CBF=30°,

???FC=FB,FH1BC,

CH=BH=-BC=—,FH=—CH=-?CF=BF=2FH=3,

2232

VLCED=Z.CAE+Z-ACE=60°,4ECD=90°-30°=60°,

??.△ECD是等邊三角形，

:.EC=CF=CD=3,

,S.DEP=SAECD+SMDF-S&ECF=^X32+^X3X1—^X3X3="I

【解析】(1)證明△4CEW2\BCF(S力S),即可解決問題；

(2)延長AC至點H,使CH=AC,連接HF,BE,由(1)得4ACE^BCF,進而得到BF?+

EF2=BE2,易證△CEBmACTTL即可解決問題；

(3)過點尸作FH1BC于"，如圖3所示，同(1)得三△8CF,再證明aBCF是底角

為30。的等腰三角形，再求出CH,FB,CF的長，然后根據(jù)右?！晔?S?ECD+S^CDF-ShECF

計算即可.

本題屬于三角形綜合題，考查了等腰宜角三角形的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，

全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等

知識,解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題,屬于中考壓軸題.

16.平面直角坐標系中，A(a,0),B也b),C(0,c),且滿足：公』+(2b-a-c>+

|b-c|=0,E、。分別為x軸和y軸上動點，滿足/。3￡=45。.

(1)求A、B、C三點坐標；

(2)如圖1,若。為線段OC中點，求E點坐標；

(3)當E,。在“軸和y軸上運動時，試探究8、。七和AE之間的關(guān)系.

［答案］解：(1)Va—4+(2b—a—c)2+|d—c|=0>

a=4,b=c,2d-a—c=0?

???b=4,c=4,

.??點4(4,0),點8(4,4),點C(0,4)；

(2)如圖1,將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到△BAH,

?.?點4(4,0),點8(4,4),點C(0,4),

OA=OC=BC=AB=4,

為線段OC中點，

???CD=DO=2,

???將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到△BAH,

BCD"BAH,

BD=BH,Z.CBD=Z.HBAfCD=AH=2,

v乙DBE=45°,

乙CBD+乙EBA=45°,

笫26頁，共139頁

/.EBA+乙ABH=45°=乙HBE=乙DBE,且8。=BH,BE=BE,

???△DBE"HBE(SAS)

DE=EH,

???0”=OA+4”=4+2=6,

DE=EH=6-0E,

vDE2=OD2+OE2,

???(6-OF)2=4+OF2,

??.OE=I，

???點E坐標為(,0)；

'.DE=AE+AH=AE+CD,

如圖2,點E在x軸負半軸，點。在），軸正半軸,將^BCD繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到△BAH,

.MBCDWABAH,乙DBH=90。,

???BD=BH,乙CBD=^HBA,CD=AH,

???乙DBE=45°,

Z-DBE=45°=Z,HBE,且BD=BH,BE=BE,

/.△DBEW2HBE(S砌

DE=EH,

???AE=AH+EH=CD+DE；

如圖3,點七在x軸正半軸，點。在)，軸負半軸，將△BCD繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到△

.MBCDWABAH,Z.DBH=90°,

BD=BH,乙CBD=々HBA,CD=AH,

V乙DBE=45°,

Z.DBE=45°=Z.HBE,且BD=BH,BE=BE,

???ADBEWAHBE(SAS')

:.DE=EH,

..CD=AHAE+EH=AE+DE.

【解析】(1)由非負性可求小b,c的值，即可求解；

(2)將△BCD繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到ABAH,可得8。=BH,乙CBD=LHBA,CD=

AH=2,由“SAS”可證△DBE三bH3E,可得OE=EH,由勾股定理可求OE的長，

即可求E點坐標；

(3)分三種情況討論，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)可求解.

本題是四邊形綜合題，考查了非負性，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定

和性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵.

17.如圖，在銳角三角形4。8中，分別以O(shè)A、08為腰在△408外作等腰直角三角形

Q4E和等腰直角三角形OBD.

(1)如圖1,連接BE、AD,求證：BE=AD.

笫28頁，共139頁

(2)如圖2,以。為原點、人8邊上的高。。所在的直線為y軸.建立平面直角坐標

系，連接”與)，軸交于點立

①若A點坐標為(n,m),請用〃、m表示；E點的坐標(,)及。

點的橫坐標為.

②△AOB的面積SNOB與4E00的面積SAEOD有什么數(shù)量關(guān)系？請寫出你的結(jié)果，

并給出證明.

【答案】解：(1)?必。4￡、△6BO均為等腰直角三角形，

0D=OB,0A=OE,/.DOB=Z-AOE=90°.

Z.EOA+Z,AOB=乙BOD+乙40B,即NEOB=/.AOD.

(OE=0.4

在RMEOB和RtUOO中，\Z.EOB=Z.DOA,

IOB=OD

Rt△EOB=Rt△AOD.

???BE=AD.

(2)①m；-n：-m.

②SA408=S4EOD*

證明如下：如圖所示：過點8作BN104,垂足為N,過點。作OMJ.OE,垂足為M.

???Z.EOD+乙DOM=180°,Z-EOD+乙NOB=180°,

/.DOM=乙NOB.

(ZDA/O=￡BNO=90°

在^OBN和AOOM中，＜乙DONI=￡NOB

IOD=BO

OBN=h.ODM.

???MD=BN.

又?.?AO=OE,

.^AOBN=^OEDM,即S△八。8=S"皿

【解析】

【分析】

本題主要考查三角形全等的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，點的坐標的確

定等知識的綜合運用.

(1)依據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得到。。=。8,0A=OE,Z,DOB=Z.AOE=90°,然

后依據(jù)等式的性質(zhì)可證明"OB=NAOD,接下來，依據(jù)54s可證明RtAEOB三/?￡△

AOD,最后，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到BE=AD.

⑵①過點E作EG_Ly軸,垂足為G,過點。作OH_!_%軸，垂足為H.先證明±OEG=乙4OC,

然后再證明AOEG三△AOC,依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到OG=4C,EG=OC,從而

可得到點E的坐標，接下來再證明△。0〃三△OBC.從而可得到0”=0C,故此可得到點

。的橫坐標；

②過點3作BN1。4垂足為M過點。作DM10E,垂足為M,先證明△OBN"0DM,

從而可得到MZ)=BN.最后，依據(jù)三角形的面積公式求解即可.

【解答】

(1)見答案；

(2)①如圖所示：過點E作EGly軸，垂足為G,過點。作OHJ_"軸，垂足為”.

笫30頁，共139頁

,:Z.EOA=90°,

???Z.EOG4-^.AOC=90°.

X---/-EOG+Z-OEG=90°,

???乙OEG=乙40c.

(LEGO=Z.ACO=90°

在AOEG和△AOC中，＜^OEG=^AOC

IOE=OA

???△OEGwAAOC.

???OG=AC,EG=OC.

A(n,rrt)

???E(m,-n).

???乙DOH十Z.HOB=90°,Z.HOB十Z.BOC=90°,

:.(DOH=Z-BOC.

(Z.DOH=Z.BOC

在△OOH和AOBC中，｛Z.DHO=Z.BCO,

IOD=OB

???AODH三八OBC.

:.OH=OC.

二點。的橫坐標為一m.

故答案為：〃；?—n；—m；

②見答案.

18.已知，ZkABC是等邊三角形，。是直線BC上一點，以。為頂點做乙4?！?60。.?！?/p>

交過C且平行于A8的直線于以求證：AD=DE；當。為8C的中點時，(如圖1)小

明同學很快就證明了結(jié)論：他的做法是：取48的中點尸，連結(jié)。凡然后證明4

A尸。三△OCE.從而得到40=DE,我們繼續(xù)來研究：

(1)如圖2、當。是BC上的任意一點時，求證：AD=DE

(2)如圖3、當。在8c的延長線上時，求證：AD=DE

(3)當。在C8的延長線上時，請利用圖4畫出圖形,并說明上面的結(jié)論是否成立(不

必證明).

【答案】(1)證明：在48上截取4尸=0C,連接尸

如圖2所示：

是等邊三角形，

???AB=BC,=60°,

又???AF=OC,

???BF=BD,

??.△8D/是等邊三角形，

乙BFD=60°,

???/.AF