2025年春初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)人教版 16.2 第2課時(shí) 二次根式的除法

16.2二次根式的乘除第十六章二次根式第2課時(shí)二次根式的除法站在水平高度為

h

米的地方看到可見(jiàn)的水平距離為d

米，它們近似地符合公式為.情景引入解：?jiǎn)栴}1

某一登山者爬到海拔100米處，即時(shí)，他看到的水平線的距離

d1是多少？問(wèn)題2

該登山者接著爬到海拔200米的山頂，即時(shí)，此時(shí)他看到的水平線的距離

d2是多少？問(wèn)題3

他從海拔100米處登上海拔

200米高的山頂，那么他看到的水平線的距離是原來(lái)的多少倍？解：二次根式的除法該怎樣算呢解：思考

乘法法則是如何得出的？除法有沒(méi)有類似的法則？計(jì)算下列各式：(1)___÷___=____；=_____；(2)___÷___=____；(3)___÷___=____；=_____；=_____.234567觀察兩者有什么關(guān)系？

二次根式的除法觀察三組式子的結(jié)果，我們得到下面三個(gè)等式：(1)(2)(3)思考通過(guò)上述二次根式除法運(yùn)算結(jié)果，聯(lián)想到二次根式除法運(yùn)算法則，你能說(shuō)出二次根式的結(jié)果嗎？特殊一般a，b同號(hào)就可以啦議一議問(wèn)題在前面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律中，a，b的取值范圍有沒(méi)有限制呢？不對(duì)，同乘法法則一樣，a，b都為非負(fù)數(shù).你們都錯(cuò)啦，應(yīng)該是

a≥0，

b＞0.若

b=0時(shí)等式兩邊的二次根式就沒(méi)有意義啦！歸納總結(jié)二次根式的除法法則:文字?jǐn)⑹?算術(shù)平方根的商等于被開(kāi)方數(shù)商的算術(shù)平方根.當(dāng)二次根式根號(hào)外的因數(shù)(式)不為1時(shí)，可類比單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則，易得例1計(jì)算：解:除式是分?jǐn)?shù)或分式時(shí)，先要轉(zhuǎn)化為乘法再進(jìn)行運(yùn)算典例精析解:

類似(4)中被開(kāi)方數(shù)中含有帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再運(yùn)用二次根式除法法則進(jìn)行運(yùn)算.歸納商的算術(shù)平方根的性質(zhì)我們可以運(yùn)用它來(lái)進(jìn)行二次根式的解題和化簡(jiǎn).我們知道，把二次根式的乘法法則反過(guò)來(lái)就得到積的算術(shù)平方根的性質(zhì).類似的，把二次根式的除法法則反過(guò)來(lái)，就得到二次根式的商的算術(shù)平方根的性質(zhì):例2

化簡(jiǎn):解:還有其他解法嗎?補(bǔ)充解法：典例精析解：先運(yùn)用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，再運(yùn)用積的平方根性質(zhì)1.能使等式

成立的

x

的取值范圍是()A.x

≠

2B.x≥0C.x＞2D.x≥2C解：2.化簡(jiǎn)：練一練最簡(jiǎn)二次根式問(wèn)題1

你還記得分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)嗎？分?jǐn)?shù)的分子與分母都乘同一個(gè)非零整式，所得分?jǐn)?shù)與原分?jǐn)?shù)相等.即問(wèn)題2

前面我們學(xué)習(xí)了二次根式的除法法則，你會(huì)去掉這樣的式子中分母的根號(hào)嗎？是不是可以用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)去掉分母的根號(hào)呢？下面讓我們一起來(lái)做做看吧：把分母中的根號(hào)化去，使分母變成有理數(shù)的這個(gè)過(guò)程就叫做分母有理化.概念學(xué)習(xí)例3

計(jì)算:解:典例精析

分母形如

的式子，分子、分母同乘可使分母不含根號(hào).歸納滿足如下兩個(gè)特點(diǎn)：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.簡(jiǎn)記為：一根號(hào)無(wú)分母，分母無(wú)根號(hào)；二不能再開(kāi)方.歸納總結(jié)在二次根式的運(yùn)算中，一般要把最后結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式，并且分母中不含二次根式.

在下列各式中，哪些是最簡(jiǎn)二次根式？哪些不是？對(duì)不是最簡(jiǎn)二次根式的進(jìn)行化簡(jiǎn)．解：只有(3)是最簡(jiǎn)二次根式；練一練例4

設(shè)長(zhǎng)方形的面積為

S，相鄰兩邊長(zhǎng)分別為

a，b.已知

，求

a的值.解:∵∴二次根式除法的應(yīng)用例5

高空拋物現(xiàn)象被稱為“懸在城市上空的痛”．據(jù)報(bào)道：一個(gè)

30

g

的雞蛋從

18

樓拋下來(lái)就可以砸破行人的頭骨，從

25

樓拋下可以使人當(dāng)場(chǎng)死亡．據(jù)研究從高空拋物時(shí)間

t

和高度

h

近似的滿足公式.從

100

米高空拋物到落地所需時(shí)間

t2

是從

50

米高空拋物到落地所需時(shí)間

t1

的多少倍？解:由題意得1.化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A．9B．3C．D．B2.下列根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（）A.B.C.D.C3.若使等式成立，則實(shí)數(shù)

k的取值范圍是(

)BA.k≥1B.k≥2C.1＜k≤2D.1≤k≤2

4.下列各式的計(jì)算中，結(jié)果為的是(

)A.B.C.D.C5.化簡(jiǎn)：解:6.在物理學(xué)中有公式

W

=

I2Rt，其中

W

表示電功(單位：J)，I

表示電流(單位：A)，R

表示電阻(單位：Ω)，t

表示時(shí)間(單位：s)，如果已知

W、R、t，求

I，則有.若

W

=

2400

J，R

=

100

Ω，t

=

15s．試求電流

I．解：當(dāng)

W

=

2400，R

=

100，t

=

15時(shí)，7.自習(xí)課上，張玉看見(jiàn)同桌劉敏在練習(xí)本上寫的題目是“求二次根式中實(shí)數(shù)

a

的取值范圍”，她告訴劉敏說(shuō)：你把題目抄錯(cuò)了，不是“”，而是“

”劉敏說(shuō)：哎呀，真抄錯(cuò)了，好在不影響結(jié)果，反正

a和a-3都在根號(hào)內(nèi)．試問(wèn)：劉敏說(shuō)得對(duì)嗎？解：劉敏說(shuō)得不對(duì)，結(jié)果不一樣．理由如下：按