三角形與四邊形

PAGEPAGE4三角形與四邊形三角形是由三條不在同一條直線上的線段首尾順次連結組成的平面圖形，這三條線段就是三角形的邊.在三角形中，每兩條邊所組成的角叫做三角形的內角。三角形的內角和等于180°．

三角形中內角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做三角形的外角。第一個三角形中，三個內角均為銳角；第二個三角形中，有一個內角是直角；第三個三角形中，有一個內角是鈍角.三角形可以按角來分類：所有內角都是銳角――銳角三角形；有一個內角是直角――直角三角形；有一個內角是鈍角――鈍角三角形；第一個三角形的三邊互不相等；第二個三角形有兩條邊相等；第三個三角形的三邊都相等.三角形可以按邊來分類：把兩條邊相等的三角形稱為等腰三角形，相等的兩邊叫做等腰三角形的腰；把三條邊都相等的三角形稱為等邊三角形（或正三角形）.下面給出了三個相同的銳角三角形，分別在這三個三角形中畫出三角形的三條中線、三條角平分線、三條高.三角形的三條中線、三條角平分線、三條高________；直角三角形：鈍角三角形：呢？角形的外角性質：1.三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；2.三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角.3.三角形的外角和等于360°如圖9.1.11，D是△ABC的BC邊上一點，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC=70°.求：（1）∠B的度數(shù)；（2）∠C的度數(shù).三角形的三邊關系三角形的任何兩邊的和大于第三邊.三角形的任何兩邊的差小于第三邊如果三角形的三條邊固定，那么三角形的形狀和大小就完全確定了.三角形的這人性質叫做三角形的穩(wěn)定性已知△ABC是等腰三角形.如果它的兩條邊長的長分別為8cm和3cm,那么它的周長是多少？如果它的周長為18cm，一條邊的長為4cm，那么腰長是多少？按圖中所給的條件，求出∠1、∠2、∠3的度數(shù).我們知道兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.等腰三角形的兩個底角相等．（簡寫成“等邊對等角”）如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．（簡寫成“等角對等邊”）

折疊的兩個部分是互相重合的，所以等腰三角形是一個軸對稱圖形，折痕AD所在的直線就是它的對稱軸BD＝CD，AD為底邊上的中線；

∠BAD＝∠CAD，AD為頂角的平分線；

∠ADB＝∠ADC＝90°，AD又為底邊上的高．

所以折痕AD既是底邊上的中線，又是頂角的平分線和底邊上的高．

由此可以知道，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合，簡稱“三線合一”．

例如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點，∠B＝30°，求∠ADC和∠1的度數(shù)．三條邊都相等的三角形是等邊三角形。等邊三角形的各個內角都相等，并且每一個內角都等于60°已知等腰三角形的一個內角為140°，求另外兩個內角的度數(shù).在△ABC中，AB＝AC，它的兩條邊長分別為2cm和4cm，那么它的周長為多少?直角三角形：對于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么一定有a＋b＝c，這種關系我們稱為勾股定理．直角三角形的判定如果三角形的三邊長a、b、c有關系：a＋b＝c，那么這個三角形是直角三角形．例：如圖，一圓柱體的底面周長為20cm，高ＡＢ為4cm，ＢＣ是上底面的直徑．一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側面爬行到點C，試求出爬行的最短路程．例如圖已知CD＝６m，AD＝８m，∠ADC＝９０°，BC＝２４m，ＡＢ＝２６m．求圖中陰影部分的面積．5.已知三角形的三邊分別是n＋1、n＋2、n＋3，當n是多少時，三角形是一個直角三角形?6.在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１０，BD是AC邊的高，DC＝２，求BD的長．7.有一塊四邊形地ＡＢＣD（如圖），∠B＝９０°，ＡＢ＝４m，ＢＣ＝３m，CD＝１２m，DA＝１３m，求該四邊形地ＡＢＣD的面積．10.如圖，四邊形ＡＢＣD中，ＡＢ＝ＢＣ＝２，CD＝３，ＤＡ＝１，且∠B＝９０°，求∠DＡＢ的度數(shù)．11.如圖，在矩形ＡＢＣD中，ＡＢ＝５cm，在邊CD上適當選定一點E，沿直線AE把△ADE折疊，使點D恰好落在邊ＢＣ上一點F處，且△ＡＢF的面積是30cm．求此時AD的長．多邊形的內角和與外角和如果多邊形的各邊都相等，各內角也都相等，那么就稱它為正多邊形.如正三角形、正四邊形（正方形）、正五邊形等等.連結多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線.n邊形的內角和為_（n－2）×180°．任意多邊形的外角和都為_360°__．一個多邊形的外角和是內角和的，求這個多邊形的邊數(shù)．用正多邊形拼地板：（有正三角形，正方形，正六邊形）當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角時，就拼成一個平面圖形．正十二邊形的一個內角為，正六邊形的一個內角為120°，正方形的一個內角為90°，三者之和恰為一個周角360°，實際上這三種正多邊形結合在一起恰好能鋪滿地面.在△ABC中，AC＝12cm，AB=8cm，那么BC的最大長度應小于多少？最小的長度應滿足什么條件呢？在各個內角都相等的多邊形中，一個外角等于一個內角的，求這個多邊形的每一個內角的度數(shù)和它的邊數(shù).3.如圖，已知DC是△ABC中∠ACB的外角平分線，說明為什么∠BAC＞∠B.如果沿某條直線對折，對折的兩部分是完全重合的，那么就稱這樣的圖形為軸對稱圖形，這條直線叫做這個圖形的對稱軸把一個圖形沿著某一條直線翻折過去，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形成軸對稱，這條直線就是對稱軸，兩個圖形中的對應點（即兩個圖形重合時互相重合的點）叫做對稱點．直線CD是線段AB的對稱軸，它垂直于線段AB，又平分線段AB，我們把這樣垂直并且平分一條線段的直線稱為這條線段的垂直平分線線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等．如果一個圖形關于某一條直線對稱，那么連結對稱點的線段的垂直平分線就是該圖形的對稱軸．例1如圖10.2.2，△ABC中，BC＝10，邊BC的垂直平分線分別交AB、BC于點E、D．BE＝6，求△BCE的周長．

平行四邊形有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形的對邊相等，對角相等．平行四邊形的對角線互相平分。平行四邊形是中心對稱圖形例如圖在平行四邊形ABCD中，已知∠A＝40°，求其他各個內角的度數(shù)．已知AB＝8，周長等于24，求其余三條邊的長．例如圖在平行四邊形ABCD中，已知對角線AC和BD相交于點O，△AOB的周長為15，AB＝6，那么對角線AC與BD的和是多少?2.如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AC、BD相交于點O，兩條對角線的和為２２厘米，CD的長為5厘米，求△OCD的周長．3.在平行四邊形ABCD中，∠A與∠B的度數(shù)之比為２∶３，求這個平行四邊形各個內角的度數(shù)．4.如圖，已知平行四邊形ABCD的周長為80cm，對角線AC與BD相交于點O，△AOB的周長比△AOD的周長小20cm，求這個平行四邊形各邊的長．平行四邊形的判定兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。（定義）2.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．3.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。4.兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形5.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。例如圖在平行四邊形ABCD中，點E、F是對角線AC上的兩點，且AE＝CF，求證：四邊形BFDE是平行四邊形．2．如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AE、CF分別是∠DAB、∠BCD的角平分線，試證明四邊形AFCE是平行四邊形．例3如圖，平行四邊形ABCD中，AF＝CH，DE＝BG，求證：EG和HF互相平分．矩形：平行四邊形的內角，使其一個內角恰好為直角，就得到一種特殊的平行四邊形，是長方形，即矩形矩形作為特殊的平行四邊形，平行四邊形所具有的性質，矩形都具有。此外矩形所具有的一些性質：矩形的四個內角都是直角．矩形的對角線相等且互相平分．矩形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形例如圖，矩形ABCD被兩條對角線分成四個小三角形，如果四個小三角形的周長的和是86cm，對角線長是13cm，那么矩形的周長是多少?例如圖在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，BE⊥AC于E．試求出BE的長．1.如圖，在矩形ABCD中，E是邊AD上的一點．試說明△BCE的面積與矩形ABCD的面積之間的關系．2.如圖，在矩形ABCD中，∠AOB＝60°，AB＝3.6，試求AC與AD的長．(精確到0.1)矩形的判定：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．（定義）對角線相等的平行四邊形是矩形有三個角是直角的四邊形是矩形1．如圖，AB、CD是⊙O的兩條直徑，求證：四邊形ACBD是矩形2.如圖，△ABC中，AB=AC,AD、AE分別是∠A與∠A的外角的平分線，BE⊥AE.求證：AB=DE.3．如圖，點P是矩形ABCD的邊AD上的一個動點，矩形的兩條邊長AB、BC分別為8和15，求點P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和．（提示：相似）菱形是四條邊都相等的四邊形，它也是一組鄰邊相等的平行四邊形。菱形具有以下的性質：菱形的四條邊都相等．菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角．菱形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形1.如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，OA＝4，求這一菱形的周長與兩條對角線的長度．2.求證：菱形的面積等于它的兩條對角線長的積的一半例如圖，已知菱形ABCD的邊長為2cm，∠BAD＝120°，對角線AC、BD相交于點O，試求這個菱形的兩條對角線AC與BD的長．菱形的判定：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。（定義）2.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．3.四條邊都相等的四邊形是菱形4.每條對角線平分一組對角的四邊形是菱形例 如圖，已知矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于點E、F，求證：四邊形AFCE是菱形．1．如圖，AD是△ABC的一條角平分線，DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F.求證：四邊形AEDF是菱形.2．如圖，△ABC中，AB＝AC，點D是BC的中點，DE⊥AC于E，DG⊥AB于G，EK⊥AB于K，GH⊥AC于H，EK和GH相交于點F．求證：四邊形DEFG是菱形．3．如圖，菱形ABCD的周長為2p，對角線AC、BD交于O，AC＋BD＝q，求菱形ABCD的面積．（提示：利用兩數(shù)和的平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2與勾股定理）正方形ABCD中，四條邊都相等，四個角都是直角．有一個角是直角的菱形；有一組鄰邊相等的矩形．正方形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形．1.如圖，已知矩形ABCD的一條對角線AC長8cm，兩條對角線的一個交角∠AOB＝60°．求這個矩形的周長．(精確到0.1cm)2如圖，已知菱形ABCD的兩條對角線AC、BD分別長6cm和8cm，求這個菱形的周長和它的面積．3.利用矩形的對角線相等且互相平分這一性質，說明直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．正方形的判定：1.有一個角是直角的菱形；2.有一組鄰邊相等的矩形．例 如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分別為E、F．求證：四邊形CFDE是正方形．1．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分別E、F，試證明四邊形CFDE為正方形.2．已知：如圖，點A′、B′、C′、D′分別是正方形ABCD四條邊上的點,并且AA′=BB′=CC′=DD′.求證：四邊形A′B′C′D′是正方形.3．如圖，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求證：CE＝DF．梯形只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形．兩腰相等的梯形叫做等腰梯形；有一個角是直角的梯形叫做直角梯形．梯形總可以看成是一個平行四邊形與一個三角形的組合，這也是我們解決有關梯形的問題時經(jīng)常使用的方法．等腰梯形是一個軸對稱圖形，因而有以下性質:等腰梯形同一底邊上的兩個內角相等．等腰梯形的兩條對角線相等．例如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，CE∥DA．已知AB＝8，DC＝5，DA＝6，求△CEB的周長．1.梯形ABCD中，如果DC∥AB，AD＝BC，∠A＝60°，DB⊥AD，那么∠DBC＝，∠C＝．2.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，E是DC延長線上的一點，BE＝BC，試說明∠A和∠E的關系．4.如圖，在矩形ABCD中，相鄰兩邊AB、BC分別長15cm和25cm，內角∠BAD的角平分線與邊BC交于點E．試求BE與CE的長度．5.已知正方形ABCD的一條對角線AC長為4cm，求它的邊長和面積．6.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝BE，連結AE，并延長與DC的延長線交于點F，∠F＝62°，求這個平行四邊形各內角的度數(shù)．7.如圖，在