2025屆江蘇省蘇州市八校高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省蘇州市八校2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，若集合，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，則,故若，則，不等式無解，此時,符合題意，當時，，結(jié)合，則，解得，綜上可得，故選：A2.“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.既不充分也不必要 D.充要【答案】A【解析】若數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，所以，，且對任意的，，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，即“數(shù)列是等差數(shù)列”“數(shù)列為等比數(shù)列”；另一方面，若數(shù)列為等比數(shù)列，不妨取，則數(shù)列為等比數(shù)列，但無意義，即“數(shù)列是等差數(shù)列”“數(shù)列為等比數(shù)列”.因此，“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A.3.高速公路管理部門在某一測速點，測得100輛車輛的速度（單位：）并匯總整理車速數(shù)據(jù)如下表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（）車速頻數(shù)61218302410A.100輛車的車速的中位數(shù)小于B.100輛車中車速低于的車輛所占比例超過80%C.100輛車的車速的極差介于至之間D.100輛車的車速的平均值介于至之間【答案】C【解析】對于A，，，則中位數(shù)位于，故A錯誤；對于B，100輛車中車速低于的車輛數(shù)量為，頻率為，故B錯誤；對于C，100輛車的車速的極差小于等于，大于等于，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：C.4.記為等差數(shù)列的前n項和．已知，則（）A.10 B.9 C. D.【答案】B【解析】由可得，解得，故選：B5.已知正四棱臺，二面角的正切值為2，則正四棱臺的體積為（）A. B.56 C. D.【答案】B【解析】因為是正四棱臺，連接交一點，連接交一點，則是該正四棱臺的高，設(shè)為，過點分別作、的平行線交于點，則以點為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：，因為，所以，，由圖可得平面的其中一個法向量為，設(shè)平面的法向量為m=x則，即，令，則，所以平面的法向量為，則，因為二面角的正切值為2，則二面角的余弦值為，所以，解得，該四棱臺上底面積，下底面積為，所以正四棱臺的體積為：，故選：B.6.已知P為拋物線上的一動點，過P作y軸的垂線，垂足為B，點Q是圓上的一動點，則的最小值為（）A8 B.7 C.6 D.5【答案】D【解析】拋物線的焦點為F1,0,圓心,半徑，連接,由拋物線定義可得,故，當且僅當三點共線，且在之間時取等號，故選：D7.已知函數(shù)的圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函數(shù)的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點，則與，在有交點，即在有解，可轉(zhuǎn)化為在有解，令，，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，，且時，，所以，則，又恒成立，即，，則，.故選：D.8.在平面直角坐標系內(nèi)，將橢圓繞原點O旋轉(zhuǎn)得到橢圓，點是橢圓上任意一點，則下列說法錯誤的是（）A.橢圓的對稱軸為 B.的最大值為C.橢圓的離心率為 D.n的最大值為【答案】C【解析】設(shè)是橢圓上任意一點，則關(guān)于對稱的點為，關(guān)于對稱的點為，由可得和均在曲線上，故橢圓的對稱軸為，故A正確；對于B，，則，故，當且僅當取等號，故B正確；對于C，由A可知：是的兩條對稱軸，令，則，解得，令，則，解得，故長半軸軸長，短半軸長，故離心率為，故C錯誤；對于D，由可將其看作是關(guān)于的方程，且該方程有實數(shù)根，故，故，因此n的最大值為，故D正確；故選：C.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則中至少有一個為0C.D.若，則【答案】BCD【解析】對于A,若，滿足，但，故A錯誤，對于B，由，則或，故中至少有一個為0，B正確，對于C，，C正確，對于D，設(shè)，,故故，，故D正確，故選：BCD10.已知函數(shù)，則下列選項正確的是（）A.的圖象關(guān)于點對稱 B.是的極大值點C.在處的切線方程為 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】AC【解析】A：，即，所以的圖象關(guān)于點對稱，A對；B：由，令，則，即且，令，則，即且，顯然時，上遞減，上遞增，故是的極小值點，B錯；C：由B分析知，又，易知在處的切線方程為，C對；D：由B分析知，區(qū)間中，在上遞增，在上遞減，D錯.故選：AC11.某高校甲、乙兩個班級舉行團建活動，在活動中甲、乙兩個班各派出由6人組成的一支隊伍參加一項游戲．甲班的隊伍由2個女生和4個男生組成，乙班的隊伍由4個女生和2個男生組成，為了增加游戲的趣味性，先從甲班的隊伍中抽取一名同學(xué)加入乙班的隊伍，以分別表示由甲班隊伍中抽出的是女生和男生；再從乙班的隊伍中隨機抽取一名同學(xué)加入甲班的隊伍，以表示從乙班隊伍中抽出的是女生，則下列結(jié)論正確的是（）A.事件與事件互斥 B.事件與事件B相互獨立C. D.【答案】ACD【解析】由題意知，不可能同時發(fā)生，所以互斥，故A正確；，，故C正確；所以，，所以，則，所以事件與事件B不相互獨立，故B錯誤，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，則______．【答案】【解析】由得：,由得：,所以，,所以.故答案為：13.設(shè)，是雙曲線：（，）的左、右焦點，點是右支上一點，若的內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，且，使得，則的離心率為______．【答案】2【解析】不妨設(shè)在第一象限，則點也在第一象限，設(shè)，，因為，所以，故，，又，故，解得，由雙曲線定義得，故，，又，又，故，故，又，故，，故，將代入中，得，解得，所以的離心率為.故答案為：214.某校100名學(xué)生軍訓(xùn)時進行隊列訓(xùn)練，規(guī)則如下：從左到右按照序號1至100排列，進行1至2報數(shù)，報到2的同學(xué)向前一步；把向前走一步的50位同學(xué)從左到右按照序號1至50排列，進行1至2報數(shù)，報到2的同學(xué)向前一步；把向前走一步的25位同學(xué)從左到右按照序號1至25排列，進行1至2報數(shù)，報到2的同學(xué)向前一步；依次類推，直到剩下一位同學(xué)為止．問走到最前面的同學(xué)第一次的序號是__________號，如果這位同學(xué)把每次的序號記住，則這位同學(xué)的所有序號之和是__________．【答案】①.64②.126【解析】依題意，第一次報數(shù)后向前一步的原編號為，為第二次報數(shù)時的新編號，第二次報數(shù)后向前一步的原編號為，為第三次報數(shù)時的新編號，第三次報數(shù)后向前一步原編號為，為第四次報數(shù)時的新編號，第四次報數(shù)后向前一步的原編號為，為第五次報數(shù)時的新編號，第五次報數(shù)后向前一步的原編號為，為第六次報數(shù)時的新編號，顯然第六次報數(shù)時向前一步的編號為，因此走到最前面的同學(xué)各次編號按報數(shù)由后向前排列為，所以走到最前面的同學(xué)第一次的序號是64；這位同學(xué)的所有序號之和為.故答案為：64；126四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對邊分別為，面積為，已知（1）求；（2）若邊上的高為1且，求的面積．解：（1）且即由正弦定理得∵在中，，即．（2），由正弦定理得在中，作于點為邊上的高，即設(shè)為上的四等分點，中，中，且．16.已知函數(shù)．（1）已知在處取得極小值，求a的值；（2）對任意，不等式恒成立，求a的取值范圍．解：（1）因為，定義域為所以因為在取得極小值，所以，所以，檢驗：，定義域為，，x3-0+↓極小值↑所以；（2）因為對恒成立所以令①即時，恒成立，在單調(diào)遞增恒成立，②即時，，x1-0+0↓極小值↑所以，與題意不符，舍去，綜上所述：．17.記為數(shù)列的前項和，且．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和；（3）數(shù)列的前n項和為，且，求證：．（1）證明：當時，，則，當時，，即，而，所以數(shù)列成首項為3，公比為的等比數(shù)列，（2）解：由（1）知，，則，由，所以，則，設(shè)前n項和記為，所以①，則②，①②得，則，即數(shù)列的前n項和為.(3)證明：由（2）知，，則，所以所以，因為，所以．18.如圖，在直四棱柱中，平面，，，其中，，是的中點，是的中點．（1）求證：平面；（2）若異面直線、所成角的余弦值為，求二面角的余弦值.（1）證明：取中點，連接、，在直四棱柱中，因為是中點，則且，因為是的中點，則且，所以，且，所以，四邊形平行四邊形，所以，，因為平面，平面，所以，平面.（2）解：連接，設(shè)，連接，因為且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，所以，異面直線、所成余弦值即直線、所成余弦值，在直四棱柱中，面，因為平面，所以，，在中，，且，則，因為為的中點，且，所以，在中，，，則，因為平面，平面，則，因為，，、平面，所以，平面，又因為平面，則，在中，，則，連接，取其中點，連接、，取的中點，因為，為的中點，則，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、、、、、，設(shè)平面的法向量，，，則，取，可得，易知面的一個法向量，，由圖可知，二面角為鈍角，因此，二面角余弦值為.19.已知橢圓過點，且離心率為．（1）求橢圓的標準方程；（2）已知動圓與橢圓相交于、、、四個不同的點，直線、相交于點，記直線、的斜率分別為、．①比較與的大?。ú灰o出證明）；②試問是否為定值，如果為定值，求出定值；如果不為定值，請說明理由．解：（1）由題意可得，解得，故橢圓的標準方程為.（2）①由題意可知，點在圓外，因為、、、四點共圓，則，，所以，，則，故；②設(shè)點Ax1,y1、B由題意可知，直線、均與橢圓相交，聯(lián)立，可得，可得，所以，、為方程的兩根，令，二次方程可化為，則、為關(guān)于的二次方程的兩根，由韋達定理可得，由弦長公式可得，同理可得，因為，則，即，整理可得，即，顯然，故.江蘇省蘇州市八校2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，若集合，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，則,故若，則，不等式無解，此時,符合題意，當時，，結(jié)合，則，解得，綜上可得，故選：A2.“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.既不充分也不必要 D.充要【答案】A【解析】若數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，所以，，且對任意的，，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，即“數(shù)列是等差數(shù)列”“數(shù)列為等比數(shù)列”；另一方面，若數(shù)列為等比數(shù)列，不妨取，則數(shù)列為等比數(shù)列，但無意義，即“數(shù)列是等差數(shù)列”“數(shù)列為等比數(shù)列”.因此，“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A.3.高速公路管理部門在某一測速點，測得100輛車輛的速度（單位：）并匯總整理車速數(shù)據(jù)如下表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（）車速頻數(shù)61218302410A.100輛車的車速的中位數(shù)小于B.100輛車中車速低于的車輛所占比例超過80%C.100輛車的車速的極差介于至之間D.100輛車的車速的平均值介于至之間【答案】C【解析】對于A，，，則中位數(shù)位于，故A錯誤；對于B，100輛車中車速低于的車輛數(shù)量為，頻率為，故B錯誤；對于C，100輛車的車速的極差小于等于，大于等于，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：C.4.記為等差數(shù)列的前n項和．已知，則（）A.10 B.9 C. D.【答案】B【解析】由可得，解得，故選：B5.已知正四棱臺，二面角的正切值為2，則正四棱臺的體積為（）A. B.56 C. D.【答案】B【解析】因為是正四棱臺，連接交一點，連接交一點，則是該正四棱臺的高，設(shè)為，過點分別作、的平行線交于點，則以點為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：，因為，所以，，由圖可得平面的其中一個法向量為，設(shè)平面的法向量為m=x則，即，令，則，所以平面的法向量為，則，因為二面角的正切值為2，則二面角的余弦值為，所以，解得，該四棱臺上底面積，下底面積為，所以正四棱臺的體積為：，故選：B.6.已知P為拋物線上的一動點，過P作y軸的垂線，垂足為B，點Q是圓上的一動點，則的最小值為（）A8 B.7 C.6 D.5【答案】D【解析】拋物線的焦點為F1,0,圓心,半徑，連接,由拋物線定義可得,故，當且僅當三點共線，且在之間時取等號，故選：D7.已知函數(shù)的圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函數(shù)的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點，則與，在有交點，即在有解，可轉(zhuǎn)化為在有解，令，，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，，且時，，所以，則，又恒成立，即，，則，.故選：D.8.在平面直角坐標系內(nèi)，將橢圓繞原點O旋轉(zhuǎn)得到橢圓，點是橢圓上任意一點，則下列說法錯誤的是（）A.橢圓的對稱軸為 B.的最大值為C.橢圓的離心率為 D.n的最大值為【答案】C【解析】設(shè)是橢圓上任意一點，則關(guān)于對稱的點為，關(guān)于對稱的點為，由可得和均在曲線上，故橢圓的對稱軸為，故A正確；對于B，，則，故，當且僅當取等號，故B正確；對于C，由A可知：是的兩條對稱軸，令，則，解得，令，則，解得，故長半軸軸長，短半軸長，故離心率為，故C錯誤；對于D，由可將其看作是關(guān)于的方程，且該方程有實數(shù)根，故，故，因此n的最大值為，故D正確；故選：C.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則中至少有一個為0C.D.若，則【答案】BCD【解析】對于A,若，滿足，但，故A錯誤，對于B，由，則或，故中至少有一個為0，B正確，對于C，，C正確，對于D，設(shè)，,故故，，故D正確，故選：BCD10.已知函數(shù)，則下列選項正確的是（）A.的圖象關(guān)于點對稱 B.是的極大值點C.在處的切線方程為 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】AC【解析】A：，即，所以的圖象關(guān)于點對稱，A對；B：由，令，則，即且，令，則，即且，顯然時，上遞減，上遞增，故是的極小值點，B錯；C：由B分析知，又，易知在處的切線方程為，C對；D：由B分析知，區(qū)間中，在上遞增，在上遞減，D錯.故選：AC11.某高校甲、乙兩個班級舉行團建活動，在活動中甲、乙兩個班各派出由6人組成的一支隊伍參加一項游戲．甲班的隊伍由2個女生和4個男生組成，乙班的隊伍由4個女生和2個男生組成，為了增加游戲的趣味性，先從甲班的隊伍中抽取一名同學(xué)加入乙班的隊伍，以分別表示由甲班隊伍中抽出的是女生和男生；再從乙班的隊伍中隨機抽取一名同學(xué)加入甲班的隊伍，以表示從乙班隊伍中抽出的是女生，則下列結(jié)論正確的是（）A.事件與事件互斥 B.事件與事件B相互獨立C. D.【答案】ACD【解析】由題意知，不可能同時發(fā)生，所以互斥，故A正確；，，故C正確；所以，，所以，則，所以事件與事件B不相互獨立，故B錯誤，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，則______．【答案】【解析】由得：,由得：,所以，,所以.故答案為：13.設(shè)，是雙曲線：（，）的左、右焦點，點是右支上一點，若的內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，且，使得，則的離心率為______．【答案】2【解析】不妨設(shè)在第一象限，則點也在第一象限，設(shè)，，因為，所以，故，，又，故，解得，由雙曲線定義得，故，，又，又，故，故，又，故，，故，將代入中，得，解得，所以的離心率為.故答案為：214.某校100名學(xué)生軍訓(xùn)時進行隊列訓(xùn)練，規(guī)則如下：從左到右按照序號1至100排列，進行1至2報數(shù)，報到2的同學(xué)向前一步；把向前走一步的50位同學(xué)從左到右按照序號1至50排列，進行1至2報數(shù)，報到2的同學(xué)向前一步；把向前走一步的25位同學(xué)從左到右按照序號1至25排列，進行1至2報數(shù)，報到2的同學(xué)向前一步；依次類推，直到剩下一位同學(xué)為止．問走到最前面的同學(xué)第一次的序號是__________號，如果這位同學(xué)把每次的序號記住，則這位同學(xué)的所有序號之和是__________．【答案】①.64②.126【解析】依題意，第一次報數(shù)后向前一步的原編號為，為第二次報數(shù)時的新編號，第二次報數(shù)后向前一步的原編號為，為第三次報數(shù)時的新編號，第三次報數(shù)后向前一步原編號為，為第四次報數(shù)時的新編號，第四次報數(shù)后向前一步的原編號為，為第五次報數(shù)時的新編號，第五次報數(shù)后向前一步的原編號為，為第六次報數(shù)時的新編號，顯然第六次報數(shù)時向前一步的編號為，因此走到最前面的同學(xué)各次編號按報數(shù)由后向前排列為，所以走到最前面的同學(xué)第一次的序號是64；這位同學(xué)的所有序號之和為.故答案為：64；126四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對邊分別為，面積為，已知（1）求；（2）若邊上的高為1且，求的面積．解：（1）且即由正弦定理得∵在中，，即．（2），由正弦定理得在中，作于點為邊上的高，即設(shè)為上的四等分點，中，中，且．16.已知函數(shù)．（1）已知在處取得極小值，求a的值；（2）對任意，不等式恒成立，求a的取值范圍．解：（1）因為，定義域為所以因為在取得極小值，所以，所以，檢驗：，定義域為，，x3-0+↓極小值↑所以；（2）因為對恒成立所以令①即時，恒成立，在單調(diào)遞增恒成立，②即時，，x1-0+0↓極小值↑所以，與題意不符，舍去，綜上所述：．17.記為數(shù)列的前項和，且．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和；（3）數(shù)列的前n項