2025屆江蘇省卓越高中聯(lián)盟高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省卓越高中聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，解得，所以，又，所以.故選：C2.設(shè)，，其中為虛數(shù)單位，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，整理得，解得或；因?yàn)槭腔虻恼孀蛹?，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B3.在三角形中，，，向量在向量上的投影向量為，為上一點(diǎn)，且，則（）A.4 B. C. D.5【答案】B【解析】由題得向量在向量上的投影向量為，所以，又，故，因?yàn)椋裕?，所以，所?故選：B.4.在正六棱臺中，，點(diǎn)是底面的中心，若該六棱臺的體積為84，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，取上底面中心為，取中點(diǎn)，連接，則由正六棱臺結(jié)構(gòu)特征可知兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以該六棱臺上下底面面積為，且，又該六棱臺的體積為84，則，所以，即該六棱臺的高為，所以，所以，設(shè)異面直線與所成角為，則所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：C.5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，所以，所以則.故選：D6.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過橢圓的上頂點(diǎn)作直線交橢圓于點(diǎn)．若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖：因?yàn)椋珺F1所以的周長為，則，又，所以，，則.又，所以.所以橢圓的離心率為.故選：A7.已知函數(shù)在區(qū)間上有極大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有極大值，令，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在區(qū)間上有零點(diǎn)，且零點(diǎn)左側(cè)函數(shù)值大于，右側(cè)函數(shù)值小于，所以，解得，此時設(shè)在區(qū)間的零點(diǎn)為，則當(dāng)時，即，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，即，所以在上單調(diào)遞減，則在處取得極大值，符合題意；所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B8.若關(guān)于x的不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，即，當(dāng)時，，不等式在上顯然成立；當(dāng)時，令，則在上恒成立，由，在上，所以在上單調(diào)遞增，又時，，，所以只需在上恒成立，即恒成立．令，則，即在上單調(diào)遞增，其中，故，所以此時有．綜上，．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．9.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（）A.B.在區(qū)間上有且僅有2個零點(diǎn)C.是奇函數(shù)D.在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】ACD【解析】對于A，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，即因?yàn)椋匀?，則，故A正確；對于B，，令，得，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在區(qū)間上只有一個零點(diǎn)，故B錯誤；對于C，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，故C正確；對于D，當(dāng)時，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D正確．故選：ACD．10.已知正四棱錐的棱長均為2，下列說法正確的是（）A.平面與平面夾角的正弦值為B.若點(diǎn)滿足，則的最小值為C.在四棱錐內(nèi)部有一個可任意轉(zhuǎn)動的正方體，則該正方體表面積的最大值為D.點(diǎn)在平面內(nèi)，且，則點(diǎn)軌跡的長度為【答案】BCD【解析】如圖，對于A，∵正四棱錐的棱長為2，∴正四棱錐的高為，設(shè)點(diǎn)P為AB中點(diǎn)，根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，得，，則平面與平面的夾角為，則，故A錯誤；對于B，∵，，根據(jù)空間向量基本定理可得點(diǎn)P在平面MAD上，∴當(dāng)平面時，最小，此時根據(jù)等體積法可求出，即可求得，即的最小值為，故B正確；對于C，設(shè)正方體棱長為，則正方體的體積為，正方體可以在正四棱錐內(nèi)部任意轉(zhuǎn)動，所以正方體對角線的長度不超過該正四棱錐內(nèi)切球的直徑，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，正四棱錐的體積為，根據(jù)另一個體積公式，可得，∴正方體對角線，，∴正方體表面積，故C正確；對于D，如圖，以A為原點(diǎn)，AB，AD所在直線為，軸，過點(diǎn)A向上作垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0，，設(shè)，∵，∴，即，化簡整理可得，∴點(diǎn)的軌跡是在平面ABCD內(nèi)以為圓心，半徑為的圓在四邊形ABCD內(nèi)的部分（圓?。┤鐖D，由于，則點(diǎn)Q的軌跡長度為，故D正確.故選：BCD.11.已知定義在上的函數(shù)和，是的導(dǎo)函數(shù)且定義域?yàn)椋魹榕己瘮?shù)，，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，兩邊求導(dǎo)得，所以為奇函數(shù)，因?yàn)?，，所以，則，所以，即的周期，因?yàn)闉槎x域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以，則，故B錯誤；在中，令，可得，所以，故A正確；由，令，可得，則，則，即，所以，故D錯誤；在中，令，得，在中，令，得，兩式相加得，即，故C正確．故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知直線：分別與曲線，都相切，則的值為______．【答案】【解析】設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為x1,y1，與曲線的切點(diǎn)為x對求導(dǎo)得，所以，即切點(diǎn)，所以；對求導(dǎo)得，所以或（舍去），所以.故答案為：.13.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___．【答案】【解析】由題可得在上恒成立，且在上單調(diào)遞減，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14.已知是圓：上的動點(diǎn)，，點(diǎn)，是圓：上的兩個動點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，則的最小值為______．【答案】【解析】由題知，圓的半徑，，圓的半徑，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，所以，因?yàn)?，，所以四邊形為矩形，則為的中點(diǎn)，且，設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，整理得，所以點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上.因?yàn)椋?，設(shè)與圓交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，則，，在和中，且，所以與相似，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且垂直于軸時取等號，所以的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知在中，，．（1）判斷的形狀，并說明理由；（2）點(diǎn)在邊上，且，若，求的面積．解：（1）由可得，所以，所以，所以，所以．因?yàn)?，所以，又，所以，化簡可得，故，又因?yàn)?，所以，所以，所以為直角三角形；?）由（1）得，，且為直角三角形，設(shè)，則，，．在中，由余弦定理可得，即，解得，故．16.設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為（且）．（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）若函數(shù)，求的值．解：（1）的定義域?yàn)?，且，，為上的奇函?shù)．（2）由（1）知，為上的奇函數(shù)，即，令取，得，，，，令，得，即，，即．17.已知圓：，過點(diǎn)的直線交圓于，兩點(diǎn)．（1）若，求此時直線的方程；（2）過，分別作圓的切線，，設(shè)直線和的交點(diǎn)為，求證：點(diǎn)在定直線上．（1）解：設(shè)Ax1,當(dāng)直線的斜率不存在時，：，聯(lián)立，解得，，則，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)：，由，得，則，聯(lián)立，可得，則，解得，所以，解得，故直線的方程為或．（2）證明：設(shè)，圓為，圓心為C0,1，則以線段為直徑的圓的方程為，化簡可得，上述方程與圓的方程相減得，因直線過點(diǎn)，則，所以，所以點(diǎn)在直線上．18.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè).①若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.②在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)，，在以為球心的球上？若存在，求線段的長；若不存在，說明理由.（1）證明：在四棱錐中，平面平面，，平面，平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：如圖以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立如圖所示直角空間坐標(biāo)系，設(shè)，則，由，，，，則，，因，則，，所以，，①設(shè)平面的法向量為，由，，得：，可取，設(shè)直線與平面所成角為，則有：，，即：，化簡得：，解得或，即或，②如圖，假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)，，在以為球心的球上，由，得，所以，所以，又得，，所以，，由得，即，亦即（*），因?yàn)椋苑匠蹋?）無實(shí)數(shù)解，所以線段上不存在點(diǎn)，使得點(diǎn)，，在以為球心的球上.19.已知函數(shù)．（1）若1是的極值點(diǎn)，求的值．（2）若，試問是否存在零點(diǎn)？若存在，請求出該零點(diǎn)；若不存在，請說明理由．（3）若有兩個零點(diǎn)，求滿足題意的的最小整數(shù)值．（，）解：（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，由1是的極值點(diǎn)，得，解得，此時，顯然在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此在時取得極值，所以.（2）①當(dāng)時，由（1）可知，此時不存在零點(diǎn)；②當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，且在上的圖象是不間斷的，則存在唯一的，使得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，于是，由，得，則，令，則，設(shè)，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，于是，即當(dāng)時，，因此，則，即函數(shù)無零點(diǎn)，所以函數(shù)不存在零點(diǎn)．（3）由（2）知，當(dāng)時，無零點(diǎn)，又，依題意，，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增且圖象是不間斷的，又，，則存在唯一的，使得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，，由，得，則，由有兩個零點(diǎn)，得，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且圖象是不間斷的，，，則，設(shè)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，當(dāng)時，，，，，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增且圖象連續(xù)不間斷，因此在與上分別存在一個零點(diǎn)，即恰有兩個零點(diǎn)，所以正整數(shù)的最小值為4.江蘇省卓越高中聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，解得，所以，又，所以.故選：C2.設(shè)，，其中為虛數(shù)單位，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，整理得，解得或；因?yàn)槭腔虻恼孀蛹?，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B3.在三角形中，，，向量在向量上的投影向量為，為上一點(diǎn)，且，則（）A.4 B. C. D.5【答案】B【解析】由題得向量在向量上的投影向量為，所以，又，故，因?yàn)?，所以，所以，所以，所?故選：B.4.在正六棱臺中，，點(diǎn)是底面的中心，若該六棱臺的體積為84，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，取上底面中心為，取中點(diǎn)，連接，則由正六棱臺結(jié)構(gòu)特征可知兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以該六棱臺上下底面面積為，且，又該六棱臺的體積為84，則，所以，即該六棱臺的高為，所以，所以，設(shè)異面直線與所成角為，則所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：C.5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，所以，所以則.故選：D6.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過橢圓的上頂點(diǎn)作直線交橢圓于點(diǎn)．若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖：因?yàn)椋珺F1所以的周長為，則，又，所以，，則.又，所以.所以橢圓的離心率為.故選：A7.已知函數(shù)在區(qū)間上有極大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有極大值，令，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在區(qū)間上有零點(diǎn)，且零點(diǎn)左側(cè)函數(shù)值大于，右側(cè)函數(shù)值小于，所以，解得，此時設(shè)在區(qū)間的零點(diǎn)為，則當(dāng)時，即，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，即，所以在上單調(diào)遞減，則在處取得極大值，符合題意；所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B8.若關(guān)于x的不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，即，當(dāng)時，，不等式在上顯然成立；當(dāng)時，令，則在上恒成立，由，在上，所以在上單調(diào)遞增，又時，，，所以只需在上恒成立，即恒成立．令，則，即在上單調(diào)遞增，其中，故，所以此時有．綜上，．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．9.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（）A.B.在區(qū)間上有且僅有2個零點(diǎn)C.是奇函數(shù)D.在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】ACD【解析】對于A，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，即因?yàn)?，所以取，則，故A正確；對于B，，令，得，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在區(qū)間上只有一個零點(diǎn)，故B錯誤；對于C，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，故C正確；對于D，當(dāng)時，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D正確．故選：ACD．10.已知正四棱錐的棱長均為2，下列說法正確的是（）A.平面與平面夾角的正弦值為B.若點(diǎn)滿足，則的最小值為C.在四棱錐內(nèi)部有一個可任意轉(zhuǎn)動的正方體，則該正方體表面積的最大值為D.點(diǎn)在平面內(nèi)，且，則點(diǎn)軌跡的長度為【答案】BCD【解析】如圖，對于A，∵正四棱錐的棱長為2，∴正四棱錐的高為，設(shè)點(diǎn)P為AB中點(diǎn)，根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，得，，則平面與平面的夾角為，則，故A錯誤；對于B，∵，，根據(jù)空間向量基本定理可得點(diǎn)P在平面MAD上，∴當(dāng)平面時，最小，此時根據(jù)等體積法可求出，即可求得，即的最小值為，故B正確；對于C，設(shè)正方體棱長為，則正方體的體積為，正方體可以在正四棱錐內(nèi)部任意轉(zhuǎn)動，所以正方體對角線的長度不超過該正四棱錐內(nèi)切球的直徑，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，正四棱錐的體積為，根據(jù)另一個體積公式，可得，∴正方體對角線，，∴正方體表面積，故C正確；對于D，如圖，以A為原點(diǎn)，AB，AD所在直線為，軸，過點(diǎn)A向上作垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0，，設(shè)，∵，∴，即，化簡整理可得，∴點(diǎn)的軌跡是在平面ABCD內(nèi)以為圓心，半徑為的圓在四邊形ABCD內(nèi)的部分（圓?。┤鐖D，由于，則點(diǎn)Q的軌跡長度為，故D正確.故選：BCD.11.已知定義在上的函數(shù)和，是的導(dǎo)函數(shù)且定義域?yàn)椋魹榕己瘮?shù)，，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，兩邊求導(dǎo)得，所以為奇函數(shù)，因?yàn)椋?，所以，則，所以，即的周期，因?yàn)闉槎x域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以，則，故B錯誤；在中，令，可得，所以，故A正確；由，令，可得，則，則，即，所以，故D錯誤；在中，令，得，在中，令，得，兩式相加得，即，故C正確．故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知直線：分別與曲線，都相切，則的值為______．【答案】【解析】設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為x1,y1，與曲線的切點(diǎn)為x對求導(dǎo)得，所以，即切點(diǎn)，所以；對求導(dǎo)得，所以或（舍去），所以.故答案為：.13.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___．【答案】【解析】由題可得在上恒成立，且在上單調(diào)遞減，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14.已知是圓：上的動點(diǎn)，，點(diǎn)，是圓：上的兩個動點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，則的最小值為______．【答案】【解析】由題知，圓的半徑，，圓的半徑，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，所以，因?yàn)椋?，所以四邊形為矩形，則為的中點(diǎn)，且，設(shè)，則，所以，因?yàn)椋?，所以，即，整理得，所以點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上.因?yàn)?，所以，設(shè)與圓交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，則，，在和中，且，所以與相似，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且垂直于軸時取等號，所以的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知在中，，．（1）判斷的形狀，并說明理由；（2）點(diǎn)在邊上，且，若，求的面積．解：（1）由可得，所以，所以，所以，所以．因?yàn)?，所以，又，所以，化簡可得，故，又因?yàn)椋?，所以，所以為直角三角形；?）由（1）得，，且為直角三角形，設(shè)，則，，．在中，由余弦定理可得，即，解得，故．16.設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為（且）．（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）若函數(shù)，求的值．解：（1）的定義域?yàn)?，且，，為上的奇函?shù)．（2）由（1）知，為上的奇函數(shù)，即，令取，得，，，，令，得，即，，即．17.已知圓：，過點(diǎn)的直線交圓于，兩點(diǎn)．（1）若，求此時直線的方程；（2）過，分別作圓的切線，，設(shè)直線和的交點(diǎn)為，求證：點(diǎn)在定直線上．（1）解：設(shè)Ax1,當(dāng)直線的斜率不存在時，：，聯(lián)立，解得，，則，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)：，由，得，則，聯(lián)立，可得，則，解得，所以，解得，故直線的方程為或．（2）證明：設(shè)，圓為，圓心為C0,1，則以線段為直徑的圓的方程為，化簡可得，上述方程與圓的方程相減得，因直線過點(diǎn)，則，所以，所以點(diǎn)在直線上．18.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè).①若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.②在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)，，在以為球心的球上