安徽省蚌埠市A層學校2024-2025學年高一上學期第二次聯(lián)考（11月）數(shù)學試題

安徽省蚌埠市A層學校20242025學年高一上學期第二次聯(lián)考（11月）數(shù)學試題命題單位：蚌埠第二中學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】確定集合，然后根據(jù)文氏圖的概念及集合的運算求解．【詳解】由題意，陰影部分為.故選：D．2.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】判斷條件間的推出關系，根據(jù)充分必要性的定義判斷即可.【詳解】當：若異號，即，顯然成立；若或，均有成立；所以充分性成立；當：若，，顯然不成立，故必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A3.冪函數(shù)在上單調遞增，則的圖象過定點（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用冪函數(shù)的概念知系數(shù)必為1，再由冪函數(shù)遞增知冪指數(shù)大于0，從而解得，再利用指數(shù)函數(shù)必過點來求出函數(shù)過的定點.【詳解】因為冪函數(shù)在上單調遞增，所以m2?2m?2=1m>0，解得，所以故令得，所以所以的圖象過定點.故選：D.4.若命題，使得為假命題，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】問題轉化為當時，恒成立，利用二次函數(shù)的性質，求出在上的最大值，解不等式求實數(shù)的取值范圍即可.【詳解】因為為假命題，所以為真命題，即當時，恒成立.因為函數(shù)圖象的對稱軸為，所以當時，，所以，即，解得或，即實數(shù)的取值范圍為.故選：D.5.若，則的大小關系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】結合對數(shù)運算性質及對數(shù)函數(shù)的單調性比較的大小，結合基本不等式及對數(shù)函數(shù)單調性比較的大小，可得結論.詳解】，而，且．所以，故．故選：D.6.著名數(shù)學家華羅庚先生曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休.”在數(shù)學的學習和研究中，經(jīng)常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質，也經(jīng)常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象的特征，如函數(shù)f（x）的圖象大致是A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)奇偶性的判斷可知f（x）為偶函數(shù)，排除A，再通過x1進行特值判斷即可得解.【詳解】函數(shù)的定義域為{x|x±1}，f（﹣x）f（x），則函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱，排除A，當x1時，f（x）0恒成立，排除B，D，故選：C.【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的判斷，有如下幾個方法：（1）根據(jù)奇偶性判斷；（2）根據(jù)特值判斷；（3）根據(jù)單調性和趨勢判斷.7.定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構造新函數(shù)，根據(jù)題意得出函數(shù)在(0,+∞)內單調遞減；把不等式轉化為，結合單調性和定義域即可求解.【詳解】不妨設任意的，，因為，則，所以，所以在(0,+∞)內單調遞減.不等式等價于，又，所以等價于，因為在(0,+∞)內單調遞減，所以，即不等式的解集為.故選：B.8.若對，使不等式成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得，利用對勾函數(shù)的單調性可求得，從而將問題再轉化為恒成立，然后分情況求的取值范圍.【詳解】，即對，使不等式成立，∴，∵對勾函數(shù)在上單調遞增，．恒成立，的對稱軸，∴，解得，或，無解，或，無解，綜上，即的取值范圍為．故選：C．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則下列結論正確的是（）A.函數(shù)的定義域為B.函數(shù)的值域為C.D.函數(shù)為減函數(shù)【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)分母不為求出函數(shù)的定義域，即可判斷A；再將函數(shù)解析式變形為，即可求出函數(shù)的值域，從而判斷B；根據(jù)指數(shù)冪的運算判斷C，根據(jù)函數(shù)值的特征判斷D.【詳解】對于函數(shù)，則，解得，所以函數(shù)的定義域為，故A錯誤；因為，又，當時，則，當時，則，所以函數(shù)的值域為，故B正確；又，故C正確；當時，當時，所以不是減函數(shù)，故D錯誤.故選：BC10.若，且，則下列各式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】先由題意得到，進而分析得與，從而判斷BC，再舉反例排除AD，從而得解.【詳解】因為，所以，則，又由于，所以，，，則，故B正確；因為，所以，故C正確；當，，時，可，故A錯誤；當，，時，，故D錯誤故選：BC.【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵在于，舉反例排除AD，從而得解.11.函數(shù)在上有定義，若對任意，有，則稱在上具有性質．下列命題正確的有（）A.函數(shù)在上具有性質B.若在上具有性質，則在上也具有性質C.若在上具有性質，且在處取得最大值1，則D.對任意，若在上具有性質，則恒成立【答案】ACD【解析】【分析】由性質的定義判斷A選項；舉反例判斷B選項；C選項，由可證得；D選項，由性質的定義證明.【詳解】對A，，對任意時，，滿足，A選項正確；對B，函數(shù)在上滿足性質，證明方法同A選項，對于函數(shù)，，，不滿足，在上不滿足性質，故B選項不成立；對C：在上，在處取得最大值1，由，，故，所以對任意的，故C選項成立；對D，對任意，有，，故D選項成立．故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.____________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)運算法則化簡即可求得結果.【詳解】．故答案為：2.13.已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】畫出函數(shù)圖象，分析出，，故，，結合函數(shù)單調性得到值域，求出取值范圍.【詳解】畫出的圖象，當時，單調遞增，且，當時，單調遞增，且，令，解得，令，則，若，且，則，，所以，，當時，取得最小值，最小值為，又時，，時，，故.故答案為：14.已知定義在上的函數(shù)滿足，且當時，，則不等式的解集為____________．【答案】或【解析】【分析】賦值求出，令，且，根據(jù)時，，得到，然后根據(jù)函數(shù)單調性解不等式即可.【詳解】因為，令，則，令，則，令，且，則，整理得，因為，則，可得，所以，即，可知在定義域在上單調遞增，又因為，即，可得，即，由在定義域在上單調遞增，可得，解得或，所以不等式的解集為或．故答案為：或四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，.（1）若，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分析可知，，可得出關于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍；（2）先考慮當時，求出實數(shù)的取值范圍，分、兩種情況討論，根據(jù)集合的包含關系可得出關于實數(shù)的不等式（組），綜合可得出實數(shù)的取值范圍，再利用補集思想可得出當時實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】由可知，所以，，解得，因此，實數(shù)取值范圍是．【小問2詳解】考慮當時，實數(shù)的取值范圍，則，若，滿足，則，解得；若，因為，所以，解得，所以時，的取值范圍是，所以時，的取值范圍是mm>1.16.已知是定義在R上的奇函數(shù)．（1）求的值；（2）若存在區(qū)間，使得函數(shù)在上的值域為，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質求出并驗證即可.（2）探討函數(shù)的單調性，結合函數(shù)在區(qū)間上的值域，構造方程有兩個不相等的正實根，再利用一元二次方程實根分布求出范圍.【小問1詳解】因為是定義在R上的奇函數(shù)，有，得，則有，函數(shù)定義域為R，有，即是奇函數(shù)，所以；【小問2詳解】由（1）得，令，因為在R上遞增，所以在R上遞減，所以在R上遞增，因為函數(shù)在上的值域為，所以，所以，因為，所以關于的方程有兩個不相等的正實根，所以，解得，即的取值范圍為17.杭州亞運會田徑比賽10月5日迎來收官，在最后兩個競技項目男女馬拉松比賽中，中國選手何杰以2小時13分02秒奪得男子組冠軍，這是中國隊亞運史上首枚男子馬拉松金牌.人類長跑運動一般分為兩個階段，第一階段為前1小時的穩(wěn)定階段，第二階段為疲勞階段.現(xiàn)一60kg的復健馬拉松運動員進行4小時長跑訓練，假設其穩(wěn)定階段作速度為的勻速運動，該階段每千克體重消耗體力（表示該階段所用時間），疲勞階段由于體力消耗過大變?yōu)榈臏p速運動（表示該階段所用時間）.疲勞階段速度降低，體力得到一定恢復，該階段每千克體重消耗體力已知該運動員初始體力為不考慮其他因素，所用時間為（單位：h），請回答下列問題：（1）請寫出該運動員剩余體力關于時間的函數(shù)；（2）該運動員在4小時內何時體力達到最低值，最低值為多少?【答案】（1）（2）時有最小值，最小值為.【解析】【分析】（1）先寫出速度關于時間的函數(shù)，進而求出剩余體力關于時間的函數(shù)；（2）分和兩種情況，結合函數(shù)單調性，結合基本不等式，求出最值.【小問1詳解】由題可先寫出速度關于時間的函數(shù)，代入與公式可得解得；【小問2詳解】①穩(wěn)定階段中單調遞減，此過程中最小值；②疲勞階段，則有，當且僅當，即時，“”成立，所以疲勞階段中體力最低值為，由于，因此，在時，運動員體力有最小值.18.《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng)．對數(shù)運算與指數(shù)冪運算是兩類重要的運算.18世紀，瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對數(shù)的互逆關系，并進一步指出：對數(shù)源出于指數(shù)．然而對數(shù)的發(fā)明先于指數(shù)，這成為數(shù)學史上的珍聞．（1）試利用對數(shù)運算性質計算的值；（2）已知為正數(shù)，若，求的值；（3）定義：一個自然數(shù)的數(shù)位的個數(shù)，叫做位數(shù)，例如23的位數(shù)是2，2024的位數(shù)是4．試判斷的位數(shù)．（注）【答案】（1）（2）（3）610【解析】【分析】（1）利用對數(shù)的運算性質計算即可；（2）令，則，根據(jù)對數(shù)與指數(shù)的互化可得，利用對數(shù)的換底公式化簡原式即可；（3）利用對數(shù)的運算性質可得，結合位數(shù)的定義即可得出結果.【小問1詳解】原式；【小問2詳解】由題意知，令，則，所以，所以；【小問3詳解】設，則，又，所以，所以，則，所以的位數(shù)為610．19.列奧納多達芬奇（LeonardodaVinci，14521519）是意大利文藝復興三杰之一．他曾提出：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，項鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”，后人給出了懸鏈線的函數(shù)表達式，其中為懸鏈線系數(shù)，稱為雙曲余弦函數(shù)，其函數(shù)表達式為，相反地，雙曲正弦函數(shù)的函數(shù)表達式為．（1）證明：；（2）求不等式：的解集；（3）函數(shù)的圖象在區(qū)間上與軸有2個交點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）（（3）【解析】【分析】（1）結合雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)代入計算即可；（2）求出的單調性和奇偶性，得到，，求出解集；（3）參變分離得到在有2個實數(shù)根，換元得到，由對勾函數(shù)單調性得到的值域，與有兩個交點，故需滿足，即.【小問1詳解】．【小問2詳解】因為恒成立，故奇函數(shù)．又因為在R上嚴格遞增，在R上嚴格遞減，故是R上的嚴格增函數(shù)，所以，即，所以，解得，即所求不等式的解集為；【小問3詳解】因為的圖象在區(qū)間上與軸有2個交點，所以，即在有2個實數(shù)根，所以在有2個實數(shù)根，令，易知在上單調遞增，所以，則，令，，由對勾函數(shù)性質可知，在上單調