高中數(shù)學(xué)(人教B版)選擇性必修二同步講義第4章第四章概率與統(tǒng)計(jì)章末題型大總結(jié)(學(xué)生版+解析)

第四章概率與統(tǒng)計(jì)章末題型大總結(jié)題型01條件概率、乘法公式及全概率公式解題錦囊解題錦囊1．求條件概率的主要方法(1)利用條件概率公式P(B|A)eq\f(PA∩B,PA)；(2)針對古典概型，可通過縮減基本事件總數(shù)求解．2．應(yīng)用乘法公式的注意點(diǎn)在利用乘法公式解決實(shí)際問題時(shí)，要注意區(qū)分P(B|A)和P(A|B)的不同，P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率；而P(A|B)則表示在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率．【典例1】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）秋冬季節(jié)是某呼吸道疾病的高發(fā)期，為了解該疾病的發(fā)病情況，疾控部門對該地區(qū)居民進(jìn)行普查化驗(yàn)，化驗(yàn)結(jié)果陽性率為，但統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果顯示患病率為，醫(yī)學(xué)研究表明化驗(yàn)結(jié)果是有可能存在誤差的，沒有患該疾病的居民其化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的概率為，則該地區(qū)患有該疾病的居民化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的概率為（

）A． B． C． D．【變式1】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)0出發(fā)，每隔一秒隨機(jī)等可能地向左或向右移動一個(gè)單位，共移動4次，在質(zhì)點(diǎn)第一秒位于1的位置的條件下，該質(zhì)點(diǎn)共經(jīng)過兩次2的位置的概率為（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高二下·浙江寧波·期中）已知甲、乙兩個(gè)袋子各裝有10個(gè)球，其中甲袋子中裝有4個(gè)黑球、3個(gè)白球和3個(gè)紅球，乙袋子中裝有3個(gè)黑球、2個(gè)白球和5個(gè)紅球.規(guī)定拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若正面朝上，則從甲袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球：若反面朝上，則從乙袋子中隨機(jī)換出一個(gè)球，下列概率中等于的為（

）A．摸到黑球 B．摸到紅球C．在拋出的硬幣正面朝上的條件下，摸到白球 D．在拋出的硬幣反面朝上的條件下，摸到紅球【變式3】（23-24高二下·重慶九龍坡·期中）在某次流感疫情爆發(fā)期間，A，B，C三個(gè)地區(qū)均爆發(fā)了流感，經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)A，B，C地區(qū)分別有的人患過流感，且A，B，C三個(gè)地區(qū)的人數(shù)的比為．現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中隨機(jī)選取一人，則此人患過流感的概率為（

）A． B． C． D．【變式4】（23-24高二下·內(nèi)蒙古通遼·階段練習(xí)）某廠生產(chǎn)螺口燈泡和卡口燈泡兩種燈泡，其中螺口燈泡的產(chǎn)量占70%，螺口燈泡的合格率是95%，卡口燈泡的合格率是85%.現(xiàn)隨機(jī)取一只燈泡，發(fā)現(xiàn)是合格的，這只燈泡是螺口燈泡的概率約為（

）A．0.665 B．0.723 C．0.7 D．0.737題型02相互獨(dú)立事件的概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率解題錦囊解題錦囊1.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率需注意的三個(gè)問題(1)“P(AB)P(A)P(B)”是判斷事件是否相互獨(dú)立的充要條件，也是解答相互獨(dú)立事件概率問題的唯一工具.(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率問題，務(wù)必分清事件間的相互關(guān)系.(3)公式“P(A＋B)1－P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))”常應(yīng)用于求相互獨(dú)立事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率.2.在解決概率問題時(shí)，一定要根據(jù)有關(guān)概念判斷是互斥事件、相互獨(dú)立事件，條件概率等，用基本事件表示較復(fù)雜的事件，選擇正確的計(jì)算方法，同時(shí)要注意幾種事件的綜合問題，需全面考慮.【典例1】（24-25高二上·四川眉山·階段練習(xí)）某人有兩把雨傘用于上下班，如果一天上班時(shí)他也在家而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把去辦公室，如果一天下班時(shí)他也在辦公室而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不帶雨傘.假設(shè)每天上班和下班時(shí)下雨的概率均為，不下雨的概率均為，且與過去情況相互獨(dú)立.現(xiàn)在兩把雨傘均在家里，那么連續(xù)上班兩天，他至少有一天淋雨的概率為（

）A． B． C． D．【變式1】（24-25高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）投籃測試中，每人投2次，至少投中1次才能通過測試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測試的概率為（

）A．0.24 B．0.48 C．0.84 D．0.94【變式2】（24-25高二上·湖北鄂州·期中）“五道方”是一種民間棋類游戲，甲，乙兩人進(jìn)行“五道方”比賽，約定連勝兩場者贏得比賽.若每場比賽，甲勝的概率為，乙勝的概率為，則比賽6場后甲贏得比賽的概率為（

）A． B． C． D．【變式3】（24-25高二上·湖北武漢·期中）概率論起源于博弈游戲17世紀(jì)，曾有一個(gè)“賭金分配”的問題：博弈水平相當(dāng)?shù)募?、乙兩人進(jìn)行博弈游戲，每局比賽都能分出勝負(fù)，沒有平局．雙方約定：各出賭金210枚金幣，先贏3局者可獲得全部贖金．但比賽中途因故終止了，此時(shí)甲贏了2局，乙贏了1局，問這420枚金幣的賭金該如何分配？數(shù)學(xué)家費(fèi)馬和帕斯卡都用了現(xiàn)在稱之為“概率”的知識，合理地給出了賭金分配方案．該分配方案是（

）A．甲315枚，乙105枚 B．甲280枚，乙140枚C．甲210枚，乙210枚 D．甲336枚，乙84枚【變式4】（23-24高二下·貴州·期中）高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形鐵釘，并且每一-排鐵釘數(shù)目都比上一排多一個(gè)，一排中各個(gè)鐵釘恰好對準(zhǔn)上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼醒耄畯娜肟谔幏湃胍粋€(gè)直徑略小于兩顆鐵釘間隔的小球，當(dāng)小球從兩釘之間的間隙下落時(shí)，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過兩鐵釘?shù)拈g隙，又碰到下一排鐵釘如此繼續(xù)下去，在最底層的5個(gè)出口處各放置一個(gè)容器接住小球．理論上，小球落入2號容器的概率是多少（

）A． B． C． D．題型03隨機(jī)變量分布列及性質(zhì)解題錦囊解題錦囊分布列的兩個(gè)性質(zhì)①pi≥0，i1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn1.【典例1】（23-24高二下·廣西玉林·期末）隨機(jī)變量Y的分布列為下表所示，若Y的期望值為1，則：（

）02A． B．C． D．【變式1】（23-24高二下·遼寧沈陽·期中）隨機(jī)變量的分布列如下（為常數(shù)）：0120.3則（

）A．0.6 B．0.7 C．0.9 D．1.2【變式2】（23-24高二下·河北滄州·期末）設(shè)隨機(jī)變量的分布列，則（

）A． B． C． D．【變式3】（23-24高二下·福建莆田·期末）隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，其分布列如下則（

）A． B． C． D．或題型04隨機(jī)變量的期望與方差解題錦囊解題錦囊離散型隨機(jī)變量的期望和方差是隨機(jī)變量中兩種最重要的特征數(shù)，它們反映了隨機(jī)變量取值的平均值及其穩(wěn)定性．期望與方差在實(shí)際問題中有廣泛的應(yīng)用，是高考的熱點(diǎn)．解決均值、方差的應(yīng)用時(shí)，先要將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，然后求出隨機(jī)變量的概率分布列．對于一般類型的隨機(jī)變量，應(yīng)先求其分布列，再代入公式計(jì)算，此時(shí)解題的關(guān)鍵是概率的計(jì)算．計(jì)算概率時(shí)要結(jié)合事件的特點(diǎn)，靈活地結(jié)合排列組合、古典概型、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率、互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率等知識求解．【典例1】（24-25高二上·湖南岳陽·期中）不透明的盒中有四個(gè)除所標(biāo)數(shù)字外均相同的球，它們分別標(biāo)有數(shù)字，，，，現(xiàn)從中隨機(jī)取個(gè)球．(1)求取到個(gè)標(biāo)有數(shù)字的球的概率；(2)設(shè)為取出的個(gè)球上的數(shù)字之和，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【變式1】（23-24高二下·青?！て谀┮阎唤M數(shù)據(jù)1，2，2，5，5，6的第80百分位數(shù)為，隨機(jī)變量X的分布列為2m140.30.60.1（

）A．5 B．6 C．9.8 D．10.8【變式2】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）高考數(shù)學(xué)試題第二部分為多選題，共個(gè)小題，每小題有個(gè)選項(xiàng)，其中有個(gè)或個(gè)是正確選項(xiàng)，全部選對得分，部分選對得部分分，有選錯的得分.若正確答案是個(gè)選項(xiàng)，只選對個(gè)得分，有選錯的得分；若正確答案是個(gè)選項(xiàng)，只選對個(gè)得分，只選對個(gè)得分，有選錯的得分.小明對其中的一道題完全不會，該題有兩個(gè)正確選項(xiàng)的概率是，記為小明隨機(jī)選擇個(gè)選項(xiàng)的得分，記為小明隨機(jī)選擇個(gè)選項(xiàng)的得分，則（

）A． B．C． D．【變式3】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）某志愿者社團(tuán)計(jì)劃在周一和周二兩天各舉行一次活動，分別由甲、乙兩人負(fù)責(zé)活動通知，已知該社團(tuán)共有n位同學(xué)，每次活動均需k位同學(xué)參加.假設(shè)甲和乙分別將各自活動通知的信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給該社團(tuán)k位同學(xué)，且所發(fā)信息都能收到.(1)當(dāng)，時(shí)，求該社團(tuán)只有小明同學(xué)同時(shí)收到甲、乙兩人所發(fā)活動通知信息的概率；(2)記至少收到一個(gè)活動通知信息的同學(xué)人數(shù)為X①設(shè)，，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；②求使取得最大值的整數(shù)m.題型05期望與方差的性質(zhì)解題錦囊解題錦囊均值、方差的性質(zhì)(1)若ηaξ＋b(a，b是常數(shù))，ξ是隨機(jī)變量，則η也是隨機(jī)變量，且E(η)E(aξ＋b)aE(ξ)＋b.(2)D(aξ＋b)a2D(ξ).【典例1】（23-24高二下·四川遂寧·階段練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為012340.10.40.20.2若離散型隨機(jī)變量滿足，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．，C．， D．，【變式1】（23-24高二下·新疆·期中）已知，，則（

）A． B．C． D．【變式2】（23-24高二下·新疆·期中）已知隨機(jī)變量的概率分布如表則（）124A．1 B． C．11 D．15【變式3】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）（多選）某中學(xué)組織了足球射門比賽．規(guī)定每名同學(xué)有5次射門機(jī)會，踢進(jìn)一球得8分，沒踢進(jìn)得分．小明參加比賽且沒有放棄任何一次射門機(jī)會，每次踢進(jìn)的概率為，每次射門相互獨(dú)立．記X為小明的得分總和，為小明踢進(jìn)球的次數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【變式4】（2024高二·全國·專題練習(xí)）（多選）如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)，每隔等可能地向左或向右移動一個(gè)單位.設(shè)移動次后質(zhì)點(diǎn)位于位置，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．移動次后質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)的概率最大題型06兩點(diǎn)分布解題錦囊解題錦囊兩點(diǎn)分布：是很簡單的一種概率分布，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果只有兩種可能，且概率和為1；兩點(diǎn)分布列又稱分布列或佰努利分布列；兩點(diǎn)分布能清晰的反映出事件的正反兩面.兩點(diǎn)分布的應(yīng)用十分廣泛，如抽取的彩票是否中獎，買回的意見產(chǎn)品是否為正品，新生兒的鑒定，投籃是否命中等.【典例1】已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，設(shè)，那么（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6【變式1】已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且.設(shè)，那么等于（

）A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4【變式2】已知離散型隨機(jī)變量的分布列服從兩點(diǎn)分布，且，則（

）A． B． C． D．【變式3】隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，令，則（

）A． B． C． D．題型07二項(xiàng)分布解題錦囊解題錦囊二項(xiàng)分布若ξ～B(n，p)，則Eξnp，Dξnp(1－p)．根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求二項(xiàng)分布的有關(guān)問題時(shí)，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)n和變量的概率，求得概率．【典例1】（23-24高二下·山東泰安·期末）若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，；隨機(jī)變量Y服從二項(xiàng)分布，且，則下列結(jié)果正確的有（

）A． B．C． D．【變式1】【變式4】（23-24高二下·河南商丘·期末）設(shè)隨機(jī)變量，若，則（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高二下·吉林白山·期末）已知隨機(jī)變量，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10【變式3】（23-24高二下·北京海淀·期末）小明投籃3次，每次投中的概率為，且每次投籃互不影響，若投中一次得2分，沒投中得0分，總得分為，則（

）A． B． C． D．【變式4】（23-24高二下·四川綿陽·期末）某市政道路兩旁需要進(jìn)行綠化，計(jì)劃從甲，乙，丙三種樹木中選擇一種進(jìn)行栽種，通過民意調(diào)查顯示，贊成栽種乙樹木的概率為，若從該地市民中隨機(jī)選取4人進(jìn)行訪談，則至少有3人建議栽種乙樹木的概率為（

）A． B． C． D．題型08超幾何分布解題錦囊解題錦囊超幾何分布若ξ～H(N，n，M)則Eξeq\f(nM,N)，DξEξ·eq\f(（N－M）（N－n）,N（N－1）).對超幾何分布的三點(diǎn)說明（1）超幾何分布的模型是不放回抽樣．（2）超幾何分布中的參數(shù)是M，N，n.（3）超幾何分布可解決產(chǎn)品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、學(xué)生中的男和女等問題，往往由具有明顯差異的兩部分組成．【典例1】（23-24高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）廠家生產(chǎn)一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，其中不低于85的為合格品．已知合格率為80%，廠家將合格品按100件一箱包裝出廠．某經(jīng)銷商購進(jìn)一批該產(chǎn)品分等級銷售，質(zhì)量指標(biāo)高于95的貼“一等品”標(biāo)簽，其余貼“二等品”標(biāo)簽，每件“二等品”的利潤是12元．(1)經(jīng)銷商在購進(jìn)的產(chǎn)品中任取一件，求該產(chǎn)品是“一等品”的概率；(2)從一箱產(chǎn)品中任取3件，需要貼“一等品”標(biāo)簽的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列；(3)已知一箱產(chǎn)品利潤的期望是1800元，求每件“一等品”的利潤．【變式1】（23-24高二下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知甲參加青年志愿者的選拔，選拔以現(xiàn)場答題的方式進(jìn)行．已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6道題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測試，設(shè)甲答對的試題數(shù)為X，則的概率為（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高二下·山東青島·期中）數(shù)學(xué)老師從6道題中隨機(jī)抽3道讓同學(xué)檢測，規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格．某同學(xué)只能正確求解其中的4道題，則該同學(xué)能及格的概率為（

）A． B． C． D．【變式3】（23-24高二下·新疆省直轄縣級單位·階段練習(xí)）一個(gè)班級共有30名學(xué)生，其中有10名女生，現(xiàn)從中任選三人代表班級參加學(xué)校開展的某項(xiàng)活動，假設(shè)選出的3名代表中的女生人數(shù)為變量，男生的人數(shù)為變量，則等于（

）A． B．C． D．【變式4】（23-24高二下·云南保山·階段練習(xí)）為深入學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，推動全市黨員干部群眾用好“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)平臺，某單位組織“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”知識競賽，競賽共有10道題目，隨機(jī)抽取3道讓參賽者回答，規(guī)定參賽者至少要答對其中2道才能通過初試.已知某參賽黨員甲只能答對其中的6道，那么黨員甲抽到能答對題目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.題型09正態(tài)分布解題錦囊解題錦囊1.正態(tài)分布若X～N(μ，σ2)，則EXμ，DXσ2，X的概率密度函數(shù)φu，σ(x)eq\f(1,σ\r(2π))eeq\s\up8(－eq\f(（x－μ）2,2σ2)).2.正態(tài)分布的概率求法（1）注意“3σ原則”的適用范圍．記住正態(tài)總體在三個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率．（2）注意數(shù)形結(jié)合．由于正態(tài)分布密度曲線具有完美的對稱性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想，因此運(yùn)用對稱性結(jié)合圖像解決某一區(qū)間內(nèi)的概率問題成為熱點(diǎn)問題．【典例1】（23-24高二下·四川德陽·期末）為弘揚(yáng)我國優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，某市教育局對全市所有中小學(xué)生進(jìn)行了“成語”聽寫測試，經(jīng)過大數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)本次聽寫測試成績服從正態(tài)分布．試根據(jù)正態(tài)分布的相關(guān)知識估計(jì)測試成績不小于90的學(xué)生所占的百分比為（

）參考數(shù)據(jù)：若，則，，．A． B． C． D．【變式1】（23-24高二下·河南安陽·期中）某次高三統(tǒng)考共有12000名學(xué)生參加，若本次考試的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，已知數(shù)學(xué)成績在70分到130分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次考試中數(shù)學(xué)成績不低于130分的學(xué)生人數(shù)約為（

）A．2400 B．1200 C．1000 D．800【變式2】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【變式3】（23-24高二下·上海金山·期末）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．題型10一元線性回歸方程解題錦囊解題錦囊對于線性回歸直線方程的應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面．(1)判斷兩個(gè)變量的關(guān)系，主要體現(xiàn)在分析兩個(gè)變量的相關(guān)性，畫出樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖或相關(guān)系數(shù)．確定兩變量具有線性相關(guān)關(guān)系，再求出線性回歸方程．(2)如果x，y的線性相關(guān)關(guān)系具有統(tǒng)計(jì)意義，就可以用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測和控制．預(yù)測是指對于x的取值范圍內(nèi)任一個(gè)x0，y取相應(yīng)值y0的估計(jì)；控制是指通過控制x的值把y的值控制在指定范圍內(nèi)．【典例1】市場監(jiān)管部門對某線下某實(shí)體店2023年前兩季度的月利潤情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到的數(shù)據(jù)如下：月份x123456凈利潤y（萬元）1.01.41.72.02.22.4(1)是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系？請用相關(guān)系數(shù)r加以說明；（參考：若時(shí)，則線性相關(guān)程度較高，，則線性相關(guān)程度一般，計(jì)算時(shí)精確度為0.01）(2)利用最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸方程；用樣本估計(jì)總體，請預(yù)估第9月份的利潤.附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率，.相關(guān)系數(shù).參考數(shù)據(jù)：，，，，，.【變式1】（24-25高二上·河南南陽·階段練習(xí)）某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用與銷售額的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用/萬元4235銷售額/萬元49263954根據(jù)上表可得線性回歸方程中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)測廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為（

）A．9.1萬元 B．9.2萬元C．67.7萬元 D．65.5萬元【變式2】（23-24高二下·河北·階段練習(xí)）由于人們健康意識的提升，運(yùn)動愛好者人群不斷擴(kuò)大，運(yùn)動相關(guān)行業(yè)得到快速發(fā)展.某運(yùn)動品牌專賣店從2019年至2023年的年銷售額如下表：年份20192020202120222023年份編號12345年銷售額/萬元3035458080(1)請根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求與的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測2024年該店的年銷售額.(2)該專賣店為了回饋廣大消費(fèi)者，推出了消費(fèi)抽獎返現(xiàn)活動，規(guī)則如下：凡一次性消費(fèi)滿700元可抽獎1次，滿1000元可抽獎2次.其中一次抽獎返現(xiàn)金額及概率如下表：返現(xiàn)金額70100概率已知一位消費(fèi)者一次性消費(fèi)滿700元的概率為，滿1000元的概率為，求這位消費(fèi)者抽獎返現(xiàn)金額的分布列與期望.附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，.【變式3】（23-24高二下·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）某品牌電腦專賣店的年銷售量與該年廣告費(fèi)用有關(guān)，如表收集了4組觀測數(shù)據(jù)：（萬元）1456（百臺）30408070以廣告費(fèi)用為解釋變量，銷售量為預(yù)報(bào)變量對這兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析．(1)已知這兩個(gè)變量呈線性相關(guān)關(guān)系，試建立與之間的回歸方程；(2)假如2017年該專賣店廣告費(fèi)用支出計(jì)劃為10萬元，根據(jù)你得到的模型，預(yù)測這一年的銷售量．參考公式：，．題型11非線性回歸方程解題錦囊解題錦囊建立非線性經(jīng)驗(yàn)回歸模型的基本步驟1.確定研究對象，明確哪個(gè)是解釋變量，哪個(gè)是響應(yīng)變量；2.由經(jīng)驗(yàn)確定非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的模型；3.通過變換（一般題目都有明顯的暗示如何換元，換元成什么變量），將非線性經(jīng)驗(yàn)回歸模型轉(zhuǎn)化為線性經(jīng)驗(yàn)回歸模型（特別注意：使用線性回歸方程的公式，注意代入變換后的變量）；4.按照公式計(jì)算經(jīng)驗(yàn)回歸方程中的參數(shù)，得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程；5.消去新元，得到非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程；【典例1】數(shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲，玩家需要根據(jù)盤面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行、每一列、每一個(gè)粗線宮（）內(nèi)的數(shù)字均含1～9，且不重復(fù)．?dāng)?shù)獨(dú)愛好者小明打算報(bào)名參加“絲路杯”全國數(shù)獨(dú)大賽初級組的比賽．參考數(shù)據(jù)：17700.370.55參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，?，，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，．(1)賽前小明進(jìn)行了一段時(shí)間的訓(xùn)練，每天解題的平均速度y（秒/題）與訓(xùn)練天數(shù)x（天）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：x（天）1234567y（秒/題）910800800440300240210現(xiàn)用作為回歸方程模型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程；（用分?jǐn)?shù)表示）(2)小明和小紅玩“對戰(zhàn)賽”，每局兩人同時(shí)開始解一道數(shù)獨(dú)題，先解出題的人獲勝，不存在平局，兩人約定先勝3局者贏得比賽．若小明每局獲勝的概率為，且各局之間相互獨(dú)立，設(shè)比賽X局后結(jié)束，求隨機(jī)變量X的分布列及均值．【變式1】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）某學(xué)校為了解校慶期間不同時(shí)段的校門人流量，從上午8點(diǎn)開始第一次反饋校門人流量，以后每過2小時(shí)反饋一次，共統(tǒng)計(jì)了前3次的數(shù)據(jù)，其中，2，3，為第i次人流量數(shù)據(jù)（單位：千人），由此得到y(tǒng)關(guān)于i的回歸方程.已知，根據(jù)回歸方程，可預(yù)測下午2點(diǎn)時(shí)校門人流量為（

）千人.參考數(shù)據(jù)：A．9.6 B．10.8 C．12 D．13.2【變式2】（23-24高二下·河南南陽·期中）某研發(fā)團(tuán)隊(duì)實(shí)現(xiàn)了從單點(diǎn)光譜儀到超光譜成像芯片的跨越.為制定下一年的研發(fā)投入計(jì)劃，該研發(fā)團(tuán)隊(duì)需要了解年研發(fā)資金投入量（單位：億元）對年銷售額（單位：億元）的影響.結(jié)合近12年的年研發(fā)資金投入量和年銷售額，該團(tuán)隊(duì)建立了兩個(gè)函數(shù)模型：①，②，其中均為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).經(jīng)對歷史數(shù)據(jù)的初步處理，得到散點(diǎn)圖如圖.令，計(jì)算得到如下數(shù)據(jù).

2066770200144804.2031270000.30821700(1)設(shè)變量和變量的樣本相關(guān)系數(shù)為，變量和變量的樣本相關(guān)系數(shù)為，請從樣本相關(guān)系數(shù)的角度，選擇一個(gè)與相關(guān)性較強(qiáng)的模型.(2)（i）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（ii）若下一年銷售額需達(dá)到80億元，預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量.附：；樣本相關(guān)系數(shù)；經(jīng)驗(yàn)回歸方程，其中.【變式3】（23-24高二下·寧夏銀川·階段練習(xí)）紅蜘蛛是柚子的主要害蟲之一，能對柚子樹造成嚴(yán)重傷害，每只紅蜘蛛的平均產(chǎn)卵數(shù)（個(gè)）和平均溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.參考數(shù)據(jù)177137142781.3(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個(gè)更適合作為平均產(chǎn)卵數(shù)（個(gè)）關(guān)于平均溫度（）的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)由（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程.（計(jì)算結(jié)果精確到0.1）附：回歸方程中題型12獨(dú)立性檢驗(yàn)解題錦囊解題錦囊獨(dú)立性檢驗(yàn)的兩個(gè)關(guān)鍵一是弄清問題中的兩個(gè)變量及其取值分別是什么，其次掌握2×2列聯(lián)表的結(jié)構(gòu)特征．二是利用2×2列聯(lián)表計(jì)算χ2的值，再結(jié)合常用的顯著性水平及對應(yīng)的分位數(shù)表來分析兩變量相關(guān)的可能性大小．【典例1】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）隨著冬天的臨近，哈爾濱這座冰雪之城，將再次成為旅游的熱門目的地.為更好地提升旅游品質(zhì)，我市文旅局隨機(jī)選擇名青年游客對哈爾濱出行體驗(yàn)進(jìn)行滿意度評分（滿分分），分及以上為良好等級，根據(jù)評分，制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求x的值并估計(jì)該評分的上四分位數(shù)；(2)若采用按比例分層抽樣的方法從評分在，的兩組中共抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行單獨(dú)交流，求選取的4人中評分等級為良好的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)為進(jìn)一步了解不同年齡段游客對哈爾濱出行體驗(yàn)的反饋，我市文旅局再次隨機(jī)選擇100名中老年游客進(jìn)行滿意度評分，發(fā)現(xiàn)兩次調(diào)查中評分為良好等級的人數(shù)為120名.請根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析游客的評分等級是否良好與年齡段（青年或中老年）是否有關(guān).附：，0.050.010.0013.8416.63510.828【變式1】（23-24高二下·天津?yàn)I海新·期末）現(xiàn)在，很多人都喜歡騎“共享單車”，但也有很多市民并不認(rèn)可．為了調(diào)查人們對這種交通方式的認(rèn)可度，某同學(xué)從交通擁堵嚴(yán)重的A城市和交通擁堵不嚴(yán)重的B城市分別隨機(jī)調(diào)查了20名市民，得到了一個(gè)市民是否認(rèn)可的樣本，具體數(shù)據(jù)如下列聯(lián)表：AB總計(jì)認(rèn)可15823不認(rèn)可51217總計(jì)2020400.100.050.0250.010.0052.7063.8415.0246.6357.879附：．根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，下列說法中，正確的是（

）A．沒有95%以上的把握認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”B．有97.5%以上的把握認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”C．可以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”D．可以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”【變式2】（23-24高二下·河北·階段練習(xí)）（多選）根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到.已知，依據(jù)0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則變量與不獨(dú)立B．若，則變量與獨(dú)立C．若，則變量與獨(dú)立D．若，則變量與不獨(dú)立【變式3】（23-24高二下·廣東中山·期末）某市舉行了首屆閱讀大會，為調(diào)查市民對閱讀大會的滿意度，相關(guān)部門隨機(jī)抽取男女市民各50名，每位市民對大會給出滿意或不滿意的評價(jià)，得到下面列聯(lián)表：滿意不滿意男市民女市民當(dāng)，時(shí)，若在的情況下，我們沒有充分的證據(jù)推斷男、女市民對大會的評價(jià)有差異，則的最小值為．附：，其中．【變式4】（23-24高二下·安徽安慶·期中）隨著全民運(yùn)動健康意識的提高，馬拉松運(yùn)動在全國各大城市逐漸興起，參與馬拉松訓(xùn)練與比賽的人數(shù)逐年增加，為此某市對人們參加馬拉松運(yùn)動的情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)調(diào)查，其中一項(xiàng)調(diào)查是調(diào)查人員從參與馬拉松運(yùn)動的人中隨機(jī)抽取200人，對其每周參與馬拉松長跑訓(xùn)練的天數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到以下統(tǒng)計(jì)表：平均每周進(jìn)行長跑訓(xùn)練天數(shù)不大于2天3天或4天不少于5天人數(shù)3013040若某人平均每周進(jìn)行長跑訓(xùn)練天數(shù)不少于5天，則稱其為“熱烈參與者”，否則稱為“非熱烈參與者”．附：（為樣本容量）a0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828(1)經(jīng)調(diào)查，該市約有3萬人參與馬拉松運(yùn)動，估計(jì)其中“熱烈參與者”的人數(shù)；(2)根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，填寫下列：列聯(lián)表，并通過計(jì)算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為“熱烈參與馬拉松”與性別有關(guān)？性別熱烈參與者非熱烈參與者合計(jì)男140女55合計(jì)題型13概率統(tǒng)計(jì)的綜合問題【典例1】（24-25高二上·黑龍江齊齊哈爾·期中）4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”．為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了700名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，得到了這700名學(xué)生的日平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），并將樣本數(shù)據(jù)分成0,2，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)從這700名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率；(2)為進(jìn)一步了解這700名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書閱讀時(shí)間的分配情況，從日平均閱讀時(shí)間在，，三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望和方差；(3)以樣本的頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，用表示這10名學(xué)生中恰有k名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率，其中，1，2，…，10．當(dāng)最大時(shí)，寫出k的值．（寫出證明）【變式1】（23-24高二下·江西南昌·階段練習(xí)）某中學(xué)舉辦學(xué)生體育技能測試，共有兩輪測試，第一輪是籃球定點(diǎn)投籃測試，每位學(xué)生投兩次籃，每次投籃若投中得2分，沒投中得0分；第二輪是四個(gè)人踢毽子，互相傳遞測試．(1)已知某位學(xué)生定點(diǎn)投籃投中的概率為，求該學(xué)生在第一輪得分的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四個(gè)人參加第二輪踢毽子互相傳遞測試，第一次由甲踢出，每次傳遞時(shí)，踢出者都等可能將毽子踢給另外三個(gè)人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳遞都能被接到.記第n次甲踢到毽子的概率為，則．①證明：數(shù)列為等比數(shù)列；②比較第k次與第次踢到毽子者是甲的可能性大?。咀兪?】（23-24高二下·北京海淀·期末）為了調(diào)研某地區(qū)學(xué)生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項(xiàng)活動的參與情況，在該地區(qū)隨機(jī)選取了10所學(xué)校進(jìn)行研究，得到如下數(shù)據(jù)：(1)從這10所學(xué)校中隨機(jī)選取1所，已知這所學(xué)校參與“自由式滑雪”人數(shù)超過40人，求該校參與“單板滑雪”超過30人的概率；(2)已知參與“自由式滑雪”人數(shù)超過40人的學(xué)校評定為“基地學(xué)?！?現(xiàn)在從這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所，設(shè)“基地學(xué)?！钡膫€(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)現(xiàn)在有一個(gè)“單板滑雪”集訓(xùn)營，對“滑行、轉(zhuǎn)彎、停止”這3個(gè)動作技巧進(jìn)行集訓(xùn)，并專門對這3個(gè)動作進(jìn)行了多輪測試.規(guī)定：在一輪測試中，這3個(gè)動作中至少有2個(gè)動作達(dá)到“優(yōu)秀”，則該輪測試記為“優(yōu)秀”.在此集訓(xùn)測試中，李華同學(xué)3個(gè)動作中每個(gè)動作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為，每個(gè)動作互不影響，每輪測試也互不影響.如果李華同學(xué)在集訓(xùn)測試中想獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)的均值達(dá)到5次，那么至少要進(jìn)行多少輪測試？（結(jié)果不要求證明）【變式3】（23-24高二下·浙江寧波·期中）2023年11月，寧波市余姚河姆渡遺址迎來發(fā)掘五十周年，為引導(dǎo)青少年了解河姆渡文化，某校組織全體學(xué)生參加河姆渡歷史文化知識競賽，現(xiàn)從中抽取100名學(xué)生的成績組成樣本，并將得分分成以下6組：40,50，，，，，，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示．(1)試估計(jì)這100名學(xué)生的眾數(shù)和中位數(shù)（保留一位小數(shù)）；(2)從樣本中得分不低于70分的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取11人進(jìn)行座談，若從座談名單中隨機(jī)抽取3人，記得分在的人數(shù)為X，試求X的分布列和均值：(3)以樣本估計(jì)總體，根據(jù)頻率分布直方圖，可以認(rèn)為參加知識競賽的學(xué)生得分X近似服從正態(tài)分布，經(jīng)計(jì)算．若，參賽學(xué)生可獲得“參賽紀(jì)念證書”：若，參賽學(xué)生可獲得“參賽先鋒證書”．已知該校共800名學(xué)生參加本次文化競賽活動，試估計(jì)獲得“參賽紀(jì)念證書”的學(xué)生人數(shù)，并判斷競賽成績?yōu)?0分的學(xué)生能否獲得“參賽先鋒證書”．附：若，則，，；【變式4】（23-24高二下·重慶九龍坡·期中）某健身館為預(yù)估2024年2月份客戶投入的健身消費(fèi)金額，隨機(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)了2024年1月份100名客戶的消費(fèi)金額，分組如下：，，，…，（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖：(1)若消費(fèi)金額不少于800元的客戶稱為健身衛(wèi)士，不少于1000元的客戶稱為健身達(dá)人，現(xiàn)利用分層隨機(jī)抽樣的方法從健身衛(wèi)士中抽取6人，再從這6人中抽取2人做進(jìn)一步調(diào)查，求抽到的2人中至少1人為健身達(dá)人的概率；(2)為吸引顧客，在健身項(xiàng)目之外，該健身館特推出健身配套營養(yǎng)品的銷售，現(xiàn)有兩種促銷方案.方案一：每滿800元可立減100元；方案二：金額超過800元可抽獎三次，每次中獎的概率為，且每次抽獎互不影響，中獎1次打9折，中獎2次打8折，中獎3次打7折.若某人打算購買1000元的營養(yǎng)品，請您幫他分析應(yīng)該選擇哪種促銷方案.第四章概率與統(tǒng)計(jì)章末題型大總結(jié)題型01條件概率、乘法公式及全概率公式解題錦囊解題錦囊1．求條件概率的主要方法(1)利用條件概率公式P(B|A)eq\f(PA∩B,PA)；(2)針對古典概型，可通過縮減基本事件總數(shù)求解．2．應(yīng)用乘法公式的注意點(diǎn)在利用乘法公式解決實(shí)際問題時(shí)，要注意區(qū)分P(B|A)和P(A|B)的不同，P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率；而P(A|B)則表示在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率．【典例1】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）秋冬季節(jié)是某呼吸道疾病的高發(fā)期，為了解該疾病的發(fā)病情況，疾控部門對該地區(qū)居民進(jìn)行普查化驗(yàn)，化驗(yàn)結(jié)果陽性率為，但統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果顯示患病率為，醫(yī)學(xué)研究表明化驗(yàn)結(jié)果是有可能存在誤差的，沒有患該疾病的居民其化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的概率為，則該地區(qū)患有該疾病的居民化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由全概率公式和條件概率公式計(jì)算即得.【詳解】設(shè)事件為“患有此病”，為“化驗(yàn)結(jié)果呈陽性”，由題意，，則該地區(qū)患有該疾病的居民化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的概率為.由全概率公式，，代入數(shù)值可得：解得：.【變式1】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)0出發(fā)，每隔一秒隨機(jī)等可能地向左或向右移動一個(gè)單位，共移動4次，在質(zhì)點(diǎn)第一秒位于1的位置的條件下，該質(zhì)點(diǎn)共經(jīng)過兩次2的位置的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合條件概率與獨(dú)立事件的乘法公式，即可求解．【詳解】質(zhì)點(diǎn)移動4次，共有種情況，設(shè)質(zhì)點(diǎn)第一秒位于1的位置為事件為，則，記質(zhì)點(diǎn)兩次經(jīng)過質(zhì)點(diǎn)2為事件，若第一步位于1，則還有3步，想要經(jīng)過質(zhì)點(diǎn)2兩次，則有，兩種情況，所以，則．．【變式2】（23-24高二下·浙江寧波·期中）已知甲、乙兩個(gè)袋子各裝有10個(gè)球，其中甲袋子中裝有4個(gè)黑球、3個(gè)白球和3個(gè)紅球，乙袋子中裝有3個(gè)黑球、2個(gè)白球和5個(gè)紅球.規(guī)定拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若正面朝上，則從甲袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球：若反面朝上，則從乙袋子中隨機(jī)換出一個(gè)球，下列概率中等于的為（

）A．摸到黑球 B．摸到紅球C．在拋出的硬幣正面朝上的條件下，摸到白球 D．在拋出的硬幣反面朝上的條件下，摸到紅球【答案】C【分析】對于AB，由全概率公式即可直接計(jì)算選項(xiàng)A中摸到黑球的概率和選項(xiàng)B中摸到紅球的概率，進(jìn)而即可判斷AB；對于CD，由條件概率定義即可直接得選項(xiàng)C和D相應(yīng)的概率，進(jìn)而即可判斷CD.【詳解】對于A，由全概率公式得摸到黑球的概率為，故A錯誤；對于B，由全概率公式得摸到紅球的概率為，故B正確；對于C，在拋出的硬幣正面朝上的條件下，摸到白球的概率為，故C錯誤；對于D，在拋出的硬幣反面朝上的條件下，摸到紅球，故D錯誤..【變式3】（23-24高二下·重慶九龍坡·期中）在某次流感疫情爆發(fā)期間，A，B，C三個(gè)地區(qū)均爆發(fā)了流感，經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)A，B，C地區(qū)分別有的人患過流感，且A，B，C三個(gè)地區(qū)的人數(shù)的比為．現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中隨機(jī)選取一人，則此人患過流感的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】記事件D：選取的這個(gè)人患了流感，記事件E：此人來自A地區(qū)，記事件F：此人來自B地區(qū)，記事件G：此人來自C地區(qū)，則，且彼此互斥，然后根據(jù)條件依次得到、、、、、的值，然后根據(jù)全概率公式公式求解即可.【詳解】記事件D：選取的這個(gè)人患了流感，記事件E：此人來自A地區(qū)，記事件F：此人來自B地區(qū)，記事件G：此人來自C地區(qū)，則，且彼此互斥，由題意可得，，，，，，由全概率公式可得..【變式4】（23-24高二下·內(nèi)蒙古通遼·階段練習(xí)）某廠生產(chǎn)螺口燈泡和卡口燈泡兩種燈泡，其中螺口燈泡的產(chǎn)量占70%，螺口燈泡的合格率是95%，卡口燈泡的合格率是85%.現(xiàn)隨機(jī)取一只燈泡，發(fā)現(xiàn)是合格的，這只燈泡是螺口燈泡的概率約為（

）A．0.665 B．0.723 C．0.7 D．0.737【答案】C【分析】利用全概率公式及條件概率公式計(jì)算即得.【詳解】令事件“螺口燈泡”，“卡口燈泡”，“合格的”，，則，因此，所以隨機(jī)取一只燈泡，發(fā)現(xiàn)是合格的，這只燈泡是螺口燈泡的概率約為0.723.題型02相互獨(dú)立事件的概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率解題錦囊解題錦囊1.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率需注意的三個(gè)問題(1)“P(AB)P(A)P(B)”是判斷事件是否相互獨(dú)立的充要條件，也是解答相互獨(dú)立事件概率問題的唯一工具.(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率問題，務(wù)必分清事件間的相互關(guān)系.(3)公式“P(A＋B)1－P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))”常應(yīng)用于求相互獨(dú)立事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率.2.在解決概率問題時(shí)，一定要根據(jù)有關(guān)概念判斷是互斥事件、相互獨(dú)立事件，條件概率等，用基本事件表示較復(fù)雜的事件，選擇正確的計(jì)算方法，同時(shí)要注意幾種事件的綜合問題，需全面考慮.【典例1】（24-25高二上·四川眉山·階段練習(xí)）某人有兩把雨傘用于上下班，如果一天上班時(shí)他也在家而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把去辦公室，如果一天下班時(shí)他也在辦公室而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不帶雨傘.假設(shè)每天上班和下班時(shí)下雨的概率均為，不下雨的概率均為，且與過去情況相互獨(dú)立.現(xiàn)在兩把雨傘均在家里，那么連續(xù)上班兩天，他至少有一天淋雨的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】計(jì)算對立事件的概率，從下雨次數(shù)入手，分類討論計(jì)算兩天都不淋雨的概率，即可得至少有一天淋雨的概率.【詳解】解：“至少有一天淋雨”的對立事件為“兩天都不淋雨”，連續(xù)上兩天班，上班、下班的次數(shù)共有4次.(1)4次均不下雨，概率為：；(2)有1次下雨但不淋雨，則第一天或第二天上班時(shí)下雨，概率為：；(3)有2次下雨但不淋雨，共3種情況：①同一天上下班均下雨；②兩天上班時(shí)下雨，下班時(shí)不下雨；③第一天上班時(shí)下雨，下班時(shí)不下雨，第二天上班時(shí)不下雨，下班時(shí)下雨；概率為：；(4)有3次下雨但不被淋雨，則第一天或第二天下班時(shí)不下雨，概率為：；(5)4次均下雨，概率為：；兩天都不淋雨的概率為：，所以至少有一天淋雨的概率為：..【變式1】（24-25高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）投籃測試中，每人投2次，至少投中1次才能通過測試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測試的概率為（

）A．0.24 B．0.48 C．0.84 D．0.94【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用對立事件及相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即得.【詳解】依題意，該同學(xué)兩次投籃都不中的概率為，所以該同學(xué)通過測試的概率為.【變式2】（24-25高二上·湖北鄂州·期中）“五道方”是一種民間棋類游戲，甲，乙兩人進(jìn)行“五道方”比賽，約定連勝兩場者贏得比賽.若每場比賽，甲勝的概率為，乙勝的概率為，則比賽6場后甲贏得比賽的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求解.【詳解】因?yàn)榧s定連勝兩場者贏得比賽，所以比賽6場后甲贏得比賽的情況為：第一場甲勝，第二場乙勝，第三場甲勝，第四場乙勝，第五場甲勝，第六場甲勝，所以所求概率為..【變式3】（24-25高二上·湖北武漢·期中）概率論起源于博弈游戲17世紀(jì)，曾有一個(gè)“賭金分配”的問題：博弈水平相當(dāng)?shù)募住⒁覂扇诉M(jìn)行博弈游戲，每局比賽都能分出勝負(fù)，沒有平局．雙方約定：各出賭金210枚金幣，先贏3局者可獲得全部贖金．但比賽中途因故終止了，此時(shí)甲贏了2局，乙贏了1局，問這420枚金幣的賭金該如何分配？數(shù)學(xué)家費(fèi)馬和帕斯卡都用了現(xiàn)在稱之為“概率”的知識，合理地給出了賭金分配方案．該分配方案是（

）A．甲315枚，乙105枚 B．甲280枚，乙140枚C．甲210枚，乙210枚 D．甲336枚，乙84枚【答案】A【分析】根據(jù)題意，求得甲乙獲勝的概率均為，且游戲最多再進(jìn)行2局即可分出勝負(fù)，求得甲獲勝的概率，進(jìn)而得到答案.【詳解】由題可知，對單獨(dú)每一局游戲，甲乙獲勝的概率均為，若游戲繼續(xù)進(jìn)行，最多再進(jìn)行2局即可分出勝負(fù)，①第四局甲贏，比賽結(jié)束，甲勝出，概率為；②第四局乙贏，第五局甲贏，比賽結(jié)束，甲勝出，概率為；③第四局乙贏，第五局乙贏，比賽結(jié)束，乙勝出，概率為；所以甲勝出的概率為，甲應(yīng)該分得賭金的，即甲分得賭金枚，乙分得賭金枚..【變式4】（23-24高二下·貴州·期中）高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形鐵釘，并且每一-排鐵釘數(shù)目都比上一排多一個(gè)，一排中各個(gè)鐵釘恰好對準(zhǔn)上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼醒耄畯娜肟谔幏湃胍粋€(gè)直徑略小于兩顆鐵釘間隔的小球，當(dāng)小球從兩釘之間的間隙下落時(shí)，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過兩鐵釘?shù)拈g隙，又碰到下一排鐵釘如此繼續(xù)下去，在最底層的5個(gè)出口處各放置一個(gè)容器接住小球．理論上，小球落入2號容器的概率是多少（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可知，若要小球落入2號容器，則需要在通過的四層中有三層向左，一層向右，再利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求解．【詳解】設(shè)事件表示“小球落入2號容器”，若要小球落入2號容器，則需要在通過的四層中有三層向左，一層向右，所以．．題型03隨機(jī)變量分布列及性質(zhì)解題錦囊解題錦囊分布列的兩個(gè)性質(zhì)①pi≥0，i1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn1.【典例1】（23-24高二下·廣西玉林·期末）隨機(jī)變量Y的分布列為下表所示，若Y的期望值為1，則：（

）02A． B．C． D．【答案】A【分析】由分布列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)期望的計(jì)算求解即可.【詳解】由分布列的性質(zhì)可知，，故A正確；因?yàn)閅的期望值為1，所以，所以C錯.若，不滿足分布列性質(zhì)，B錯，由上，有，顯然D錯.【變式1】（23-24高二下·遼寧沈陽·期中）隨機(jī)變量的分布列如下（為常數(shù)）：0120.3則（

）A．0.6 B．0.7 C．0.9 D．1.2【答案】D【分析】根據(jù)給定分布列求出，再利用互斥事件的概率公式計(jì)算即得.【詳解】依題意，，解得，所以.【變式2】（23-24高二下·河北滄州·期末）設(shè)隨機(jī)變量的分布列，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)，概率之和為１可求出參數(shù).計(jì)算概率之和時(shí)用數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，進(jìn)而求出.【詳解】.則..【變式3】（23-24高二下·福建莆田·期末）隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，其分布列如下則（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】根據(jù)條件，利用分步列的性質(zhì)建立方程，即可求出結(jié)果.【詳解】由題知，，解得或，又，所以，.題型04隨機(jī)變量的期望與方差解題錦囊解題錦囊離散型隨機(jī)變量的期望和方差是隨機(jī)變量中兩種最重要的特征數(shù)，它們反映了隨機(jī)變量取值的平均值及其穩(wěn)定性．期望與方差在實(shí)際問題中有廣泛的應(yīng)用，是高考的熱點(diǎn)．解決均值、方差的應(yīng)用時(shí)，先要將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，然后求出隨機(jī)變量的概率分布列．對于一般類型的隨機(jī)變量，應(yīng)先求其分布列，再代入公式計(jì)算，此時(shí)解題的關(guān)鍵是概率的計(jì)算．計(jì)算概率時(shí)要結(jié)合事件的特點(diǎn)，靈活地結(jié)合排列組合、古典概型、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率、互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率等知識求解．【典例1】（24-25高二上·湖南岳陽·期中）不透明的盒中有四個(gè)除所標(biāo)數(shù)字外均相同的球，它們分別標(biāo)有數(shù)字，，，，現(xiàn)從中隨機(jī)取個(gè)球．(1)求取到個(gè)標(biāo)有數(shù)字的球的概率；(2)設(shè)為取出的個(gè)球上的數(shù)字之和，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析；期望為【分析】（1）根據(jù)滿足要求的情況數(shù)除以總的情況數(shù)得到結(jié)果；（2）先分析的可取值，然后計(jì)算出對應(yīng)概率，由此可知分布列并可計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）抽到個(gè)標(biāo)有數(shù)字的球的可能情況共有種，從個(gè)球中任取個(gè)共有種取法，∴取到個(gè)標(biāo)有數(shù)字的球的概率．（2）的所有可能取值為，，，，，，，，所以的分布列為：∴．【變式1】（23-24高二下·青?！て谀┮阎唤M數(shù)據(jù)1，2，2，5，5，6的第80百分位數(shù)為，隨機(jī)變量X的分布列為2m140.30.60.1（

）A．5 B．6 C．9.8 D．10.8【答案】A【分析】先求的值，再求的期望與方差.【詳解】∵，∴，∴，∴【變式2】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）高考數(shù)學(xué)試題第二部分為多選題，共個(gè)小題，每小題有個(gè)選項(xiàng)，其中有個(gè)或個(gè)是正確選項(xiàng)，全部選對得分，部分選對得部分分，有選錯的得分.若正確答案是個(gè)選項(xiàng)，只選對個(gè)得分，有選錯的得分；若正確答案是個(gè)選項(xiàng)，只選對個(gè)得分，只選對個(gè)得分，有選錯的得分.小明對其中的一道題完全不會，該題有兩個(gè)正確選項(xiàng)的概率是，記為小明隨機(jī)選擇個(gè)選項(xiàng)的得分，記為小明隨機(jī)選擇個(gè)選項(xiàng)的得分，則（

）A． B．C． D．【答案】CCD【分析】分別計(jì)算出和的分布列，然后逐項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可求得.【詳解】由題意，，若該題有兩個(gè)正確選項(xiàng)，則小明從兩個(gè)錯誤選項(xiàng)中選擇個(gè)；若該題有個(gè)正確選項(xiàng)，則小明從個(gè)錯誤選項(xiàng)中選擇個(gè)，概率為：；，該題有個(gè)正確選項(xiàng)，則小明從個(gè)正確選項(xiàng)中選擇個(gè)，概率為：；，該題有個(gè)正確選項(xiàng)，則小明從個(gè)正確選項(xiàng)中選擇個(gè)，概率為：；，若該題有兩個(gè)正確選項(xiàng)，則小明從兩個(gè)錯誤選項(xiàng)中選擇個(gè)或選擇個(gè)錯誤選項(xiàng)；若該題有個(gè)正確選項(xiàng)，則小明從個(gè)錯誤選項(xiàng)中選擇個(gè)，再從個(gè)正確選項(xiàng)中選一個(gè)，概率為：；，該題有個(gè)正確選項(xiàng)，則小明從個(gè)正確選項(xiàng)中選擇個(gè)，概率為：；，該題有個(gè)正確選項(xiàng)，則小明從個(gè)正確選項(xiàng)中選擇個(gè)，概率為：；對于A選項(xiàng)，，A錯誤；對于B選項(xiàng)，；；所以，B正確；對于C選項(xiàng)，，，C正確；對于D選項(xiàng)，，D正確.CD.【變式3】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）某志愿者社團(tuán)計(jì)劃在周一和周二兩天各舉行一次活動，分別由甲、乙兩人負(fù)責(zé)活動通知，已知該社團(tuán)共有n位同學(xué)，每次活動均需k位同學(xué)參加.假設(shè)甲和乙分別將各自活動通知的信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給該社團(tuán)k位同學(xué)，且所發(fā)信息都能收到.(1)當(dāng)，時(shí)，求該社團(tuán)只有小明同學(xué)同時(shí)收到甲、乙兩人所發(fā)活動通知信息的概率；(2)記至少收到一個(gè)活動通知信息的同學(xué)人數(shù)為X①設(shè)，，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；②求使取得最大值的整數(shù)m.【答案】(1)；(2)①分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為；②答案見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用古典概率，結(jié)合事件的獨(dú)立性及組合計(jì)數(shù)問題列式求解.（2）①求出的可能取值及對應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望；②按和分類求出的表達(dá)式，再建立不等式求出對應(yīng)的整數(shù).【詳解】（1）設(shè)事件“該社團(tuán)只有小明同學(xué)同時(shí)收到甲、乙兩人所發(fā)活動通知信息”，所以.（2）①的可能取值為2，3，4，，所以的分布列為：234數(shù)學(xué)期望.②當(dāng)時(shí)，只能取，此時(shí)有；當(dāng)時(shí)，整數(shù)滿足，其中是和中的較小者，由甲和乙各自獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)送活動信息給k位同學(xué)，得所包含的基本事件總數(shù)為，當(dāng)時(shí)，同時(shí)收到甲乙兩人所發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)為，僅收到李老師或張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)為，由分步乘法原理知，事件所包含的基本事件數(shù)為，，當(dāng)時(shí)，，，因此取得最大值時(shí)，滿足，假如不成立，則當(dāng)能被整除時(shí)，在和處達(dá)到最大；當(dāng)不能被整除時(shí)，在處達(dá)到最大值（表示不超過的最大整數(shù)），下面證明：由，得，，則，顯然，因此.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求使取得最大值的值，關(guān)鍵是求出的表達(dá)式，再利用最大概率問題求解.題型05期望與方差的性質(zhì)解題錦囊解題錦囊均值、方差的性質(zhì)(1)若ηaξ＋b(a，b是常數(shù))，ξ是隨機(jī)變量，則η也是隨機(jī)變量，且E(η)E(aξ＋b)aE(ξ)＋b.(2)D(aξ＋b)a2D(ξ).【典例1】（23-24高二下·四川遂寧·階段練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為012340.10.40.20.2若離散型隨機(jī)變量滿足，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．，C．， D．，【答案】C【分析】選項(xiàng)A，利用分布列的性質(zhì)，即可求解；利用期望和方差的計(jì)算公式，即可判斷出選項(xiàng)B和C的正誤；選項(xiàng)D，利用期望和方差的性質(zhì)，即可求解.【詳解】對于選項(xiàng)A，因?yàn)椋獾?，所以選項(xiàng)A正確，又，，所以選項(xiàng)B錯誤，選項(xiàng)C正確，對于選項(xiàng)D，因?yàn)椋?，，所以選項(xiàng)D正確，.【變式1】（23-24高二下·新疆·期中）已知，，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的均值、方差的性質(zhì)即可求解.【詳解】由，得，A正確．由，得，C正確．C.【變式2】（23-24高二下·新疆·期中）已知隨機(jī)變量的概率分布如表則（）124A．1 B． C．11 D．15【答案】A【分析】由概率和為可得，再結(jié)合期望的計(jì)算公式與期望的性質(zhì)計(jì)算即可得解.【詳解】依題意，，解得，則，所以.【變式3】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）（多選）某中學(xué)組織了足球射門比賽．規(guī)定每名同學(xué)有5次射門機(jī)會，踢進(jìn)一球得8分，沒踢進(jìn)得分．小明參加比賽且沒有放棄任何一次射門機(jī)會，每次踢進(jìn)的概率為，每次射門相互獨(dú)立．記X為小明的得分總和，為小明踢進(jìn)球的次數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】AB選項(xiàng)，由二項(xiàng)分布知識即可判斷選項(xiàng)正誤；分析可知，由題可得對應(yīng)概率即可判斷C；根據(jù)期望的性質(zhì)分析判斷D.【詳解】AB選項(xiàng)，由題可得.則，，故AB正確；CD選項(xiàng)，因?yàn)?，則，故C錯誤；則，故D正確.BD.【變式4】（2024高二·全國·專題練習(xí)）（多選）如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)，每隔等可能地向左或向右移動一個(gè)單位.設(shè)移動次后質(zhì)點(diǎn)位于位置，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．移動次后質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)的概率最大【答案】ABD【分析】設(shè)隨機(jī)變量表示“移動次后質(zhì)點(diǎn)向右移動的次數(shù)”，則，，根據(jù)二項(xiàng)分布的相關(guān)知識逐一判斷即可求解.【詳解】設(shè)隨機(jī)變量表示“移動次后質(zhì)點(diǎn)向右移動的次數(shù)”，則，由題意知，即.對于A：，A正確；對于B：，B正確；對于C：，C錯誤；對于D：的所有可能取值有，，，當(dāng)時(shí)，最大，最大，D正確.BD.題型06兩點(diǎn)分布解題錦囊解題錦囊兩點(diǎn)分布：是很簡單的一種概率分布，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果只有兩種可能，且概率和為1；兩點(diǎn)分布列又稱分布列或佰努利分布列；兩點(diǎn)分布能清晰的反映出事件的正反兩面.兩點(diǎn)分布的應(yīng)用十分廣泛，如抽取的彩票是否中獎，買回的意見產(chǎn)品是否為正品，新生兒的鑒定，投籃是否命中等.【典例1】已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，設(shè)，那么（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6【答案】A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布得基本性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，即，解得，又因?yàn)殡S機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，所以..【變式1】已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且.設(shè)，那么等于（

）A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4【答案】A【分析】根據(jù)變量間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為，由兩點(diǎn)分步求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，由，所以.【變式2】已知離散型隨機(jī)變量的分布列服從兩點(diǎn)分布，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布得，與條件聯(lián)立解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈姆植剂蟹膬牲c(diǎn)分布，所以，又，所以，所以，所以..【變式3】隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，令，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布的性質(zhì)求出，則.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，所以，由，所以.題型07二項(xiàng)分布解題錦囊解題錦囊二項(xiàng)分布若ξ～B(n，p)，則Eξnp，Dξnp(1－p)．根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求二項(xiàng)分布的有關(guān)問題時(shí)，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)n和變量的概率，求得概率．【典例1】（23-24高二下·山東泰安·期末）若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，；隨機(jī)變量Y服從二項(xiàng)分布，且，則下列結(jié)果正確的有（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望與方差公式判斷AB，根據(jù)二項(xiàng)分布求概率可判斷CD.【詳解】由，可知，，故A錯誤；，故B錯誤；，故C正確；，故D錯誤.【變式1】【變式4】（23-24高二下·河南商丘·期末）設(shè)隨機(jī)變量，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)二項(xiàng)分布方差的計(jì)算公式求，再根據(jù)求解.【詳解】由題意知，，解得，所以.【變式2】（23-24高二下·吉林白山·期末）已知隨機(jī)變量，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】由二項(xiàng)分布的概念，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的對稱性即可求解.【詳解】由題得，由題知在中，最大值只有，即在中，最大值只有，由二項(xiàng)式系數(shù)的對稱性可知.故選：.【變式3】（23-24高二下·北京海淀·期末）小明投籃3次，每次投中的概率為，且每次投籃互不影響，若投中一次得2分，沒投中得0分，總得分為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意隨機(jī)變量投中次數(shù)服從二項(xiàng)分布，再由變量間的函數(shù)關(guān)系與二項(xiàng)分布的期望、方差公式可求.【詳解】設(shè)小明投中次數(shù)為，則由題意可知，則，，因?yàn)橥吨幸淮蔚?分，沒投中得0分，所以，則，..【變式4】（23-24高二下·四川綿陽·期末）某市政道路兩旁需要進(jìn)行綠化，計(jì)劃從甲，乙，丙三種樹木中選擇一種進(jìn)行栽種，通過民意調(diào)查顯示，贊成栽種乙樹木的概率為，若從該地市民中隨機(jī)選取4人進(jìn)行訪談，則至少有3人建議栽種乙樹木的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用二項(xiàng)分布知識求解即可【詳解】贊成栽種乙樹木的人數(shù)設(shè)為X，則.根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式知道至少有3人建議栽種乙樹木的概率為..題型08超幾何分布解題錦囊解題錦囊超幾何分布若ξ～H(N，n，M)則Eξeq\f(nM,N)，DξEξ·eq\f(（N－M）（N－n）,N（N－1）).對超幾何分布的三點(diǎn)說明（1）超幾何分布的模型是不放回抽樣．（2）超幾何分布中的參數(shù)是M，N，n.（3）超幾何分布可解決產(chǎn)品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、學(xué)生中的男和女等問題，往往由具有明顯差異的兩部分組成．【典例1】（23-24高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）廠家生產(chǎn)一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，其中不低于85的為合格品．已知合格率為80%，廠家將合格品按100件一箱包裝出廠．某經(jīng)銷商購進(jìn)一批該產(chǎn)品分等級銷售，質(zhì)量指標(biāo)高于95的貼“一等品”標(biāo)簽，其余貼“二等品”標(biāo)簽，每件“二等品”的利潤是12元．(1)經(jīng)銷商在購進(jìn)的產(chǎn)品中任取一件，求該產(chǎn)品是“一等品”的概率；(2)從一箱產(chǎn)品中任取3件，需要貼“一等品”標(biāo)簽的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列；(3)已知一箱產(chǎn)品利潤的期望是1800元，求每件“一等品”的利潤．【答案】(1)0.2(2)答案見解析(3)42元【分析】（1）由正太分布曲線的對稱性即可求解；（2）的所有可能取值為，由超幾何分布的概率公式即可求解；（3）由二項(xiàng)分布的均值公式即可列方程求解.【詳解】（1）由題意該產(chǎn)品是“一等品”即，而服從正態(tài)分布，且，，所以；（2）一箱產(chǎn)品中“一等品”的件數(shù)約為，其余80件為“二等品”，由題意的所有可能取值為，所以，，所以X的分布列為：0123（3）設(shè)每件“一等品”的利潤為元，而每件“二等品”的利潤是12元，每箱中“一等品”所占的比例為0.2，每箱中“一等品”、“二等品”所獲利潤分別服從二項(xiàng)分布：，則，解得，所以每件“一等品”的利潤為42元.【變式1】（23-24高二下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知甲參加青年志愿者的選拔，選拔以現(xiàn)場答題的方式進(jìn)行．已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6道題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測試，設(shè)甲答對的試題數(shù)為X，則的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可知：隨機(jī)抽出3道題有2題答對，1題打錯，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：表示答對2題，即隨機(jī)抽出3道題有2題答對，1題打錯，所以..【變式2】（23-24高二下·山東青島·期中）數(shù)學(xué)老師從6道題中隨機(jī)抽3道讓同學(xué)檢測，規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格．某同學(xué)只能正確求解其中的4道題，則該同學(xué)能及格的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用超幾何分布的概率公式計(jì)算即可.【詳解】由題意知抽取3道題該同學(xué)不及格的情況只有：只對一道題一種情況，則只答對一道題的概率為，所以該同學(xué)及格的概率為.【變式3】（23-24高二下·新疆省直轄縣級單位·階段練習(xí)）一個(gè)班級共有30名學(xué)生，其中有10名女生，現(xiàn)從中任選三人代表班級參加學(xué)校開展的某項(xiàng)活動，假設(shè)選出的3名代表中的女生人數(shù)為變量，男生的人數(shù)為變量，則等于（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意結(jié)合超幾何分布運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)椋?.【變式4】（23-24高二下·云南保山·階段練習(xí)）為深入學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，推動全市黨員干部群眾用好“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)平臺，某單位組織“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”知識競賽，競賽共有10道題目，隨機(jī)抽取3道讓參賽者回答，規(guī)定參賽者至少要答對其中2道才能通過初試.已知某參賽黨員甲只能答對其中的6道，那么黨員甲抽到能答對題目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.【答案】【分析】分析題意，確定的所有可能的值，運(yùn)用超幾何分布的概率公式求得它們的概率，列出分布列表，計(jì)算其均值即得.【詳解】由題意可得則，，可得的分布列為：0123期望.故答案為：.題型09正態(tài)分布解題錦囊解題錦囊1.正態(tài)分布若X～N(μ，σ2)，則EXμ，DXσ2，X的概率密度函數(shù)φu，σ(x)eq\f(1,σ\r(2π))eeq\s\up8(－eq\f(（x－μ）2,2σ2)).2.正態(tài)分布的概率求法（1）注意“3σ原則”的適用范圍．記住正態(tài)總體在三個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率．（2）注意數(shù)形結(jié)合．由于正態(tài)分布密度曲線具有完美的對稱性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想，因此運(yùn)用對稱性結(jié)合圖像解決某一區(qū)間內(nèi)的概率問題成為熱點(diǎn)問題．【典例1】（23-24高二下·四川德陽·期末）為弘揚(yáng)我國優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，某市教育局對全市所有中小學(xué)生進(jìn)行了“成語”聽寫測試，經(jīng)過大數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)本次聽寫測試成績服從正態(tài)分布．試根據(jù)正態(tài)分布的相關(guān)知識估計(jì)測試成績不小于90的學(xué)生所占的百分比為（

）參考數(shù)據(jù)：若，則，，．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求得正確答案.【詳解】依題意，所以測試成績不小于90的學(xué)生所占的百分比為..【變式1】（23-24高二下·河南安陽·期中）某次高三統(tǒng)考共有12000名學(xué)生參加，若本次考試的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，已知數(shù)學(xué)成績在70分到130分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次考試中數(shù)學(xué)成績不低于130分的學(xué)生人數(shù)約為（

）A．2400 B．1200 C．1000 D．800【答案】C【分析】利用正態(tài)分布的對稱性求出即可計(jì)算得解.【詳解】依題意，，，因此，所以此次考試中數(shù)學(xué)成績不低于130分的學(xué)生人數(shù)約為.【變式2】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【答案】C【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可求解.【詳解】由于服從正態(tài)分布，則，故.【變式3】（23-24高二下·上海金山·期末）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對稱性求解即可.【詳解】由正態(tài)分布的對稱性知，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.題型10一元線性回歸方程解題錦囊解題錦囊對于線性回歸直線方程的應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面．(1)判斷兩個(gè)變量的關(guān)系，主要體現(xiàn)在分析兩個(gè)變量的相關(guān)性，畫出樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖或相關(guān)系數(shù)．確定兩變量具有線性相關(guān)關(guān)系，再求出線性回歸方程．(2)如果x，y的線性相關(guān)關(guān)系具有統(tǒng)計(jì)意義，就可以用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測和控制．預(yù)測是指對于x的取值范圍內(nèi)任一個(gè)x0，y取相應(yīng)值y0的估計(jì)；控制是指通過控制x的值把y的值控制在指定范圍內(nèi)．【典例1】市場監(jiān)管部門對某線下某實(shí)體店2023年前兩季度的月利潤情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到的數(shù)據(jù)如下：月份x123456凈利潤y（萬元）1.01.41.72.02.22.4(1)是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系？請用相關(guān)系數(shù)r加以說明；（參考：若時(shí)，則線性相關(guān)程度較高，，則線性相關(guān)程度一般，計(jì)算時(shí)精確度為0.01）(2)利用最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸方程；用樣本估計(jì)總體，請預(yù)估第9月份的利潤.附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率，.相關(guān)系數(shù).參考數(shù)據(jù)：，，，，，.【答案】(1)可以，理由見解析(2)，3.32萬元【分析】（1）計(jì)算出相關(guān)數(shù)據(jù)，利用相關(guān)系數(shù)公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)線性回歸方程公式計(jì)算即可.【詳解】（1）由條件則，，.根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式則.因此可以用線性回歸模型擬合x與y的關(guān)系.（2）根據(jù)（1）則變量x，y線性相關(guān)，設(shè)所求的線性回歸方程為.根據(jù)回歸方程的回歸系數(shù)公式則.又因?yàn)?從而可得變量x，y線性回歸方程為當(dāng)時(shí)，因此預(yù)測9月份的利潤為3.32萬元.【變式1】（24-25高二上·河南南陽·階段練習(xí)）某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用與銷售額的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用/萬元4235銷售額/萬元49263954根據(jù)上表可得線性回歸方程中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)測廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為（

）A．9.1萬元 B．9.2萬元C．67.7萬元 D．65.5萬元【答案】A【分析】線性回歸方程一定過樣本中心，得到線性回歸方程，然后帶值求結(jié)果.【詳解】，，∵線性歸回方程經(jīng)過樣本中心，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，.【變式2】（23-24高二下·河北·階段練習(xí)）由于人們健康意識的提升，運(yùn)動愛好者人群不斷擴(kuò)大，運(yùn)動相關(guān)行業(yè)得到快速發(fā)展.某運(yùn)動品牌專賣店從2019年至2023年的年銷售額如下表：年份20192020202120222023年份編號12345年銷售額/萬元3035458080(1)請根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求與的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測2024年該店的年銷售額.(2)該專賣店為了回饋廣大消費(fèi)者，推出了消費(fèi)抽獎返現(xiàn)活動，規(guī)則如下：凡一次性消費(fèi)滿700元可抽獎1次，滿1000元可抽獎2次.其中一次抽獎返現(xiàn)金額及概率如下表：返現(xiàn)金額70100概率已知一位消費(fèi)者一次性消費(fèi)滿700元的概率為，滿1000元的概率為，求這位消費(fèi)者抽獎返現(xiàn)金額的分布列與期望.附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，.【答案】(1)，87.5萬元.(2)分布列見解析，【分析】（1）分別求出，再根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程計(jì)算，并代入，即可求解；（2）分別求出概率，并列出分布列，即可求解.【詳解】解：（1）因?yàn)?，，所以，所以與的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.當(dāng)時(shí)，，所以預(yù)測2024年該店的年銷售額為87.5萬元.（2）可以取.，所以的分布列為70100170200所以.【變式3】（23-24高二下·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）某品牌電腦專賣店的年銷售量與該年廣告費(fèi)用有關(guān)，如表收集了4組觀測數(shù)據(jù)：（萬元）1456（百臺）30408070以廣告費(fèi)用為解釋變量，銷售量為預(yù)報(bào)變量對這兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析．(1)已知這兩個(gè)變量呈線性相關(guān)關(guān)系，試建立與之間的回歸方程；(2)假如2017年該專賣店廣告費(fèi)用支出計(jì)劃為10萬元，根據(jù)你得到的模型，預(yù)測這一年的銷售量．參考公式：，．【答案】(1)；(2)75百臺．【分析】（1）根據(jù)回歸直線方程計(jì)算公式，計(jì)算出回歸直線方程.（2）根據(jù)回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測.【詳解】（1）根據(jù)題意，計(jì)算，，又，；，，所求回歸直線方程為；（2）由已知得，時(shí)，（百臺），可預(yù)測該年的銷售量為75百臺．題型11非線性回歸方程解題錦囊解題錦囊建立非線性經(jīng)驗(yàn)回歸模型的基本步驟1.確定研究對象，明確哪個(gè)是解釋變量，哪個(gè)是響應(yīng)變量；2.由經(jīng)驗(yàn)確定非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的模型；3.通過變換（一般題目都有明顯的暗示如何換元，換元成什么變量），將非線性經(jīng)驗(yàn)回歸模型轉(zhuǎn)化為線性經(jīng)驗(yàn)回歸模型（特別注意：使用線性回歸方程的公式，注意代入變換后的變量）；4.按照公式計(jì)算經(jīng)驗(yàn)回歸方程中的參數(shù)，得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程；5.消去新元，得到非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程；【典例1】數(shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲，玩家需要根據(jù)盤面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行、每一列、每一個(gè)粗線宮（）內(nèi)的數(shù)字均含1～9，且不重復(fù)．?dāng)?shù)獨(dú)愛好者小明打算報(bào)名參加“絲路杯”全國數(shù)獨(dú)大賽初級組的比賽．參考數(shù)據(jù)：17700.370.55參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，?，，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，．(1)賽前小明進(jìn)行了一段時(shí)間的訓(xùn)練，每天解題的平均速度y（秒/題）與訓(xùn)練天數(shù)x（天）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：x（天）1234567y（秒/題）910800800440300240210現(xiàn)用作為回歸方程模型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程；（用分?jǐn)?shù)表示）(2)小明和小紅玩“對戰(zhàn)賽”，每局兩人同時(shí)開始解一道數(shù)獨(dú)題，先解出題的人獲勝，不存在平局，兩人約定先勝3局者贏得比賽．若小明每局獲勝的概率為，且各局之間相互獨(dú)立，設(shè)比賽X局后結(jié)束，求隨機(jī)變量X的分布列及均值．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）由，得出，由參考公式求解出，從而求出和的回歸方程；（2）根據(jù)隨機(jī)變量的可能取值逐一分析，當(dāng)時(shí)，小明連勝3局或小紅連勝3局；當(dāng)時(shí)，小明前3局勝2局最后一局勝或小紅前3局勝2局最后一局勝；當(dāng)時(shí)，小明前4局勝2局最后一局勝或小紅前4局勝2局最后一局勝；分別求出每個(gè)取值的概率．最后代入期望公式計(jì)算即可．【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，，所以，所以，所以所求回歸方程為；（2）隨機(jī)變量X的所有可能取值為3，4，5，則，，，所以隨機(jī)變量X的分布列為：X345P所以．【變式1】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）某學(xué)校為了解校慶期間不同時(shí)段的校門人流量，從上午8點(diǎn)開始第一次反饋校門人流量，以后每過2小時(shí)反饋一次，共統(tǒng)計(jì)了前3次的數(shù)據(jù)，其中，2，3，為第i次人流量數(shù)據(jù)（單位：千人），由此得到y(tǒng)關(guān)于i的回歸方程.已知，根據(jù)回歸方程，可預(yù)測下午2點(diǎn)時(shí)校門人流量為（

）千人.參考數(shù)據(jù)：A．9.6 B．10.8 C．12 D．13.2【答案】C【分析】令，由，求出，得回歸方程，可求預(yù)測值.【詳解】令，則，，又，由，得，所以，則，下午2點(diǎn)時(shí)對應(yīng)，可得..【變式2】（23-24高二下·河南南陽·期中）某研發(fā)團(tuán)隊(duì)實(shí)現(xiàn)了從單點(diǎn)光譜儀到超光譜成像芯片的跨越.為制定下一年的研發(fā)投入計(jì)劃，該研發(fā)團(tuán)隊(duì)需要了解年研發(fā)資金投入量（單位：億元）對年銷售額（單位：億元）的影響.結(jié)合近12年的年研發(fā)資金投入量和年銷售額，該團(tuán)隊(duì)建立了兩個(gè)函數(shù)模型：①，②，其中均為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).經(jīng)對歷史數(shù)據(jù)的初步處理，得到散點(diǎn)圖如圖.令，計(jì)算得到如下數(shù)據(jù).

2066770200144804.2031270000.30821700(1)設(shè)變量和變量的樣本相關(guān)系數(shù)為，變量和變量的