高中數(shù)學(人教B版)選擇性必修一同步講義1.3第一章：空間向量與立體幾何章末重點題型復習(12題型)(學生版+解析)

第一章：空間向量與立體幾何章末重點題型復習題型一空間向量的有關概念理解1．（23-24高二上·貴州黔西·月考）（多選）下列說法，錯誤的為（

）A．若兩個空間向量相等，則表示它們有向線段的起點相同，終點也相同B．若向量滿足，且與同向，則C．若兩個非零向量與滿足，則為相反向量D．的充要條件是與重合，與重合2．（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·月考）（多選）以下關于向量的說法正確的有（

）A．若空間向量，，滿足，則B．若空間向量，，滿足，則C．若空間向量，滿足，，則D．若空間向量，滿足，，則3．（23-24高二上·河南漯河·月考）如圖所示，在三棱柱中，與是向量，與是向量(用“相等”“相反”填空).4．（23-24高二上·山西臨汾·月考）如圖，在長方體中，，，，以長方體的八個頂點中的兩點為起點和終點的向量中．(1)試寫出與相等的所有向量．(2)試寫出的相反向量．題型二空間向量的線性運算1．（23-24高二上·山東德州·期中）四面體ABCD中，E為棱BC的中點，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·湖北十堰·月考）在三棱錐中，若為正三角形，且E為其中心，則等于（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·山西運城·月考）空間四邊形ABCD，連接AC，BD．M，G分別是BC，CD的中點，則等于

（

）

A． B． C． D．4．（23-24高二上·天津·期中）若為空間不同的四點，則下列各式不一定為零向量的是（

）A． B．C． D．題型三空間向量的線性表示1．（23-24高二上·四川德陽·期中）在長方體中，設為棱的中點，則向量可用向量表示為（

）A． B．C． D．2．（23-24高二上·重慶·月考）如圖，在四面體OABC中，，，.點M在OA上，且，為BC中點，則等于（

）A． B．C． D．3．（22-23高二上·北京·期中）在三棱柱中，D是四邊形的中心，且，，，則（

）A． B．C． D．4．（23-24高二上·福建福州·期中）如圖：在平行六面體中，為的交點．若，則向量（

）A． B． C． D．題型四空間向量基本定理及應用1．（23-24高二上·重慶·月考）在正方體中，可以作為空間向量的一組基的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．（23-24高二上·河北邢臺·月考）（多選）若構成空間的一個基底，則空間的另一個基底可能是（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·山東臨沂·月考）若是空間的一個基底，且向量不能構成空間的一個基底，則（

）A． B． C． D．4．（23-24高三上·江蘇鹽城·月考）（多選）給出下列命題，其中正確命題有（

）A．空間任意三個不共面的向量都可以作為一組基底B．已知向量，則與任何向量都不能構成空間的一組基底C．A，B，M，N是空間四點，若不能構成空間的一組基底，那么點A，B，M，N共面D．已知向量是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底題型五空間向量的共線問題1．（23-24高二上·江西·期末）在空間直角坐標系中，已知點，若三點共線，則的值為（

）A． B． C．10 D．132．（23-24高二上·遼寧·月考）已知向量，，且，那么實數(shù)（）A．3 B． C．9 D．3．（23-24高二上·福建泉州·月考）設向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三點共線，則（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（22-23高二上·安徽阜陽·月考）如圖所示，在正方體中，點在上，且，點在體對角線上，且．求證：，，三點共線．題型六空間向量的共面問題1．（23-24高二上·貴州遵義·月考）若構成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．（23-24高二上·遼寧沈陽·期中）已知，，三點不共線，對空間任意一點，若，則可以得到結論是四點（

）A．共面 B．不一定共面C．無法判斷是否共面 D．不共面3．（23-24高二下·上?！ぴ驴迹┮阎羧蛄抗裁?，則實數(shù)等于（

）A．4 B．3 C．2 D．14．（23-24高二上·湖北·開學考試）（多選）下列命題中正確的是（

）A．非零向量，，，若與共面，與共面，與共面，則向量，，共面B．向量，，共面，即它們所在的直線共面C．設，，是三個空間向量，則D．若與共面，與共面，則任意，與共面題型七空間向量的數(shù)量積問題1．（23-24高二下·江蘇連云港·月考）有一長方形的紙片，的長度為，的長度為，現(xiàn)沿它的一條對角線把它折成直二面角，則折疊后（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·河北石家莊·期中）如圖，二面角等于，、是棱上兩點，、分別在半平面、內(nèi)，，，且，，則（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·甘肅慶陽·期中）已知向量，向量，(1)求向量，，的坐標；(2)求與所成角的余弦值.4．（23-24高二上·廣東江門·期中）如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長度都為2，且兩兩夾角為．求：(1)的長；(2)與夾角的余弦值．題型八空間向量的對稱問題1．（23-24高二上·廣東東莞·月考）點關于點的對稱點的坐標是（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·陜西渭南·期末）在空間直角坐標系中，點關于z軸的對稱點的坐標為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·安徽合肥·月考）在空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點的坐標為（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·寧夏銀川·月考）在空間直角坐標系中，已知點，則下列說法錯誤的是（

）A．點P關于坐標原點對稱點的坐標為B．點P在x軸上的射影點的坐標為C．點P關于Oyz平面對稱點的坐標為D．點P在Oyz平面上的射影點的坐標為題型九利用空間向量證明平行垂直1．（23-24高二上·浙江紹興·期末）如圖所示，在棱長均相等的平行六面體中分別為線段的中點．(1)設，請以向量表示；(2)求證：平面平面．2．（23-24高二上·山東·月考）如圖，在長方體中，，，分別的中點．

(1)求證：平面；(2)判斷與平面是否垂直，并說明理由．3．（23-24高二上·江蘇鎮(zhèn)江·開學考試）如圖，在正方體中，點E?F分別為棱?的中點，點P為底面對角線AC與BD的交點，點Q是棱上一動點.(1)證明：直線∥平面；(2)證明：.4．（23-24高二上·新疆喀什·期中）如圖所示，在底面是矩形的四棱錐中，⊥底面，E，F(xiàn)分別是的中點，，.求證：(1)平面；(2)平面⊥平面.題型十利用空間向量計算空間角1．（23-24高二上·山東棗莊·月考）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，E為上一點，且，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．2．（23-24高二下·甘肅蘭州·月考）已知四棱柱的底面是正方形，，，點在底面的射影為中點H，則直線與平面所成角的正弦值為．3．（23-24高二下·江蘇鹽城·月考）（多選）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面，則（

）A．點A到平面的距離為1B．與平面所成角的正弦值為C．異面直線與所成角的余弦值為D．二面角的余弦值為4．（23-24高二下·江蘇徐州·月考）已知，分別是正方體的棱和的中點，求：(1)與所成角的大??；(2)與平面所成角的正弦值；(3)二面角的余弦值．題型十一利用空間向量計算空間距離1．（23-24高二上·河北·月考）在空間直角坐標系中，已知，，，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·湖北·月考）如圖，在平行六面體中，，為的中點，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·廣東東莞·月考）如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點，為線段的中點，則直線到平面的距離為（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·廣西玉林·月考）如圖，在四棱錐中，是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，，平面平面ABCD，，底面ABCD的面積為，E為PD的中點．(1)證明：平面PAB；(2)求直線CE與平面PAB間的距離．題型十二利用空間向量探究動點存在1．（23-24高二下·黑龍江大慶·開學考試）如圖，，分別是直徑的半圓上的點，且滿足，為等邊三角形，且與半圓所成二面角的大小為，為的中點．(1)求證：平面；(2)在弧上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出點到平面的距離；若不存在，說明理由．2．（23-24高二下·浙江·期中）如圖，在四棱錐中，側面是正三角形且垂直于底面，底面是矩形，，，，分別是線段，上的動點(1)是否存在點，使得平面？若存在，試求；若不存在，請說明理由；(2)若直線與直線所成角的余弦值為，試求二面角的平面角的余弦值.3．（23-24高二上·湖北黃岡·月考）如圖，在長方體中，E，M分別是，的中點，，.(1)若在線段上存在一點，使∥平面，試確定N的位置；(2)在（1）的條件下，試確定直線與平面的交點F的位置，并求的長.4．（23-24高二下·湖北武漢·月考）四棱錐中，，側面底面，且是棱上一動點．(1)求證：上存在一點，使得與總垂直；(2)當平面時，求的值；(3)當時，求平面與平面所成角的大?。谝徽拢嚎臻g向量與立體幾何章末重點題型復習題型一空間向量的有關概念理解1．（23-24高二上·貴州黔西·月考）（多選）下列說法，錯誤的為（

）A．若兩個空間向量相等，則表示它們有向線段的起點相同，終點也相同B．若向量滿足，且與同向，則C．若兩個非零向量與滿足，則為相反向量D．的充要條件是與重合，與重合【答案】ABD【解析】向量是具有方向和大小的量，向量可自由平移，而表示向量的有向線段是起點、方向、終點都確定的，故相等向量的起點和終點不必相同，對應表示它們的有向線段也不必起點相同，終點也相同，即A、D錯誤；向量的模長可比大小，但向量不可以，故B錯誤；由相反向量的定義可知C正確.BD.2．（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·月考）（多選）以下關于向量的說法正確的有（

）A．若空間向量，，滿足，則B．若空間向量，，滿足，則C．若空間向量，滿足，，則D．若空間向量，滿足，，則【答案】CD【解析】A：若，顯然滿足，但是不滿足，因此本選項不正確；B：兩個空間向量相等，它們的模顯然相等，因此本選項正確；C：若，且三向量不共面時，不一定不成立，因此本選項不正確；D：由相等向量的定義可知，如果，，一定有，因此本選項正確，D3．（23-24高二上·河南漯河·月考）如圖所示，在三棱柱中，與是向量，與是向量(用“相等”“相反”填空).【答案】相等；相反【解析】在三棱柱中，四邊形是平行四邊形，則，即與是相等向量；四邊形是平行四邊形，，即與是互為相反向量.故答案為：相等；相反4．（23-24高二上·山西臨汾·月考）如圖，在長方體中，，，，以長方體的八個頂點中的兩點為起點和終點的向量中．(1)試寫出與相等的所有向量．(2)試寫出的相反向量．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由題意，與相等有；（2）由題意，的相反向量有.題型二空間向量的線性運算1．（23-24高二上·山東德州·期中）四面體ABCD中，E為棱BC的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，因為E為棱BC的中點，所以,2．（23-24高二上·湖北十堰·月考）在三棱錐中，若為正三角形，且E為其中心，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】延長交于，如圖，則是中點，，，．3．（23-24高二上·山西運城·月考）空間四邊形ABCD，連接AC，BD．M，G分別是BC，CD的中點，則等于

（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】∵M，G分別是BC，CD的中點，∴，．∴．4．（23-24高二上·天津·期中）若為空間不同的四點，則下列各式不一定為零向量的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對于A，；對于B，；對于C，；對于D，..題型三空間向量的線性表示1．（23-24高二上·四川德陽·期中）在長方體中，設為棱的中點，則向量可用向量表示為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖所示，，故選:D.2．（23-24高二上·重慶·月考）如圖，在四面體OABC中，，，.點M在OA上，且，為BC中點，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】連接，是的中點，，，.3．（22-23高二上·北京·期中）在三棱柱中，D是四邊形的中心，且，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】..4．（23-24高二上·福建福州·期中）如圖：在平行六面體中，為的交點．若，則向量（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為,所以..題型四空間向量基本定理及應用1．（23-24高二上·重慶·月考）在正方體中，可以作為空間向量的一組基的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【解析】因為向量，，不共面，所以可以作為空間向量的一組基，而其它三組向量都共面，.2．（23-24高二上·河北邢臺·月考）（多選）若構成空間的一個基底，則空間的另一個基底可能是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】不存在，使得，所以不共面，是空間的另一個基底，A正確．因為，所以共面，不是空間的另一個基底，B錯誤．不存在，使得，所以不共面，是空間的另一個基底，C正確．因為，所以共面，不是空間的另一個基底，D錯誤．C.3．（23-24高二上·山東臨沂·月考）若是空間的一個基底，且向量不能構成空間的一個基底，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為向量，，不能構成空間的一個基底，所以、、共面，故存在實數(shù)、使得，即，因為是空間的一個基底，則，解得..4．（23-24高三上·江蘇鹽城·月考）（多選）給出下列命題，其中正確命題有（

）A．空間任意三個不共面的向量都可以作為一組基底B．已知向量，則與任何向量都不能構成空間的一組基底C．A，B，M，N是空間四點，若不能構成空間的一組基底，那么點A，B，M，N共面D．已知向量是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底【答案】ABCD【解析】選項A中，根據(jù)空間向量的基底的概念，可得任意三個不共面的向量都可以構成空間的一組基，所以A正確；選項B中，根據(jù)空間的基底的概念，可得B正確；選項C中，由不能構成空間的一組基底，可得共面，又由過相同點B，可得A，B，M，N四點共面，所以C正確；選項D中，由是空間的一組基底，則基向量與向量一定不共面，所以可以構成空間的另一組基底，所以D正確.BCD題型五空間向量的共線問題1．（23-24高二上·江西·期末）在空間直角坐標系中，已知點，若三點共線，則的值為（

）A． B． C．10 D．13【答案】C【解析】因為，且三點共線，所以存在實數(shù)，使得，解得．.2．（23-24高二上·遼寧·月考）已知向量，，且，那么實數(shù)（）A．3 B． C．9 D．【答案】A【解析】，則，即，解得，故.3．（23-24高二上·福建泉州·月考）設向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三點共線，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由，，得，因為A，C，D三點共線，所以，則存在唯一實數(shù)，使得，則，解得..4．（22-23高二上·安徽阜陽·月考）如圖所示，在正方體中，點在上，且，點在體對角線上，且．求證：，，三點共線．【答案】證明見解析【解析】連接，，∵，，∴，∴，又，∴，，三點共線．題型六空間向量的共面問題1．（23-24高二上·貴州遵義·月考）若構成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】對于因為，故三個向量共面；對于

假設，，共面，則，使得，故有，方程組無解，故假設不不成立，即，，不共面；對于,，故三個向量共面；對于，故三個向量共面，故選：2．（23-24高二上·遼寧沈陽·期中）已知，，三點不共線，對空間任意一點，若，則可以得到結論是四點（

）A．共面 B．不一定共面C．無法判斷是否共面 D．不共面【答案】A【解析】,則，所以，則，故四點共面.3．（23-24高二下·上?！ぴ驴迹┮阎?，若三向量共面，則實數(shù)等于（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】因為三向量共面，設，所以，即，解得，.4．（23-24高二上·湖北·開學考試）（多選）下列命題中正確的是（

）A．非零向量，，，若與共面，與共面，與共面，則向量，，共面B．向量，，共面，即它們所在的直線共面C．設，，是三個空間向量，則D．若與共面，與共面，則任意，與共面【答案】DD【解析】對于選項A：例如非零向量，，是三棱錐三條側棱所在的向量，顯然滿足與共面，與共面，與共面，但向量，，不共面，故A錯誤；對于選項B：因為向量可以平移，但直線不能平移，可知：若向量，，共面，但它們所在的直線不一定共面，故B錯誤；對于選項C：根據(jù)數(shù)量積的分配律可知：，故C正確；對于選項D：對任意，可知與、共面，若、與共面，所以與共面，故D正確；D.題型七空間向量的數(shù)量積問題1．（23-24高二下·江蘇連云港·月考）有一長方形的紙片，的長度為，的長度為，現(xiàn)沿它的一條對角線把它折成直二面角，則折疊后（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，，，，所以，所以，．2．（23-24高二上·河北石家莊·期中）如圖，二面角等于，、是棱上兩點，、分別在半平面、內(nèi)，，，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知，二面角等于，即，所以，，所以，，因此，..3．（23-24高二下·甘肅慶陽·期中）已知向量，向量，(1)求向量，，的坐標；(2)求與所成角的余弦值.【答案】(1)；(2)【解析】（1）因為向量，所以，解得：，，則，，又因為，則，解得，所以（2）由（1）知，所以，，則，，，即與所成角的余弦值4．（23-24高二上·廣東江門·期中）如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長度都為2，且兩兩夾角為．求：(1)的長；(2)與夾角的余弦值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）設，，，由題意知：，，∴，又∵，∴，∴，即的長為，（2）∵，∴，∴，，∴，即與夾角的余弦值為．題型八空間向量的對稱問題1．（23-24高二上·廣東東莞·月考）點關于點的對稱點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設點關于點的對稱點的坐標為，則可得解得,所以對稱點得坐標為..2．（23-24高二上·陜西渭南·期末）在空間直角坐標系中，點關于z軸的對稱點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】點關于z軸對稱時，z不變，x與y變?yōu)橄喾磾?shù)，所以點關于z軸的對稱點的坐標為..3．（23-24高二上·安徽合肥·月考）在空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由空間直角坐標系中任一點關于平面的對稱點為，可得點關于平面的對稱點的坐標為.故選：B．4．（23-24高二上·寧夏銀川·月考）在空間直角坐標系中，已知點，則下列說法錯誤的是（

）A．點P關于坐標原點對稱點的坐標為B．點P在x軸上的射影點的坐標為C．點P關于Oyz平面對稱點的坐標為D．點P在Oyz平面上的射影點的坐標為【答案】D【解析】點關于原點的對稱點為.故選項A正確；點在x軸上的射影即為過點作x軸的垂線所得垂足，其坐標為.故選項B正確；點關于Oyz平面的對稱點與點橫標互為相反數(shù)，縱坐標與豎坐標保持不變.故選項C錯誤；點在平面Oyz上的射影即為過點作平面Oyz的垂線所得垂足，其坐標為.故選項D正確..題型九利用空間向量證明平行垂直1．（23-24高二上·浙江紹興·期末）如圖所示，在棱長均相等的平行六面體中分別為線段的中點．(1)設，請以向量表示；(2)求證：平面平面．【答案】(1)；(2)證明見解析【解析】（1）.（2）∵∴，又∵，∴，即，∵底面菱形中，，且，平面.所以平面．又平面．∴平面平面．2．（23-24高二上·山東·月考）如圖，在長方體中，，，分別的中點．

(1)求證：平面；(2)判斷與平面是否垂直，并說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)不垂直，理由見解析.【解析】（1）在長方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，由，，分別的中點，得，，顯然平面的一個法向量，則，于是，有平面，而平面，所以平面.（2）由（1）知，，則有，而，于是向量與向量不垂直，即直線與不垂直，而平面，所以與平面不垂直.3．（23-24高二上·江蘇鎮(zhèn)江·開學考試）如圖，在正方體中，點E?F分別為棱?的中點，點P為底面對角線AC與BD的交點，點Q是棱上一動點.(1)證明：直線∥平面；(2)證明：.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【解析】（1）如圖，以為坐標原點，分別為軸所在的直線，建立空間直角坐標系，不妨設，則，可得，可知，則∥，且平面，平面，所以∥平面.（2）設，則，可得，由（1）可知：，因為，所以.4．（23-24高二上·新疆喀什·期中）如圖所示，在底面是矩形的四棱錐中，⊥底面，E，F(xiàn)分別是的中點，，.求證：(1)平面；(2)平面⊥平面.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【解析】（1）以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，,，，，∴，，，，，，.，，即，又?平面，平面，∴平面.（2），，∴，即又平面，平面，∴平面.∵平面，∴平面⊥平面.題型十利用空間向量計算空間角1．（23-24高二上·山東棗莊·月考）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，E為上一點，且，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】以為坐標原點，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設，則，，，則異面直線與所成角的余弦值為..2．（23-24高二下·甘肅蘭州·月考）已知四棱柱的底面是正方形，，，點在底面的射影為中點H，則直線與平面所成角的正弦值為．【答案】【解析】因為點在底面的射影為中點H，則平面，又因為四邊形為正方形，以點H為坐標原點，、、的方向分別為x、y、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，因為平面，平面，則，因為，，則，則、、、，所以，易知平面的一個法向量為，，因此，直線與平面所成角的正弦值為．故答案為：.3．（23-24高二下·江蘇鹽城·月考）（多選）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面，則（

）A．點A到平面的距離為1B．與平面所成角的正弦值為C．異面直線與所成角的余弦值為D．二面角的余弦值為【答案】AC【解析】首先由題目條件知，，故，同時注意到，故，.由于，而在平面內(nèi)，所以，而，和都在平面內(nèi)且相交于，故垂直于平面，從而點到平面的距離為，故A正確；由于垂直于平面，平行于，故垂直于平面，而和在平面內(nèi)，所以，.而和都在平面內(nèi)，故與平面的夾角等于與的夾角，又由于，而在平面內(nèi)，所以，從而有，故B錯誤；由于平行于，故直線與所成角等于直線與所成角.又因為，而在平面內(nèi)，所以，這就說明，故C正確；已證兩兩垂直.如圖，以為原點，分別以為軸正方向，建立空間直角坐標系：則有，而，，，故.從而，，，設，分別為平面和的法向量，則，，令，解得，故可取，.注意到和分別是平面和向二面角內(nèi)部朝向的法向量，故鈍二面角的余弦值為，故D錯誤.C.4．（23-24高二下·江蘇徐州·月考）已知，分別是正方體的棱和的中點，求：(1)與所成角的大??；(2)與平面所成角的正弦值；(3)二面角的余弦值．【答案】(1)；(2)；(3)【解析】（1）不妨設正方體的棱長為2，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，，，因為，，所以，，，由，又因為，故向量與夾角為，因此與所成角的大小為．（2）由（1）知，，，易知是平面的一個法向量，設與平面所成角為，故，故與平面所成角的正弦值為.（3）設平面的一個法向量為，則，即，取，則，，故.易知平面，故平面的一個法向量為，則，又因為二面角為銳角，故二面角的余弦值為.題型十一利用空間向量計算空間距離1．（23-24高二上·河北·月考）在空間直角坐標系中，已知，，，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，，所以到直線的距離為．2．（23-24高二上·湖北·月考）如圖，在平行六面體中，，為的中點，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，因為，所以，，，因為，所以，因此，所以點到直線的距離為，3．（23-24高二上·廣東東莞·月考）如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點，為線段的中點，則直線到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意易知直線面，所以到面的距離即為直線到平面的距離.建立如圖所示坐標系，則：，，，，,所以設面的法向量，則：，即取，則，所以所以到面的距離.4．（23-24高二上·廣西玉林·月考）如圖，在四棱錐中，是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，，平面平面ABCD，，底面ABCD的面積為，E為PD的中點．(1)證明：平面PAB；(2)求直線CE與平面PAB間的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）記的中點為，連接，因為，所以底面ABCD為直角梯形，又底面ABCD的面積為，，所以，得，所以，所以且，所以為平行四邊形，故，因為平面，平面，所以平面，因為O，E分別為AD，PD的中點，所以，又平面，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面，所以平面PAB.（2）因為是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，所以，，由（1）可知，，所以又因為平面平面ABCD，所以，故兩兩垂直，以所在直線分別為x，y，z軸，如圖建立空間直角坐標系，則，則，設為平面的法向量，則，令得，所以點C到平面的距離為，由（1）知，平面PAB，所以直線CE與平面PAB間的距離即為.題型十二利用空間向量探究動點存在1．（23-24高二下·黑龍江大慶·開學考試）如圖，，分別是直徑的半圓上的點，且滿足，為等邊三角形，且與半圓所成二面角的大小為，為的中點．(1)求證：平面；(2)在弧上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出點到平面的距離；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)存在，【解析】（1）依題意，所以，所以、是等邊三角形，所以，所以四邊形是菱形，所以，由于平面，平面，所以平面.由于是