2025年春八年級下冊數(shù)學(xué)華師版教學(xué)課件 17.5 第3課時 建立反比例函數(shù)的模型解決實際問題

17.5實踐與探索第17章函數(shù)及其圖象3.建立反比例函數(shù)的模型解決實際問題

對于一個長方形，當(dāng)它面積一定時，長

a是寬

b的反比例函數(shù)，其函數(shù)解析式可以寫為(S＞0).請你仿照上例另舉一個在日常生活、生產(chǎn)或?qū)W習(xí)中具有反比例函數(shù)關(guān)系的量的實例，并寫出它的函數(shù)解析式．實例：函數(shù)解析式：

．三角形的面積S一定時，三角形底邊長y是高x

復(fù)習(xí)引入(S＞0)

的反比例函數(shù)

；例

1

市煤氣公司要在地下修建一個容積為104m3的圓柱形煤氣儲存室.(1)儲存室的底面積S(單位：m2)與其深度d(單位：m)

有怎樣的函數(shù)關(guān)系?解：根據(jù)圓柱的體積公式，得Sd=104，∴S關(guān)于d的函數(shù)解析式為典例精析實際問題與反比例函數(shù)(2)公司決定把儲存室的底面積S定為500m2，施工

隊施工時應(yīng)該向下掘進多深?解得d=20.答：施工時應(yīng)向地下掘進20m深.解：把S=500代入，得(3)當(dāng)施工隊按(2)中的計劃掘進到地下15m時，公司

臨時改變計劃，把儲存室的深度改為15m.相應(yīng)地，

儲存室的底面積應(yīng)改為多少(結(jié)果保留小數(shù)點后兩位)?

≈

666.67.答：當(dāng)儲存室的深度為

15m時，底面積應(yīng)改為約666.67m2.解：根據(jù)題意，把d=15代入，得第(2)問和第(3)問與過去所學(xué)的解分式方程和求代數(shù)式的值的問題有何聯(lián)系？

第(2)問實際上是已知函數(shù)S的值，求自變量d的取值，第(3)問則是與第(2)問相反．

想一想：1.矩形面積為6，它的長y與寬x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象可表示為

()B練一練A.B.C.D.xyxyxyxyxy=6，且

x，y均大于0例2碼頭工人每天往一艘輪船上裝載30噸貨物，裝載完畢恰好用了8天時間.(1)輪船到達目的地后開始卸貨，平均卸貨速度v(單位：

噸/天)與卸貨天數(shù)t之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系?提示：根據(jù)平均裝貨速度×裝貨天數(shù)=貨物的總量，可以求出輪船裝載貨物的總量；再根據(jù)平均卸貨速度=貨物的總量÷卸貨天數(shù)，得到v關(guān)于t的函數(shù)解析式.解：設(shè)輪船上的貨物總量為k噸，根據(jù)已知條件得

k=30×8=240，所以v關(guān)于t的函數(shù)解析式為(2)由于遇到緊急情況，要求船上的貨物不超過5天卸載完畢，那么平均每天至少要卸載多少噸?從結(jié)果可以看出，若全部貨物恰好用5天卸載完，則平均每天卸載48噸.而觀察求得的反比例函數(shù)的解析式可知，t越小，v越大.這樣若貨物不超過5天卸載完，則平均每天至少要卸載48噸.解：把t=

5代入，得方法總結(jié)：在函數(shù)相關(guān)的實際問題中，若要求“至多”、“至少”，可以利用函數(shù)的增減性來解決.練一練

某鄉(xiāng)鎮(zhèn)要在生活垃圾存放區(qū)建一個老年活動中心，這樣必須把1200立方米的生活垃圾運走．(1)假如每天能運x立方米，所需時間為y天，寫出y

與x之間的函數(shù)關(guān)系式；解：(2)若每輛拖拉機一天能運12立方米，則5輛這樣的拖拉機要用多少天才能運完？解：x=12×5=60，代入函數(shù)解析式得答：若每輛拖拉機一天能運12立方米，則5輛這樣的拖拉機要用20天才能運完.(3)在(2)的情況下，運了8天后，剩下的任務(wù)要在不超過6天的時間內(nèi)完成，那么至少需要增加多少輛這樣的拖拉機才能按時完成任務(wù)？解：運了

8

天后剩余的垃圾有1200－8×60

=

720(立方米)，剩下的任務(wù)要在不超過6天的時間完成，則每天至少運

720÷6

=

120(立方米)，所以需要的拖拉機數(shù)量是

120÷12

=

10(輛)，即至少需要增加拖拉機

10－5

=

5(輛).例3

小偉欲用撬棍撬動一塊大石頭，已知阻力和阻力臂分別為1200N和0.5m.(1)動力F

與動力臂l有怎樣的函數(shù)關(guān)系?當(dāng)動力臂為

1.5m時，撬動石頭至少需要多大的力?典例精析解：根據(jù)“杠桿原理”，得Fl

=1200×0.5，∴F關(guān)于

l的函數(shù)解析式為對于函數(shù)，當(dāng)l=1.5m時，F(xiàn)=400N，此時杠桿平衡.因此撬動石頭至少需要400N的力.反比例函數(shù)在物理中的應(yīng)用(2)若想使動力F不超過題(1)中所用力的一半，則動力臂

l至少要加長多少?提示：對于函數(shù)，F(xiàn)隨l的增大而減小.因此，只要求出F=200N時對應(yīng)的l的值，就能確定動力臂l至少應(yīng)加長的量.解：當(dāng)

F=400×=200時，由200=，得3－1.5=1.5(m).對于函數(shù)，當(dāng)l＞0時，l越大，F(xiàn)越小.因此，若想用力不超過400N的一半，則動力臂至少要加長1.5m.

在物理學(xué)中，我們知道，當(dāng)阻力和阻力臂一定時，動力臂越長就越省力，你能用反比例函數(shù)的知識對其進行解釋嗎？想一想：

假定地球重量的近似值為6×1025

牛頓(即阻力)，阿基米德有500牛頓的力量，阻力臂為2000千米，請你幫助阿基米德設(shè)計，該用多長動力臂的杠桿才能把地球撬動？由已知得

F×l＝6×1025×2×106=1.2×1032，令F=

500N，得

l=2.4×1029米，解：2000千米=2×106米，練一練變形得故用

2.4×1029米長的動力臂的杠桿才能把地球撬動.例4某?？萍夹〗M進行野外考察，利用鋪墊木板的方式通過一片爛泥濕地.當(dāng)人和木板對濕地的壓力F一定時，隨著木板面積S(m2)的變化，人和木板對地面的壓強p(Pa)也隨之變化變化.如果人和木板對濕地地面的壓力F合計為600N，那么：(1)用含S的代數(shù)式表示p，p是S的反比例函數(shù)嗎？解：由，得p是S的反比例函數(shù)．(2)當(dāng)木板面積為0.2m2時，壓強是多少？解：當(dāng)S＝

0.2m2時，故當(dāng)木板面積為

0.2m2

時，壓強是

3000Pa．(3)如果要求壓強不超過6000Pa，木板面積至少要多大？解：當(dāng)p

=6000時，由得對于函數(shù)，當(dāng)S＞0時，S越大，p越小.因此，若要求壓強不超過6000Pa，則木板面積至少要0.1m2.(4)在平面直角坐標(biāo)系中，作出相應(yīng)的函數(shù)圖象．20000.10.5O0.60.30.20.410003000400050006000S/m2p/Pa解：如圖所示.某人對地面的壓強與他和地面接觸面積的函數(shù)關(guān)系如圖所示．若某一沼澤地地面能承受的壓強不超過300N/m2，那么此人應(yīng)站立在面積為多少的木板上才不會下陷(木板重量忽略不計)()A.至少2m2

B.至多2m2

C.大于2m2

D.小于2m2

練一練204060O602040S/m2p/(N/m2)A例5

一個用電器的電阻是可調(diào)節(jié)的，其范圍為110Ω～220Ω.已知電壓為220V，這個用電器的電路圖如圖所示.(1)功率P與電阻R有怎樣的函數(shù)關(guān)系?U~解：根據(jù)電學(xué)知識，當(dāng)U=220時，得(2)這個用電器功率的范圍是多少?解：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，電阻越大，功率越小.把電阻的最小值R=110代入解析式，得到功率的最大值把電阻的最大值R=220代入解析式，得到功率的最小值因此用電器功率的范圍為

220W

~

440W.1.在公式中，當(dāng)電壓U一定時，電流I與電阻

R之間的函數(shù)關(guān)系可用圖象表示大致為()D練一練ABCDIRIRIRIROOOO2.在某一電路中，電壓保持不變，電流I(A)和電阻

R(Ω)成反比例，當(dāng)電阻R＝5Ω時，電流I＝2A．(1)求I與R之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)電流I＝0.5時，求電阻R的值．

解：(1)設(shè)∵當(dāng)R=5Ω時，I=2A，∴U=2×5=10．∴I與R之間的函數(shù)關(guān)系式為

(2)當(dāng)

I=0.5A時，，解得R=20(Ω)．1.面積為2的直角三角形一直角邊長為

x，另一直角邊長為

y，則y與x的變化規(guī)律用圖象可大致表示為()A.xy1O2xy4O4B.xy1O4C.xy1O414D.C

xy=2，xy=4，且

x，y均大于02.體積為20cm3的滴膠做成圓柱體模型，圓柱的高度y(單位：cm)與底面積S(單位：cm2)的函數(shù)關(guān)系為

，若要使做出來的圓柱體粗1cm2，則圓柱的高度是

cm.

203.某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓p(kPa)是氣體體積V(m3)的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示，當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓為

120kPa時，氣球的體積應(yīng)為()A.B.C.D.CO60V/m3p/kPa1.64.受條件限制，無法得知撬石頭時的阻力，小剛選擇了動力臂為1.2米的撬棍，用了500牛頓的力剛好撬動；小明身體瘦小，只有300牛頓的力量，他應(yīng)該選擇動力臂至少為

米的撬棍才能撬動這塊大石頭.25.在一個可以改變體積的密閉容器內(nèi)裝有一定質(zhì)量的二氧化碳，當(dāng)改變?nèi)萜鞯捏w積時，氣體的密度也會隨之改變，密度ρ(單位：kg/m3)是體積V(單位：m3)的反比例函數(shù)，它的圖象如圖所示，當(dāng)V=10m3時，氣體的密度是

.21345V/m3ρ/(kg/m3)5O632411kg/m3

6.蓄電池的電壓為定值．使用此電源時，電流I(A)

是電阻R(Ω)的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示．(1)求這個反比例函數(shù)的解析式；解：設(shè)，把

M(4，9)代入得

k=4×9=36.∴這個反比例函數(shù)的解析式

為

.O9I(A)4R(Ω)M(2)當(dāng)R=10Ω時，電流可能是4A嗎？為什么？解：當(dāng)