第3章 勾股定理 全章復(fù)習(xí)學(xué)案

第3章勾股定理小結(jié)與思考一．基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：1：勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2＝c2）要點(diǎn)詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在中，，則，，）（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊（3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題2：勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長：a、b、c，則有關(guān)系a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。要點(diǎn)詮釋：勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)應(yīng)注意：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最長邊長為：c；（2）驗(yàn)證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若c2＝a2+b2，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形（若c2>a2+b2，則△ABC是以∠C為鈍角的鈍角三角形；若c2<a2+b2，則△ABC為銳角三角形）。（定理中，，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長，，滿足，那么以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊）判斷直角三角形其他方法：（1）有一個(gè)角為的三角形是直角三角形.（2）有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.注意：（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半（2）在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.（3）在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于。3：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。4：勾股數(shù)①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，，為正整數(shù)時(shí)，稱，，為一組勾股數(shù)②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；；；等③用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）題型一：直接考查勾股定理例1在中，．⑴已知，．求的長⑵已知，，求的長題型二：利用勾股定理測(cè)量長度例題2如圖，水池中離岸邊D點(diǎn)1.5米的C處，直立長著一根蘆葦，出水部分BC的長是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點(diǎn)，并求水池的深度AC.變式1、某樓梯的側(cè)面視圖如圖3所示，其中米，，，因某種活動(dòng)要求鋪設(shè)紅色地毯，則在AB段樓梯所鋪地毯的長度應(yīng)為

。題型三：勾股定理和逆定理并用例題3如圖，正方形ABCD中，E是BC邊上的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，且那么△DEF是直角三角形嗎？為什么？題型四：關(guān)于翻折與方程問題例題4如圖4，已知長方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點(diǎn)E，將△ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F，求CE的長.變式：1.如圖，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，將△ABC折疊，使A點(diǎn)與BC的中點(diǎn)D重合，折痕為MN，則線段BN的長為___________．2.如圖，矩形中，AB=8，BC=6，P為AD上一點(diǎn)，將△ABP沿BP翻折至△EBP，PE與CD相交于點(diǎn)O，且OE=OD，則AP的長為__________。3、如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90o，AC＝3，BC＝4，將邊AC沿CE翻折，使點(diǎn)A落在AB上的點(diǎn)D處；再將邊BC沿CF翻折，使點(diǎn)B落在CD的延長線上的點(diǎn)B′處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點(diǎn)E、F，則線段的長為()A.B.C.D.題型五：勾股定理與面積問題eq\a\vs4\al(◆)類型一直角三角形中，利用面積求斜邊上的高1．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，則DE的長為()A.eq\f(10,13)B.eq\f(15,13)C.eq\f(60,13)D.eq\f(75,13)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，CD⊥AB，垂足為D，則CD的長為________．3.在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AB的垂直平分線交BC與點(diǎn)D，若AB=8，BD=5，則CD=_________．eq\a\vs4\al(◆)類型二結(jié)合乘法公式巧求面積或長度3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝7cm，c＝5cm，則Rt△ABC的面積是()A．6cm2B．9cm2C．12cm2D．15cm24．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，P是BC邊上除B，C點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，則代數(shù)式AP2＋PB·PC等于(提示：過點(diǎn)A作AD⊥BC)()A．25B．15C．20D．30eq\a\vs4\al(◆)類型三巧妙割補(bǔ)求面積如圖所示是一塊地，已知AD＝8米，CD＝6米，∠D＝90°，AB＝26米，BC＝24米，求這塊地的面積．6．如圖，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四邊形ABCD的面積．eq\a\vs4\al(◆)類型四“勾股樹”及其拓展類型求面積7．如圖，所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形，已知S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，則S＝()A．25B．31C．32D．408．“趙爽弦圖”是四個(gè)全等的直角三角形與中間一個(gè)正方形拼成的大正方形．如圖，每一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長分別是3和6，則大正方形與小正方形的面積差是()A．9B．36C．27D．349．如圖所示的大正方形是由八個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3.若正方形EFGH的邊長為2，則S1＋S2＋S3＝________．10．★五個(gè)正方形按如圖放置在直線l上，其中第1，2，4個(gè)正方形的面積分別為2，5，4，則第5個(gè)正方形的面積S5＝________．題型六：關(guān)于勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)用：例6、如圖，公路MN和公路PQ在P點(diǎn)處交匯，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160米，點(diǎn)A到公路MN的距離為80米，假使拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100米以內(nèi)會(huì)受到噪音影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到影響，請(qǐng)說明理由；如果受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是18千米/小時(shí)，那么學(xué)校受到影響的時(shí)間為多少？變式：有一個(gè)傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以內(nèi)，燈就自動(dòng)打開，一個(gè)身高1.5米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開？題型七：關(guān)于最短性問題例7、如右圖1－19，壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊沿A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對(duì)害蟲進(jìn)行突然襲擊．結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐．請(qǐng)問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲?（π取3.14，結(jié)果保留1位小數(shù)，可以用計(jì)算器計(jì)算）變式1：如圖為一棱長為3cm的正方體，把所有面都分為9個(gè)小正方形，其邊長都是1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下地面A點(diǎn)沿表面爬行至右側(cè)面的B點(diǎn)，最少要花幾秒鐘？3．課外小組的同學(xué)在學(xué)校的花園里觀察到一棵牽?；ǖ奶僭谝唤?/p>