711角的推廣課件-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版

7.1.1角的推廣第七章三角函數(shù)1.理解任意角的概念.2.理解象限角的概念.3.能寫出與任一已知角終邊相同角的集合.扳手在擰動(dòng)螺母過(guò)程中轉(zhuǎn)體幾周,角的范圍如何來(lái)表示?問(wèn)題1：如圖，當(dāng)摩天輪在持續(xù)不斷地轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，（1）摩天輪所轉(zhuǎn)過(guò)的角度大小是否會(huì)超過(guò)360°？只要時(shí)間足夠長(zhǎng)，摩天輪所轉(zhuǎn)過(guò)的角度大小一定會(huì)超過(guò)360°（2）如果甲、乙兩人分別站在摩天輪的兩側(cè)觀察，那么他們所看到的摩天輪旋轉(zhuǎn)方向相同嗎？甲、乙兩人所觀察到的摩天輪旋轉(zhuǎn)方向相反：如果其中一人觀察到的是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則另一人觀察到的是順時(shí)針旋轉(zhuǎn).概念講解角的分類：按一條射線繞其端點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)方向，角可以分為三類：正角：按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角，如圖∠α；負(fù)角：按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角，如圖∠β

；零角：沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn)形成的角；OABα正角O1A1B1β負(fù)角注意：如果角α

與角β

的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等，那么就稱α=β；用圖像表示角時(shí)，箭頭的方向體現(xiàn)角的正負(fù)，因此箭頭不能少.練習(xí)1：說(shuō)出下列α、β的大小.OABOABα=450°，β=-630°問(wèn)題2：如圖，類比實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算，說(shuō)說(shuō)將α

的終邊再次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β

后該如何表示？αβ把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β，這時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的角是α+β；思考：若將α

的終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β

后又該如何表示？順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角β為負(fù)角，這時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的角是α–|β|；注：字母α、β

表示任意角，本身即是帶有符號(hào)的.任意角的運(yùn)算當(dāng)α，β的符號(hào)為正時(shí)，射線的旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針；符號(hào)為負(fù)時(shí)，射線的旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針；為了方便，可用|α|、|β|表示相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)量；

按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反角；

即：角α的相反角記為–α.OAB1αB2-αOAB1-αB2α歸納總結(jié)練習(xí)2：射線OA繞端點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°到OB位置，接著逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)250°到OC位置，然后再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)270°到OD位置，求∠AOD大小.解:由題意知∠AOB=-80°，∠BOC=250°，∠COD=-270°，因此∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=-80°

+

250°-270°=-100°.Oα=25°β=–120°xy問(wèn)題3：如圖，角α

是第一象限角，角β

是第三象限角，試計(jì)算α+β的值，并說(shuō)說(shuō)結(jié)果所得的角位于第幾象限？α+β=25°+(-120°)=-95°；

-95°的角位于第三象限.象限角：將角放在平面直角坐標(biāo)系中來(lái)討論，約定：角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊落在x

軸的正半軸上，此時(shí)，角的終邊在第幾象限，就把這個(gè)角稱為第幾象限角.思考：若角α

的終邊在坐標(biāo)軸上，那么角α

還是象限角嗎？若角的終邊在坐標(biāo)軸（x/y）上，那么這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限，我們把這樣的叫軸線角，如右圖的角γ.OxyγOxyB–30°330°–390°問(wèn)題4：分別將30°、–390°及

330°的角，畫在坐標(biāo)系中，結(jié)合圖象說(shuō)說(shuō)你有什么發(fā)現(xiàn)？即：

30°、–390°及330°是終邊相同的角.由圖可知，角的終邊OB

除了可以表示-30°的角之外，還可以表示-390°，330°等角；思考：結(jié)合上述問(wèn)題，你發(fā)現(xiàn)了終邊相同的角的變化規(guī)律嗎？一般地，所有與α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可以構(gòu)成一個(gè)集合：S={β|β=α+k·360°，k∈Z}即：任一與α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.注意：（1）α是任意角；（2）集合中α與k·360°間用“+”連接；如：k·360°-30°應(yīng)看成k·360°+(-30°)，表示與-30°角終邊相同的角.概念講解

D【解析】第一象限角可表示為k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z；銳角可表示為0°<β<90°；小于90°的角可表示為γ<90°；由三者之間的關(guān)系可知，選D.例2

寫出終邊落在直線y＝x上的角的集合S，并把S中適合不等式－360°≤β<720°的元素β寫出來(lái).

所以S中適合－360°≤β<720°的元素是：45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.例2

寫出終邊落在直線y＝x上的角的集合S，并把S中適合不等式－360°≤β<720°的元素β寫出來(lái).(1)所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)(而且只有這樣的角)，可以用式子α＋k·360°，k∈Z表示．在運(yùn)用時(shí)，需注意以下三點(diǎn)：①k是整數(shù)，這個(gè)條件不能漏掉．②α是任意角．③k·360°與α之間用“＋”號(hào)連接，如k·360°－30°應(yīng)看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)．(2)在0°到360°范圍內(nèi)找出與直線y＝x終邊相同的角，再推廣到任意角．(3)終邊相同的角的取值是由k的取值決定的．方法歸納例3

已知，如圖所示．①分別寫出終邊落在OA，OB位置上的角的集合；②寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合．{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}變式：若將例3改為如圖所示的圖形，那么終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合如何表示？{β|k·360°＋60°≤β＜k·360°＋105°，k∈Z}{β|k·360°＋240°≤β＜k·360°＋285°，k∈Z}{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合．表示區(qū)間角的三個(gè)步驟先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；第二步按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的－360°～360°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡(jiǎn)區(qū)間{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步第一步方法歸納根據(jù)今天所學(xué)，回答下列問(wèn)題：（1）按照旋轉(zhuǎn)方向不同，可以將角分為幾類？相等的角有什么特征？（2）象限角是如何定義的？（3）如何表示終邊相同的角？1．思考辨析(1)第二象限角大于第一象限角．(

)(2)第二象限角是鈍角．(

)(3)終邊相同的角一定相等．(

)(4)終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍．(

)×××√2．下列各個(gè)角中與2024°終邊相同的是(

)A．－154°B．684°C．324°D．224