三角形高、中線與角平分線課件

三角形高、中線與角平分線三角形高、中線和角平分線是三角形的重要組成部分。它們在幾何學(xué)中扮演著重要的角色，并用于解決各種三角形問題。三角形概念回顧定義由三條線段首尾相連組成的封閉圖形叫做三角形。三角形具有三個頂點和三個內(nèi)角。分類根據(jù)三條邊的長度關(guān)系，三角形可以分為等邊三角形、等腰三角形和不等邊三角形。性質(zhì)三角形的內(nèi)角和為180度，三角形兩邊之和大于第三邊。三角形高的性質(zhì)1垂直于對邊三角形的高線垂直于三角形的對邊。2頂點到對邊高線是從三角形頂點畫向?qū)叺拇咕€段。3垂足在對邊高線的垂足位于三角形的對邊上。4直角三角形三角形高線將三角形分成兩個直角三角形。三角形高性質(zhì)的應(yīng)用1計算三角形面積利用三角形面積公式，可以計算出三角形的面積。2證明三角形全等利用三角形高的性質(zhì)可以證明兩個三角形全等。3求解三角形邊長利用三角形的邊角關(guān)系，可以求出三角形的邊長。4解決幾何問題運用三角形高的性質(zhì)可以解決各種幾何問題。三角形高的性質(zhì)在實際應(yīng)用中具有重要意義。它可以幫助我們解決許多實際問題，例如測量三角形的面積、判斷三角形是否全等以及求解三角形的邊長等等。三角形中線的性質(zhì)連接頂點到對邊中點的線段三角形中線將三角形分成面積相等的兩個三角形，它是一個重要的幾何概念。中線交點性質(zhì)三角形的三條中線交于一點，這個點稱為三角形的中線交點，也稱為重心。重心性質(zhì)重心將每條中線分成2:1的比例，并且重心是三角形面積的重心。三角形中線性質(zhì)的應(yīng)用1求線段長度利用中線性質(zhì)，可以求出三角形中線長度或三角形邊長2證明線段關(guān)系通過中線性質(zhì)，可以證明三角形中線與其他線段之間的關(guān)系3三角形分類根據(jù)中線性質(zhì)，可以判斷三角形的類型，例如等腰三角形4證明三角形重心運用中線性質(zhì)，可以證明三角形三個中線交于一點，即重心三角形中線性質(zhì)是解決幾何問題的重要工具。它可以幫助我們求解線段長度，證明線段關(guān)系，并進行三角形分類三角形角平分線的性質(zhì)角平分線定理三角形角平分線將對邊分成兩部分，這兩部分的長度與角平分線所分開的兩邊的長度成比例角平分線性質(zhì)三角形角平分線上的點到角兩邊的距離相等?？梢岳么诵再|(zhì)來求解相關(guān)問題。三角形角平分線性質(zhì)的應(yīng)用1角平分線定理利用角平分線定理求線段的比例關(guān)系，解決三角形邊長、周長、面積等問題。2角平分線與平行線結(jié)合角平分線性質(zhì)與平行線性質(zhì)，求解三角形中線段的長度、角度等問題。3角平分線與相似三角形根據(jù)角平分線與相似三角形的關(guān)系，解決與三角形比例、面積相關(guān)的計算問題。三角形高、中線和角平分線的聯(lián)系三角形高、中線和角平分線是三角形中重要的線段。它們在三角形中有著獨特的性質(zhì)，并相互聯(lián)系。三角形高是連接三角形一個頂點與其對邊垂線的線段，它垂直于對邊；三角形中線是連接三角形一個頂點與其對邊中點的線段；三角形角平分線是連接三角形一個頂點與其對邊上對應(yīng)角的平分線。了解三角形高、中線和角平分線之間的聯(lián)系，有利于我們更好地理解和應(yīng)用三角形的性質(zhì)，解決幾何問題。幾何證明問題舉例1已知：如圖，△ABC中，AD為角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，求證：DE=DF證明：因為AD是角平分線，所以∠BAD=∠CAD。因為DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠DEA=∠DFA=90°。在△DEA和△DFA中，∠BAD=∠CAD，∠DEA=∠DFA，AD=AD，所以△DEA≌△DFA（AAS）。所以DE=DF。幾何證明問題舉例2已知：△ABC中，AD是角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，求證：BE=CF。證明：∵AD是角平分線，∴∠BAD=∠CAD。又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA=∠DFA=90°。在△ADE和△ADF中，∠BAD=∠CAD，∠DEA=∠DFA，AD=AD，∴△ADE≌△ADF(ASA)。∴DE=DF，AE=AF。在△BDE和△CDF中，∠DEB=∠DFC，DE=DF，BE=CF，∴△BDE≌△CDF(SAS)?！郆E=CF。幾何證明問題舉例3已知：如圖，△ABC中，AD是角平分線，BE是高線，且AD與BE相交于點F，求證：∠AFB=90°。證明：因為AD是∠BAC的角平分線，所以∠BAD=∠CAD。因為BE是高線，所以∠BEC=90°。所以∠ABE+∠BAE=90°，∠CBE+∠BCE=90°。因為∠BAE=∠CAD，所以∠ABE=∠CBE。所以△ABF≌△CBF（AAS）。所以∠AFB=∠CFB=90°。幾何證明問題舉例4已知：△ABC中，AD是角平分線，BE是高，且AD、BE交于點O，求證：∠AOB=90°+1/2∠C。證明：因為BE是高，所以∠BEC=90°。因為AD是角平分線，所以∠BAD=∠CAD。在△ABO中，∠AOB=180°-∠BAO-∠ABO=180°-1/2∠BAC-（90°-∠CBE）=90°+∠CBE-1/2∠BAC。又因為∠CBE=∠ABC-∠ABE=∠ABC-（90°-∠BAC）=∠ABC+∠BAC-90°，所以∠AOB=90°+（∠ABC+∠BAC-90°）-1/2∠BAC=90°+1/2∠C。幾何證明問題舉例5已知：△ABC中，AD是BC邊上的中線，∠BAD=∠CAD，求證：AB=AC證明：∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD∵∠BAD=∠CAD，AD是公共邊，∴△ABD≌△ACD∴AB=AC，證畢。三角形高、中線和角平分線綜合應(yīng)用1已知條件已知三角形ABC的邊長和高，求三角形ABC的面積和周長。思路分析利用三角形面積公式和周長公式，結(jié)合三角形高和中線之間的關(guān)系進行計算。步驟首先，利用三角形面積公式計算三角形ABC的面積，然后利用三角形周長公式計算三角形ABC的周長。舉例說明例如，已知三角形ABC的邊長為a,b,c,高為h，則三角形ABC的面積為1/2*a*h，周長為a+b+c。三角形高、中線和角平分線綜合應(yīng)用21三角形面積三角形高是面積公式的重要組成部分，利用高可以計算出三角形的面積。2三角形重心三角形三條中線交于一點，這個點稱為重心，且重心將每條中線分成2:1的比例。3三角形內(nèi)心三角形三條角平分線交于一點，這個點稱為內(nèi)心，且內(nèi)心到三條邊的距離相等。三角形高、中線和角平分線綜合應(yīng)用3題目分析仔細閱讀題目，確定已知條件和求證目標，找出關(guān)鍵的幾何圖形和性質(zhì)。構(gòu)建輔助線根據(jù)已知條件和求證目標，合理地構(gòu)建輔助線，將問題轉(zhuǎn)化為易于解決的形式。運用定理將三角形高、中線和角平分線的性質(zhì)以及其他相關(guān)幾何定理應(yīng)用到解題過程中。邏輯推理通過邏輯推理，證明結(jié)論的正確性，并注意書寫格式和規(guī)范。三角形高、中線和角平分線綜合應(yīng)用41題目分析認真閱讀題目，理解題意，找出已知條件和求證結(jié)論。2圖形分析根據(jù)題目條件，繪制圖形，并標注已知條件和求證結(jié)論。3思路分析結(jié)合圖形和已知條件，分析三角形高、中線和角平分線的性質(zhì)。4證明過程運用三角形高、中線和角平分線的性質(zhì)，進行嚴謹?shù)倪壿嬐评怼Ｈ切胃?、中線和角平分線綜合應(yīng)用51審題認真分析題意，找出已知條件和要求證明的結(jié)論。2構(gòu)圖根據(jù)題意畫出圖形，標明已知條件和要求證明的結(jié)論。3連接利用三角形高、中線和角平分線的性質(zhì)和定理，嘗試連接關(guān)鍵點，構(gòu)造輔助線。4證明運用幾何證明方法，嚴格推理，證明結(jié)論。5總結(jié)回顧解題過程，總結(jié)解題方法和技巧。三角形高、中線和角平分線知識小結(jié)1三角形的定義三個頂點和三條邊組成的封閉圖形，且每條邊至少與其他兩條邊相交。三角形高從三角形的一個頂點向其對邊或其延長線作垂線，這條垂線叫做三角形的高。三角形中線連接三角形一個頂點與其對邊中點的線段，叫做三角形的中線。三角形角平分線平分三角形一個內(nèi)角的射線叫做三角形的角平分線。三角形高、中線和角平分線知識小結(jié)2三線關(guān)系三角形的高、中線和角平分線在特殊情況下會重合，例如等邊三角形的三條高、中線和角平分線均重合。應(yīng)用場景三角形的高、中線和角平分線在幾何證明問題中經(jīng)常出現(xiàn)，可以幫助我們找到輔助線，簡化問題。重要定理理解三角形的高、中線和角平分線的性質(zhì)和定理，可以幫助我們快速解決問題。三角形高、中線和角平分線知識小結(jié)3三角形高三角形高是頂點到對邊垂線段。三角形高性質(zhì)：三角形的三條高交于一點，這個點稱為垂心。三角形中線三角形中線是連接頂點到對邊中點的線段。三角形中線性質(zhì)：三角形的三條中線交于一點，這個點稱為重心。三角形角平分線三角形角平分線是將一個角分成兩個相等的角的射線。三角形角平分線性質(zhì)：三角形的三條角平分線交于一點，這個點稱為內(nèi)心。典型習(xí)題講解11例題1已知三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為BC的中點，求證：AD⊥BC。2解題思路根據(jù)題意，AD是三角形ABC的中線，并且AB=AC，可以利用等腰三角形的性質(zhì)和中線性質(zhì)進行證明。3證明因為D是BC的中點，所以BD=CD。又因為AB=AC，所以三角形ABD和三角形ACD是全等的等腰三角形，因此AD⊥BC。典型習(xí)題講解2本節(jié)課將深入講解一道經(jīng)典例題，通過解題過程，幫助同學(xué)們更深入地理解三角形高、中線和角平分線的性質(zhì)及其在幾何證明中的應(yīng)用。1題目分析首先要仔細審題，理解題意，明確已知條件和求證結(jié)論。2方法選擇根據(jù)已知條件和求證結(jié)論，選擇合適的解題方法，例如：利用三角形高、中線和角平分線的性質(zhì)，或者其他幾何定理。3步驟拆解將解題過程分解成若干個步驟，每個步驟要清晰明了，并有理有據(jù)。4結(jié)論驗證最后要驗證結(jié)論是否符合題意，并總結(jié)解題思路和方法。通過講解這道例題，同學(xué)們可以學(xué)習(xí)到如何靈活運用三角形高、中線和角平分線的性質(zhì)，以及如何進行幾何證明。典型習(xí)題講解3題目已知三角形ABC中，角A的角平分線交BC于點D，求證：AD平分三角形ABC的面積。證明過點D分別作DE垂直于AB，DF垂直于AC，則DE=DF，且S△ABD=1/2*AB*DE，S△ACD=1/2*AC*DF。結(jié)論所以，S△ABD=S△ACD，即AD平分三角形ABC的面積。典型習(xí)題講解41問題解析認真審題，找出已知條件和目標結(jié)論2圖形分析分析圖形，尋找關(guān)鍵點和輔助線3邏輯推理應(yīng)用三角形高、中線和角平分線的性質(zhì)進行推理4書寫證明規(guī)范書寫證明過程，完整表達邏輯關(guān)系通過典型習(xí)題的講解，可以幫助學(xué)生更好地理解三角形高、中線和角平分線的性質(zhì)，并能靈活運用這些性質(zhì)解決實際問題。典型習(xí)題講解5題目解析此題考察三角形高、中線和角平分線的綜合應(yīng)用，需要學(xué)生掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活運用。解題思路首先根據(jù)已知條件，找到三角形中關(guān)鍵的線段，然后根據(jù)性質(zhì)進行推導(dǎo)，最后得出結(jié)論。解題步驟連接點D和點E利用三角形中線性質(zhì)證明DE平行于BC利用三角形角平分線性質(zhì)證明AD=AE利用等腰三角形性質(zhì)證明∠ADE=∠AED利用平行線性質(zhì)證明∠ADE=∠ABC根據(jù)角的關(guān)系得出結(jié)論答案∠ABC