全優(yōu)課堂·數(shù)學(xué)·必修第二冊(人教A版) 課后提能訓(xùn)練 試題及答案 6.2.3

第六章6.26.2.3A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．已知向量a，b，那么eq\f(1,2)(2a－4b)＋2b等于()A．a(chǎn)－2b B．a(chǎn)－4bC．a(chǎn) D．b【答案】C【解析】eq\f(1,2)(2a－4b)＋2b＝a－2b＋2b＝a．故選C．2．(多選)設(shè)a是非零向量，λ是非零實數(shù)，下列結(jié)論錯誤的有()A．a(chǎn)與－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|C．a(chǎn)與λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a【答案】ABD【解析】當(dāng)λ取負數(shù)時，a與－λa的方向是相同的，選項A錯誤；當(dāng)|λ|＜1時，|－λa|≥|a|不成立，選項B錯誤；因為λ≠0，所以λ2一定是正數(shù)，故a與λ2a的方向相同．|－λa|＝|λ|a中等號左邊表示一個數(shù)，而等號右邊表示一個向量，不可能相等，選項D錯誤．故選ABD．3．(2024年南京期末)向量a與b不共線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋kb，eq\o(AC,\s\up6(→))＝la＋b(k，l∈R)，且eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，則k，l應(yīng)滿足()A．k＋l＝0 B．k－l＝0C．kl＋1＝0 D．kl－1＝0【答案】D【解析】∵a，b不共線，∴l(xiāng)a＋b≠0，且eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，∴存在實數(shù)λ，使a＋kb＝λ(la＋b)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λl＝1，,k＝λ，))∴kl－1＝0．故選D．4．(2024年湖北期末)已知a，b是平面內(nèi)兩個不共線向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝ma＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3a－b，A，B，C三點共線，則m＝()A．－eq\f(2,3) B．eq\f(2,3)C．－6 D．6【答案】C【解析】∵A，B，C三點共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))共線，∴存在λ，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，∴ma＋2b＝3λa－λb，且a，b不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3λ，,－λ＝2，))解得m＝－6．故選C．5．(2024年北京潮陽區(qū)期中)在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a－3b，則四邊形ABCD的形狀是()A．長方形 B．平行四邊形C．菱形 D．梯形【答案】D【解析】∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a－3b，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，∴AD∥BC，且AD≠BC，∴四邊形ABCD為梯形，故選D．6．(2024年泰安泰山區(qū)月考)在平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，E為CD中點，點F滿足eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，則eq\o(EF,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,6)a－b B．eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bC．－eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b D．－eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b【答案】A【解析】如圖，連接DF，因為eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))－eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a－b．故選A．7．(2024年武漢期中)已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))，若記eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))，則λ＝________．【答案】eq\f(1,3)【解析】∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))，∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,3)．8．設(shè)a，b是兩個不共線的向量．若向量ka＋2b與8a＋kb的方向相反，則k＝________．【答案】－4【解析】因為向量ka＋2b與8a＋kb的方向相反，所以ka＋2b＝λ(8a＋kb)?k＝8λ，2＝λk?k＝－4(因為方向相反，所以λ＜0?k＜0)．9．已知點P在線段AB上，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4|eq\o(AP,\s\up6(→))|，設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))，則實數(shù)λ＝________．【答案】eq\f(1,3)【解析】因為|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4|eq\o(AP,\s\up6(→))|，則eq\o(AP,\s\up6(→))的長度是eq\o(PB,\s\up6(→))的長度的eq\f(1,3)，二者的方向相同，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))．10．化簡：(1)eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a＋2b－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))))－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b))；(2)4(a－b)－3(a＋b)－b．解：(1)原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,2)b))－a－eq\f(3,4)b＝a＋eq\f(3,4)b－a－eq\f(3,4)b＝0．(2)原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b．B級——綜合運用練11．已知向量a與b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，則λ的值等于()A．eq\f(r,R) B．－eq\f(r,R)C．－eq\f(R,r) D．eq\f(R,r)【答案】C【解析】∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|，即R＝|λ|r，|λ|＝eq\f(R,r)．又∵a與b反向，∴λ＝－eq\f(R,r)．12．著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理．設(shè)O，H分別是△ABC的外心、垂心，且M為BC中點，則()A．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(HM,\s\up6(→))＋3eq\o(MO,\s\up6(→)) B．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(HM,\s\up6(→))－3eq\o(MO,\s\up6(→))C．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(HM,\s\up6(→))＋4eq\o(MO,\s\up6(→)) D．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(HM,\s\up6(→))－4eq\o(MO,\s\up6(→))【答案】D【解析】如圖，Rt△ABC中，其中∠B為直角，則垂心H與B重合．∵O為△ABC的外心，∴OA＝OC，即O為斜邊AC的中點．又∵M為BC的中點，∴eq\o(AH,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))．∵M為BC的中點，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))＝2(eq\o(AH,\s\up6(→))＋eq\o(HM,\s\up6(→)))＝2(2eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(HM,\s\up6(→)))＝4eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(HM,\s\up6(→))＝2eq\o(HM,\s\up6(→))－4eq\o(MO,\s\up6(→))．故選D．13．設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共線，且eq\o(OC,\s\up6(→))＝aeq\o(OA,\s\up6(→))＋beq\o(OB,\s\up6(→))(a，b∈R)．(1)若a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(2,3)，求證：A，B，C三點共線；(2)若A，B，C三點共線，則a＋b是否為定值？請說明理由．(1)證明：當(dāng)a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(2,3)時，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\f(2,3)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，即2eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))．所以eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(CA,\s\up6(→))共線．又因為eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(CA,\s\up6(→))有公共點C，所以A，B，C三點共線．(2)解：a＋b為定值1．理由如下：因為A，B，C三點共線，所以eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))．不妨設(shè)eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，所以eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，即eq\o(OC,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))．又因為eq\o(OC,\s\up6(→))＝aeq\o(OA,\s\up6(→))＋beq\o(OB,\s\up6(→))，且eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共線，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1－λ，,b＝λ，))所以a＋b＝1(定值)．C級——創(chuàng)新拓展練14．(2024年安慶迎江區(qū)期中)設(shè)P為△ABC內(nèi)一點．且2eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，則S△ABP∶S△ABC＝()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,3)【答案】A【解析】2e