高三理科數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義模塊三考前增分篇一回扣教材糾錯(cuò)例析6解析幾何

一、回扣教材，糾錯(cuò)例析6．解析幾何[要點(diǎn)回扣]1．直線(xiàn)的傾斜角與斜率(1)傾斜角不是90°的直線(xiàn)，它的傾斜角的正切值叫這條直線(xiàn)的斜率k，即k＝tanα(α≠90°)；傾斜角為90°的直線(xiàn)沒(méi)有斜率；傾斜角α∈[0，π)；(2)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直線(xiàn)的斜率為k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)(x1≠x2)．[對(duì)點(diǎn)專(zhuān)練1]直線(xiàn)xcosθ＋eq\r(3)y－2＝0的傾斜角的范圍是________．[答案]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))2．直線(xiàn)的方程(1)點(diǎn)斜式：y－y0＝k(x－x0)，它不包括垂直于x軸的直線(xiàn)．(2)斜截式：y＝kx＋b，它不包括垂直于x軸的直線(xiàn)．(3)兩點(diǎn)式：eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)，它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)．(4)截距式：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)和過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)．(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)．[對(duì)點(diǎn)專(zhuān)練2]已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P(1,5)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則此直線(xiàn)的方程為_(kāi)_______．[答案]5x－y＝0或x＋y－6＝03．點(diǎn)到直線(xiàn)的距離及兩平行直線(xiàn)間的距離(1)點(diǎn)P(x0，y0)到直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0的距離為d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))；(2)兩平行線(xiàn)l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離為d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).[對(duì)點(diǎn)專(zhuān)練3]兩平行直線(xiàn)3x＋2y－5＝0與6x＋4y＋5＝0間的距離為_(kāi)_______．[答案]eq\f(15,26)eq\r(13)4．兩直線(xiàn)的位置關(guān)系在解析幾何中，研究?jī)蓷l直線(xiàn)的位置關(guān)系時(shí)，有可能這兩條直線(xiàn)重合，在用直線(xiàn)一般式方程研究?jī)芍本€(xiàn)位置關(guān)系時(shí)，eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)是兩直線(xiàn)平行的充分但不必要條件，同理k1k2＝－1也是兩直線(xiàn)垂直的充分但不必要條件．[對(duì)點(diǎn)專(zhuān)練4]設(shè)直線(xiàn)l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，當(dāng)m＝________時(shí)，l1∥l2；當(dāng)m＝________時(shí)，l1⊥l2；當(dāng)________時(shí)l1與l2相交；當(dāng)m＝________時(shí)，l1與l2重合．[答案]－1eq\f(1,2)m≠3且m≠－135．圓的方程在圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中不要忽視條件D2＋E2－4F>0.[對(duì)點(diǎn)專(zhuān)練5]若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圓，則a＝________.[答案]－16．與圓有關(guān)的距離問(wèn)題在圓中，注意利用半徑、半弦長(zhǎng)及弦心距組成的直角三角形．注意將圓上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)、定直線(xiàn)的距離轉(zhuǎn)化為圓心到它們的距離．[對(duì)點(diǎn)專(zhuān)練6]雙曲線(xiàn)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左焦點(diǎn)為F1，頂點(diǎn)為A1、A2，P是雙曲線(xiàn)右支上任意一點(diǎn)，則分別以線(xiàn)段PF1、A1A2為直徑的兩圓的位置關(guān)系為_(kāi)_______．[答案]內(nèi)切7．圓錐曲線(xiàn)的定義對(duì)圓錐曲線(xiàn)的定義要做到“咬文嚼字”，抓住關(guān)鍵詞，例如橢圓中定長(zhǎng)大于定點(diǎn)之間的距離，雙曲線(xiàn)定義中是到兩定點(diǎn)距離之差的“絕對(duì)值”，否則只是雙曲線(xiàn)的其中一支．在拋物線(xiàn)的定義中必須注意條件：F?l，否則定點(diǎn)的軌跡可能是過(guò)點(diǎn)F且垂直于直線(xiàn)l的一條直線(xiàn)．[對(duì)點(diǎn)專(zhuān)練7]已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)A(0,1)，B(0，－1)，動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)A、B的距離之和為4，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是________．[答案]eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝18．圓錐曲線(xiàn)的方程求橢圓、雙曲線(xiàn)及拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步驟，即先確定焦點(diǎn)的位置，再設(shè)出其方程，求出待定系數(shù)．[對(duì)點(diǎn)專(zhuān)練8]與雙曲線(xiàn)eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1有相同的漸近線(xiàn)，且過(guò)點(diǎn)(－3,2eq\r(3))的雙曲線(xiàn)方程為_(kāi)_______．[答案]eq\f(4x2,9)－eq\f(y2,4)＝19．圓錐曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)橢圓中，注意焦點(diǎn)、中心、短軸端點(diǎn)所組成的直角三角形．橢圓的焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離a－c，最大距離a＋c；雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)到相應(yīng)焦點(diǎn)的最小距離c－a.[對(duì)點(diǎn)專(zhuān)練9]已知F1、F2是橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則使|PF1|·|PF2|取最大值的點(diǎn)P為()A．(－2,0) B．(0,1)C．(2,0) D．(0,1)或(0，－1)[答案]D10．弦長(zhǎng)問(wèn)題(1)斜率為k的直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，|P1P2|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])或|P1P2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2]).(2)過(guò)拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于C(x1，y1)、D(x2，y2)，則弦長(zhǎng)|CD|＝x1＋x2＋p.[對(duì)點(diǎn)專(zhuān)練10]已知F是拋物線(xiàn)y2＝x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，|AF|＋|BF|＝3，則線(xiàn)段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為_(kāi)_______．[答案]eq\f(5,4)[易錯(cuò)盤(pán)點(diǎn)]易錯(cuò)點(diǎn)1直線(xiàn)傾斜角與斜率關(guān)系不清致誤【例1】已知直線(xiàn)xsinα＋y＝0，則該直線(xiàn)的傾斜角的變化范圍是________________．[錯(cuò)解]由題意得，直線(xiàn)xsinα＋y＝0的斜率k＝－sinα，∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1，直線(xiàn)的傾斜角的變化范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3,4)π)).[錯(cuò)因分析]直線(xiàn)斜率k＝tanβ(β為直線(xiàn)的傾斜角)在[0，π)上是不單調(diào)的且不連續(xù)．[正解]由題意得，直線(xiàn)xsinα＋y＝0直線(xiàn)的斜率k＝－sinα，∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1，當(dāng)－1≤k<0時(shí)，傾斜角的變化范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π，π))；當(dāng)0≤k≤1時(shí)，傾斜角的變化范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))).故直線(xiàn)的傾斜角的變化范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π，π)).由直線(xiàn)的斜率求傾斜角，一般利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助正切函數(shù)在[0，π)上的圖象，數(shù)形結(jié)合確定傾斜角的范圍．在這里要特別注意，正切函數(shù)在[0，π)上的圖象并不是單調(diào)函數(shù)，這一點(diǎn)是最容易被忽略而致錯(cuò)的．[對(duì)點(diǎn)專(zhuān)練1](1)傾斜角為135°，在y軸上的截距為－1的直線(xiàn)方程是()A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0(2)已知點(diǎn)A(2,1)，B(－2,2)，若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，－\f(1,5)))且總與線(xiàn)段AB有交點(diǎn)，則直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍是________．[解析](1)直線(xiàn)的斜率為k＝tan135°＝－1，所以直線(xiàn)方程為y＝－x－1，即x＋y＋1＝0，故選D.(2)當(dāng)直線(xiàn)l由位置PA繞點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)到位置PB時(shí)，l的斜率逐漸變大直至當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，當(dāng)直線(xiàn)l垂直于x軸時(shí)l無(wú)斜率，再轉(zhuǎn)時(shí)斜率為負(fù)值逐漸變大直到PB的位置，所以直線(xiàn)l的斜率k≥kPA＝eq\f(3,7)，或k≤kPB＝－eq\f(11,6)，故k的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(11,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)，＋∞)).[答案](1)D(2)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(11,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)，＋∞))易錯(cuò)點(diǎn)2忽略斜率不存在的直線(xiàn)致誤【例2】已知直線(xiàn)l1：(t＋2)x＋(1－t)y＝1與l2：(t－1)x＋(2t＋3)y＋2＝0互相垂直，則t的值為_(kāi)_______．[錯(cuò)解]直線(xiàn)l1的斜率k1＝－eq\f(t＋2,1－t)，直線(xiàn)l2的斜率k2＝－eq\f(t－1,2t＋3)，∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(t＋2,1－t)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(t－1,2t＋3)))＝－1，解得t＝－1.[錯(cuò)因分析](1)盲目認(rèn)為兩直線(xiàn)的斜率存在，忽視對(duì)參數(shù)的討論．(2)忽視兩直線(xiàn)有一條直線(xiàn)斜率為0，另一條直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，兩直線(xiàn)垂直這一情形．[正解]解法一：(1)當(dāng)l1，l2的斜率都存在時(shí)，由k1·k2＝－1，得t＝－1.(2)若l1的斜率不存在，此時(shí)t＝1，l1的方程為x＝eq\f(1,3)，l2的方程為y＝－eq\f(2,5)，顯然l1⊥l2，符合條件；若l2的斜率不存在，此時(shí)t＝－eq\f(3,2)，易知l1與l2不垂直，綜上t＝－1或t＝1.解法二：l1⊥l2?(t＋2)(t－1)＋(1－t)(2t＋3)＝0?t＝1或t＝－1.解決含有參數(shù)的直線(xiàn)的位置關(guān)系式問(wèn)題時(shí)，切記對(duì)直線(xiàn)的斜率存在與不存在進(jìn)行分類(lèi)討論，以避免出錯(cuò)．[對(duì)點(diǎn)專(zhuān)練2](1)“直線(xiàn)ax－y＝0與直線(xiàn)(a＋1)x－ay＝1垂直”是“a＝－2”成立的是()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(2)過(guò)點(diǎn)A(2，－3)與圓C：x2＋y2－2x＝0相切的直線(xiàn)方程為_(kāi)_______．[解析](1)由直線(xiàn)ax－y＝0與直線(xiàn)(a＋1)x－ay＝1垂直，得a(a＋1)＋a＝0，解得a＝0或a＝－2.選B.(2)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝1.①當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)x＝2與圓C相切；②當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0，由eq\f(|k－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，得k＝－eq\f(4,3).∴直線(xiàn)方程為y＋3＝－eq\f(4,3)(x－2)，即4x＋3y＋1＝0.故所求直線(xiàn)方程為x＝2或4x＋3y＋1＝0.[答案](1)B(2)x＝2或4x＋3y＋1＝0易錯(cuò)點(diǎn)3忽視圓的條件致誤【例3】已知過(guò)點(diǎn)P(2,1)有且只有一條直線(xiàn)與圓C：x2＋y2＋2ax＋ay＋2a2＋a－1＝0相切，則實(shí)數(shù)a＝________.[錯(cuò)解]∵過(guò)點(diǎn)P有且只有一條直線(xiàn)與圓C相切，∴點(diǎn)P在圓C上，∴4＋1＋4a＋a＋2a2＋a－1＝0.得a＝－1或a＝－2.[錯(cuò)因分析]忽視了x2＋y2＋2ax＋ay＋2a2＋a－1＝0表示圓的條件．[正解]由(2a)2＋a2－4(2a2＋a－1)>0，即3a2＋4a－4<0，得－2<a<eq\f(2,3).∵過(guò)點(diǎn)P有且只有一條直線(xiàn)與圓C相切，∴點(diǎn)P在圓C上，得4＋1＋4a＋a＋2a2＋a－1＝0，解得a＝－1或a＝－2(舍去)．綜上所述，a的值為－1.二元二次方程表示圓是有條件的，必須有D2＋E2－4F>0.本題的失分原因是忽視了這個(gè)條件．在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，可以直接判斷D2＋E2－4F>0，也可以配方后，判斷方程右側(cè)大于0，因?yàn)橛覀?cè)相當(dāng)于r2.[對(duì)點(diǎn)專(zhuān)練3](1)若圓x2＋y2＋mx－eq\f(1,4)＝0與直線(xiàn)y＝－1相切，其圓心在y軸的左側(cè)，則m＝________.(2)已知圓C的方程為x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，過(guò)點(diǎn)A(1,2)與圓C相切的直線(xiàn)有兩條，則a的取值范圍為_(kāi)_____________________．[解析](1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(m,2)))2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(m2＋1),2)))2，圓心到直線(xiàn)y＝－1的距離eq\f(\r(m2＋1),2)＝|0－(－1)|，解得m＝±eq\r(3)，因?yàn)閳A心在y軸的左側(cè)，所以m＝eq\r(3).(2)將圓C的方程配方有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2＋(y＋1)2＝eq\f(4－3a2,4)，∴eq\f(4－3a2,4)>0.①∴圓心C的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，－1))，半徑r＝eq\f(\r(4－3a2),2).當(dāng)點(diǎn)A在圓外時(shí)，過(guò)點(diǎn)A可作圓的兩條切線(xiàn)，∴|AC|>r，即eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a,2)))2＋2＋12)>eq\f(\r(4－3a2),2)，化簡(jiǎn)得a2＋a＋9>0.②由①②得－eq\f(2\r(3),3)<a<eq\f(2\r(3),3)，∴a的取值范圍是－eq\f(2\r(3),3)<a<eq\f(2\r(3),3).[答案](1)eq\r(3)(2)－eq\f(2\r(3),3)<a<eq\f(2\r(3),3)易錯(cuò)點(diǎn)4忽視圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)位置致誤【例4】已知雙曲線(xiàn)eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1的一條漸近線(xiàn)方程為y＝eq\f(4,3)x，則該雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_______．[錯(cuò)解]據(jù)已知得eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)，故雙曲線(xiàn)的離心率e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(5,3).[錯(cuò)因分析]只要mn>0，方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1就表示雙曲線(xiàn)．錯(cuò)解中錯(cuò)將雙曲線(xiàn)誤認(rèn)為焦點(diǎn)在x軸上．事實(shí)上只要m<0，n<0時(shí)焦點(diǎn)在y軸上，此時(shí)應(yīng)有eq\f(a,b)＝eq\f(4,3).[正解]分兩種情況討論：①m>0，n>0；eq\r(\f(n,m))＝eq\f(4,3)，eq\f(n,m)＝eq\f(b2,a2)＝eq\f(16,9)，e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1＋\f(16,9))＝eq\f(5,3).②m<0，n<0；eq\r(\f(n,m))＝eq\f(4,3)，eq\f(n,m)＝eq\f(a2,b2)＝eq\f(16,9)，e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1＋\f(9,16))＝eq\f(5,4).所以雙曲線(xiàn)的離心率為eq\f(5,3)或eq\f(5,4).求與橢圓或雙曲線(xiàn)的離心率有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，一定要關(guān)注焦點(diǎn)的位置對(duì)離心率的影響，必要時(shí)進(jìn)行分類(lèi)討論．[對(duì)點(diǎn)專(zhuān)練4](1)已知橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,k)＝1的離心率e＝eq\f(\r(10),5)，則實(shí)數(shù)k的值為()A．3 B．3或eq\f(25,3)C.eq\r(5) D.eq\r(15)或eq\f(\r(15),3)(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心，兩坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)的傾斜角為eq\f(π,3)，則雙曲線(xiàn)C的離心率為()A．2或eq\r(3) B．2或eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(2\r(3),3) D．2[解析](1)①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，a2＝5，b2＝k，c2＝5－k，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(5－k,5)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),5)))2解得k＝3；②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，a2＝k，b2＝5，c2＝a2－b2＝k－5，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(k－5,k)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),5)))2，解之得k＝eq\f(25,3).綜合①②知，適合條件的實(shí)數(shù)k＝3或eq\f(25,3).故選B.(2)①當(dāng)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由題意知雙曲線(xiàn)C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線(xiàn)方程為y＝±eq\f(b,a)x，所以eq\f(b,a)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3)，所以b＝eq\r(3)a，c＝eq\r(a2＋b2)＝2a，故雙曲線(xiàn)C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2a,a)＝2；②當(dāng)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，由題意知雙曲線(xiàn)C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線(xiàn)方程為y＝±eq\f(a,b)x，所以eq\f(a,b)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3)，所以a＝eq\r(3)b，c＝eq\r(a2＋b2)＝2b，故雙曲線(xiàn)C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2b,\r(3)b)＝eq\f(2\r(3),3).綜上所述，雙曲線(xiàn)C的離心率為2或eq\f(2\r(3),3)，故選B.[答案](1)B(2)B易錯(cuò)點(diǎn)5忽視限制條件致誤【例5】已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為_(kāi)_______．[錯(cuò)解]如圖所示，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B.根據(jù)兩圓外切的條件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因?yàn)閨MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2.所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C1、C2的距離的差是常數(shù)．又根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線(xiàn)，其中a＝1，c＝3，則b2＝8.故點(diǎn)M的軌跡方程為x2－eq\f(y2,8)＝1.[錯(cuò)因分析]錯(cuò)誤運(yùn)用雙曲線(xiàn)定義出錯(cuò)．本題中，|MC2|－|MC1|＝2，與雙曲線(xiàn)定義相比，左邊少了外層絕對(duì)值，因此只能是雙曲線(xiàn)的一支．如果不注意，就會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果，即點(diǎn)M的軌跡方程為x2－eq\f(y2,8)＝1.[正解]如圖所示，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B.根據(jù)兩圓外切的條件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因?yàn)閨MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2.所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C1、C2的距離的差是常數(shù)．又根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線(xiàn)的左支(點(diǎn)M與C2的距離大，與C1的距離小)，其中a＝1，c＝3，則b2＝8.故點(diǎn)M的軌跡方程為x2－eq\f(y2,8)＝1(x<0)．應(yīng)注意平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差等于定長(zhǎng)2a(a>0)的點(diǎn)的軌跡不一定是雙曲線(xiàn)；當(dāng)定長(zhǎng)2a<|F1F2|時(shí)，表示的只是雙曲線(xiàn)的一支；當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，表示的是一條射線(xiàn)；當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在．[對(duì)點(diǎn)專(zhuān)練5](1)直線(xiàn)y＝kx＋1(k∈R)與橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1恒有公共點(diǎn)．則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(0,1) B．(0,5)C．[1,5)∪(5，＋∞) D．(1，＋∞)(2)雙曲線(xiàn)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，若P為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，且|PF1|＝2|PF2|，則雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍為_(kāi)_______．[解析](1)由于直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)(0,1)，若恒有交點(diǎn)，所以m≥1，但是當(dāng)m＝5時(shí)曲線(xiàn)表示的是圓，故選C.(2)設(shè)|PF2|＝m，∠F1PF2＝θ(0<θ≤π)，當(dāng)點(diǎn)P在右頂點(diǎn)處時(shí)，θ＝π.e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(3m,m)＝3.當(dāng)θ≠π，由條件，得|PF1|＝2m，|F1F2|2＝m2＋(2m)2－4m2cosθ，且||PF1|－|PF2||＝m＝2a.所以e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(\r(m2＋2m2－4m2cosθ),m)＝eq\r(5－4cosθ).又－1<cosθ<1，所以e∈(1,3)．綜上，e∈(1,3]．[答案](1)C(2)(1,3]易錯(cuò)點(diǎn)6忽視“Δ>0”致誤【例6】已知橢圓C：eq\f(x2,2)＋y2＝1，過(guò)點(diǎn)M(2,0)的直線(xiàn)與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝teq\o(OP,\s\up6(→))(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，當(dāng)|AB|<eq\f(2\r(5),3)時(shí)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．[錯(cuò)解]由題意知直線(xiàn)AB的斜率存在，即t≠0.設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2,\f(x2,2)＋y2＝1))，得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.x1＋x2＝eq\f(8k2,1＋2k2)，x1x2＝eq\f(8k2－2,1＋2k2)，∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝teq\o(OP,\s\up6(→))，∴(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，x＝eq\f(x1＋x2,t)＝eq\f(8k2,t1＋2k2)，y＝eq\f(y1＋y2,t)＝eq\f(1,t)[k(x1＋x2)－4k]＝eq\f(－4k,t1＋2k2).∵P點(diǎn)在橢圓上，∴eq\f(8k22,[t1＋2k2]2)＋eq\f(2－4k2,[t1＋2k2]2)＝2，∴16k2＝t2(1＋2k2)．∵|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|<eq\f(2\r(5),3)，∴(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]<eq\f(20,9).∴(1＋k2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(64k4,1＋2k22)－4·\f(8k2－2,1＋2k2)))<eq\f(20,9)，得(4k2－1)(14k2＋13)>0，∴k2>eq\f(1,4).∵t2＝eq\f(16k2,1＋2k2)＝8－eq\f(8,1＋2k2)，且1＋2k2>eq\f(3,2)，∴eq\f(8,3)<t2<8，得－2eq\r(2)<t<－eq\f(2\r(6),3)或eq\f(2\r(6),3)<t<2eq\r(2).故實(shí)數(shù)t的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2\r(2)，－\f(2\r(6),3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(6),3)，2\r(2))).[錯(cuò)因分析]求t的范圍的前提是直線(xiàn)AB與橢圓相交，聯(lián)立方程后忽略了Δ>0這一條件．[正解]由題意知直線(xiàn)AB的斜率存在，即t≠0.設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2,\f(x2,2)＋y2＝1))，得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.由Δ＝64k4－4(2k2＋1)(8k2－2)>0，得k2<eq\f(1,2).x1＋x2＝eq\f(8k2,1＋2k2)，x1x2＝eq\f(8k2－2,1＋2k2)，∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝teq\o(OP,\s\up6(→))，∴(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，x＝eq\f(x1＋x2,t)＝eq\f(8k2,t1＋2k2)，y＝eq\f(y1＋y2,t)＝eq\f(1,t)[k(x1＋x2)－4k]＝eq\f(－4k,t1＋2k2).∵點(diǎn)P在橢圓C上，∴eq\f(8k22,[t1＋2k2]2)＋2eq\f(－4k2,[t1＋2k2]2)＝2，∴16k2＝t2(1＋2k2)．∵|eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))|<eq\f(2\r(5),3)，∴eq\r(1＋k2)|x1－x2|<eq\f(2\r(5),3)，∴(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]<eq\f(20,9)，∴(1＋k2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(64k2,1＋2k22)－4·\f(8k2－2,1＋2k2)))<eq\f(20,9)，∴(4k2－1)(14k2＋13)>0，∴k2>eq\f(1,4)