線性代數(shù)第5版課件：方陣的特征值與特征向量

線性代數(shù)特征值和特征向量的概念特征值和特征向量的計算矩陣的跡特征值和特征向量的性質(zhì)內(nèi)積性質(zhì):(1)對稱性≥0(2)線性性(3)正定性復(fù)習(xí)長度性質(zhì):(1)且(3)非零向量單位化——(2)(4)即:(三角不等式)向量正交結(jié)論與互相正交時，(勾股定理)(4)定理正交向量組線性無關(guān)(k＝2,3,…,m)(1)

零向量與任何向量正交.(2)與正交(3)施密特正交化方法：正交矩陣定義：QTQ＝QQT=E正交矩陣性質(zhì)：設(shè)P、Q為正交矩陣，則(1)或(3)Q－1=QT及PQ為正交矩陣(2)

Q－1=QT定理

設(shè)Q是n階實方陣，則Q是正交矩陣

Q的列向量組為Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基(行)(判斷正交矩陣:單位向量兩兩正交QTQ=E或檢查列向量組)機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束1.定義

假設(shè)A是n階方陣，如果存在數(shù)

和非零向量X，使得AX=X

稱

是矩陣A的一個特征值，X是對應(yīng)于

的一個特征向量。一、特征值和特征向量的概念例如注：無論取何值，方程均有零解；若僅有零解,則該不是特征值；求特征值即求使方程有非零解的——

—即是n次方程的根有非零解為A的特征值有非零解(此時必有無窮多解!)(特征根)2.相關(guān)概念——A的特征矩陣——A的特征多項式——A的特征方程(n次!)設(shè)An×n

,則稱相關(guān)知識:行列式計算;求齊次線性方程組基礎(chǔ)解系二、特征值和特征向量的計算1.求特征值，即求特征方程的根.(n次方程,在復(fù)數(shù)域內(nèi)有n個根)2.特征向量與特征值相對應(yīng),求特征向量必須先求特征值,再將它代入齊次線性方程組求出所有非零解(必存在！用基礎(chǔ)解系線性表示.)相關(guān)知識:行列式計算;求齊次線性方程組基礎(chǔ)解系例1

求矩陣的特征值和特征向量作業(yè)步驟!解：或∴A的特征值為對,齊次線性方程組(－E－A)X＝O的系數(shù)矩陣(－E－A)＝∴A的屬于特征值－1的全部特征向量為x3＝0x1＝－x2令x2＝1得基礎(chǔ)解系:∴X1＝(1,－1,0)Tk1(1,－1,0)T

(k1≠0)對

,齊次線性方程組(E－A)X＝O的系數(shù)矩陣(E－A)＝∴A的屬于特征值1的全部特征向量為x3＝－x2x1＝－x2令x2＝－1得基礎(chǔ)解系:∴X2＝(1,－1,1)Tk2(1,－1,1)T(k2≠0)對,方程組(3E－A)X＝O的系數(shù)矩陣(3E－A)＝∴A的屬于特征值1的全部特征向量為x2＝－x3x1＝0令x3＝1得基礎(chǔ)解系:∴X3＝(0,－1,1)Tk3(0,－1,1)T(k3≠0)例2

求矩陣的特征值和特征向量(P143例4-9)解：∴A的特征值為：對

，(－2E－A)＝∴A的屬于特征值－2的全部特征向量為x1＝x2－x3∴X1＝(1,1,0)T，k1(1,1,0)T＋

k2(－1,0,1)T(k1、k2不全為0)分別為得基礎(chǔ)解系:

令X2＝(－1,0,1)T齊次線性方程組(－2E－A)X＝O系數(shù)矩陣對,齊次線性方程組(4E－A)X＝O的系數(shù)矩陣(4E－A)＝∴A的屬于特征值4的全部特征向量為x3＝2x2x1＝x2令x2＝1得基礎(chǔ)解系:∴X3＝(1,1,2)Tk3(1,1,2)T(k3≠0)例3

求矩陣的特征值和特征向量(P120例4－5)例4.

證明：An×n奇異

A有一個特征值為零例5.

A為冪等(矩)陣證明：冪等矩陣的特征值只能為0或1d證：設(shè)為A的任一特征值,

A的屬于的一個特征向量為X，則(利用條件?)左乘A得：即：亦即：或A2＝

AA2＝A三、矩陣的跡1.

特征多項式的系數(shù)分析二階矩陣的特征多項式：首項系數(shù)為1；一次項系數(shù)為A的主對角線元素之和的相反數(shù);常數(shù)項為除主對角線元乘積外,每一乘積項至少含一非主對角線元

_aij因而不含及,故次數(shù)至多n－2,即只有主對角線元乘積一項含及首項系數(shù)為1的n次多項式;

系數(shù)為A的主對角線元素之和的相反數(shù);常數(shù)項為根據(jù)多項式理論，在復(fù)數(shù)域上恰有n個根又由及得：由根與系數(shù)的關(guān)系，有：性質(zhì)：(4)tr(A+B)=(3)tr(kA)=(2)tr(AT)＝(5)tr(AB)=tr(BA)(6)tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB)(1)tr(A)=tr(A)ktr(A)tr(A)+tr(B)2.矩陣的跡定義：A=(Aij)m×n，A的主對角線元素之和稱為A的跡，記為:tr(A)=a11+a22+…+ann=(5)的證明:四、特征值和特征向量的性質(zhì)3.A與AT有相同的特征值(只要證其特征多項式相同)證：2.An×n奇異

A有一個特征值為零；An×n

非奇異

A的任一特征值不為零.4.An×n有特征值

,其對應(yīng)特征向量X(1)aA+bE有特征值(2)Am有特征值(3)

有特征值

(4)A可逆時,

A－1有特征值

;A*有特征值且它們對應(yīng)的特征向量仍為X.綜合(1)、(2)得：(1)(aA+bE)X=(2)A2X＝A·AX＝

若是的k重根，則稱為A的k重特征值，也稱的代數(shù)重數(shù)為k；稱為的幾何維數(shù).5.X1、X2是A的屬于的特征向量，

則非零線性組合k1X1＋k2X2

也是A的屬于的特征向量的解空間中，除零向量外的全體解向量就是A的屬于的全體特征向量；解空間稱為矩陣A關(guān)于特征值的特征子空間,記例1三個特征值的代數(shù)重數(shù)、幾何維數(shù)均為1.——X1=(1,-1,0)T——X2=(1,-1,1)T——X3=(0,1,-1)T例2代數(shù)重數(shù)、幾何維數(shù)均為1.代數(shù)重數(shù)、幾何維數(shù)均為2.——X1=(1,1,2)T——X2=(1,1,0)T,X3=(-1,0,1)T例3代數(shù)重數(shù)、幾何維數(shù)均為1.代數(shù)重數(shù)2，幾何維數(shù)1.——X1=(0,0,1)T——X2=(1,2,-1)T6.A的互不相同的特征值對應(yīng)的特征向量證:

s＝1,因為特征向量不為零,故結(jié)論成立假設(shè)s=m－1時結(jié)論成立,即線性無關(guān).

s=m:令用A左乘(1),由得：得：線性無關(guān)代入(1)得而線性無關(guān)線性無關(guān).

（P143數(shù)學(xué)歸納法證明)∴k1=k2=…=km-1=0∴km=0推論：一個特征向量不可能屬于不同的特征值.(即同一個矩陣不同的特征值所對應(yīng)的特征向量不同)

注：由矩陣A各特征值對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量構(gòu)成的向量組線性無關(guān)。(P159定理4-11)證明:自己思考,或查閱其他教材如:清華大學(xué)出版社《線性代數(shù)》（居余馬編著）只要證：

A的k重特征值所對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量至多有k，即7.

特征值的幾何維數(shù)≤代數(shù)重數(shù)1)An×n有n個不同特征值

A有n個線性無關(guān)的特征向量.各對應(yīng)一個線性無關(guān)的特征向量2)An×n有特征值

,分別為k1,k2,…,ks重且分別對應(yīng)m1,m2,…,ms個線性無關(guān)特征向量,則mi≤ki故A共有m1+…+ms≤k1+…+ks=n個線性無關(guān)特征向量.例6例7

(04考研)設(shè)n階矩陣求A的特征值和特征向量.作業(yè):

P145

習(xí)題4.2

1(1)(3)，2,3，4，6

線性代數(shù)是一種語言，必須用學(xué)習(xí)外語的方法每天學(xué)習(xí)這種語言．

David.C.Lay

設(shè)解:(1)(過程略)(1)求A的特征值和特征向量；(2)求可逆陣U，使U-1AU為對角陣