中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)二次函數(shù)重難點練習(xí)專題25 二次函數(shù)與最大角問題（原卷版）

專題25二次函數(shù)與最大角問題解題點撥【問題描述】1471年，德國數(shù)學(xué)家米勒向諾德爾提出這樣一個問題：如圖，點A、B直線l的同一側(cè)，在直線l上取一點P，使得∠APB最大，求P點位置．【問題鋪墊】圓外角：如圖，像∠APB這樣頂點在圓外，兩邊和圓相交的角叫圓外角．相關(guān)結(jié)論：圓外角等于這個角所夾兩條弧的度數(shù)差（大減?。┑囊话耄鐖D，．換句話說，對同一個圓而言，圓周角>圓外角．【問題解決】結(jié)論：當(dāng)點P不與A、B共線時，作△PAB的外接圓，當(dāng)圓與直線l相切時，∠APB最大．證明：在直線l上任取一點M（不與點P重合），連接AM、BM，∠AMB即為圓O的圓外角，∴∠APB>∠AMB，∠APB最大．∴當(dāng)圓與直線l相切時，∠APB最大．特別地，若點A、B與P分別在一個角的兩邊，如下圖，則有．（切割線定理）證明：∵∠POA=∠BOP，∠OPA=∠OBP（弦切角定理）∴△AOP∽△POB，∴，∴．即可通過OA、OB線段長確定OP長，便知P點位置．直擊中考1．（山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，頂點為的拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，過點作軸交拋物線于另一點，作軸，垂足為點.雙曲線經(jīng)過點，連接，.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點，分別是軸，軸上的兩點，當(dāng)以，，，為頂點的四邊形周長最小時，求出點，的坐標(biāo)；（3）動點P從點O出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿0C方向運動,運動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，∠BPD的度數(shù)最大?(請直接寫出結(jié)果)

2．如圖，已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且頂點的縱坐標(biāo)為，點D是線段BC的中點，點E、F分別是線段OB，OC上的動點．（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在點E，F(xiàn)，使得DEF為等邊三角形？若存在，請求出點E，F(xiàn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）當(dāng)∠BFD的度數(shù)最大時，求tan∠OBF的值．

3．（2022·山東日照·日照市新營中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，已知拋物線經(jīng)過點和點，與y軸交于點C．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)若P是直線BC下方的拋物線上一個動點，（不點B，C重合），過點P作y軸的平行線交直線BC于點D，①求線段PD長度的最大值．②若為直角三角形，求出P點坐標(biāo)(3)點E為y軸上一動點，連接AE，BE，形成，當(dāng)?shù)亩葦?shù)最大時，求點E的坐標(biāo)．

4．（2022·山東濟寧·統(tǒng)考一模）如圖，頂點為M的拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A(﹣1，0)，B兩點，與y軸交于點C，過點C作CD⊥y軸交拋物線于另一點D，作DE⊥x軸，垂足為點E，雙曲線y=(x＞0)經(jīng)過點D，連接MD，BD．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點N，F(xiàn)分別是x軸，y軸上的兩點，當(dāng)以M，D，N，F(xiàn)為頂點的四邊形周長最小時，求出點N，F(xiàn)的坐標(biāo)；（3）動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿OC方向運動，運動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，∠BPD的度數(shù)最大？

5．（2020·浙江寧波·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，如圖1，O是坐標(biāo)原點，拋物線（a≠0）經(jīng)過A、B、C三點，AB⊥y軸于點A，AB=2，AO=4，OC=5，點D是線段AO上一動點，連接CD、BD．（1）求出拋物線的解析式；（2）如圖2