2024-2025學年高中數(shù)學課時分層作業(yè)6三角形中的幾何計算含解析新人教A版必修5

PAGE1-課時分層作業(yè)(六)三角形中的幾何計算(建議用時：60分鐘)[基礎達標練]一、選擇題1．已知銳角△ABC的面積為3eq\r(3)，BC＝4，CA＝3，則角C的大小為()A．60°或120° B．120°C．60° D．30°C[S△ABC＝eq\f(1,2)·BC·CA·sinC＝3eq\r(3)，∴sinC＝eq\f(\r(3),2)，∵C∈(0°，90°)，∴C＝60°.]2．在△ABC中，三邊a，b，c與面積S的關系式為a2＋4S＝b2＋c2，則角A為()A．45° B．60°C．120° D．150°A[4S＝b2＋c2－a2＝2bccosA，∴4·eq\f(1,2)bcsinA＝2bccosA，∴tanA＝1，又∵A∈(0°，180°)，∴A＝45°.]3．三角形的一邊長為14，這條邊所對的角為60°，另兩邊之比為8∶5，則這個三角形的面積為()A．40eq\r(3) B．20eq\r(3)C．40eq\r(2) D．20eq\r(2)A[設另兩邊長為8x，5x，則cos60°＝eq\f(64x2＋25x2－142,80x2)＝eq\f(1,2)，解得x＝2.兩邊長是16與10，三角形的面積是eq\f(1,2)×16×10×sin60°＝40eq\r(3).]4．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面積為eq\r(3)，則eq\f(a,sinA)等于()A．eq\f(2\r(39),3) B．eq\f(2\r(29),3)C．eq\f(26\r(3),3) D．3eq\r(3)A[面積S＝eq\r(3)＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×1×c×eq\f(\r(3),2)，∴c＝4，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝12＋42－2×1×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝13，∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(\r(13),\f(\r(3),2))＝eq\f(2\r(39),3).]5．在平行四邊形ABCD中，對角線AC＝eq\r(65)，BD＝eq\r(17)，周長為18，則這個平行四邊形的面積是()A．8 B．16C．18 D．32B[在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝65，即AB2＋AD2－2AB·AD·cosB＝65，①在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA＝17，②又cosA＋cosB＝0.①＋②得AB2＋AD2＝41，又AB＋AD＝9，∴AB＝5，AD＝4或AB＝4，AD＝5.∴cosA＝eq\f(3,5)，A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴sinA＝eq\f(4,5)，∴這個平行四邊形的面積S＝5·4·eq\f(4,5)＝16.]二、填空題6．在△ABC中，B＝60°，AB＝1，BC＝4，則BC邊上的中線AD的長為________．eq\r(3)[畫出三角形(略)知AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos60°＝3，∴AD＝eq\r(3).]7．在△ABC中，若A＝60°，b＝16，此三角形的面積S＝220eq\r(3)，則a的值為________．49[由eq\f(1,2)bcsinA＝220eq\r(3)得c＝55，又a2＝b2＋c2－2bccosA＝2401，所以a＝49.]8．在△ABC中，B＝120°，b＝7，c＝5，則△ABC的面積為________．eq\f(15\r(3),4)[由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即49＝a2＋25－2×5×acos120°，整理得a2＋5a－24＝0，解得a＝3或a＝－8(舍)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×3×5sin120°＝eq\f(15\r(3),4).]三、解答題9．已知△ABC的三內(nèi)角滿意cos(A＋B)cos(A－B)＝1－5sin2C，求證：a2＋b2＝5c2.[證明]由已知得cos2Acos2B－sin2Asin2B＝1－5sin2C，∴(1－sin2A)(1－sin2B)－sin2Asin2B＝1－5sin2C，∴1－sin2A－sin2B＝1－5sin2C，∴sin2A＋sin2B＝5sin2C.由正弦定理得，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2R)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2R)))eq\s\up12(2)＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2R)))eq\s\up12(2)，即a2＋b2＝5c2.10．四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.(1)求C和BD；(2)求四邊形ABCD的面積．[解](1)由題設及余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC＝13－12cosC， ①BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcosA＝5＋4cosC． ②由①，②得cosC＝eq\f(1,2)，故C＝60°，BD＝eq\r(7).(2)四邊形ABCD的面積S＝eq\f(1,2)AB·DAsinA＋eq\f(1,2)BC·CDsinC＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×2＋\f(1,2)×3×2))·sin60°＝2eq\r(3).[實力提升練]1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝eq\f(1,2)b，且a>b，則B＝()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)A[由正弦定理可得sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝eq\f(1,2)sinB，又因為sinB≠0，所以sinAcosC＋sinCcosA＝eq\f(1,2)，所以sin(A＋C)＝sinB＝eq\f(1,2).因為a>b，所以B＝eq\f(π,6).]2．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，且1＋2cos(B＋C)＝0，則BC邊上的高等于()A．eq\f(\r(2)＋1,3) B．eq\f(\r(3)＋1,2)C．eq\f(\r(5)＋1,5) D．eq\f(\r(7)＋1,4)B[由1＋2cos(B＋C)＝0，得1－2cosA＝0，即cosA＝eq\f(1,2)，所以A＝eq\f(π,3).由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(2)sin\f(π,3),\r(3))＝eq\f(\r(2),2)，因為b＜a，所以B＜A，得B＝eq\f(π,4).由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，即3＝2＋c2－eq\r(2)c，得c2－eq\r(2)c－1＝0，解得c＝eq\f(\r(2)＋\r(6),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＝\f(\r(2)－\r(6),2)舍去))，所以BC邊上的高h＝csinB＝eq\f(\r(2)＋\r(6),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1＋\r(3),2).故選B.]3．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知a＝2eq\r(3)，c＝2eq\r(2)，1＋eq\f(tanA,tanB)＝eq\f(2c,b)，則角C的值為________．eq\f(π,4)[由正弦定理得1＋eq\f(sinA,cosA)·eq\f(cosB,sinB)＝eq\f(2sinC,sinB)，即eq\f(sin（A＋B）,sinBcosA)＝eq\f(2sinC,sinB)，∴cosA＝eq\f(1,2)，A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，A＝eq\f(π,3)，sinA＝eq\f(\r(3),2)，由eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)得sinC＝eq\f(\r(2),2)，又c<a，C<A，∴C＝eq\f(π,4).]4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知△ABC的面積為3eq\r(15)，b－c＝2，cosA＝－eq\f(1,4)，則a的值為________．8[在△ABC中，由cosA＝－eq\f(1,4)可得sinA＝eq\f(\r(15),4)，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)bc×\f(\r(15),4)＝3\r(15)，,b－c＝2，,a2＝b2＋c2－2bc×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝8，,b＝6，,c＝4.))]5．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.向量m＝(a，eq\r(3)b)與n＝(cosA，sinB)平行．(1)求A；(2)若a＝eq\r(7)，b＝2，求△ABC的面積．[解](1)因為m∥n，所以asinB－eq\r(3)bcosA＝0，由正弦定理，得sinAsinB－eq\r(3)sinBcosA＝0，又sinB≠0，從而tanA＝eq\r(3).由于0<A<π，所以A＝eq\f(π,3).(2)法一：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝eq\r(7)，b＝2，A＝eq\f(π,3)，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0.因為c>0，所以c＝3.故△ABC的面積為eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(3\r(3),2).法二：由正弦定理，得eq\f(\r(7),sin\f(π,3))＝eq\f(2,s