【數(shù)學(xué)】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念+課件-2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

第七章<<<7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念1.了解引進(jìn)虛數(shù)單位i的必要性，了解數(shù)系的擴(kuò)充過程.2.理解在數(shù)系的擴(kuò)充中由實數(shù)集擴(kuò)展到復(fù)數(shù)集出現(xiàn)的一些基本概念.(重點)3.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的表示方法及分類，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.(難點)學(xué)習(xí)目標(biāo)

導(dǎo)語一、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念二、復(fù)數(shù)的分類課時對點練三、復(fù)數(shù)相等的充要條件隨堂演練內(nèi)容索引一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念我們知道，方程x2+1=0在實數(shù)集中無解，聯(lián)系從自然數(shù)集到實數(shù)集的擴(kuò)充過程，你能給出一種方法，適當(dāng)擴(kuò)充實數(shù)集，使這個方程有解嗎？問題提示為了解決x2+1=0這樣的方程在實數(shù)系中無解的問題，我們設(shè)想引入一個新數(shù)i，使得x=i是方程x2+1=0的解，即使得i2=-1.1.復(fù)數(shù)(1)定義：我們把形如

的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做________，滿足i2=

.(2)表示方法：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，其中a叫做復(fù)數(shù)z的

，b叫做復(fù)數(shù)z的

.2.復(fù)數(shù)集(1)定義：全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合C=｛a+bi|a，b∈R｝叫做

.(2)表示：通常用大寫字母

表示.a+bi(a，b∈R)虛數(shù)單位-1實部虛部復(fù)數(shù)集C(1)i2=-1.(2)i和實數(shù)之間能進(jìn)行加法、乘法運算.

注

意

點<<<

例

1

1+3i-2-i+10+i0i2實部1-20+100-1虛部30-000復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=a+bi，只有當(dāng)a，b∈R時，a才是z的實部，b才是z的虛部，且注意虛部不是bi，而是b.

反思感悟

復(fù)數(shù)z=2i+3i2的實部是A.0B.2 C.3 D.-3跟蹤訓(xùn)練

1√由于i2=-1，則z=2i+3i2=-3+2i，所以實部是-3.二復(fù)數(shù)的分類1.復(fù)數(shù)z=a+bi(a，b∈R)可以分類如下：實數(shù)虛數(shù)

例

2

(2)z是虛數(shù)；

(3)z是純虛數(shù).若z是純虛數(shù)，則m需滿足

反思感悟(1)利用復(fù)數(shù)的分類求參數(shù)時，應(yīng)將復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式z=a+bi(a，b∈R).特別注意若z為純虛數(shù)，則b≠0且a=0.(2)要注意確定使實部、虛部有意義的條件，再結(jié)合實部與虛部的取值求解.(1)(多選)下列說法正確的是A.對于復(fù)數(shù)a+bi(a，b∈R)，若a=0，則a+bi為純虛數(shù)B.對于復(fù)數(shù)a+bi(a，b∈R)，若b=0，則a+bi為實數(shù)C.若a∈R，則(a2+1)i是純虛數(shù)D.實數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集跟蹤訓(xùn)練

2√√√對于復(fù)數(shù)a+bi(a，b∈R)，若a=0，b=0，則a+bi為實數(shù)0，若b=0，則a+bi=a為實數(shù)，故A錯誤，B正確；若a∈R，則a2+1≠0，所以(a2+1)i是純虛數(shù)，故C正確；顯然D正確.(2)已知m∈R，復(fù)數(shù)z=lgm+(m2-1)i，當(dāng)m為何值時，①z為實數(shù)；

②z為虛數(shù)；

③z為純虛數(shù).

三復(fù)數(shù)相等的充要條件在復(fù)數(shù)集C=｛a+bi|a，b∈R｝中任取兩個數(shù)a+bi，c+di(a，b，c，d∈R)，我們規(guī)定：a+bi與c+di相等當(dāng)且僅當(dāng)

.特殊地，a+bi=0?

.a=c且b=da=b=0(1)若(x+y)+yi=(x+1)i，求實數(shù)x，y的值.例

3由復(fù)數(shù)相等的充要條件，得

(2)已知復(fù)數(shù)x2-1+(y+1)i大于復(fù)數(shù)2x+3+(y2-1)i.求實數(shù)x，y的取值范圍.由題意得，兩個復(fù)數(shù)都是實數(shù).因為x2-1+(y+1)i>2x+3+(y2-1)i，

反思感悟(1)必須是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式才可以根據(jù)實部與實部相等，虛部與虛部相等列方程組求解.(2)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題，為應(yīng)用方程思想提供了條件，同時這也是復(fù)數(shù)問題實數(shù)化思想的體現(xiàn).(3)如果兩個復(fù)數(shù)都是實數(shù)，可以比較大小，否則是不能比較大小的.復(fù)數(shù)相等問題的解題技巧

復(fù)數(shù)z1=(2m+7)+(m2-2)i，z2=(m2-8)+(4m+3)i，m∈R，若z1=z2，則m=

.

跟蹤訓(xùn)練

35

1.知識清單：(1)數(shù)系的擴(kuò)充.(2)復(fù)數(shù)的概念.(3)復(fù)數(shù)的分類.(4)復(fù)數(shù)相等的充要條件.2.方法歸納：方程思想.3.常見誤區(qū)：未化成z=a+bi(a，b∈R)的形式.隨堂演練四1234

√

2.若復(fù)數(shù)z=ai2-bi(a，b∈R)是純虛數(shù)，則一定有A.b=0 B.a=0且b≠0C.a=0或b=0 D.ab≠01234√z=ai2-bi=-a-bi，由純虛數(shù)的定義可得a=0且b≠0.3.若復(fù)數(shù)z=m2-1+(m2-m-2)i為純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為A.-1B.±1 C.1D.-21234√因為復(fù)數(shù)z=m2-1+(m2-m-2)i為純虛數(shù)，所以m2-m-2≠0且m2-1=0，解得m=1.4.已知x2-y2+2xyi=2i(其中x>0)，則實數(shù)x，y的值分別為

.

1234

∵x2-y2+2xyi=2i，

課時對點練五答案題號12345678答案BDABCDACDA或-｛0｝題號11

121314

15答案CBABC1+2i或2+i

C對一對123456789101112131415169.

答案123456789101112131415169.

答案1234567891011121314151610.

答案1234567891011121314151616.

答案1234567891011121314151616.

答案123456789101112131415161.設(shè)a，b∈R，則“a=0”是“復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件123456789101112131415基礎(chǔ)鞏固√16答案123456789101112131415因為a，b∈R，當(dāng)“a=0”時，“復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)”不一定成立，也可能b=0，即a+bi=0∈R.而當(dāng)“復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)”時，“a=0”一定成立.所以a，b∈R，“a=0”是“復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的必要不充分條件.16答案2.已知2-ai=b+3i(a，b∈R)(i為虛數(shù)單位)，則a+b等于A.5 B.6 C.1 D.-1123456789101112131415√16依題意得b=2且a=-3.∴a+b=-1.答案

√123456789101112131415

16答案1234567891011121314154.(多選)下列命題中錯誤的有A.若x，y∈R，則x+yi=1+i的充要條件是x=y=1B.若復(fù)數(shù)z∈R，則其虛部不存在C.若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0，則z1=z2=z3D.若實數(shù)a與ai對應(yīng)，則實數(shù)集與復(fù)數(shù)集一一對應(yīng)√√16√答案123456789101112131415由復(fù)數(shù)相等的定義知A正確；實數(shù)的虛部為0，故B錯誤；對于C，只有當(dāng)z1，z2，z3∈R時，才有z1=z2=z3，否則不成立，故C錯誤；D顯然錯誤.16答案

123456789101112131415√

16√√答案6.已知a，b∈R，若a2-b+(a-b)i>2(i為虛數(shù)單位)，則a的取值范圍是A.a>2或a<-1 B.a>1或a<-2C.-1<a<2 D.-2<a<1123456789101112131415√16答案123456789101112131415

16答案1234567891011121314157.已知a2+(m+2i)a+2+mi=0(m∈R)成立，則實數(shù)a的值為

.

16答案1234567891011121314158.已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i，z2=2a+(a2+a)i，其中a∈R，若z1>z2，則a的取值集合為

.

｛0｝16

答案

123456789101112131415

16答案(2)虛數(shù)；123456789101112131415

16答案(3)純虛數(shù).123456789101112131415

16答案12345678910111213141510.已知M=｛1，(m2-2m)+(m2+m-2)i｝，P=｛-1，1，4i｝，若M∪P=P，求實數(shù)m的值.16答案123456789101112131415

16答案11.若復(fù)數(shù)a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是純虛數(shù)，則A.a=-1 B.a≠-1且a≠2C.a≠-1 D.a≠2123456789101112131415√綜合運用16答案123456789101112131415復(fù)數(shù)a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是純虛數(shù)，則有a2-a-2≠0或|a-1|-1=0，解得a≠-1.16答案12.已知關(guān)于x的方程(x2+mx)+2xi=-2-2i(m∈R)有實數(shù)根n，且z=m+ni，則復(fù)數(shù)z等于A.3+i B.3-iC.-3-i D.-3+i123456789101112131415√16

答案

123456789101112131415√√√16答案1