2024-2025學(xué)年上海市普陀區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷 （含解析）

2024-2025學(xué)年上海市普陀區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共6題，每題2分，滿分12分）1．（2分）下列二次根式中，與是同類二次根式的是A． B． C． D．2．（2分）在下列關(guān)于的一元二次方程中，一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的是A． B． C． D．3．（2分）已知正比例函數(shù)（其中為常數(shù)，且，如果的值隨的值增大而增大，那么下列的值中，不可能的是A． B． C．0 D．24．（2分）下列關(guān)于反比例函數(shù)的說法中，正確的是A．圖象在第一、三象限 B．比例系數(shù)為 C．當(dāng)自變量的值逐漸增大時(shí)，的值隨著逐漸增大 D．如果點(diǎn)和點(diǎn)在該函數(shù)的圖象上，那么5．（2分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都為1，點(diǎn)、、、、、均在格點(diǎn)上，那么和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是A．直線 B．直線 C．直線 D．直線6．（2分）如圖，在△中，，點(diǎn)在邊上且到邊和邊的距離相等．以點(diǎn)為圓心，線段的長為半徑畫弧交邊于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．下列結(jié)論中，不一定正確的是A． B． C． D．二、填空題（本大題共12題，每題3分，滿分36分）7．（3分）化簡：．8．（3分）方程的根是．9．（3分）函數(shù)的定義域是．10．（3分）已知函數(shù)，那么．11．（3分）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：．12．（3分）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，那么．13．（3分）某新能源汽車品牌2022年在國內(nèi)的銷量為10萬輛，2024年銷量達(dá)到了19.6萬輛，如果該品牌汽車銷量的年增長率均為，那么可列方程為．14．（3分）命題“底邊及底邊上的高對應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等”是命題．（填“真”或“假”15．（3分）如圖，在△中，，平分，若，，則．16．（3分）如圖，已知在△和△中，，，，如果，那么的大小為．17．（3分）定義：如果函數(shù)圖象上的一個(gè)點(diǎn)向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位后仍在這個(gè)函數(shù)圖象上，我們稱這個(gè)函數(shù)是“可回旋”函數(shù)，稱為這個(gè)函數(shù)的“可回旋單位”．如果是“可回旋”函數(shù)，那么這個(gè)函數(shù)的“可回旋單位”是．18．（3分）如圖，已知等腰△中，，將△繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，點(diǎn)、的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、．如果直線與直線的夾角為，那么△面積的值等于．三、筒答題（本大題共4題，每道6分，滿分52分）19．（6分）計(jì)算：．20．（6分）解方程：．21．（6分）居住同一小區(qū)的甲、乙兩位好友，某日他們相約去廣場游玩．甲認(rèn)為開小轎車快，乙認(rèn)為城市路況復(fù)雜，開電動自行車靈活，可能更快．于是他們決定同時(shí)出發(fā)，采用各自的方式前往廣場，假設(shè)兩種通行方式的路程一樣，乙全程勻速前行，并約定先到者拍照發(fā)給對方．已知甲相距廣場的距離（千米）與所用時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系，如圖所示；如表記錄了乙相距小區(qū)的距離（千米）與所用時(shí)間（小時(shí)）之間的部分?jǐn)?shù)據(jù)．時(shí)間（時(shí)0.10.3距離（千米）269根據(jù)提供的信息，回答下列問題：（1）由表可知，關(guān)于的函數(shù)解析式為；的值為；（2）由圖可知，的值為；在的時(shí)段內(nèi)，甲的速度為千米時(shí)；（3）先到達(dá)廣場并拍照的人是，且比另一位早到分鐘．22．（6分）如圖，已知為的一邊上一點(diǎn)，．（1）如果點(diǎn)在射線上（不與點(diǎn)重合），點(diǎn)在射線上，且點(diǎn)、點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于線段的長，試用直尺和圓規(guī)作出滿足上述條件的點(diǎn)、點(diǎn)（不寫作法和結(jié)論，僅保留作圖痕跡，在圖中清楚地標(biāo)注點(diǎn)、點(diǎn)；（2）在第（1）題的條件下，聯(lián)結(jié)、，如果，求點(diǎn)到直線的距離．23．（8分）如圖，已知△的三邊滿足，，，其中、都是正整數(shù)，且．是過點(diǎn)的一條直線，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）取邊的中點(diǎn)，求證：．24．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線交于點(diǎn)．（1）求雙曲線的表達(dá)式；（2）已知是雙曲線上一點(diǎn)，且到軸的距離是12，直線與直線交于點(diǎn)，與雙曲線交于點(diǎn)．如果，求的值．25．（12分）【例題回顧】本學(xué)期我們學(xué)習(xí)了角平分線定理及其逆定理，數(shù)學(xué)課本的例題1同時(shí)運(yùn)用了角平分線定理及其逆定理完成了該幾何問題的證明．例題1．已知：如圖，、分別是、的平分線，，，垂足分別為點(diǎn)、．求證：點(diǎn)在的平分線上．證明過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．、分別是、的平分線（已知）．，（已知），（所作），，（在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等）．（等量代換）．點(diǎn)在的平分線上（在一個(gè)角的內(nèi)部且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上）．【研究老圖形】在例題1的圖中，分別聯(lián)結(jié)、、．（1）點(diǎn)為△三條的交點(diǎn)，點(diǎn)為△三條的交點(diǎn)（填寫序號）；①邊的垂直平分線②角平分線③高④中線（2）小普發(fā)現(xiàn)△和△的內(nèi)角之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，如果，那么．（用含的代數(shù)式表示）【解決新問題】為了方便研究，小普同學(xué)把滿足例1條件的△叫做△的“內(nèi)三角形”，點(diǎn)叫做“共心”．（3）已知△是△的“內(nèi)三角形”，點(diǎn)是“共心”，點(diǎn)、、分別在邊、、上，且．先畫出符合條件的示意圖，再過點(diǎn)作于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在直線上．

參考答案題號123456答案CBADCB一、單項(xiàng)選擇題（本大題共6題，每題2分，滿分12分）1．（2分）下列二次根式中，與是同類二次根式的是A． B． C． D．解：、，與不是同類二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；、，與不是同類二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；、，與是同類二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；、，與不是同類二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：．2．（2分）在下列關(guān)于的一元二次方程中，一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的是A． B． C． D．解：、解方程，得，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，不符合題意．、△，一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，符合題意；、△，無實(shí)數(shù)根，不符合題意；、△，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，不符合題意．故選：．3．（2分）已知正比例函數(shù)（其中為常數(shù)，且，如果的值隨的值增大而增大，那么下列的值中，不可能的是A． B． C．0 D．2解：正比例函數(shù)（其中為常數(shù)，且中，的值隨的值增大而增大，，解得，，不可能是．故選：．4．（2分）下列關(guān)于反比例函數(shù)的說法中，正確的是A．圖象在第一、三象限 B．比例系數(shù)為 C．當(dāng)自變量的值逐漸增大時(shí)，的值隨著逐漸增大 D．如果點(diǎn)和點(diǎn)在該函數(shù)的圖象上，那么解：，，函數(shù)圖象在二，四象限，在每個(gè)象限隨的增大而增大，故選項(xiàng)，，錯(cuò)誤，選項(xiàng)正確．故選：．5．（2分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都為1，點(diǎn)、、、、、均在格點(diǎn)上，那么和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是A．直線 B．直線 C．直線 D．直線解：連接、、、，由勾股定理得能：，，，和在線段的垂直平分線上，和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是直線．故選：．6．（2分）如圖，在△中，，點(diǎn)在邊上且到邊和邊的距離相等．以點(diǎn)為圓心，線段的長為半徑畫弧交邊于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．下列結(jié)論中，不一定正確的是A． B． C． D．解：，，由作法得，，，，，點(diǎn)在邊上且到邊和邊的距離相等，平分，，，，所以選項(xiàng)不符合題意；，，只有當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以選項(xiàng)符合題意；，而，，所以選項(xiàng)不符合題意；，點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到的距離，，所以選項(xiàng)不符合題意．故選：．二、填空題（本大題共12題，每題3分，滿分36分）7．（3分）化簡：．解：根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡可得：．故答案為：．8．（3分）方程的根是，．解：，，，．故答案為：，．9．（3分）函數(shù)的定義域是且．解：由可得，解得且，故答案為：且．10．（3分）已知函數(shù)，那么．解：．故答案為：．11．（3分）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：．．解：，，，．故答案為：．12．（3分）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，那么5．解：點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，故答案為：5．13．（3分）某新能源汽車品牌2022年在國內(nèi)的銷量為10萬輛，2024年銷量達(dá)到了19.6萬輛，如果該品牌汽車銷量的年增長率均為，那么可列方程為．解：該品牌汽車銷量的年增長率均為．由題意得，．故答案為：．14．（3分）命題“底邊及底邊上的高對應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等”是真命題．（填“真”或“假”解：，，，同理：，，，在△和△中，，△△，，，，，，△△，則命題“底邊及底邊上的高對應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等”是真命題，故答案為：真．15．（3分）如圖，在△中，，平分，若，，則．解：平分，，，△中，．故答案為：．16．（3分）如圖，已知在△和△中，，，，如果，那么的大小為．解：，，在△和△中，，△△，，，，，，，故答案為：．17．（3分）定義：如果函數(shù)圖象上的一個(gè)點(diǎn)向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位后仍在這個(gè)函數(shù)圖象上，我們稱這個(gè)函數(shù)是“可回旋”函數(shù)，稱為這個(gè)函數(shù)的“可回旋單位”．如果是“可回旋”函數(shù)，那么這個(gè)函數(shù)的“可回旋單位”是．解：設(shè)圖象上一點(diǎn)，向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位，該點(diǎn)坐標(biāo)為，是“可回旋”函數(shù)，，，，，“可回旋單位”是，故答案為：．18．（3分）如圖，已知等腰△中，，將△繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，點(diǎn)、的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、．如果直線與直線的夾角為，那么△面積的值等于或．解：設(shè)直線與直線交點(diǎn)為，等腰△中，，．，，將△繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，，①當(dāng)時(shí)，如圖，，過作于點(diǎn)，，；②當(dāng)時(shí)，如圖，，過作于點(diǎn)，則，，，；綜上，△面積的值等于或，故答案為：或．三、筒答題（本大題共4題，每道6分，滿分52分）19．（6分）計(jì)算：．解：原式．20．（6分）解方程：．解：，，，，則或，所以，．21．（6分）居住同一小區(qū)的甲、乙兩位好友，某日他們相約去廣場游玩．甲認(rèn)為開小轎車快，乙認(rèn)為城市路況復(fù)雜，開電動自行車靈活，可能更快．于是他們決定同時(shí)出發(fā)，采用各自的方式前往廣場，假設(shè)兩種通行方式的路程一樣，乙全程勻速前行，并約定先到者拍照發(fā)給對方．已知甲相距廣場的距離（千米）與所用時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系，如圖所示；如表記錄了乙相距小區(qū)的距離（千米）與所用時(shí)間（小時(shí)）之間的部分?jǐn)?shù)據(jù)．時(shí)間（時(shí)0.10.3距離（千米）269根據(jù)提供的信息，回答下列問題：（1）由表可知，關(guān)于的函數(shù)解析式為；的值為；（2）由圖可知，的值為；在的時(shí)段內(nèi)，甲的速度為千米時(shí)；（3）先到達(dá)廣場并拍照的人是，且比另一位早到分鐘．解：（1）設(shè)關(guān)于的函數(shù)解析式為、為常數(shù)，且．將，和，分別代入，得，解得，關(guān)于的函數(shù)解析式為，將，代入，得，解得．故答案為：，0.45．（2）根據(jù)題意，得，解得，在的時(shí)段內(nèi)，甲的速度為（千米時(shí)）．故答案為：3，10．（3）由圖象可知，小區(qū)距廣場的距離為12千米．甲到達(dá)廣場所用時(shí)間為（時(shí)；當(dāng)乙到達(dá)廣場時(shí)，得，解得；，（分鐘），先到達(dá)廣場并拍照的人是乙，且比另一位早到3分鐘．故答案為：乙，3．22．（6分）如圖，已知為的一邊上一點(diǎn)，．（1）如果點(diǎn)在射線上（不與點(diǎn)重合），點(diǎn)在射線上，且點(diǎn)、點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于線段的長，試用直尺和圓規(guī)作出滿足上述條件的點(diǎn)、點(diǎn)（不寫作法和結(jié)論，僅保留作圖痕跡，在圖中清楚地標(biāo)注點(diǎn)、點(diǎn)；（2）在第（1）題的條件下，聯(lián)結(jié)、，如果，求點(diǎn)到直線的距離．解：（1）如圖，點(diǎn)，點(diǎn)即為所求；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)．由題意，，，，，，點(diǎn)到直線的距離為．23．（8分）如圖，已知△的三邊滿足，，，其中、都是正整數(shù)，且．是過點(diǎn)的一條直線，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）取邊的中點(diǎn)，求證：．【解答】證明：（1），，，其中、都是正整數(shù)，且，，，，△是以為斜邊的直角三角形，．（2）．，，即，又，，如圖，作，垂足為，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，是線段的垂直平分線，．24．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線交于點(diǎn)．（1）求雙曲線的表達(dá)式；（2）已知是雙曲線上一點(diǎn)，且到軸的距離是12，直線與直線交于點(diǎn)，與雙曲線交于點(diǎn)．如果，求的值．解：（1）直線過點(diǎn)，．，點(diǎn)在雙曲線上，，雙曲線的表達(dá)式為；（2）是雙曲線上一點(diǎn)，且到軸的距離是12，，直線與直線交于點(diǎn)，與雙曲線交于點(diǎn)，，，，，，解得或舍去），．25．（12分）【例題回顧】本學(xué)期我們學(xué)習(xí)了角平分線定理及其逆定理，數(shù)學(xué)課本的例題1同時(shí)運(yùn)用了角平分線定理及其逆定理完成了該幾何問題的證明．例題1．已知：如圖，、分別是、的平分線，，，垂足分別為點(diǎn)、．求證：點(diǎn)在的平分線上．證明過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．、分別是、的平分線（已知）．，（已知），（所作），，（在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等）．（等量代換）．點(diǎn)在的平分線上（在一個(gè)角的內(nèi)部且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上）．【研究老圖形】在例題1的圖中，分別聯(lián)結(jié)、、．（1）點(diǎn)為△三條②的交點(diǎn)，點(diǎn)為△三條的交點(diǎn)（填寫序號）；①邊的垂直平分線②角平分線③高④中線（2）小普發(fā)現(xiàn)△和△的內(nèi)角之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，如果，那么．（用含的代數(shù)式表示）【解決新問題】為