中考數(shù)學(xué)試卷 (一)

（2022潮卷）23.（本題12分）

【i正明體驗(yàn)】

(I)如圖1-15①，在△48。和△ADE中，ABAC:/DAE,AB=AC,AD=AE,連結(jié)BZ),CE.

求而BD=CE.

【思考探究】

（2）如圖②，在（1）的條件下，若A8=4,BC=3,ZABD=90°,BD=DE,求CE的長。

【拓展延伸】

AR

3)如圖③，在四邊形ABCQ中，/3=AC,BC=4,CD=8,BD=\0,ZBAC=2ZADC,求一的值.

AD

圖1-15

（2022江北一模）23.（本題12分）項(xiàng)目化學(xué)習(xí)：車輪的形狀.

【問題提出】車輪為什么要做成圓形，這里面有什么數(shù)學(xué)原理？

【合作探究】

（I）探究A組：如圖1,圓形車輪半徑為4cm,其車輪軸心O到地面的距離始終為cm.

（2）探究8組：如圖2,正方形車輪的軸心為O,若正方形的邊長為4cm,求車輪軸心O最高點(diǎn)與最低點(diǎn)

的高度差.

（3）探究C組：如圖3,有一個破損的圓形車輪，半徑為4cm,破損部分是一個弓形，其所對圓心角為

90°,其車輪軸心為O,讓車輪在地上無滑動地滾動一周，求點(diǎn)O經(jīng)過的路程.

探究發(fā)現(xiàn)：車輛的平穩(wěn)關(guān)鍵看車輪軸心是否穩(wěn)定.

圖】圖2圖3

（第23題圖）

【拓展延伸】

如蟄4,分別以正三角形的三個頂點(diǎn)A,B,。為圓心，以正三角形的邊長為半徑作60。圓弧，這個曲線圖

形叫做“萊洛三角形”.

（4）探究。組：使“萊洛三角形”沿水平方向向右滾動，在滾動過程中，其每時每刻都有“最高點(diǎn)”，“中

1

心點(diǎn)”也在不斷移動位置，那么在“萊洛三角形”滾動一周的過程中，其“最高點(diǎn)”和“中心點(diǎn)”所形成

的國案大致是（）

（第23題圖）

延伸發(fā)現(xiàn)：“萊洛三角形”在滾動時始終位于一組平行線之間，因此放在其上的物體也能夠保持平衡，但其

車軸中心O并不穩(wěn)定.

（2022鎮(zhèn)海二模）23.（本題12分）

【基礎(chǔ)鞏固】

（I）如圖1,在AABC中，A8=4C,NB4C=90。，點(diǎn)。為CB延長線上一點(diǎn)，連結(jié)AO,將線段AO繞

點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段連結(jié)CE.求證：ZVIBD^AACE；

【嘗試應(yīng)用】

（2）如圖2,在（I）的條件下，連接OE,若他交ZX?于點(diǎn)F,已知FC=3,ian/AOC=3,求線段OE

4

的長；

【拓展提高】

（3）如圖3,在正方形ABCD中，點(diǎn)E是對角線C4延長線上的一點(diǎn)，連結(jié)OE,過。點(diǎn)作座的垂線交

AC于/點(diǎn)，交8c于G點(diǎn)，若GC=Ji,AE=3,求AF的長.

（第23以圖）

（2022七中3月月考）23.如圖，已知拋物線），=一/+飯+3的圖象與x軸相交于點(diǎn)4和點(diǎn)3,與y

軸交于點(diǎn)C,圖象的對稱軸為直線柒=一1.連結(jié)AC,有一動點(diǎn)。在線段AC上運(yùn)動，過點(diǎn)。作x軸的

垂線，交拋物線于點(diǎn)石，交x軸于點(diǎn)尸.設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為〃z.

（I）求AB的長度；

（2）連結(jié)AE、CE,當(dāng)AACE的面積最大時，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（3）直接寫出/”為何值時，A4/加與△CDE相似.

2

（2022鄴州一模）23.如圖1,平行四邊形ABCD中，A8=9,8c=12,點(diǎn)P是8C邊上的點(diǎn)，連結(jié)

AP,以AP為對稱軸作的軸對稱圖形△AQP.

（I）如圖2,當(dāng)點(diǎn)Q正好落在4）邊上時，判斷四邊形A8PQ的形狀并說明理由;

（2）如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸是線段8c的中點(diǎn)且CQ=4時，求”的長；

（3）如圖3,當(dāng)點(diǎn)尸，Q,。三點(diǎn)共線時，恰有NPQC=NPQA,求BP的長.

（?23?）

（2022甬真卷）

23.（本題12分）【耳礎(chǔ)鞏固】

（1）如圖?在AABC中，AD_LBC于點(diǎn)D,若BD=3,CD-1,求AB:-AC:的值,

【嘗試應(yīng)用】

（2）如圖②，點(diǎn)C在△八BD的邊3D上，滿足AB=AC,求證:AD?-AC'-BD?CD；

【拓展提強(qiáng)】

⑶如圖③?巳知點(diǎn)D為RtAABC斜邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作AB的垂線，交AC于點(diǎn)E,每叁在花初中垂線上，

圖B-1-14X

（2022北侖二模）23.（12分）如果兩個三角形的兩邊對應(yīng)相等，且它們的夾角互補(bǔ).那么這兩個三角形

叫做互補(bǔ)三角形，如圖1.AQ是AAKC的中線，則/MB力和&4CD就是互補(bǔ)三角形.

（I）根據(jù)定義判斷下面兩個命題的真假（填“真”或“假”）

3

①互補(bǔ)三角形一定不全等.—命題

②互補(bǔ)三角形的面積相等.—命題

（2）如圖2,AABC和AAOE為互補(bǔ)三角形，AB=AE,AC=AD,AF是A4BC的中線.

求證：AF=-DEi

2

（3）如圖3,在（2）的條件下，若B,E,。三點(diǎn)共線，連結(jié)CE,CD,四邊形A8EC為圓內(nèi)接四邊

形，當(dāng)NK4七=120°時，求的值

CD

（2022顧外三模）23.（12分）如果四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，且兩個等腰三角

形的頂角頂點(diǎn)重合，則稱此四邊形為環(huán)繞四邊形，此頂點(diǎn)稱為該四邊形的環(huán)繞點(diǎn).例如，有一個角為60。

的菱形就是環(huán)繞四邊形，菱形鈍角頂點(diǎn)式環(huán)繞點(diǎn).

（I）在網(wǎng)格的格點(diǎn)上找出所有的點(diǎn)。，使四邊形A8DC是環(huán)繞四邊形；

（2）如圖1,四邊形A4CD是環(huán)繞四邊形，且A為環(huán)繞點(diǎn)，ZmD=120°,BC=2,CD=5,求AC；

（3）如圖2,方為正方形AACQ內(nèi)部一點(diǎn)，四邊形4?夕。為環(huán)繞四邊形，A為環(huán)繞點(diǎn)，AQ=4,過點(diǎn)。

作直線38'的垂線，垂足為點(diǎn)E,連結(jié)CE,CE=V2,求△B'CO的面積.

4

（2022海曙一模）23.一個角的余角的兩倍稱為這個角的倍余角.

（I）若Nl=30°,N2是N1的倍余角，則N2的度數(shù)為一：

若Nl=a,N2是N1的倍余角，則N2的度數(shù)為一；（用a的代數(shù)式表示）

（2）如圖1,在△/$<?中，AC>BC,在AC上截取CD=C8,在A8上截取AE=AO.

求證：NABC是/ED5的倍余角;

（3）如圖2,在（2）的情況下，作屬'OE交AC于點(diǎn)/，將△班C沿斯折疊得到△4/V,BC'交AC

于點(diǎn)尸，若NABC=90°,設(shè)NCBP~=a,求NC尸6的度數(shù).

圖1圖2

（第23局圖）

（2022蛟川二模）23.（12分）如圖，直線），=』％與雙曲線），二月交于A、8兩點(diǎn)，M是第一象限內(nèi)的雙

2x

曲線上任意一點(diǎn).

（I）若點(diǎn)A坐標(biāo)為（2,3）,NAMB=9O°,求用點(diǎn)坐標(biāo).

（2）若N/WA/=45。，連接若的面積是34,求A值.

（3）設(shè)直線AM、分別與x軸相交于P、Q兩點(diǎn)，且==求"一〃的值.

（2022蛟川一模）23.把函數(shù)C的圖象繞點(diǎn)P（〃?,0）旋轉(zhuǎn)180。，得到奇函數(shù)G的圖象，我們稱G是C1關(guān)

于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù).G的圖象的對稱軸與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為已。）,

（I）若函數(shù)G：y="2-2ar-3a（a*0）,求，的值（用含m的代數(shù)式表示）.

17

（2）如圖1,若函數(shù)a：），=加+法經(jīng)過點(diǎn)義-4,0）、5（-1,3）兩點(diǎn)，點(diǎn)4在直線/：），=履-"上，D

5

5

是兩數(shù)G的圖象上的一點(diǎn)，設(shè)。點(diǎn)的橫坐標(biāo)為〃（-/<〃<-，），連接oo并延長，交函數(shù)G圖象于點(diǎn)

E,交直線/于點(diǎn)M,若DE=4EM,求〃的值.

（3）如圖2,若函數(shù)G：y=ax'-6ax+5a（a^0）,若a=1,M=1,當(dāng)Z-lWxWk時，函數(shù)C1的最小值

為y,函數(shù)C2的最大值為），2,若，-%=6,請直接寫出人的值.

（2022蛟川4校聯(lián)考）23.如圖1,矩形仍GF和矩形A8CQ共頂點(diǎn)，且繞著點(diǎn)8順時針旋轉(zhuǎn)，滿足

BC=-B-G-=—3.

（I）變的比值是否發(fā)生變化，若變化，說明理由;

若不變，求出相應(yīng)的值，并說明理由;

AE

（2）如圖2,若點(diǎn)F為CD的中點(diǎn),且AB=8,AD=6,連結(jié)CG,求△FCG的面積.

（3）如圖3,若DRG三點(diǎn)共線，延長所交。。于點(diǎn)若加/=5,。/=10,求的長.

（2022藍(lán)青加試）

6

23.（本題16分）如圖，△048的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0,0）,A（3,4）.B（6,0）.動點(diǎn)

尸、。同時從點(diǎn)O出發(fā)，分別沿x軸正方向和卜軸正方向運(yùn)動,速度分別為每秒3個單位

和每秒2個單位.點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)8時點(diǎn)P、。同時停止運(yùn)動.過點(diǎn)。作AW〃O8分別交

AO.于點(diǎn)“、N,連接?PN.設(shè)運(yùn)動時間為/（秒）.

（1）求點(diǎn)”的坐標(biāo)（用含，的式子表示）：

（2）求四邊形冰面枳的最大值或最小值；

（3）是否存在這樣的直線，，總能平分四邊形AW8P的面枳？如果存在,請求出真線/

的解析式：如果不存在，諳說明燈由：

（4）連接4幾當(dāng)/O4P=NBPN時.求點(diǎn)”到04的距離.

（2022藍(lán)青三模）

23.（12分）問題提出:

（D我們把兩個面積相等但不全等的三角形叫瞅偏等和三角形如圖1.A4BC中，AC=7,

BC=9,AB=10,尸為/C上一點(diǎn)，當(dāng)4P=___時，A的與△（》尸是偏等枳三角形：

問題探究:

（2>如圖2,A4a）與A4CD是偏等枳三角形，.49=2,NC=6,H線段3的長度為正

整數(shù),過點(diǎn)C作「五〃/月交/力的延長線子點(diǎn)五,求4歷的長度：

問題解決：

（3）如圖3,四邊形48EO是?片綠色花園，AACB.ADCE是等腰之角三角形，

ZACB=ZDCE=90°（0<ABCE<90°）.

①A4CD3CE是偏等積三角形嗎？請說明理由：

②己知班：=60〃/，&48的面枳為2100〃/.如圖4,計(jì)劃修建一條經(jīng)過點(diǎn)C的七宜的小路

CF，F(xiàn)隹BE邊上,產(chǎn)C的延長線經(jīng)過4。中點(diǎn)G.若小路每米造價600元，請計(jì)克修建

小路的總造價.

圖1圖2圖3圖4

（2022藍(lán)青二模）23.（12分）問題提出:

7

(I)我們把兩個面積相等但不全等的三角形叫做“偏等積三角形”.如圖1，中，AC-7,BC-9,

AB=\O,P為AC上一點(diǎn),當(dāng)"=時，A48P與ACBP是偏等積三角形；

問題探究：

(2)如圖2,她雙>與A4c。是偏等積三角形，AB=2,AC=6,且線段4)的長度為正整數(shù)，過點(diǎn)。作

CE//AB交AD的延長線于點(diǎn)E,求AE的長度；

問題解決：

(3)如圖3,四邊形ABED是一片綠色花園，AACB、ADCE是等腰直角三角形，

AACB=ZDCE=90°(0<NBCE<90°).

①A4C。與ABCE是偏等積三角形嗎？請說明理由；

②己知3E=60〃z,△4。。的面積為21()()〃，.如圖4,計(jì)劃修建一條經(jīng)過點(diǎn)C的筆直的小路b,F在BE

邊上，R7的延長線經(jīng)過4)中點(diǎn)G.若小路每米造價600元，請計(jì)算修建小路的總造價.

23.(本小題滿分12分)婆羅摩發(fā)多是公元7世紀(jì)占印度偉大的數(shù)學(xué)家，他在三角形、四邊形、芋

和負(fù)數(shù)的迄算規(guī)則,二次方程等方面均有建樹,他也研尢過對角線互相垂直的四內(nèi)接四邊，

我們把這類對角線互相垂直的四內(nèi)接四邊形稱為?邂氏四邊形”.

(!)若平行四邊形/8CO是“安氏四邊形"，則四邊形/8CO是<填序號)：

①矩形②菱形③正方形

(2)如圖，四邊形/8CD內(nèi)接于圓，P為圓內(nèi)一點(diǎn)，，APD=/BPO=90°,且//D六/P8C,

求證：四邊形/8C。為噴氏四邊形5

(3)在(2)的條件下，60=4,且AB=45DC.

①當(dāng)。C=20時，求4C的長度;

②當(dāng)DC的長度最小時，請直接寫出tan/4)P的值.

■信》0號，亍波初中效多4?

8

（2022寧外三模）23.（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義直線），二冰為拋物線y=

于云+C（〃，b,c為常數(shù)，的“夢想直線”；有一個頂點(diǎn)在拋物線上，另有一個頂點(diǎn)在），軸上的

三角形為其“夢想三角形”.

已知拋物線y=-手/一竽犬+2右與其“夢想直線”交于4,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與x軸負(fù)

半軸交于點(diǎn)C.

（I）填空：該拋物線的“夢想直線”的函數(shù)表達(dá)式為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)3的坐標(biāo)為.

（2）如圖，M為線段C8上一動點(diǎn)，將△ACM以4W所在直線為對稱軸翻折，點(diǎn)。的對稱點(diǎn)為N,若

△AA/N為該拋物線的“夢想三角形”，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

（3）當(dāng)點(diǎn)E在拋物線的對稱軸上運(yùn)動時，在該拋物線的“夢想直線”上，是否存在點(diǎn)尸，使得以點(diǎn)A,

和負(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，二次方程等方面均有建樹，他也研究過對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形，我們把這類

對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形稱為“婆氏四邊形”.

（I）若平行四邊形八8C力是“婆氏四邊形"，則四邊形A46是—（填序號）；

①矩形②菱形③正方形

（2）如圖，四邊形ABCZ）內(nèi)接于圓，「為圓內(nèi)一點(diǎn)，ZAPD=ZBPC=90°,且"DP=NPBC,求證：四

邊形ABCD為“婆氏四邊形”；

（3）在（2）的條件下，8。=4,且=

①當(dāng)OC=2G時，求AC的長度；

②當(dāng)女的長度最小時，請直接寫出tanNAZA的值.

9

（2022七校中考模擬）23.（12分）定義：若一個四邊形能被其中的一條對角線分割成兩個相似三角形,

則稱這個四邊形為“友誼四邊形”,這條對角線稱為“友誼線”.我們熟知的平行四邊形就是“友宜四邊形”.

（I）如圖1,AA8C中，ZABC=90°,AB=\,BC=2,若存在四邊形48c。是友誼四邊形，且4C是

友誼線，請直接寫出A。所有可能的值.

（2）如圖2,四邊形中（ABwBC）,3D平分ZABC,若NA8C=2〃，ZADC=18（）°-a,求證：四

邊形ABC。是“友誼四邊形”.

（3）如圖3,平面直角坐標(biāo)系中，A、B分別是x軸和），軸上的點(diǎn)，且04=3,013=2,若點(diǎn)C是直線

y=x在第一象限上的一點(diǎn)，且8是四邊形0ACB的“友誼線”，求四邊形0ACA的面枳.

【問題提出】車輪為什么要做成圓形，這里面有什么數(shù)學(xué)原理？

【合作探究】

（I）探究A組：如圖1,圓形車輪半徑為4a〃，其車輪軸心O到地面的距離始終為—cm.

（2）探究8組：如圖2,正方形車輪的軸心為O,若正方形的邊長為求車輪軸心。最高點(diǎn)與最低點(diǎn)

的高度差.

（3）探究C組：如圖3,有一個破損的圓形車輪，半徑為4a〃，破損部分是一個弓形，其所對圓心角為90。，

其車輪軸心為O,讓車輪在地上無滑動地滾動一周，求點(diǎn)O經(jīng)過的路程.

探究發(fā)現(xiàn)：車輛的平穩(wěn)關(guān)鍵看車輪軸心是否穩(wěn)定.

【拓展延伸】如圖4,分別以正三角形的三個頂點(diǎn)A,B,。為圓心，以正三角形的邊長為半徑作60。圓

弧，這個曲線圖形叫做“萊洛一.角形”.

10

（4）探究。組：使“萊洛三角形”沿水平方向向右滾動，在滾動過程中，其每時每刻都有'‘最高點(diǎn)”，“中

心點(diǎn)”也在不斷移動位置，那么在“萊洛三角形”滾動一周的過程中，其“最高點(diǎn)”和“中心點(diǎn)”所形成

的組案大致是.

延伸發(fā)現(xiàn)：“萊洛三角形”在滾動時始終位于一組平行線之間，因此放在其上的物體也能夠保持平衡，但其

車軸中心O并不穩(wěn)定.

圖4

（2022興寧一模）23.（本題12分）

【證明體驗(yàn)】

（I）如圖1,正方形AAC7）中，E,尸分別是邊A8和對角線4c上的點(diǎn)，/E7）尸=45。，BE=gCF.求

證：△DBES&DCF.

（第23眼圖）

【思考探究】

4

（2）如圖2,矩形A8CD中，AB=6,8c=8,E,〃分別是邊/W和對角線AC上的點(diǎn)，tan/功尸=—,

3

BE=5,求CV的長.

【柘展延伸】

（3）如圖3,菱形A3CD中，BC=5,對角線AC=6,AD交的延長線于點(diǎn)H,E,產(chǎn)分別是

線段和AC上的點(diǎn)，taiiZEDF=-,CF=1,求QE的長.

4

（2022鄴實(shí)5月聯(lián)考）23.（本題12分）如圖1,正方形A4CD中，AC為對角線，點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)

動，以O(shè)P為邊向右作正方形切如E,連接CE：

11

【初步探究】（1）則AP與CE的數(shù)量關(guān)系是,"與?的夾角度數(shù)為；

【探索發(fā)現(xiàn)】（2）點(diǎn)/）在射線入。上運(yùn)動時，探究線段3,PC和a三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【拓展延伸】（3）當(dāng)點(diǎn)P在對角線AC的延長線上時，連接AE,若A8=2&，AE=2而，求匹邊形ZX7E

的面積。

（2022勤州區(qū)中考）23.（12分）［證明體驗(yàn)］（1）如圖1,在A4BC和她￡花中，點(diǎn)A、B、。在同一

直線上，NA=NC?石=/。=90°,求證：MBCs^DEB.

（2）如圖2.圖3.人f>=2（）.點(diǎn)R線段AQ卜的點(diǎn).AC\AD,人「=4.連結(jié)AC，”為RC中點(diǎn).將

線段BM繞點(diǎn)8順時針旋轉(zhuǎn)90。至BE,連結(jié)DE.

［思考探究］①如圖2,當(dāng)。E=立“七時，求A8的長.

［拓展延伸］②如圖3,點(diǎn)G是C4延長線上一點(diǎn)，且AG=8,連結(jié)GE,NG=NO,求E￡）的長.

（圖1）（圖2）（圖3）

（2022堇B州區(qū)九校聯(lián)考一模）23.（12分）（1）證明推斷：如圖（1）,在正方形A3C7）中，點(diǎn)￡,。分別

在邊BC,AB上，DQ_LAE于點(diǎn)O,點(diǎn)G,尸分別在邊CD,AB上，GFA.AE.

①求證：DQ-AEx

②推斷：空的值為；

AE----

（2）類比探究：如圖（2）,在矩形ABCZ）中，生=2（2為常數(shù)）.將矩形ABCD沿G/折疊，使點(diǎn)A落在

8C邊上的點(diǎn)￡處，得到四邊形EEPG,EP交CD于點(diǎn)H,連接AE交于點(diǎn)O.試探究與之間

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）拓展應(yīng)用；在（2）的條件下，連接CP,當(dāng)左=2時，若tanNCGP=3,GF=2屈,求的長.

12

(2022郢州實(shí)驗(yàn)三模)23.(12分)如圖1,正方形ABCD中，AC為對角線，點(diǎn)尸在線段AC上運(yùn)動，以

DP為邊向右作正方形DPFE，連接CE;

【初步探究】

(I)則八尸與。:的數(shù)量關(guān)系是,八?與CE的夾角度數(shù)為；

【探索發(fā)現(xiàn)】

(2)點(diǎn)夕在線段人C及其延長線卜運(yùn)動時,如圖1,圖2,探究線段QC,PC和6二者之間的數(shù)量關(guān)系.

并說明理由；

【拓展延伸】

(3)點(diǎn)2在對角線AC的延長線上時，如圖3,連接AE,若AB=2O，AE=2岳,求四邊形。CPE的

面積.

(I)如圖1,AA8C為等腰直角三角形，ZABC=ZA￡>B=ZBEC=9O°,求證：

【嘗試應(yīng)用】

(2)如圖2,在(1)的條件下，連結(jié)AE,AE=AC=\O,求的長.

【拓展提高】

(3)如圖3,在RtAABC中，。，石分別在直角邊AB,BC上,AD=2DB=2CE,2N84C+NB￡D=135。,

求tanNftAC.

13

（2022鐘中二模）

23.如圖1，平行四邊形/灑CD中，445,BC=8,4BG45；點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，BE=3EC,

4

連結(jié)4E,tanN/lEA一，過點(diǎn)。作。尸L4K于點(diǎn)五.

3

【基礎(chǔ)鞏固】

（1）求。尸和4尸的長；

【探究思考】

（2）判斷。BE的形狀并說明理由；

【拓雇應(yīng)用】

（3）如圖2,過點(diǎn)C作CH工DF于點(diǎn)H,求CH的長.

（圖1）（圖2）

（第23題）

（2022北侖一模）23.（本小題滿分12分）

【根底鞏固】

（I）如圖，在AABC中，。為上一點(diǎn)，NAC￡）=ZB.求證：AC2=ADAB.

【嘗試應(yīng)用】

（2）如圖2,在菱形ABCD中，E,尸分別為3C,QC上的點(diǎn)，且/￡4尸」NBA。，射線AE交ZX?的

2

延長線與點(diǎn)M,射線AF交8c的延長線于點(diǎn)N.若AF=4,8=2,AM=1O.

求：①CM的長；

②"/的長.

【彷展進(jìn)步】

14

(3)如圖3,在菱形八。8中，AB-6,ZZ?-60°,以點(diǎn)3為圓心作半徑為3的圓，其中點(diǎn)P是圓上的

動點(diǎn)，請直接寫出PC的最小值.

2

(2022北外三模)

23.(12分)如果四邊形的?條對角線把四邊形分成兩個等腰三ffj形，且兩個等腰三角形的

頂向頂點(diǎn)史合，則稱此四邊形為環(huán)繞四邊形，此頂點(diǎn)稱為該四邊形的環(huán)繞點(diǎn).例如，仃?個

年為60。的菱形就是環(huán)繞四邊形，菱形鈍角頂點(diǎn)式環(huán)繞點(diǎn).

(1)在網(wǎng)格的格點(diǎn)上找出所有的點(diǎn)。，便四邊形Z5OC是環(huán)繞四邊形；

(2)如圖1,四邊形438是環(huán)繞四邊形，II4為環(huán)繞點(diǎn),ZBAD=120°，BC=2,CD=5.

求/C；

(3)如圖2,"為正方形458內(nèi)部一點(diǎn)，四邊形390為環(huán)繞四邊形，力為環(huán)繞點(diǎn),

40=4,過點(diǎn)。作仃線55'的垂線，亞足為點(diǎn)H,連結(jié)CE,C￡=V2,求的面積.

圖1

（2022潮卷）

15

23.（本網(wǎng)12分）

【證明體監(jiān)】

（1）如圖『15①，在AABC和aADE中，NBACn/DAE,AB=AC,AD=AE,連結(jié)BD,CE.

求證：BD=CE.

【思考探究】

（2）如田②，在（1）的條件下，若AB=4,BC=31，N八8。=90,,BD=DE,求CE的長.

【拓展胞仲】

⑶如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AC,BC=4,CDr8,BD=10,/BAC=2/ADC,求彩的值.

H1-15

（2022慈溪一模）23.（本題12分）

［證明體驗(yàn)］（1）如圖1,在和△或底中，點(diǎn)A、B、￡）在同一宜線上，ZA=NCBE=ND=9（F,

求證：△ABCSADEB.

（2）如圖2,圖3,4）=20,點(diǎn)8線段4）上的點(diǎn)，ACJ.AD,AC=4,連結(jié)3C,M為BC中點(diǎn),將

線段3M繞點(diǎn)8順時針旋轉(zhuǎn)90。至龐，連結(jié)DE.

［思考探究］①如圖2,當(dāng)。月=也”石時，求的長.

2

［拓展延伸］②如圖3,點(diǎn)G是C4延長線上一點(diǎn)，且AG=8,連結(jié)GE,NG=NO,求團(tuán)的長.

（第23題圖）

（2022奉化二模）23.（本題12分）【證明體驗(yàn)】（1）如圖1,AABC中，。為邊上任意一點(diǎn)，作?！阓LAC

于E,若NCDE=、ZA,求證：八鉆。為等腰三角形；

2

【嘗試應(yīng)用】

（2）如圖2,四邊形/W8中，ZD=90°,AD=CD,AE平分"4P,N4C￡>+N以。=18（）。，若￡）￡=2,

人8=6,求AE的長；

【拓展延伸】

（3）如圖3,4ABe中，點(diǎn)D在48邊上滿足CZ）=BD,ZAC5=90°+-Z5?若AC=1（）G，BC=20,

求A。的長.

16

圖1圖2圖3

（2022奉化一模）

23.（本題12分）對于平面直角坐標(biāo)系xoy中的兩條直線，給出如下定義：若不平行的兩條直線與x軸

相交所成的銳角相等，則稱這兩條直線為“等腰三角線如圖（D中，若=則直

線P0與直線PR稱為“等腰三角線“：反之，若直線與直線尸衣為“等腰三角線”，則

Z.PQR=Z.PRQ.

（1）如圖（1）,若直線P0與直線PR為“等腰三角線”，且點(diǎn)尸、。的坐標(biāo)分別為（1,4）、（?3,0）.

求直線PR的解析式：

（2）如圖（2）,直線y=與雙曲線y=L交于點(diǎn)4、B,點(diǎn)C是雙曲線，=上上的一個動點(diǎn)，

4xx

點(diǎn)/、。的橫坐標(biāo)分別為加、n（0<n<m）,直線5C、4c分別與X軸于點(diǎn)。、E;

①求證：直線4C與直線8c為“等腰三角線”；

②過點(diǎn)。作X軸的垂線/，在直線/上存在一點(diǎn)尸，連結(jié)E尸，當(dāng)NEFD=//>（7/時，求出

線段。尸+E/的值（用含”的代數(shù)式表示）“y

（2022江北區(qū)中考聯(lián)考）

17

23.（12分）定義：若連結(jié)三角形一個頂點(diǎn)及其對邊上一點(diǎn)的線段將該工加膨分割成的兩個

小三角形中，仃一個/原三角形相似，則稱該線段為三角形的相似分割線；并分割成的兩個

小三角形都9原三角形相似，則稱該線段為全相似分割線.

（1）如圖1,在M5C中，/43C為鈍加，相似分割線40是8C邊上的中線，求證：

BC=41AB.

（2）如圖2,在必8c中，40是山出。的全相似分割線，求證：一二二一L+—二；

AD-AB-AC-

（3）在中，40是山出C的全相似分割線，將血。繞3點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到

E點(diǎn)，/點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到尸點(diǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，E，F(xiàn),。三點(diǎn)共線，BF恰好讓W(xué)EC

的相似分割線，求包值.

BD

（2022江北區(qū)中考模擬）

23.新知學(xué)習(xí)：芥一條線段把一個平面圖形分成面積相等的兩部分，我們把這條線段叫做該

平面圖形的二分線.

解決問題:

（1）①二角形的中線、高線、角平分線中,一定是三角形的二分線的是一;

②如圖1.已知M3C中，4。是BC邊上的中線，點(diǎn)E,尸分別在”，DC上,連接￡F,

與.40交于點(diǎn)G.若S如=，則七尸（填“是”或“不是"）*48。的一條二分線.

（2）如圖2,四邊形4BCD中,CD平行于25,點(diǎn)G是3的中點(diǎn),射線CG交射線54于

點(diǎn)￡,取E8的中點(diǎn)F,連接CF.求證：CF是四邊形.488的二分線.

（3）如圖3,/f:A.4BCI',AB=CB=CE=7,N4=/C,ZCBE=zCEB,O,E分別是

線段8C,.4C上的點(diǎn)，W.zBED=^A,EF是四邊形“80七的?條二分線，求。尸的長.

（2022蛟川中考模擬）

18

23.(12分)如圖，門線y=與雙曲線y=￡U干4、夕西點(diǎn),A/乩笫?象限內(nèi)的雙仙

2x

線上任意一點(diǎn).

(1)若點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,3),Z.AMB=90°,求M點(diǎn)坐標(biāo).

(2)若乙IBM=45。，連接3M，若&的血枳是34,求上值.

(3)設(shè)在線⑷八分別釉相交廣產(chǎn)、。兩點(diǎn)，\\.MA^pMP,MB=qMQ,求q-p

的值.

(2022明州卷)

23.(本期12分)

【基礎(chǔ)鞏固】

(1)如圖ID-M(D，在四邊形ABCD中,AD〃BC.NACD=NB,求證:△ABCsADCA,

【嘗武應(yīng)用】

(2)如圖②，在口ABC。中，點(diǎn)E在BC上,NAED與/C互補(bǔ)，BE=2,EC=4,求AE的長；

【拓展提高】

(3)如圖③，在荽形ABCD中，E為其內(nèi)部一點(diǎn)，/AED與NC互補(bǔ)，點(diǎn)F在C。上，EF〃/1D,且AD-2EF,

AE=3,CF=1?求OE的長.

用0114

(2022沖刺演練卷)

19

23.(本題12分)

【證明體驗(yàn)】

(D如圖1,在AABC中，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)F在邊AC上,AB=AD,FB=FC,A」D與

BF相交于點(diǎn)E.求證:NABP=NCAD.

【思考探究】

(2)如圖2,在(1)的條件下，過點(diǎn)D作AB的平行線交AC于點(diǎn)G,若DE=2AE,AB=6t

求DG的長.

【拓展延伸】

(3)如圖3,在四邊形ABCD中,對角線AC與BD相交于點(diǎn)0,AC_LAD，/ABC=NACB

=67.5\OD=2OB,QA=72,>RCD的長.

圖1圖2圖3

(2022全景(二))

3.(本題12分)如圖,ZiABC中NB=NC=3O°,NDEF=3O°,且點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn).將/DEF繞

點(diǎn)E旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中，射線DE與線段AB相交于點(diǎn)P,射線EF與射線CA相交于點(diǎn)Q,連

結(jié)PQ.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA上時，

①求證:△BPEco/XCEQ；

②線段BE,BP,CQ之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

(2)當(dāng)4APQ為等腰三角形時，求黑的值.

Dr

(2022全景(一))

23?(本題12分)如圖1,在4人氏中,/BAC=90°,AB=6,AC=8,點(diǎn)D,E分別是AB.BC的中點(diǎn).

把4BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定角度，連結(jié)AD,AE,CD,CE.

(1)如圖2,當(dāng)線段BD在△ABC內(nèi)部時，求證:△BADS/\BCE.

(2)當(dāng)點(diǎn)D落在直線AE上時，請畫出圖形，并求CE的長.

(3)當(dāng)AABE面積最大時，請畫出圖形，并求出此時4ADE的面積.

(第23題)

20

（2022七中三模）

23.（12分）定義：若四邊形中某個頂點(diǎn)與其它三個頂點(diǎn)的距離相等,則這個四邊形叫做等

距四邊形,這個頂點(diǎn)叫做這個四邊形的等距點(diǎn).

（D判斷:一個內(nèi)角為120。的菱形___等距四邊形.（填“是”或“不是”）

（2）如圖2,在57的網(wǎng)格圖中書3兩點(diǎn),請?jiān)诖痤}卷給出的兩個網(wǎng)格圖上各找出C、

。兩個格點(diǎn)，使得以4、B、C、。為頂點(diǎn)的四邊形為互不全等的“等距四邊形”，畫出和

應(yīng)的“等距四邊形”,并寫出該等距四邊形的端點(diǎn)均為非等四點(diǎn)的對角線長.

端點(diǎn)均為『等距點(diǎn)的對角線長為一端點(diǎn)均為小等距點(diǎn)的對角線長為—

（3）如圖1,己知AJ8E’JAC"都是等腰H角三角形，zJ￡B=zD￡C=90°,連接40,

AC,BC,蘇四邊形N3CD是以月為等距點(diǎn)的等距四邊形，求/BCD的度數(shù).

（2022汐卷）

23.（本前12分）定義:若四邊形有一組對角的差為90?,則林這個四邊形為余角2g邊形.

（1）判斷命題：“有一個內(nèi)加為45?的H1內(nèi)接四邊形是余角四邊形”是真命題還是假命題？

（2）在5X4網(wǎng)絡(luò)中,A,8姥如圖D-M①，②所示的格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）,分別在圖①，圖②中各畫一個互

不全等的格點(diǎn)四邊形A8CD,使它是一個余加四邊形.

（3）如圖③，在AEBC中?/E=2NB?A,D分別是E5.EC上的點(diǎn),且EA=ED.

①求證：四邊形AUCD為余角四邊形.

②若CD：AH：AE=】：2:3,求sinB的值.

,0

*C

（2022興寧三模）

21

23.【證明體驗(yàn)】（1）如圖①，在△月8C中，/月=40平分/A4C交3C于

D,點(diǎn)E在〃8上，AE=AC,連結(jié)DE,求證：EB=CD.

【思考探究】（2）如圖②，在（1）的條件下，過點(diǎn)。作CF//DE交4B于點(diǎn)F,交AD于

點(diǎn)G,若月8=6,AC=4,求尸G的長.

【拓展延伸】（3）如圖。，在四邊形.48CO中，/A4c=90。，旦ABC=BDC=；ACD,

若AB=4,CD=yt求80的長.

（2022鄲州初三部分學(xué)校聯(lián)考）

23.（本題12分）（1）證明推斷：如圖（1）,在正方形A8CD口，點(diǎn)&Q分別在邊8C,

48上，DQJ_A￡于點(diǎn)。，點(diǎn)G,F分別在邊8,48上，GF1AE.

①求證：DQ=AE；

②推斷：空的值為

（2）類比探究：如圖（2）,在矩形ABCD中，—=k（k為常數(shù)）.將矩形ABCD沿GF

AB

折福，使點(diǎn)4落在8c邊上的點(diǎn)￡處，得到四邊形F￡P(guān)G,“交CD于點(diǎn)H,連接AE交GF

于點(diǎn)O.試探究GF與八E之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：

（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接CP,當(dāng)女二電寸，若tanNCGP=；,GF=2月,

求CP的長.

（2022鄲州實(shí)驗(yàn)中考聯(lián)考）

22

23.（12分）如圖1,正方形月3CZ＞中，4C為對角線，點(diǎn)F在線段HC上運(yùn)動，以。P為邊

向右作正方形DPFE,連接CE；

【初步探究】

（1）則a與CE的數(shù)埴關(guān)系是，AP與CE的夾角度數(shù)為:

【探索發(fā)現(xiàn)】

（2）點(diǎn)尸在線段AC及其延長線上運(yùn)動時，如圖1,圖2,探究線段。C，PC和CE三者

之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：

【拓展延伸】

（3）點(diǎn)尸在對角線/C的延長線上時，如圖3，連接4E,若/8=2jl,AE=2/，求

四邊形OCPE的血枳.

（2022藍(lán)青一模）23.（本題12分）如圖，△ABC中N8=NC=30°,ND防=30°,且點(diǎn)E為邊8c的中

點(diǎn).將NDEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中，射線DE與線段AB相交于點(diǎn)P,射線EF與射線CA相交于點(diǎn)Q,

連結(jié)PQ.

圖1備用圖

（第23題）

（I）如圖I,當(dāng)點(diǎn)Q在線段C4上時，

①求證：ABPEsACEQ；

②線段BE,BP,CQ之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

（2）當(dāng)△APQ為等腰三角形時，求學(xué)的值.

（2022郭實(shí)一模）23.（12分）如圖，一次函數(shù)），=-％+3的圖象與x軸于y軸分別交于點(diǎn)8和點(diǎn)C,二次

函數(shù)）,=-/+辰+3的圖象經(jīng)過八c兩點(diǎn),并與x軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)M（肛0）是線段上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)

23

"作X軸的垂線，分別與二次函數(shù)圖象和直線3c相交于點(diǎn)〃和點(diǎn)￡,連接8.

（I）求這個二次函數(shù)的解析式.

（2）當(dāng)以C,。，E為頂點(diǎn)的三角形與ZVWC相似時，求m的值

（2022南三縣一模）23.（本題12分）對于平面直角坐標(biāo)系中的兩條直線，給出如下定義：若不平行

的兩條直線與、軸相交所成的銳角相等，則稱這兩條直線為“等腰三角線”.如圖（1）中，若NPQR=NPRQ,

則直線PQ與直線PR稱為“等腰三角線”:反之，若直線PQ與直線PR為“等腰三角線”，則4PQR=4PRQ.

<1）如圖（I），若宜線PQ與宜線網(wǎng)為“等腰三角線”，且點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為（1,4）、（3,0）.求直線

心的解析式；

（2）如圖（2）,直線y與雙曲線），=■!■交于點(diǎn)A、