2025年春北師版數(shù)學(xué)八年級下冊教學(xué)課件 第1章 4 角平分線 第2課時(shí) 三角形三條內(nèi)角平分線

第1章三角形的證明4角平分線第2課時(shí)三角形三條內(nèi)角平分線北師版

八年級數(shù)學(xué)（下）導(dǎo)入新課填一填：(1)角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離_______；(2)在一個(gè)角的內(nèi)部到角的兩邊距離________的點(diǎn)在這個(gè)角的___________；(3)三角形三邊的垂直平分線相交于_______點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離_______．相等相等平分線上一相等思考：三角形的三個(gè)內(nèi)角平分線的特點(diǎn)？三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線交于一點(diǎn)．這一點(diǎn)到三角形三邊的距離相等．探究新知探究求證：三角形三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等.

已知：如圖，在△ABC

中，角平分線BM

與角平分線CN

相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P

分別作AB，BC，AC

的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn).

ABCPEFMDN求證：∠A的平分線經(jīng)過點(diǎn)P，且PD=PE=PF.證明：∵BM

是△ABC

的角平分線，點(diǎn)P

在BM上，且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分別為D，E，∴PD=PE（角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等）.同理：PE=PF.∴PD=PE=PF.∴點(diǎn)P

在∠A

的平分線上（在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上），即∠A的平分線經(jīng)過點(diǎn)P.ABCPEFMDN探究

比較三角形三邊的垂直平分線和三條角平分線的性質(zhì)定理．請?zhí)畋恚喝叴怪逼椒志€三條角平分線三角形銳角三角形交于___________________交于_________________鈍角三角形交于___________________直角三角形交于___________________交點(diǎn)性質(zhì)到三角形_____________的距離相等到三角形的_____的距離相等三角形內(nèi)一點(diǎn)三角形外一點(diǎn)斜邊上的中點(diǎn)三個(gè)頂點(diǎn)三角形內(nèi)一點(diǎn)三邊應(yīng)用舉例例1A．1∶1∶1B．1∶2∶3C．2∶3∶4D．3∶4∶5【分析】利用三角形角平分線上的一點(diǎn)到角兩邊的距離相等的性質(zhì)，可知三個(gè)三角形的高相等，底邊長分別是20，30，40，利用等高不同底的三角形的面積之比等于底邊之比得出答案．

如圖，△ABC的邊AB，BC，CA的長分別是20，30，40，其三條角平分線將△ABC分為三個(gè)三角形，則S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于(

)BCAOC例2ACBED

如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E.(1)已知CD＝4cm，求AC的長；(2)求證：AB＝AC＋CD.（1）解：∵AD

是△ABC

的角平分線，∠C=90°，DE⊥AB，垂足為E，

∴DE=CD=4cm（角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等）∵AC=BC∵∠C=90°，∴∠B=∠BAC（等邊對等角）∴∠BDE=90°–45°=45°∴BE=DE（等角對等邊）.∴∠B=×90°=45°.在等腰直角三角形BDE中，由勾股定理，得cm，∴AC=BC=CD+BD=（4+）cm.ACBED（2）證明：由（1）的求解過程可知，

Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴AC=AE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD.ACBED隨堂練習(xí)1．到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是(

)A．三條高的交點(diǎn)B．三條中線的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn)D．不能確定C2．如圖所示，已知∠AOB，求作射線OC，使OC平分∠AOB，作法的合理順序是(

)①作射線OC；②在OA和OB上，分別截取OD，OE，使OD＝OE；③分別以D，E為圓心，大于

DE的長為半徑作弧，在∠AOB內(nèi)部，兩弧交于點(diǎn)C.A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①ADOEBCC3.已知：如圖，P

是∠AOB

平分線上的一點(diǎn)，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為

C、D.求證：（1）OC=OD；（2）OP是

CD

的垂直平分線.OCDBPEA證明：（1）P

是∠AOB

角平分線上的一點(diǎn)，PC⊥OA，PD⊥OB，OCDBPEA∴PC=PD（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）.

在Rt△OPC

和Rt△OPD中，

OP=OP，PC=PD，∴Rt△OPC≌Rt△OPD（HL）.∴OC=OD（全等三角形對應(yīng)邊相等）.（2）∵

OP是∠AOB

的角平