2024-2025學年高中數學第2章統(tǒng)計章末復習課講義蘇教版必修3

PAGE1-第2章統(tǒng)計抽樣方法【例1】某商場有四類食品，食品類別和種數見下表：類別糧食類植物油類動物性食品類果蔬類種數40103020現(xiàn)從中抽取一個容量為20的樣本進行食品平安檢測，若采納分層抽樣方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數之和為________．6[因為總體的個數為40＋10＋30＋20＝100，所以依據分層抽樣的定義可知，抽取的植物油類食品種數為eq\f(10,100)×20＝2，抽取的果蔬類食品種數為eq\f(20,100)×20＝4，所以抽取的植物油類與果蔬類食品種數之和為2＋4＝6.]1．抽樣方法有：簡潔隨機抽樣、分層抽樣．2．兩種抽樣方法比較3．選擇抽樣方法與總體的個體數有關．在詳細的抽樣過程中還需明確下列運算關系：(1)兩種抽樣方法中每個個體被抽到的可能性p＝eq\f(樣本容量n,總體容量N).(2)對于分層抽樣，設第i層的個體數及從其中抽取的樣本個體數分別為Ni，ni(i∈N*)，則分層抽樣比p＝eq\f(樣本容量n,總體容量N)＝eq\f(ni,Ni).1．從30個個體(編號為00～29)中抽取10個樣本，現(xiàn)給出某隨機數表的第11行到第15行(見下表)，假如某人選取第12行的第6列和第7列的數作為第一個數并且由此數向右讀，則選取的前4個的號碼分別為________．926446072024392077663817325616405858776631700500259305455370781428896628675782311589006200473815513181863709452166655325538327029055719621723207111413844359448817,00,02,07[在隨機數表中，將處于00～29的號碼選出，滿意要求的前4個號碼為17,00,02,07.]2．利用簡潔隨機抽樣，從n個個體中抽取一個容量為10的樣本．若其次次抽取時，余下的每個個體被抽到的概率為eq\f(1,3)，則在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的概率為________．eq\f(5,14)[依據題意，eq\f(9,n－1)＝eq\f(1,3)，解得n＝28.故在整個抽樣過程中每個個體被抽到的概率為eq\f(10,28)＝eq\f(5,14).]用樣本的頻率分布估計總體分布【例2】有1個容量為100的樣本，數據(均為整數)的分組及各組的頻數如下：[12.5,15.5)，6；[15.5,18.5)，16；[18.5,21.5)，18；[21.5,24.5)，22；[24.5,27.5)，20；[27.5,30.5)，10；[30.5,33.5]，8.(1)列出樣本的頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖；(3)估計數據小于30的數據約占多大百分比．思路點撥：(1)每組頻率＝eq\f(每組頻數,樣本容量).(2)頻率分布直方圖中，縱軸表示的是eq\f(頻率,組距).(3)小于30的數據所占百分比也就是前6組的頻率之和，可用兩種方法求解，法一：前6組頻率相加，法二：用1減去第7組頻率．[解](1)樣本的頻率分布表如下：分組頻數頻率[12.5,15.5)60.06[15.5,18.5)160.16[18.5,21.5)180.18[21.5,24.5)220.22[24.5,27.5)200.20[27.5,30.5)100.10[30.5,33.5]80.08合計1001.00(2)頻率分布直方圖如圖．(3)法一：小于30的數據占0.06＋0.16＋0.18＋0.22＋0.20＋0.10＝0.92＝92%.法二：因為全部組的頻率之和為1，大于30的數據占0.08，故小于30的數據占1－0.08＝0.92＝92%.1．樣本頻率分布直方圖的制作步驟(1)求全距，確定組距和組數，要依據全距的大小和數據的多少，選擇恰當的組距，使表格不至于太長或太短．當eq\f(全距,組距)不是整數時，組數的“取舍”一般不是依據四舍五入，而是按組數＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(全距,組距)))＋1確定，即取eq\f(全距,組距)的整數部分加1.(2)分組，通常對組內數值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最終一組取閉區(qū)間．(3)計算頻數、頻率，列出頻率分布表．(4)建立平面直角坐標系，把橫軸分成若干段，每一段對應一個組的組距，以此線段為底作矩形，高等于該組的eq\f(頻率,組距)，這樣得到一系列矩形，每一個矩形的面積恰好是該組上的頻率，這些矩形構成了頻率分布直方圖．2．求頻率、頻數的方法與技巧(1)頻率＝eq\f(頻數,樣本容量)，已知其中隨意兩個量就可以求出第三個量．(2)各小組的頻數和等于樣本容量，頻率和等于1.(3)由樣本的頻率可估計總體的頻率，從而估計出總體的頻數．3．為了了解某校高三學生的視力狀況，隨機地抽查了該校100名高三學生的視力狀況，得到頻率分布直方圖如圖，由于不慎將部分數據丟失，但知道后5組頻數和為62，視力在4.6到4.8之間的學生數為a，最大頻率為0.32，則a的值為________．54[[4.7,4.8)之間頻率為0.32，[4.6,4.7)之間頻率為1－0.62－0.05－0.11＝1－0.78＝0.22.所以a＝(0.22＋0.32)×100＝54.]4．為了解中學一年級學生身高狀況，某校按10%的比例對全校700名中學一年級學生按性別進行抽樣檢查，測得身高頻數分布表如表1、表2.表1：男生身高頻數分布表身高(cm)[160,165)[165,170)[170,175)[175,180)[180,185)[185,190]頻數25141342表2：女生身高頻數分布表身高(cm)[150,155)[155,160)[160,165)[165,170)[170,175)[175,180]頻數1712631(1)求該校男生的人數并畫出頻率分布直方圖；(2)估計該校學生身高在165cm～180cm的人數占總人數的百分比．思路點撥：(1)由表1中數據可知樣本中男生人數為2＋5＋14＋13＋4＋2＝40，又分層抽樣比例10%，故全校男生數400.畫頻率分布直方圖應留意兩點：①頻率分布直方圖是用面積表示頻率；②在頻率分布直方圖中，全部矩形的面積之和等于1.(2)由表1、表2中數據可估計身高在165cm～180cm的人數占總人數的百分比．[解](1)樣本中男生人數為40，分層抽樣比例為10%，可得全校男生人數為400.頻率分布直方圖如圖．(2)由表1、表2知，樣本中身高在165cm～180cm的學生人數為5＋14＋13＋6＋3＋1＝42，樣本容量為70，所以樣本中學生身高在165cm～180cm的頻率為eq\f(42,70)＝eq\f(3,5)，故估計該校學生身高在165cm～180cm的人數占總人數的60%.用樣本的數字特征估計總體的數字特征【例3】甲、乙兩機床同時加工直徑為100cm的零件，為檢驗質量，各從中抽取6件測量，數據為甲：99,100,98,100,100,103；乙：99,100,102,99,100,100.(1)分別計算兩組數據的平均數及方差；(2)依據計算結果推斷哪臺機床加工零件的質量更穩(wěn)定．思路點撥：利用平均數公式及方差公式計算求解，方差小的質量更穩(wěn)定．[解](1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq\f(7,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)兩臺機床所加工零件的直徑的平均數相同，又seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，所以乙機床加工零件的質量更穩(wěn)定．樣本的數字特征可分為兩大類：一類是反映樣本數據集中趨勢的，包括眾數、中位數和平均數；另一類是反映樣本波動大小的，包括方差及標準差．我們常通過樣本的數字特征估計總體的數字特征．5．有容量為100的樣本，數據分組及各組的數、頻率如下：[12.5,14.5)，6,0.06；[14.5,16.5)，16,0.16；[16.5，18.5)，18,0.18；[18.5,20.5)，22,0.22；[20.5,22.5)，20,0.20；[22.5,24.5)，10,0.10；[24.5,26.5)，8,0.08.試估計總體的平均數．[解]法一：總體的平均數約為eq\f(1,100)×(13.5×6＋15.5×16＋17.5×18＋19.5×22＋21.5×20＋23.5×10＋25.5×8)＝19.42.故總體的平均數約為19.42.法二：求組中值與對應頻率積的和13．5×0.06＋15.5×0.16＋17.5×0.18＋19.5×0.22＋21.5×0.20＋23.5×0.10＋25.5×0.08＝19.42.故總體的平均數約為19.42.6．對甲、乙的學習成果進行抽樣分析，各抽5門功課，得到的觀測值如下：甲6080709070乙8060708075問：甲、乙誰的平均成果好？誰的各門功課發(fā)展較平衡？思路點撥：依據表中數據計算兩組數據的平均數及方差，然后定量分析．[解]甲的平均成果為eq\x\to(x)甲＝74，乙的平均成果為eq\x\to(x)乙＝73.所以甲的平均成果好．甲的方差是seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(－14)2＋62＋(－4)2＋162＋(－4)2]＝104，乙的方差是seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[72＋(－13)2＋(－3)2＋72＋22]＝56.因為seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，所以乙的各門功課發(fā)展較平衡．變量間的相關關系【例4】某愛好小組欲探討晝夜溫差大小與患感冒人數多少之間的關系，他們分別到氣象局與某醫(yī)院查閱了1月份至6月份每月10號的晝夜溫差狀況與因患感冒而就診的人數，得到如下資料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日晝夜溫差x/℃1011131286就診人數y/人222529261612(1)畫出散點圖，推斷晝夜溫差與因患感冒而就診的人數是否線性相關，并用相關系數說明；(2)該愛好小組確定的探討方案是：先從這6組數據中選取2組，用剩下的4組數據求線性回來方程，再用被選取的2組數據進行檢驗．①若選取的是1月與6月的2組數據，請依據2月份至5月份的數據，求出y關于x的線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋A．②若由線性回來方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2人，則認為得到的線性回來方程是志向的，試問該小組所得線性回來方程是否志向？③若7月10日這天就診人數為20，試估計這天晝夜溫差也許是多少？思路點撥：以晝夜溫差x值為橫坐標，以就診人數y值為縱坐標，在平面直角坐標系中作出散點圖，視察點的分布規(guī)律，作出推斷．利用“變量x與y的相關系數公式及線性回來系數公式求出r，b，a再作定量分析．[解](1)散點圖如圖所示，由圖可見晝夜溫差與就診人數間具有線性相關關系．相關系數r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2\i\su(i＝1,n,y)\o\al(2,i)－n\x\to(y)2))≈0.995，可知線性相關程度較高．(2)①由數據求得eq\x\to(x)＝11，eq\x\to(y)＝24，由公式求得b＝eq\f(18,7)，再由a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)得a＝－eq\f(30,7)，所以y關于x的線性回來方程為y＝eq\f(18,7)x－eq\f(30,7).②當x＝10時，y＝eq\f(150,7)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(150,7)－22))＝eq\f(4,7)<2.同樣，當x＝6時，y＝eq\f(78,7)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(78,7)－12))＝eq\f(6,7)<2，所以，該小組所得線性回來方程是志向的．③在y＝eq\f(18,7)x－eq\f(30,7)中，令y＝20，求得x＝eq\f(85,9)，即7月10日這天晝夜溫差也許是eq\f(85,9)℃.1．推斷兩個變量間的相關性在推斷兩個變量是否具有相關關系時，第一種方法是依據相關關系的定義推斷，看這兩個變量是否具有不確定性，其次種方法是借助散點圖視察得到結論．2．線性回來方程(1)求線性回來方程主要利用待定系數法，其一般步驟為：①若題目中已明確兩個變量具有線性相關關系，則不用驗證；否則作出散點圖，推斷散點是否在一條直線旁邊．②假如散點在一條直線旁邊，那么依據確定線性回來方程的步驟求出回來系數，并寫出線性回來方程．(2)因為回來系數a，b滿意公式a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)，eq\x\to(y)＝beq\x\to(x)＋a，(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，即所以線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a必過定點該點也是樣本中心點．3．相關關系的強弱的推斷用相關系數r的值推斷相關系數的強弱．r的范圍為－1≤r≤1.當r>0時，y與x正相關；當r<0時，y與x負相關．|r|越接近于1，x與y的相關程度越高；|r|越接近于0，二者的相關程度越低；當|r|＝1時，全部數據點都在一條直線上．提示：只有當兩個變量之間具備線性相關關系時，才有必要求出回來方程，假如兩個變量本身不具備線性相關關系，或者說它們之間的線性相關關系不顯著，即使求出回來直線方程也是毫無意義的，用其估計和預料的量也是不行信的，而利用散點圖大致能夠推斷兩個變量的相關性．7．對變量x，y有觀測數據(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖①，對變量u，v有觀測數據(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖②.由這兩個散點圖可以推斷：①變量x與y正相關，u與v正相關；②變量x與y正相關，u與v負相關；③變量x與y負相關，u與v正相關；④變量x與y負相關，u與v負相關．其中正確的是_____