2025高考數(shù)學專項講義第07講平面向量奔馳定理與三角形四心問題(高階拓展、競賽適用)(學生版+解析)

第07講平面向量奔馳定理與三角形四心問題（高階拓展、競賽適用）（2類核心考點精講精練）平面向量問題是高中數(shù)學中的一個熱點，在高考中考查比重不會很大，一般以選擇填空形式出現(xiàn)，難度一般也會控制在中等，有時也會以壓軸題命題。平面向量中有很多重要的應用，比如系數(shù)和（等和線）、極化恒等式、本節(jié)我們繼續(xù)學習另一個重要的結論-奔馳定理。它將三角形的四心與向量完美地融合到一起，高中的同學們可以將這個內(nèi)容當成課外拓展知識，同時也是加強對三角形的認識，加深對數(shù)學的理解。奔馳定理”揭示的是平面向量與三角形面積之間所蘊含的一個優(yōu)美規(guī)律并因其圖形與奔馳的logo相似而得名“奔馳定理”，會提升解題效率，可強化學習。知識講解奔馳定理如圖，已知P為內(nèi)一點，則有.由于這個定理對應的圖象和奔馳車的標志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.奔馳定理的證明如圖：延長與邊相交于點則奔馳定理的推論及四心問題推論是內(nèi)的一點,且,則有此定理可得三角形四心向量式（1）三角形的重心：三角形三條中線的交點叫做三角形的重心，重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1.（2）三角形的垂心：三角形三邊上的高的交點叫做三角形的垂心，垂心和頂點的連線與對邊垂直.（3）三角形的內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點叫做三角形的內(nèi)心，也就是內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r.（4）三角形的外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點叫做三角形的外心，也就是三角形外接圓的圓心，它到三角形三個頂點的距離相等.奔馳定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關的問題，有著決定性的基石作用.已知點在內(nèi)部，有以下四個推論：①若為的重心，則；②若為的外心，則；或③若為的內(nèi)心，則；備注：若為的內(nèi)心，則也對.④若為的垂心，則，或研究三角形“四心”的向量表示，我們就可以把與三角形“四心”有關的問題轉(zhuǎn)化為向量問題，充分利用平面向量的相關知識解決三角形的問題，這在一定程度上發(fā)揮了平面向量的工具作用，也很好地體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想.考點一、奔馳定理與四心問題綜合1．（寧夏·高考真題）已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點O，N，P依次是的（注：三角形的三條高線交于一點，此點為三角型的垂心）A．重心外心垂心 B．重心外心內(nèi)心C．外心重心垂心 D．外心重心內(nèi)心2．（江蘇·高考真題）O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心3．設是所在平面內(nèi)的一點,若且.則點是的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心4．已知點是所在平面內(nèi)一點，且滿足，則直線必經(jīng)過的A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心5．設是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三點，動點P滿足，，則動點P的軌跡一定通過△ABC的A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心1．若是內(nèi)一點，且，則為的（）A．垂心 B．重心 C．外心 D．內(nèi)心2．已知點是所在平面上的一點，的三邊為，若，則點是的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心3．已知點O為所在平面內(nèi)一點，在中，滿足，，則點O為該三角形的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．垂心 D．重心4．已知，，是不在同一直線上的三個點，是平面內(nèi)一動點，若，，則點的軌跡一定過的（

）A．外心 B．重心 C．垂心 D．內(nèi)心5．在平面上有及內(nèi)一點O滿足關系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心6．已知G，O，H在所在平面內(nèi)，滿足，，，則點G，O，H依次為的（

）A．重心，外心，內(nèi)心 B．重心、內(nèi)心，外心C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，垂心考點二、奔馳定理與其他問題綜合1．奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，，，的面積分別為，，，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”若是銳角內(nèi)的一點，，，是的三個內(nèi)角，且點滿足，則必有（

）A．B．C．D．2．（多選）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論．奔馳定理與三角形四心（重心?內(nèi)心?外心?垂心）有著神秘的關聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知是內(nèi)一點，的面積分別為，且．以下命題正確的有（

）

A．若，則為的重心B．若為的內(nèi)心，則C．若為的外心，則D．若為的垂心，，則1．奔馳定理：已知點O是內(nèi)的一點，若的面積分別記為，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知O是的垂心，且，則（

）A． B． C． D．2．（多選）如圖.為內(nèi)任意一點，角的對邊分別為，總有優(yōu)美等式成立，因該圖形酯似奔馳汽車車標，故又稱為奔馳定理.則以下命題是真命題的有（

）A．若是的重心，則有B．若成立，則是的內(nèi)心C．若，則D．若是的外心，，，則6．（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”，奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)一點，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為，，，且．設O是銳角△ABC內(nèi)的一點，∠BAC，∠ABC，∠ACB分別是的△ABC三個內(nèi)角，以下命題正確的有（

）A．若，則B．若，，，則C．若O為△ABC的內(nèi)心，，則D．若O為△ABC的垂心，，則一、單選題1．在中，動點P滿足，則P點軌跡一定通過的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心2．若O，M，N在所在平面內(nèi)，滿足，且，則點O，M，N依次為的（）A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，內(nèi)心C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心3．已知O為內(nèi)一點，若分別滿足①；②；③；④(其中為中，角所對的邊).則O依次是的A．內(nèi)心、重心、垂心、外心 B．外心、垂心、重心、內(nèi)心C．外心、內(nèi)心、重心、垂心 D．內(nèi)心、垂心、外心、重心4．給定△ABC，則平面內(nèi)使得到A，B，C三點距離的平方和最小的點是△ABC的（

）A．重心 B．垂心 C．外心 D．內(nèi)心5．若為所在平面內(nèi)一點，且則點是的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心6．已知，，，是平面上的4個定點，，，不共線，若點滿足，其中，則點的軌跡一定經(jīng)過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心7．平面上有及其內(nèi)一點O，構成如圖所示圖形，若將，，的面積分別記作，，，則有關系式．因圖形和奔馳車的很相似，常把上述結論稱為“奔馳定理”．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若滿足，則O為的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心8．已知點在平面中，且，則點是的（

）A．重心 B．垂心 C．外心 D．內(nèi)心9．奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，若、、的面積分別記為、、，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則(

)A． B． C． D．10．已知O是所在平面上的一點,角A、B、C所對的邊分別為a,b,c，若（其中P是所在平面內(nèi)任意一點），則O點是的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心11．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的三叉車標很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)的一點，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為、、，則有，設O是銳角△ABC內(nèi)的一點，∠BAC，∠ABC，∠ACB分別是△ABC的三個內(nèi)角，以下命題錯誤的是（

）

A．若，則O為△ABC的重心B．若，則C．則O為△ABC（不為直角三角形）的垂心，則D．若，，，則二、多選題12．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”奔馳定理：已知O是內(nèi)的一點，，，的面積分別為，，，則.若O是銳角內(nèi)的一點，A，B，C是的三個內(nèi)角，且點O滿足.則（

）A．O為的外心 B．C． D．13．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，，，的面積分別為，則有.設是銳角內(nèi)的一點，，，分別是的三個內(nèi)角，以下命題正確的有（

）A．若，則為的重心B．若，則C．若，，，則D．若為的垂心，則14．“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的是（

）A．若，則M為的重心B．若M為的內(nèi)心，則C．若，，M為的外心，則D．若M為的垂心，，則15．奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.若、是銳角內(nèi)的點，、、是的三個內(nèi)角，且滿足，，則（

）A．B．C．D．三、填空題16．在面上有及內(nèi)一點滿足關系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為，，，現(xiàn)有，則為的心.17．已知O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定經(jīng)過的．(從“重心”，“外心”，“內(nèi)心”，“垂心”中選擇一個填寫）18．請你根據(jù)“奔馳定理”對以下命題進行判斷：①若P是的重心，則有；②若成立，則P是的內(nèi)心；③若，則；④若P是的外心，，，則；⑤若的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，O為內(nèi)的一點且為內(nèi)心.若，則的最大值為.則正確的命題有.（填序號）

19．年，戴姆勒公司申請登記了“三叉星”做為奔馳轎車的標志，象征著陸上，水上和空中的機械化，而此圓環(huán)中的星形標志演變成今天的圖案，沿用至今，并成為世界十大著名的商標之一（圖一）.已知為內(nèi)一點，，，的面積分別為，，，則有，我們稱之為“奔馳定理”（圖二）.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且，為內(nèi)的一點且為內(nèi)心.若，則的最大值為.20．“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳車的標志而來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，奔馳定理與三角形的四心（重心?內(nèi)心?外心?垂心）有著美麗的邂逅.它的具體內(nèi)容是：如圖，若是內(nèi)一點，的面積分別為，則有.已知為的內(nèi)心，且，若，則的最大值為.第07講平面向量奔馳定理與三角形四心問題（高階拓展、競賽適用）（2類核心考點精講精練）平面向量問題是高中數(shù)學中的一個熱點，在高考中考查比重不會很大，一般以選擇填空形式出現(xiàn)，難度一般也會控制在中等，有時也會以壓軸題命題。平面向量中有很多重要的應用，比如系數(shù)和（等和線）、極化恒等式、本節(jié)我們繼續(xù)學習另一個重要的結論-奔馳定理。它將三角形的四心與向量完美地融合到一起，高中的同學們可以將這個內(nèi)容當成課外拓展知識，同時也是加強對三角形的認識，加深對數(shù)學的理解。奔馳定理”揭示的是平面向量與三角形面積之間所蘊含的一個優(yōu)美規(guī)律并因其圖形與奔馳的logo相似而得名“奔馳定理”，會提升解題效率，可強化學習。知識講解奔馳定理如圖，已知P為內(nèi)一點，則有.由于這個定理對應的圖象和奔馳車的標志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.奔馳定理的證明如圖：延長與邊相交于點則奔馳定理的推論及四心問題推論是內(nèi)的一點,且,則有此定理可得三角形四心向量式（1）三角形的重心：三角形三條中線的交點叫做三角形的重心，重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1.（2）三角形的垂心：三角形三邊上的高的交點叫做三角形的垂心，垂心和頂點的連線與對邊垂直.（3）三角形的內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點叫做三角形的內(nèi)心，也就是內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r.（4）三角形的外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點叫做三角形的外心，也就是三角形外接圓的圓心，它到三角形三個頂點的距離相等.奔馳定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關的問題，有著決定性的基石作用.已知點在內(nèi)部，有以下四個推論：①若為的重心，則；②若為的外心，則；或③若為的內(nèi)心，則；備注：若為的內(nèi)心，則也對.④若為的垂心，則，或研究三角形“四心”的向量表示，我們就可以把與三角形“四心”有關的問題轉(zhuǎn)化為向量問題，充分利用平面向量的相關知識解決三角形的問題，這在一定程度上發(fā)揮了平面向量的工具作用，也很好地體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想.考點一、奔馳定理與四心問題綜合1．（寧夏·高考真題）已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點O，N，P依次是的（注：三角形的三條高線交于一點，此點為三角型的垂心）A．重心外心垂心 B．重心外心內(nèi)心C．外心重心垂心 D．外心重心內(nèi)心【答案】C【詳解】試題分析：因為，所以到定點的距離相等，所以為的外心，由，則，取的中點，則，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以點為的垂心，故選C.

考點：向量在幾何中的應用.2．（江蘇·高考真題）O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】根據(jù)是以為始點，向量與為鄰邊的菱形的對角線對應的向量，可知點軌跡，據(jù)此可求解.【詳解】，令，則是以為始點，向量與為鄰邊的菱形的對角線對應的向量，即在的平分線上，，共線，故點P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心，故選：B3．設是所在平面內(nèi)的一點,若且.則點是的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】A【詳解】由，得，即，所以，設D為AB的中點，則，故；因為，所以，所以，設BC的中點為E，同上可知，所以P為AB與BC的垂直平分線的交點．所以P是的外心．選A．【點睛】三角形“四心”的向量表示①在中，若或，則點是的外心；②在中，若，則點是的重心；③在中，若，則直線過的重心；④在中，若，則點是的垂心；⑤在中，若，則直線通過的內(nèi)心．4．已知點是所在平面內(nèi)一點，且滿足，則直線必經(jīng)過的A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】D【解析】兩邊同乘以向量，利用向量的數(shù)量積運算可求得從而得到結論．【詳解】兩邊同乘以向量,得即點P在BC邊的高線上，所以P的軌跡過△ABC的垂心，故選D.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的運算、向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義，屬中檔題．5．設是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三點，動點P滿足，，則動點P的軌跡一定通過△ABC的A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】D【詳解】試題分析：,,,,則動點的軌跡一定通過的垂心．故C正確．考點：1向量的加減法;2數(shù)量積;3向量垂直．1．若是內(nèi)一點，且，則為的（）A．垂心 B．重心 C．外心 D．內(nèi)心【答案】A【分析】根據(jù)條件，可得，即，，從而可得答案.【詳解】因為，所以，即，則，，即是三條高線的交點，為的垂心.故選：A.2．已知點是所在平面上的一點，的三邊為，若，則點是的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】在，上分別取點，，使得，，以，為鄰邊作平行四邊形，即可得到四邊形是菱形，再根據(jù)平面向量線性運算法則及共線定理得到，，三點共線，即可得到在的平分線上，同理說明可得在其它兩角的平分線上，即可判斷.【詳解】在，上分別取點，，使得，，則．以，為鄰邊作平行四邊形，如圖，

則四邊形是菱形，且．為的平分線．

，

即，．，，三點共線，即在的平分線上．同理可得在其它兩角的平分線上，是的內(nèi)心．故選：B．3．已知點O為所在平面內(nèi)一點，在中，滿足，，則點O為該三角形的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．垂心 D．重心【答案】B【分析】由，利用數(shù)量積的定義得到，從而得到點O在邊AB的中垂線上，同理得到點O在邊AC的中垂線上判斷.【詳解】解：根據(jù)題意，，即，所以，則向量在向量上的投影為的一半，所以點O在邊AB的中垂線上，同理，點O在邊AC的中垂線上，所以點O為該三角形的外心．故選：B．4．已知，，是不在同一直線上的三個點，是平面內(nèi)一動點，若，，則點的軌跡一定過的（

）A．外心 B．重心 C．垂心 D．內(nèi)心【答案】B【分析】設出的中點，利用向量的運算法則化簡；據(jù)向量共線的充要條件得到在三角形的中線上，利用三角形的重心定義：三中線的交點，得到選項【詳解】解：如圖，取的中點，連接，則．又，，即．又，點在射線上．故的軌跡過的重心．故選：B．5．在平面上有及內(nèi)一點O滿足關系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】利用三角形面積公式，推出點O到三邊距離相等?！驹斀狻坑淈cO到AB、BC、CA的距離分別為，，，，因為，則，即，又因為，所以，所以點P是△ABC的內(nèi)心.故選：B6．已知G，O，H在所在平面內(nèi)，滿足，，，則點G，O，H依次為的（

）A．重心，外心，內(nèi)心 B．重心、內(nèi)心，外心C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，垂心【答案】C【分析】由平面向量數(shù)量積的運算，線性運算及三角形四心的性質(zhì)即可判斷出答案.【詳解】因為，所以，設AB的中點D，則，所以，所以C，G，D三點共線，即G為的中線CD上的點，且，所以G為的重心．因為，所以，所以O為的外心；因為，所以，即，所以，同理可得：，，所以H為的垂心.故選：C.考點二、奔馳定理與其他問題綜合1．奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，，，的面積分別為，，，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”若是銳角內(nèi)的一點，，，是的三個內(nèi)角，且點滿足，則必有（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用已知條件得到為垂心，再根據(jù)四邊形內(nèi)角為及對頂角相等，得到，再根據(jù)數(shù)量積的定義、投影的定義、比例關系得到，進而求出的值，最后再結合“奔馳定理”得到答案.【詳解】如圖，因為，所以，同理，，所以為的垂心。因為四邊形的對角互補，所以，．同理，，，．，．又．由奔馳定理得.故選C．【點睛】本題考查平面向量新定義，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解過程中要注意連比式子的變形運用，屬于難題.2．（多選）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論．奔馳定理與三角形四心（重心?內(nèi)心?外心?垂心）有著神秘的關聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知是內(nèi)一點，的面積分別為，且．以下命題正確的有（

）

A．若，則為的重心B．若為的內(nèi)心，則C．若為的外心，則D．若為的垂心，，則【答案】ABC【分析】對于A，根據(jù)已知條件及奔馳定理，結合三角形重心的性質(zhì)即可求解；對于B，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)及三角形的面積公式，結合奔馳定理即可求解；對于C，利用三角形外心的定義及向量的線性運算即可求解；對于D，利用三角形的垂心的定義及三角形的面積公式，結合奔馳定理及銳角三角函數(shù)即可求解.【詳解】對于A，取的中點，連接,如圖所示

由，則，所以，所以三點共線，且，設分別為得中點，同理可得，所以為的重心，故A正確；對于B，由為的內(nèi)心，則可設內(nèi)切圓半徑為，如圖所示

則，所以，即，故B正確；對于C，如圖所示

因為為的外心，所以,所以，即，即,所以,同理可得，所以，故C正確；對于D，延長交于點，延長交于點，延長交于點，如圖所示，

由為的垂心，，則，又，則，設，則，所以，即，所以，所以，故D錯誤.故選：ABC.【點睛】關鍵點睛：根據(jù)奔馳定理及三角形的面積公式，結合三角形的四心的定義及性質(zhì)即可.1．奔馳定理：已知點O是內(nèi)的一點，若的面積分別記為，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知O是的垂心，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延長交于點P，則利用垂心的性質(zhì)結合三角形面積的求法可得，再利用和可得，不妨設，利用可求出的值，從而可求出的值.【詳解】延長交于點P，是的垂心，，．同理可得，．又，．又，．不妨設，其中．，，解得．當時，此時，則A，B，C都是鈍角，不合題意，舍掉．故，則，故C為銳角，∴，解得，故選：B．【點睛】關鍵點點睛：此題考查向量的線性運算，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應用，解題的關鍵是利用垂心的性質(zhì)得，再結合已知條件得，設，再利用兩角和的正切公式可得，從而可求得結果，考查計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.2．（多選）如圖.為內(nèi)任意一點，角的對邊分別為，總有優(yōu)美等式成立，因該圖形酯似奔馳汽車車標，故又稱為奔馳定理.則以下命題是真命題的有（

）A．若是的重心，則有B．若成立，則是的內(nèi)心C．若，則D．若是的外心，，，則【答案】AB【分析】對于A：利用重心的性質(zhì)，代入即可；對于B：利用三角形的面積公式結合與可知點到的距離相等.對于C：利用將表示出來，代入，化簡即可表示出的關系式，用將表示出來即可得處其比值.對于D：利用三角形的圓心角為圓周角的兩倍，再將兩邊平方，化簡可得，結合的取值范圍可得出答案.【詳解】對于A：如圖所示：因為分別為的中點，所以，，同理可得、，所以，又因為，所以.正確；對于B：記點到的距離分別為，，因為，則，即，又因為，所以，所以點是的內(nèi)心，正確；對于C：因為，所以，所以，所以，所以，化簡得：，又因為不共線，所以，所以，所以，錯誤；對于D：因為是的外心，，所以,，所以，因為，則，化簡得：，由題意知同時為負，記，，則，因為，所以，所以，所以，錯誤.故答案為：AB.6．（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”，奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)一點，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為，，，且．設O是銳角△ABC內(nèi)的一點，∠BAC，∠ABC，∠ACB分別是的△ABC三個內(nèi)角，以下命題正確的有（

）A．若，則B．若，，，則C．若O為△ABC的內(nèi)心，，則D．若O為△ABC的垂心，，則【答案】ACD【分析】對A，由奔馳定理即可判斷；對B，由面積公式求出，結合奔馳定理即可求；對C，由奔馳定理，結合內(nèi)心性質(zhì)可得，即可得；對D，由垂心性質(zhì)及向量數(shù)量積的垂直表示可得，結合奔馳定理結合三角形面積公式，可得，如圖所示分別為垂足，可設，，即可由幾何關系列式解出，最后由正切求出余弦值，則由可求【詳解】對A，由奔馳定理可得，，又不共線，故，A對；對B，，由得，故，B錯；對C，若O為△ABC的內(nèi)心，，則，又（為內(nèi)切圓半徑），三邊滿足勾股定律，故，C對；對D，若O為△ABC的垂心，則，，又，同理，∴，∵，則，且如圖，分別為垂足，設，，則，又，故，由，解得，由，故，D對故選：ACD一、單選題1．在中，動點P滿足，則P點軌跡一定通過的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】A【分析】由變形得，設的中點為，推出，點P在線段AB的中垂線上，再根據(jù)外心的性質(zhì)可得答案.【詳解】因為，所以，所以，設的中點為，則，則，

所以，所以點P在線段AB的中垂線上，故點P的軌跡過的外心.故選：A2．若O，M，N在所在平面內(nèi)，滿足，且，則點O，M，N依次為的（）A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，內(nèi)心C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心【答案】D【分析】由平面向量數(shù)量積的運算，線性運算及三角形五心的性質(zhì)即可判斷出答案．【詳解】解：因為，所以，所以O為的外心；因為，所以（）＝0，即＝0，所以MB⊥AC，同理可得：MA⊥BC，MC⊥AB，所以M為的垂心；因為，所以，設AB的中點D，則，所以，所以C，N，D三點共線，即N為的中線CD上的點，且，所以N為△ABC的重心．故選：D．3．已知O為內(nèi)一點，若分別滿足①；②；③；④(其中為中，角所對的邊).則O依次是的A．內(nèi)心、重心、垂心、外心 B．外心、垂心、重心、內(nèi)心C．外心、內(nèi)心、重心、垂心 D．內(nèi)心、垂心、外心、重心【答案】B【解析】對①，易得點O到點的距離相等即可判斷.對②，根據(jù)向量的數(shù)量積運算可求得，，即可判斷.對③，根據(jù)重心的性質(zhì)與數(shù)量積的運算判斷即可.對④，根據(jù)平面向量的線性運算可得，進而可知在三個角的角平分線上即可證明.【詳解】對于①，因為①，所以點O到點的距離相等，即點O為的外心;對于②，因為，所以，所以，即，同理，即點O為的垂心;對于③，因為，所以，設D為的中點，則，即點O為的重心;對于④，因為，故，整理得.又，所以.因為分別為，方向的單位向量，故與的角平分線共線.同理與的角平分線共線，與的角平分線共線.故點O為的內(nèi)心.故選：B【點睛】本題主要考查了根據(jù)根據(jù)平面向量的關系分析三角形四心的問題，需要根據(jù)題意結合四心的性質(zhì)，利用平面向量的運算以及性質(zhì)求證.屬于中檔題.4．給定△ABC，則平面內(nèi)使得到A，B，C三點距離的平方和最小的點是△ABC的（

）A．重心 B．垂心 C．外心 D．內(nèi)心【答案】A【分析】設為△ABC的重心，是平面上的任一點，則得到，即可得到結論.【詳解】設為△ABC的重心，是平面上的任一點，則當且僅當即與重合時，到A，B，C三點距離的平方和最小，∴平面內(nèi)使得到A，B，C三點距離的平方和最小的點是△ABC的重心.故選：A.5．若為所在平面內(nèi)一點，且則點是的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】D【分析】由得到，從而得到，同理證明即可.【詳解】，得，即；，得，即；，，即，所以為的垂心.故選：D.6．已知，，，是平面上的4個定點，，，不共線，若點滿足，其中，則點的軌跡一定經(jīng)過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】A【分析】取線段的中點，則，依題可得，即可得答案.【詳解】取線段的中點，則.動點滿足：，，則，即，所以，又，所以三點共線，即點的軌跡是直線，一定通過的重心.故選：A.7．平面上有及其內(nèi)一點O，構成如圖所示圖形，若將，，的面積分別記作，，，則有關系式．因圖形和奔馳車的很相似，常把上述結論稱為“奔馳定理”．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若滿足，則O為的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】根據(jù)平面向量基本定理可得，，延長交于，延長交于，根據(jù)面積比推出，結合角平分線定理推出為的平分線，同理推出是的平分線，根據(jù)內(nèi)心的定義可得答案.【詳解】由得，由得，根據(jù)平面向量基本定理可得，，所以，，延長交于，延長交于，則，又，所以，所以為的平分線，同理可得是的平分線，所以為的內(nèi)心.故選：B8．已知點在平面中，且，則點是的（

）A．重心 B．垂心 C．外心 D．內(nèi)心【答案】D【分析】由數(shù)量積的定義可知，兩向量的數(shù)量積是一個實數(shù).由題意得，，，.根據(jù)數(shù)量積的定義，化簡這3個等式，即得點的位置.【詳解】由數(shù)量積的定義可知，兩向量的數(shù)量積是一個實數(shù).，，，.當時，如圖所示即，，點在的內(nèi)角的角平分線上.同理，點在的內(nèi)角的角平分線上，點在的內(nèi)角的角平分線上.點是的內(nèi)心.故選：.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積，屬于中檔題.9．奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，若、、的面積分別記為、、，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】由O是垂心，可得，結合可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和為π，結合正切的和差角公式即可求解.【詳解】∵是的垂心，延長交與點，∴，同理可得，∴：，又，∴，又，∴，不妨設，其中，∵，∴，解得或，當時，此時，則都是鈍角，則，矛盾.故，則，∴是銳角，，于是，解得.故選：A.10．已知O是所在平面上的一點,角A、B、C所對的邊分別為a,b,c，若（其中P是所在平面內(nèi)任意一點），則O點是的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】將所給向量表達式進行變形,表示成與方向上的單位向量的形式,由向量加法運算的性質(zhì)即可知O在角平分線上,即可得解.【詳解】因為則,即移項可得即則因為所以化簡可得,即設為方向上的單位向量,為方向上的單位向量所以,則所以則在的角平分線上同理可知在的角平分線上因而為的內(nèi)心故選:B【點睛】本題考查了向量線性運算的化簡及應用,三角形內(nèi)心的向量表示形式,化簡過程較為復雜,屬于中檔題.11．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的三叉車標很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)的一點，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為、、，則有，設O是銳角△ABC內(nèi)的一點，∠BAC，∠ABC，∠ACB分別是△ABC的三個內(nèi)角，以下命題錯誤的是（

）

A．若，則O為△ABC的重心B．若，則C．則O為△ABC（不為直角三角形）的垂心，則D．若，，，則【答案】D【分析】對于A，假設為的中點，連接，由已知得在中線上，同理可得在其它中線上，即可判斷；對于選項B，利用奔馳定理可直接得出B正確；對于C，由垂心的性質(zhì)、向量數(shù)量積的運算律，得到，結合三角形面積公式及角的互補關系得結論，可判斷C正確；選項D，根據(jù)奔馳定理可得，再利用三角形面積公式可求得，即可計算出，可得D錯誤；【詳解】對于A：如下圖所示，

假設為的中點，連接，則，故共線，即在中線上，同理可得在另外兩邊的中線上，故O為的重心，即A正確；對于B：由奔馳定理O是內(nèi)的一點，的面積分別為，則有可知，若，可得，即B正確；對于C：由四邊形內(nèi)角和可知，，則，同理，，因為O為的垂心，則，所以，同理得，，則，令，由，則，同理：，，綜上，，根據(jù)奔馳定理得，即C正確.對于D：由可知，，又，所以由可得，；所以，即D錯誤；故選：D.【點睛】關鍵點睛：利用向量數(shù)量積定義、運算律和垂心性質(zhì)得到向量模的比例，結合三角形面積公式和奔馳定理判斷結論即可.二、多選題12．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”奔馳定理：已知O是內(nèi)的一點，，，的面積分別為，，，則.若O是銳角內(nèi)的一點，A，B，C是的三個內(nèi)角，且點O滿足.則（

）A．O為的外心 B．C． D．【答案】BCD【分析】由確定出點O是三角形的垂心，判斷A；利用直角三角形角的關系、邊角關系計算判斷B，C；由直角三角形邊角關系計算判斷D作答.【詳解】依題意，，同理OA⊥CB，OC⊥AB，則O為的垂心，A錯誤；如圖，直線分別交AB，AC于P，Q，由選項A知，，，，則，又，即有，又，因此，B正確；由選項B知，，同理，，同理可得，因此，C正確；，同理可得，所以，D正確.故選：BCD【點睛】關鍵點睛：涉及直角三角形銳角的三角函數(shù)，合理利用直角三角形中邊的比表示是解題的關鍵.13．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，，，的面積分別為，則有.設是銳角內(nèi)的一點，，，分別是的三個內(nèi)角，以下命題正確的有（

）A．若，則為的重心B．若，則C．若，，，則D．若為的垂心，則【答案】ABD【分析】對于A，假設為的中點，連接，由已知得在中線上，同理可得在其它中線上，即可判斷；對于選項B，利用奔馳定理可直接得出B正確；對于C，根據(jù)奔馳定理可得，再利用三角形面積公式可求得，即可計算出，可得C錯誤；選項D，由垂心的性質(zhì)、向量數(shù)量積的運算律，得到，結合三角形面積公式及角的互補關系得結論.【詳解】對于A：如下圖所示，假設為的中點，連接，則，故共線，即在中線上，同理可得在另外兩邊的中線上，故O為的重心，即A正確；對于B：由奔馳定理O是內(nèi)的一點，的面積分別為，則有可知，若，可得，即B正確；對于C：由，可知，又，所以，由可得；所以，即C錯誤；對于D：由四邊形內(nèi)角和可知，，則，同理，因為O為的垂心，則，所以，同理得，，則，令，由，則，同理：，，綜上，，根據(jù)奔馳定理得，即D正確.故選：ABD.【點睛】關鍵點點睛：利用向量數(shù)量積定義、運算律和垂心性質(zhì)得到向量模的比例，結合三角形面積公式和奔馳定理判斷結論即可.14．“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的是（

）A．若，則M為的重心B．若M為的內(nèi)心，則C．若，，M為的外心，則D．若M為的垂心，，則【答案】ABD【分析】A選項，作出輔助線，得到，故，同理得到，，所以M為的重心，故A項正確；B選項，設內(nèi)切圓半徑為r，得到，，，代入公式得到；C選項，設的外接圓半徑為R，表達出，，，從而得到答案；D選項，求出，設，，由面積比得到，，由三角函數(shù)值得到方程，得到，同理得到，利用求出答案.【詳解】對于A，取BC的中點Q，連接MQ，由，則，所以，所以A，M，Q三點共線，且，設R，T分別為AB，AC的中點，同理可得，，所以M為的重心，故A項正確；對于B，由M為的內(nèi)心，設內(nèi)切圓半徑為r，則有，，，所以，即，故B項正確；對于C，由M為的外心，設的外接圓半徑為R，又因為，，所以，，，所以，，，所以，故C錯誤；對于D，延長AM交BC于點D，延長BO交AC于點F，延長CO交AB于點E，由M為的垂心，，則，又，則，，設，，則，，所以，即，所以，同理，故，，∴，故D正確．故選：ABD．【點睛】結論點睛：點為所在平面內(nèi)的點，且，則點為的重心，點為所在平面內(nèi)的點，且，則點為的垂心，點為所在平面內(nèi)的點，且，則點為的外心，點為所在平面內(nèi)的點，且，則點為的內(nèi)心，15．奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.若、是銳角內(nèi)的點，、、是的三個內(nèi)角，且滿足，，則（

）A．B．C．D．【答案】ABCD【分析】變形后表示為，再由奔馳定理得出向量的關系，利用平面向量基本定理判斷A，利用數(shù)量積的運算，變形后證明是的重心，由平面幾何知識判斷B，利用數(shù)量積的定義表示已知數(shù)量積的等式，結合選項B的結論可證明C，求出的面積，利用選項B的結論轉(zhuǎn)化，再利用選項C的結論可得面積比，然后結合奔馳定理可判斷D．【詳解】因為，所以，即，所以，又由奔馳定理得，因為不共線，所以，所以，A正確；延長分別與對邊交于點，如圖，由得，所以，同理，所以是的垂心，所以四邊形中，，所以，B正確；由得，所以，由選項B得，，，所以，C正確；由上討論知，，，所以，又由選項C：，得，由奔馳定理：得，D正確．故選：ABCD．【點睛】本題考查平面向量基本定理的應用，考查學生的創(chuàng)新能力，理解新知識、應用新知識的能力．解題關鍵一是利用平面向量