2024中考專題相似三角形

2024中考數(shù)學(xué)專題相像形

(共40題)

1.如圖，ZXABC和4ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,

點(diǎn)P為射線BD,CE的交點(diǎn).

(1)求證：BD=CE；

(2)若AB=2,AD=1,把4ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)/EAC=90。時，求PB的長；

2.如圖，直角ZXABC中，ZBAC=90°,D在BC上，連接AD,作BF_LAD分別交

AD于E,AC于F.

(1)如圖1,若BD=BA,求證：△ABE0Z\DBE；

(2)如圖2,若BD=4DC,取AB的中點(diǎn)G,連接CG交AD于M,求證:①GM=2MC；

②AG?:AF?AC.

3.如圖，在銳角三角形ABC中，點(diǎn)D,E分別在邊AC,AB上，AG_LBC于點(diǎn)G,

AF_LDE于點(diǎn)F,ZEAF=ZGAC.

(1)求證：△ADEs^ABC；

(2)若AD=3,AB=5,求逆的值.

AG

Y

B

GC

4.如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC延長線上一點(diǎn)，連結(jié)DE,過頂點(diǎn)B作BF

IDE,垂足為F,BF分別交AC于H,交CD于G.

(1)求證：BG=DE；

(2)若點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)，求生的值.

GF

5.(1)如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在BC,CD上，AE_LBF于點(diǎn)M,

求證：AE=BF；

(?)如圖2,將(1)中的正方形ABCD改為矩形ABCD,AR=2,AFIRF

于點(diǎn)M,探究AE與BF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

圖1圖2

6.如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD,AC平分/BAD,點(diǎn)P是AC延長線上一

點(diǎn)，且PDJ_AD.

(1)證明：ZBDC=ZPDC；

(2)若AC與BD相交于點(diǎn)E,AB=1,CE：CP=2：3,求AE的長.

7.AABC和4DEF是兩個全等的等腰直角三角形，ZBAC=ZEDF=90°,Z\DEF的

頂點(diǎn)E與4ABC的斜邊BC的中點(diǎn)重合，將4DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，線

段DE與線段AB相交于點(diǎn)P,線段EF與射線CA相交于點(diǎn)Q.

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上，且AP二AQ時，求證：△BPEgZ^CQE；

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA的延長線上時，求證：△BPEs/\CEQ；并求當(dāng)

BP=2,CQ=9時BC的長.

8.如圖，在矩形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，EC平分NDEB,F為CE的中點(diǎn),

連接AF,BF,過點(diǎn)E作EH〃BC分別交AF,CD于G,H兩點(diǎn).

(1)求證：DE=DC；

(2)求證：AF1BF；

(3)當(dāng)AF?GF=28時,請干脆寫出CE的長.

9.在RtAABC中，ZBAC=90°,過點(diǎn)B的直線MN〃AC,D為BC邊上一點(diǎn)，連

接AD,作DE_LAD交MN于點(diǎn)E,連接AE.

(1)如圖1,當(dāng)NABC=45°時，求證：AD=DE；

(2)如圖2,當(dāng)NABC=30。時，線段AD與DE有何數(shù)量關(guān)系？并請說明理由.

10.如圖1,邊長為2的正方形ABCD中，E是BA延長線上一點(diǎn)，且AE=AB,點(diǎn)

P從點(diǎn)D動身，以每秒1個單位長度沿D玲C1B向終點(diǎn)B運(yùn)動，直線EP交AD

于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作直線FG_LDE于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)R.

(1)求證：AF=AR：

(2)設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為3

①求當(dāng)t為何值時，四邊形PRBC是矩形？

11.如圖，正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)0,延長CB至點(diǎn)F,使CF=CA,

連接AF,NACF的平分線分別交AF,AB,BD于點(diǎn)E,N,M,連接EO.

(1)已知BD二加，求正方形ABCD的邊長；

(2)猜想線段EM與CN的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

12.將兩塊全等的三角板如圖1擺放，其中NAiCB產(chǎn)NACB=90°,ZAi=ZA=30°.

(1)將圖1中△AiBiC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)45。得圖2,點(diǎn)Pi是AiC與AB的交點(diǎn),

點(diǎn)Q是AiBi與BC的交點(diǎn)，求證：CPi=CQ：

(2)在圖2中，若AP產(chǎn)a,則CQ等于多少？

(3)將圖2+AA1B1C繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)到AAzB2c(如圖3),點(diǎn)P2是A2c與

APi的交點(diǎn).當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為多少度時，有△APiCs^CPiPz?這時線段CPi與PH之

間存在一個怎樣的數(shù)量關(guān)系？

13.把RQABC和RtADEF按如圖（1）擺放（點(diǎn)C與E重合），點(diǎn)B、C（E）、F

在同一條直線上.已知：ZACB=ZEDF=90°,ZDEF=45°,AC=8cm,BC=6cm,

EF=10cm.如圖（2）,aDEF從圖（1）的位置動身，以lcm/s的速度沿CB向4

ABC勻速移動，在4DEF移動的同時，點(diǎn)P從aABC的頂點(diǎn)A動身，以2cm/s的

速度沿AB向點(diǎn)B勻速移動；當(dāng)點(diǎn)P移動到點(diǎn)B時，點(diǎn)P停止移動，4DEF也隨

之停止移動.DE與AC交于點(diǎn)Q,連接PQ,設(shè)移動時間為t（S）.

（1）用含t的代數(shù)式表示線段AP和AQ的長，并寫出t的取值范圍：

（2）連接PE,設(shè)四邊形APEQ的面積為y（cm2）,摸索究y的最大值;

（3）當(dāng)t為何值時，△APQ是等腰三角形.

（1）如圖①，若DE將aABC分成周長相等的兩部分，則AD+AE等于多少；（用

a、b^c表示）

（2）如圖②,若AC=3,AB=5,BC=4.DE將AABC分成周長、面積相等的兩部

分,求AD；

(3)如圖③，若DE將^ABC分成周長、面積相等的兩部分，且DE〃BC,則a、

b、c滿意什么關(guān)系？

15.已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，ZPAQ=45°,將NPAQ圍著正方形的

頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它與正方形ABCD的兩個外角NEBC和NFDC的平分線分別交于

點(diǎn)M和N,連接MN.

(1)求證：△ABMsaNDA；

(2)連接BD,當(dāng)NBAM的度數(shù)為多少時，四邊形BMND為矩形，并加以iE明.

16.如圖，在銳角^ABC中，D,E分別為AB,BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AC上一點(diǎn)，且N

AFE=ZA,DM〃EF交AC于點(diǎn)M.

(1)點(diǎn)G在BE上，且NBDG=NC,求證：DG?CF=DM?EG；

(2)在圖中，取CE上一點(diǎn)H,使NCFH=NB,若BG=1,求EH的長.

17.AABCAB=AC,點(diǎn)D、E、F分別在BC、AB、AC上，ZEDF=ZB.

(1)如圖1,求證：DE*CD=DF*BE

(2)D為BC中點(diǎn)如圖2,連接EF.

①求證：ED平分NBEF；

②若四邊形AEDF為菱形，求NBAC的度數(shù)及延的值.

AB

18.如圖，在4ABC中，點(diǎn)P是AC邊，的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作與BC平行的直線PQ,

交AB于點(diǎn)Q,點(diǎn)D在線段BC上，聯(lián)接AD交線段PQ于點(diǎn)E,且生膽，點(diǎn)G

CDBD

在BC延長線上，NACG的平分線交直線PQ于點(diǎn)F.

(1)求證：PC=PE；

(2)當(dāng)P是邊AC的中點(diǎn)時，求證：四邊形AECF是矩形.

19.如圖，已知aABC中，AC=BC,點(diǎn)D、E、F分別是線段AC、BC、AD的中點(diǎn),

BF、ED的延長線交于點(diǎn)G,連接GC.

(1)求證：AB=GD；

(2)如圖2,當(dāng)CG二EG時，求幽的值.

AB

20.如圖，在^ABC中，D、E分別為AB、AC上的點(diǎn)，線段BE、CD相交于點(diǎn)O,

且NDCB=NEBC=LNA.

2

(1)求證：△BODs/XBAE：

(2)求證：BD=CE；

(3)若M、N分別是BE、CE的中點(diǎn)，過MN的直線交AB于P,交AC于Q,線

段AP、AQ相等嗎？為什么？

21.如圖，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8,BC=6,PE=2,PG=4.PE與AC

交于點(diǎn)M,EF與AC交于點(diǎn)N,動點(diǎn)P從點(diǎn)A動身沿AB以每秒1個單位長的速

度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，伴隨點(diǎn)P的運(yùn)動，矩形PEFG在射線AB上滑動；動點(diǎn)K從

點(diǎn)P動身沿折線PE--EF以每秒1個單位長的速度勻速運(yùn)動.點(diǎn)P、K同時起先

運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)K到達(dá)點(diǎn)F時停止運(yùn)動，點(diǎn)P也隨之停止.設(shè)點(diǎn)P、K運(yùn)動的時訶是

t秒(t>0).

(1)當(dāng)時，KE=,EN=；

(2)當(dāng)t為何值時，△APM的面積與aMNE的面積相等？

(3)當(dāng)點(diǎn)K到達(dá)點(diǎn)N時，求出t的值；

(4)當(dāng)t為何值時，△PKB是直角三角形？

22.如圖(1),在△ABC44,AD是BC邊的中線，過A點(diǎn)作AE〃BC與過D點(diǎn)作

DE〃AB交于點(diǎn)E,連接CE.

(1)求證：四邊形ADCE是平行四邊形.

(2)連接BE,AC分別與BE、DE交于點(diǎn)F、G,如圖(2),若AC=6,求FG的

23.己知：在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是CB、CD延長線，.的點(diǎn)，且BE=DF,

聯(lián)結(jié)AE、AF、DE、DE交AB于點(diǎn)M.

(1)如圖1,當(dāng)E、A、F在始終線上時，求證:點(diǎn)M為ED中點(diǎn);

(2)如圖2,當(dāng)AF〃ED,

圖2

24.已知，如圖1,點(diǎn)D、E分別在AB,AC上,且AD_AE

AB-AC

(1)求證：DE〃BC.

已知，如圖2,在^ABC中，點(diǎn)D為邊AC上隨意一點(diǎn)，連結(jié)BD,取BD中

點(diǎn)E,連結(jié)CE并延長CE交邊AB于點(diǎn)F,求證：見型

AFAC

(3)在(2)的條件下，若AB=AC,AF=CD,求更的值.

AF

點(diǎn)E,F在直線AB上，ZECF=ZA.

(1)如圖1,點(diǎn)E,F在AB上時，求證：AC2=AF?BE；

(2)如圖2,點(diǎn)E,F在AB及其延長線匕ZA=60\AB=4,BE=3,求BF的長.

E

E

26.如圖，正方形ABCD,ZEAF=45°.交BC、CD于E、F,交BD于H、G.

(1)求證：AD2=BG*DH；

(2)求證：CE=&DG：

(3)求證：EF=V2HG.

27.如圖，C為線段BD上一動點(diǎn)，過B、D分別作BD的垂線，使AB=BC,DE=DB,

連接AD、AC>BE,過B作AD的垂線，垂足為F,連接CE、EF.

(1)求證：AC*DF=A/2BF*BD；

(2)點(diǎn)C運(yùn)動的過程中，NCFE的度數(shù)保持不變，求出這個度數(shù)；

(3)當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動到什么位置時，CE〃BF?并說明理由.

28.如圖，在aABC中，點(diǎn)D在邊AB上(不與A,B重合)，DE〃BC交AC于點(diǎn)

E,將aADE沿直線DE翻折，得到△內(nèi)口￡,直線DA\EA，分別交直線BC于點(diǎn)M,

N.

(1)求證：DB=DM.

(2)若他=2,DE=6,求線段MN的長.

DB

(3)若延n(n#l),DE=a,則線段MN的長為(用含n的代數(shù)式表示).

DB

29.如圖，已知四邊形ABCD和四邊形DEFG為正方形，點(diǎn)E在線段DC上，點(diǎn)A、

D、G在同始終線上，且AD=3,DE=1,連接AC、CG、AE,并延長AE交OG于點(diǎn)

H.

(1)求證：ZDAE=ZDCG.

30.如圖，Z^ABC中，點(diǎn)E、F分別在邊AB,AC±,BF與CE相交于點(diǎn)P,且N

l=Z2=-i-ZA.

2

(1)如圖1,若AB=AC,求證:BE=CF；

(2)若圖2,若ABWAC,

①(1)中的結(jié)論是否成立？請給出你的推斷并說明理由;

②求證:

CE-AC

31.如圖1,在銳角^ABC中，D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AC上，且

滿意NAFE=NA,DM〃EF交AC于點(diǎn)M.

(1)證明：DM=DA；

(2)點(diǎn)G在BE上，且NBDG=NC,如圖2,求證：△DEGS^ECF；

(3)在圖2中，取CE上一點(diǎn)H,使得NCFH二NB,若BG=5,求EH的長.

圖1圖2

32.如圖，正方形ABCD中，邊長為12,DE_LDC交AB于點(diǎn)E,DF平分/EDC

交BC于點(diǎn)F,連接EF.

(1)求證：EF=CF；

(2)當(dāng)幽=工時，求EF的長.

33.如圖，已知在AABC中，P為邊AB上一點(diǎn)，連接CP,M為CP的中點(diǎn)，連

接BM并延長，交AC丁點(diǎn)D,N為AP的中點(diǎn)，連接MN.若NACP=NABD.

(1)求證：AC*MN=BN*AP;

(2)若AB=3,AC=2,求AP的長.

34.如圖，已知AC、EC分另lj為四邊形ABCD和EFCG的對角線，點(diǎn)E在AABC內(nèi),

ZCAE+ZCBE=90°,當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為正方形時，連接BF.

(1)求證：ACAE^ACBF：

(2)若BE=1,AE=2,求CE的長.

35.如圖①，矩形ABCD中，AB=2,BC=5,BP=1,ZMPN=90°,將NMPN繞點(diǎn)P

從PB處起先按順時針方向旋轉(zhuǎn)，PM交邊AB（或AD）于點(diǎn)E,PN交邊AD（或

CD）于點(diǎn)F,當(dāng)PN旋轉(zhuǎn)至PC處時，NMPN的旋轉(zhuǎn)隨即停止.

（1）特別情形：如圖②，發(fā)覺當(dāng)PM過點(diǎn)A時，PN也恰巧過點(diǎn)D,此時，AABP

△PCD(填或"?〃)；

（2）類比探究：如圖③，在旋轉(zhuǎn)過程中，四的值是否為定值？若是，懇求出該

PF

36.如圖，點(diǎn)M是4ABC內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作直線平行于4ABC的各邊，所

形成的三個小三角形△］、△?、A3（圖中陰影部分）的面積分別是1、4、25.則

△ABC的面積是.

A

37.如圖，Z^ABC中，ZACB=90°,AC=5,BC=12,COJ_AB于點(diǎn)O,D是線段OB

上一點(diǎn)，DE=2,ED〃AC（NADEV90。），連接BE、CD.設(shè)BE、CD的中點(diǎn)分別為

P、Q.

（1）求AO的長；

（2）求PQ的長；

（3）設(shè)PQ與AB的交點(diǎn)為M,請干脆寫出|PM-MQ|的值.

38.尤秀同學(xué)遇到了這樣一個問題：如圖1所示，已知AF,BE是aABC的中線,

且AF_LBE,垂足為P,設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.

求證：a2+b2=5c2

該同學(xué)細(xì)致分析后，得到如下解題思路：

先連接EF,利用EF為4ABC的中位線得到△EPFs^BPA,故里且耳=1,

BPPABA2

設(shè)PF=m,PE=n,用m,n把PA,PB分別表示出來，再在RtZ\APE,RtABPF+

利用勾股定理計算，消去m,n即可得證

（1）請你依據(jù)以上解題思路幫尤秀同學(xué)寫出證明過程.

（2）利用題中的結(jié)論，解答下列問題：

在邊長為3的菱形ABCD中，。為對角線AC,BD的交點(diǎn)，E,F分別為線段A0,

DO的中點(diǎn)，連接BE,CF并延長交于點(diǎn)M,BM,CM分別交AD于點(diǎn)G,H,如

圖2所示，求MG2+MH2的值.

c

39.如圖，在AABC中，點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC±,ZAED=ZB,射線AG分

別交線段DE,BC于點(diǎn)F,G,且也，L

ACCG

(1)求證：AADF^AACG；

(2)若娼=1,求逆的值.

AC2FG

A

40.如圖，四邊形中ABCD中，E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，P為對角線AC延

長線上的隨意一點(diǎn)，PF交AD于M,PE交BC于N,EF交MN于K.

求證：K是線段MN的中點(diǎn).

EB

參考答案與試題解析

(共40題)

1.(2024?阿壩州)如圖，AABC和4ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，Z

BAC=ZDAE=90°,點(diǎn)P為射線BD,CE的交點(diǎn).

(1)求證：BD=CE；

(2)若AB=2,AD=1,把4ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)NEAC=90。時，求PB的長;

AAB=AC,AD=AE,ZDAB=ZCAE.

/.△ADB^AAEC.

ABD=CE.

(2)解：①當(dāng)點(diǎn)E在AB上時，BE=AB-AE=1.

ACE=7AE2+AC2=^-

同(1)可證aADB絲AAEC.

.\ZDBA=ZECA.

VZPEB=ZAEC,

AAPEB^AAEC.

.?.IPB-—BE,.

ACCE

.PB.1

2V5

.?.PB=?立..

5

②當(dāng)點(diǎn)E在BA延長線上時，BE=3.

VZEAC=90°,

ACE=7AE2+AC2=^-

同(1)可證△ADBgZ\AEC.

AZDBA=ZECA.

VZBEP=ZCEA,

/.△PEB^AAEC.

???PB.一IBE'?

ACCE

?PB,3

2V5

Z.PB;名叵

5

綜上所述，PB的長為結(jié)或殳底.

55

2.(2024?常德)如圖，直角AABC中，ZBAC=90°,D在BC上，連接AD,作BF

1AD分別交AD于E,AC于F.

(1)如圖1,若BD=BA,求證：ZXABE義ZSDBE；

(2)如圖2,若BD=4DC,取AB的中點(diǎn)G,連接CG交AD于M,求證：?GM=2MC；

@AG2=AF?AC.

【解答】證明：(1)在RSABE和RtADBE中，fBA=BD

BE二BE

/.△ABE^ADBE；

(2)①過G作GH/7AD交BC于H,

VAG=BG,

ABH=DH,

VBD=4DC,

設(shè)DC=1,RD=4.

/.BH=DH=2,

VGH/7AD,

.?.,GM一_HD_一2_,

MCDC1

AGM=2MC；

②過C作CN_LAC交AD的延長線于N,則CN〃AG,

.,.△AGM^ANCM,

???A?G.—?GM.9

NCMC

由①知GM=2MC,

A2NC=AG,

VZBAC=ZAEB=90°,

/.ZABF=ZCAN=900-ZBAE,

.'.△ACN^ABAF,

?AF_AB>

**CNAC，

VAB=2AG,

?AF_2AG

**CN~AC-，

2CN?AG=AF?AC,

AAG2=AF?AC.

3.(2024?杭州)如圖，在銳角三角形ABC中，點(diǎn)D,E分別在邊AC,AB上，AG

_LBC于點(diǎn)G,AF_LDE于點(diǎn)F,ZEAF=ZGAC.

(1)求證：△ADEs^ABC；

(2)若AD=3,AB=5,求建的值.

【解答】解：(1)VAG1BC,AF1DE,

AZAFE=ZAGC=90°,

VZEAF=ZGAC,

AZAED=ZACB,

VZEAD=ZBAC,

/.△ADE^AABC,

(2)由(1)可知：△ADES^ABC,

?AD二純一3

**AB^AC-?

由(1)可知：ZAFE=ZAGC=90°,

AZEAF=ZGAC,

Z.AEAF^ACAG,

...迎1

??豆k

?AF,3

**AG-?

4.（2024?眉山）如圖：點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC延長線上一點(diǎn)，連結(jié)DE,

過頂點(diǎn)B作BF_LDE,垂足為F,BF分別交AC于H,交CD于G.

（1）求證：BG=DE；

（2）若點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)，求理的值.

GF

【解答】解：(1)VBF1DE,

.e.ZGFD=90°,

VZBCG=90°,ZBGC=ZDGF,

.\ZCBG=ZCDE,

在ABCG與4DCE中，

[ZCBG=ZCDE

IBC=CD

lZBCG=ZDCE

AABCG^ADCE(ASA),

/.BG=DE,

(2)設(shè)CG=1,

???G為CD的中點(diǎn)，

.\GD=CG=1,

由(1)可知:ABCG^ADCE(ASA),

.*.CG=CE=1,

???由勾股定理可知：DE二BG二決，

,.,sinNCDE;冬雪

DEGD

JGF二返，

5

VAB/7CG,

.'.△ABH^ACGH,

■?.AB—BH.一_■2I,

CG-GH1

??.BH=~？V^GH=1V5,

33

?HG_5

**GF-7

5.(2024?河池)(1)如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在BC,CD上，

AE_LBF于點(diǎn)M,求證：AE=BF；

(2)如圖2,將(1)中的正方形ABCD改為矩形ABCD,AB=2,BC=3,AE1BF

于點(diǎn)M,探究AE與BF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【解答】(1)證明：I四邊形ABCD是正方形,

AZABC=ZC,AB=BC.

VAE±BF,

???ZAMB=ZBAM+ZABM=90°,

VZABM4-ZCBF=9O°,

AZBAM=ZCBF.

在4ABE和aBCF中，

'NBAE:NCBF

<AB=CB，

ZABE=ZBCF

AAABE^ABCF(ASA),

AAE=BF；

(2)解：AE=2BF,

3

理由：???四邊形ABCD是矩形，

???ZABC=ZC,

VAE±BF,

/.ZAMB=ZBAM+ZABM=90°,

VZABM+ZCBF=90°,

AZBAM=ZCBF,

/.△ABE^ABCF,

?酗二必2,

??.AE=2BF.

3

6.(2024?泰安)如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD,AC平分/BAD,點(diǎn)P是

AC延長線上一點(diǎn)，且PD_LAD.

(1)證明：ZBDC=ZPDC；

(2)若AC與BD相交于點(diǎn)E,AB=1,CE：CP=2：3,求AE的長.

【解答】（1）證明：VAB=AD,AC平分NBAD,

AAC1BD,

AZACD+ZBDC=90°,

VAC=AD,

AZACD=ZADC,

ZADC+ZBDC=90°,

VPD±AD,

/.ZADC+ZPDC=90°,

AZBDC=ZPDC；

(2)解：過點(diǎn)C作CM_LPD于點(diǎn)M,

VZBDC=ZPDC,

ACE=CM,

VZCMP=ZADP=90°,ZP=ZP,

AACPM^AAPD,

.CM-PC

**ATTPA，

設(shè)CM=CE=x,

VCE：CP=2：3,

.?.PCW,

2

VAB=AD=AC=1,

3

o

解得：X=l,

3

故AE=1-1=2.

33

7.（2024?天水）△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，ZBAC=ZEDF=90°,

△DEF的頂點(diǎn)E與aABC的斜邊BC的中點(diǎn)重合，將ADEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程

中，線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P,線段EF與射線CA相交于點(diǎn)Q.

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上，且AP二AQ時，求證：△BPEgZXCQE；

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA的延長線上時，求證：△BPEs^CEQ；并求當(dāng)

BP=2,CQ=9時BC的長.

圖①圖②

【解答】（1）證明：:△ABC是等腰直角三角形,

AZB=ZC=45°,AB=AC,

VAP=AQ,

???BP=CQ,

???E是BC的中點(diǎn)，

ABE=CE,

在4BPE和aCQE中，

fBE=CE

???NB二NC，

IBP=CQ

/.△BPE^ACQE(SAS)；

(2)解：:△ABC和aDEF是兩個全等的等腰直角三角形,

AZB=ZC=ZDEF=45°,

VZBEQ=ZEQC+ZC,

即NBEP+NDEF=NEQC+NC,

??.NBEP+45°=NEQC+45°,

.?.ZBEP=ZEQC,

AABPE^ACEQ,

?BP_BE

?'CECQ'

VBP=2,CQ=9,BE=CE,

.\BE2=18,

ABE=CE=3A/2?

???BC=6道.

8.(2024?綏化)如圖，在矩形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，EC平分NDEB,F

為CE的中點(diǎn)，連接AF,BF,過點(diǎn)E作EH〃BC分別交AF,CD于G,H兩點(diǎn).

(1)求證：DE=DC;

(2)求證：AF1BF；

(3)當(dāng)AF?GF=28時，請干脆寫出CE的長.

【解答】解：（1）??,四邊形ABCD是矩形,

???AB〃CD,

AZDCE=ZCEB,

VEC平分/DEB,

/.ZDEC=ZCEB,

AZDCE=ZDEC,

ADE=DC；

(2)如圖，連接DF,

,?'DE=DC,F為CE的中點(diǎn)，

/.DF1EC,

AZDFC=90°,

在矩形ABCD中，AB=DC,ZABC=90°,

??.BF=CF=EF」EC,

2

AZABF=ZCEB,

VZDCE=ZCEB,

/.ZABF=ZDCF,

在aABF>FIIADCF中,

BF=CF

NABF=NDCF，

AB二DC

.,.△ABF^ADCF(SAS),

AZAFB=ZDFC=90°,

/.AF±BF；

(3)CE=4訴

理由如下：VAF1BF,

AZBAF+ZABF=90°,

YEH〃BC,ZABC=90°,

AZBEH=90°,

/.ZFEH+ZCEB=90°,

VZABF=ZCEB,

AZBAF=ZFEH,

VZEFG=ZAFE,

AAEFG^AAFE,

.?.更二巫,即EF2=AF.GF)

EFAF

VAF?GF=28,

.?.EF=2A/7，

ACE=2EF=4V7.

9.(2024?雨城區(qū)校級自主招生)在RtZ^ABC中，ZBAC=90°,過點(diǎn)B的直線MN

〃AC,D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD,作DE_LAD交MN于點(diǎn)E,連接AE.

(1)如圖1,當(dāng)NABC=45。時，求證：AD=DE；

(2)如圖2,當(dāng)NABC=30。時，線段AD與DE有何數(shù)量關(guān)系？并請說明理由.

【解答】(1)證明：如圖1,過點(diǎn)D作DF_LBC,交AB于點(diǎn)F,

貝|JNBDE+NFDE=9O°,

VDE1AD,

AZFDE+ZADF=90°,

AZBDE=ZADF,

VZBAC=90°,ZABC=45°,

.?.ZC=45°,

VMN//AC,

.e.ZEBD=180°-ZC=135°,

VZBFD=45°,DF_LBC,

.'.ZBFD=45°,BD=DF,

AZAFD=135°,

AZEBD=ZAFD,

在4BDE和4FDA中

'/EBD二NAFD

<BD=DF，

ZBDE=ZADF

.?.△BDE^AFDA(ASA),

AAD=DE；

(2)解：DE=^AD,

理由：如圖2,過點(diǎn)D作DG_LBC,交AB于點(diǎn)G,

則NBDE+NGDE=90°,

VDE1AD,

AZGDE+ZADG=90°,

AZBDE=ZADG,

VZBAC=90°,ZABC=30°,

AZC=60°,

VMN//AC,

AZEBD=180°-ZC=120°,

VZABC=30°,DG1BC,

AZBGD=60°,

.*.ZAGD=120°,

AZEBD=ZAGD,

AABDE^AGDA,

?AD_DG

"DEBD'

在RtABDG中，豆tan30°二退,

BD3

ADE=V3AD.

圖2

10.（2024?深圳模擬）如圖1,邊長為2的正方形ABCD中，E是BA延長線上一

點(diǎn)，且AE二AB,點(diǎn)P從點(diǎn)D動身，以每秒1個單位長度沿D玲（:玲B向終點(diǎn)B運(yùn)

動，直線EP交AD于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作直線FG_LDE于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)R.

（1）求證：AF=AR；

(2)設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為3

①求當(dāng)t為何值時，四邊形PRBC是矩形？

②如圖2,連接PB.請干脆寫出訪△PRB是等腰三角形時t的值.

圖1圖2

【解答】（1）證明：如圖，在正方形ABCD中，AD=AB=2,

VAE=AB,

AAD=AE,

AZAED=ZADE=45°,

又?.?FG_LDE,

???在RtZ\EGR中，ZGER=ZGRE=45°,

???在RtZXARF中,ZFRA=ZAFR=45°,

AZFRA=ZRFA=45°,

.-.AF=AR；

(2)解：①如圖，當(dāng)四邊形PRBC是矩形時,

則有PR/7BC,

AAF//PR,

/.△EAF^AERP,

嚼第即:AF_2由（1）得AF=AR,

~=2+AR

.AR2_

**T=2+AR，

解得：AR=T+加或AR=T-立(不合題意，舍去),

/.DP=AR--1+遙,

???點(diǎn)P從點(diǎn)D動身，以每秒1個單位長度沿D玲C玲B向終點(diǎn)B運(yùn)動,

；?(秒);

②若PR=PB,

過點(diǎn)P作PK_LAB于K,

設(shè)FA=x,貝ljRK=1BR=-L(2-x),

VAEFA^AEPK,

?FAEA

??瓦詠，

即：5一—，

4萬(2-x)

解得：x=±V17-3(舍去負(fù)值);

???t=^zL(秒)；

2

若PB=RB,

則AFFAsAFPR.

?EA二純.1

**EB^BFT

?

?---A--R-—1,

BP2

,?.BP=2AB=2X2=3

333

/.CP=BC-BP=2-&=2,

???f（秒）.

3

綜上所述，當(dāng)PR二PB時，t=ET；當(dāng)PB=RB時,

2

圖2

D

11.(2024?江漢區(qū)校級模擬)如圖，正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)0,

延長CB至點(diǎn)F,使CF二CA,連接AF,NACF的平分線分別交AF,AB,BD于點(diǎn)E,

N,M,連接FO.

(1)已知BD二加，求正方形ABCD的邊長；

(2)猜想線段EM與CN的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

【解答】解：(1)??,四邊形ABCD是正方形,

???△ABD是等腰直角三角形，

A2AB2=BD2,

?.?BD=V2?

AAB=1,

???正方形ABCD的邊長為1：

(2)CN=2EM

證明方法一、理由：???西邊形ABCD是正方形,

.\AC1BD,OA=OC

VCF=CA,CE是NACF的平分線,

ACE1AF,AE=FE

AEO為AAFC的中位線

EO/7BC

.OE=EM

**BC^CM

???在RtZXAEN中，OA=OC

EO=OC=1AC,

2

OC二EM二1

而二CM二&

ACM=V2EM

VCE平分NACF,

/./OCM=/RCN,

VZNBC=ZCOM=90°,

AACBN^ACOM,

J.CM,C二1,

??麗任二后

ACN=V2CM,

即CN=2EM.

證明方法二、???四邊形ABCD是正方形，

/.ZBAC=45°=ZDBC,

由(1)知，在RtZXACE中，EO=-^AC=CO,

2

.?.ZOEC=ZOCE,

VCE平分NACF,

AZOCE=ZECB=ZOEC,

??.EO〃BC,

AZEOM=ZDBC=45°,

VZOEM=ZOCE

AAEOM^ACAN,

.?EM二卬一」

**CN^CA^2

ACN=2CM.

12.（2024?濟(jì)寧二模）將兩塊全等的三角板如圖1擺放，其中NAiCB產(chǎn)NACB=90。,

ZAi=ZA=30°.

（1）將圖1中△AiBiC繞點(diǎn)C順時包旋轉(zhuǎn)45c得圖2,點(diǎn)Pi是AiC與AB的交點(diǎn)，

點(diǎn)Q是AiBi與BC的交點(diǎn)，求證：CPi=CQ：

（2）在圖2中，若AP尸a,則CQ等于多少？

（3）將圖2+AA1B1C繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)到AAzB2c（如圖3）,點(diǎn)P2是A2c與

APi的交點(diǎn).當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為多少度時，有△APiCs/scPiPz?這時線段CPi與PH之

間存在一個怎樣的數(shù)量關(guān)系？.

【解答】(1)證明:VZBiCB=45°,ZBiCAi=90°,

AZBiCQ=ZBCPi=45°；

又BiC=BC,ZBi=ZB,

AABiCQ^ABCPi(ASA)

???CQ=CPi；

(2)解：如圖：作PiD_LAC丁D,

VZA=30°,

?,.PID」API；

2

VZPiCD=45°,

二返，

CP,2

???CPMPID;0Pl；

又APi=a,CQ=CPi,

?,.CQ二返a；

2

(3)解：當(dāng)NPICP2=/PIAC=30°時，由于NCPIP2=NAPIC,則△APiCs/XcPH，

所以將圖2中4AiBiC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)30。到aAzB2c時，有△APiCs/ScPiP2.

這時Pl々.CP］二返,

CPjAPi2

13.(2024?惠陽區(qū)模擬)把RMABC和RtZXDEF按如圖(1)擺放(點(diǎn)C與E重

合)，點(diǎn)B、C(E)、F在同一條直線上.已知：ZACB=ZEDF=90°,ZDEF=45°,

AC=8cm,BC=6cm,EF=10cm.如圖(2),ZXDEF從圖(1)的位置動身，以lcm/s

的速度沿CB向4ABC勻速移動，在4DEF移動的同時，點(diǎn)P從4ABC的頂點(diǎn)A

動身，以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速移動；當(dāng)點(diǎn)P移動到點(diǎn)B時，點(diǎn)P停止

移動，4DEF也隨之停止移動.DE與AC交于點(diǎn)Q,連接PQ,設(shè)移動時間為t(s).

(1)用含t的代數(shù)式表示線段AP和AQ的長，并寫出t的取值范圍；

(2)連接PE,設(shè)四邊形APEQ的面積為y(cm2),摸索究y的最大值；

(3)當(dāng)t為何值時，△APQ是等腰三角形.

A

【解答】(1)解:AP=2t

VZEDF=90°,NDEF=45°,

.,.ZCQE=45°=ZDEF,

.*.CQ=CE=t,

/.AQ=8-t,

t的取值范圍是：0WtW5；

(2)過點(diǎn)P作PGJLx軸于G,可求得AB=10,SinB=l,PB=10-2t,EB=6-t,

5

APG=PBSinB=-l(10-2t)

5

Y=SAABC-SAPBE-SA

、心余6乂8總（63）4（102）多2=4^2啥廣告代噌）2+要

若AP二PQ,如圖①：過點(diǎn)P作PH_LAC,則AH=QH;,PH/7BC

2

/.△APH^AABC,

?APAB

??市W

即2t___10

即8-t-8'

2

解得：(s)

21

若AQ=PQ,如圖②：過點(diǎn)Q作QI_LAB,則Al=PI=L\P=t

2

,/ZAIQ=ZACB=90°ZA=ZA,

.,.△AQI^AABC

???紅1即t=8,

AQ-AB8-t~10

解得：（S）

9

綜上所述，當(dāng)弋/■或9或絲時，△APQ是等腰三角形.

3219

14.（2024?廬陽區(qū)一模）△ABC,NA、NB、ZC的對邊分別是a、b、c,一條

直線DE與邊AC相交于點(diǎn)D,與邊AB相交于點(diǎn)E.

（1）如圖①，若DE將aABC分成周長相等的兩部分，則AD+AE等于多少；（用

a、b、c表示）

（2）如圖②，若AC=3,AB=5,BC=4.DE將4ABC分成周長、面積相等的兩部

分，求AD；

（3）如圖③，若DE將aABC分成周長、面積相等的兩部分，且DE〃BC,則a、

b、c滿意什么關(guān)系?

【解答】解：（1）;DE將4ABC分成周長相等的兩部分,

?'.AD+AE=CD+BC+BE」（AB+AC+BC）=工（a+b+c）；

22

(2)設(shè)AD=x,AE=6-x,

VSAADE=-^AD?AE*sinA=3,

2

即：_Lx(6-x)*—3,

25

解得：Xi二處返(舍去)，X2二殳近,

22

??.AD=^2Zi；

2

(3)?.?DE〃BC,

AAADE^AABC,

.?,他二延

??而萬

??SAADE_1

?-------，

,△ABC2

.\AD=^b,AE=^c,

22

/.^f^c=—(a+b+c),

2^22

?*--^-=72-1.

b+c

15.(2024?嘉興模擬)已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，NPAQ=45。，將/

PAQ圍著正方形的頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它與正方形ABCD的兩個外角NEBC和NFDC

的平分線分別交于點(diǎn)M和N,連接MN.

(1)求證：ZXABMsaNDA；

(2)連接BD,當(dāng)NBAM的度數(shù)為多少時，四邊形BMND為矩形，并加以記明.

jBE

【解答】(1)證明：???四邊形ABCD是正方形,

ZABC=ZADC=ZBAD=90°,

???BM、DN分別是正方形的兩個外角平分線，

ZABM=ZADN=135°,

VZMAN=45°,

AZBAM=ZAND=450-ZDAN,

.,.△ABM^ANDA；

(2)解：當(dāng)NBAM=22.5。時，四邊形BMND為矩形；理由如下：

VZBAM=22.5°,ZEBM=45°,

.\ZAMB=22.5°,

AZBAM=ZAMB,

同理AD=DN,

VAB=AD,ABM=DN,

??,四邊形ABCD是正方形

AZABD=ZADB=45°,

AZBDN=ZDBM=90°

AZBDN+ZDBM=180°,

???BM〃DN

???四邊形BMND為平行四邊形，

,/ZBDN=90°,

J四邊形BMND為矩形.

16.(2024?肥城市三模)如圖，在銳角^ABC中，D,E分別為AB,BC中點(diǎn)，F(xiàn)

為AC上一點(diǎn)，且NAFE=NA,DM〃EF交AC于點(diǎn)M.

(1)點(diǎn)G在BE上，且NBDG二NC,求證：DG?CF=DM?EG；

(2)在圖中，取CE上一點(diǎn)H,使NCFH=NB,若BG=1,求EH的長.

A

/\M

DK\

BE

【解答】(1)證明：如圖1所示,

AD,E分別為AB,BC中點(diǎn)，

???DE〃AC

VDM^EF,

???四邊形DEFM是平行四邊形，

/.DM=EF,

如圖2所示，

???D、E分別是AB、BC的中點(diǎn),

???DE〃AC,

AZBDE=ZA,ZDEG=ZC,

VZAFE=ZA,

/RDF=/AFF,

JNBDG+NGDE=NC+/FEC,

VZBDG=ZC,

AZGDE=ZFEC,

/.△DEG^AECF；

?DGEG

??而刊

?DGEG

??麗干

?DGDM

??前行，

DG*CF=DM*EG；

(2)解：如圖3所示，

VZBDG=ZC=ZDEB,ZB=ZB,

AABDG^ABED,

?BDBG

??而麗

ABD2=BG?BE,

VZAFE=ZA,ZCFH=ZB,

/.ZC=180°-ZA-ZB=180°-ZAFE-ZCFH=ZEFH,

X'.'ZFEH=ZCEF,

AAEFH^AECF,

■..EH—_IEF>

EFEC

AEF2=EH*EC,

VDE//AC,DM〃EF,

???四邊形DEFM是平行四邊形,

AEF=DM=DA=BD,

/.BG?BE=EH*EC,

VBE=EC,

AEH=BG=1.

圖2

17.（2024?肥城市模抵）ZXABC中，AB=AC,點(diǎn)D、E、F分別在BC、AB、AC上,

ZEDF=ZB.

（1）如圖1,求證：DE?CD=DF?BE

（2）D為BC中點(diǎn)如圖2,連接EF.

①求證：ED平分NBEF；

②若四邊形AEDF為菱形，求NBAC的度數(shù)及延的值.

AB

【解答】(1)證明：:△ABC中,AB=AC,

/.ZB=ZC.

VZB+ZBDE+ZDEB=180°,ZBDE+ZEDF+ZFDC=180°,ZEDF=ZB,

/.ZFDC=ZDEB,

AABDE^ACFD,

.DEBE

??市F

即DE*CD=DF?BE；

(2)解：①由(1)證得△BDEs/\CFD,

.BEJE

?0寸

?；D為BC中點(diǎn)，

???BD=CD,

.BE-DE

**BD-DF，

VZB=ZEDF,

.?.△BDE?△DFE,

AZBED=ZDEF,

AED平分NBEF；

②???四邊形AEDF為菱形，

/.ZAEF=ZDEF,

VZBED=ZDEF,

AZAEF=60°,

VAE=AF,

AZBAC=60°,

VZBAC=60°,

???△ABC是等邊三角形,

AZB=60°,

ABED是等邊三