2022-2023學(xué)年上海市浦東新區(qū)華東師大二附中高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷-含詳解

第1頁（共1頁）2022-2023學(xué)年上海市浦東新區(qū)華東師大二附中高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）1．（4分）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（1﹣i）z＝1+i（i為虛數(shù)單位），則z＝．2．（4分）若集合，則＝3．（4分）已知函數(shù)f（x）＝sinx+xex，則f'（0）＝．4．（4分）在（1+2x）6的二項(xiàng)展開式中，x4項(xiàng)的系數(shù)是．（用數(shù)值表示）5．（4分）已知圓柱的高為4，底面積為9π，則圓柱的側(cè)面積為．6．（4分）若函數(shù)f（x）＝3sin（ωx+φ）對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f（+x）＝f（﹣x），則f（）＝．7．（5分）已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B（12，0.25），且E（aX﹣3）＝3（a∈R），則D（aX﹣3）＝．8．（5分）“燕山雪花大如席”，北京冬奧會(huì)開幕式將傳統(tǒng)詩歌文化和現(xiàn)代奧林匹克運(yùn)動(dòng)聯(lián)系在一起，天衣無縫，讓人們?cè)俅晤I(lǐng)略了中國悠久的歷史積淀和優(yōu)秀傳統(tǒng)文化恒久不息的魅力．順次連接圖中各頂點(diǎn)可近似得到正六邊ABCDEF．若正六邊形的邊長為1，點(diǎn)P是其內(nèi)部一點(diǎn)（包含邊界），則的取值范圍為．9．（5分）已知a＞b＞1，若logab+logba＝，ab＝ba，則a+2b＝．10．（5分）設(shè)Pn（xn，yn）是直線與圓x2+y2＝1在第一象限的交點(diǎn)，則＝．11．（5分）已知實(shí)數(shù)x、y滿足，則的取值范圍是．12．（5分）已知非零實(shí)數(shù)x，y滿足，則x2+y2的最小值為．二、選擇題（本大題共4題，滿分12分）13．（3分）設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線ax+2y＝0與直線x+（a+1）y+2＝0平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件14．（3分）甲、乙兩名同學(xué)在5次數(shù)學(xué)考試中，成績統(tǒng)計(jì)用莖葉圖表示，若甲、乙兩人的平均成績分別用表示，則下列結(jié)論正確的是（）A．，且甲比乙成績穩(wěn)定 B．，且乙比甲成績穩(wěn)定 C．＜，且甲比乙成績穩(wěn)定 D．，且乙比甲成績穩(wěn)定15．（3分）折扇是我國傳統(tǒng)文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1），圖2為其結(jié)構(gòu)簡化圖，設(shè)扇面A，B間的圓弧長為l，AB間的弦長為d，圓弧所對(duì)的圓心角為θ（θ為弧度角），則l、d和θ所滿足的恒等關(guān)系為（）A． B． C． D．16．（3分）已知正實(shí)數(shù)C滿足：對(duì)于任意θ，均存在i，j∈Z，0≤i≤j≤255，使得|cos2θ﹣|≤C，記C的最小值為λ，則（）A．＜λ＜ B．＜λ＜ C．＜λ＜ D．＜λ＜三、解答題（本大題共有5題，滿分0分）17．如圖，在直角△POA中，PO⊥OA，PO＝2OA，將△POA繞邊PO旋轉(zhuǎn)到△POB的位置，使∠AOB＝90°，得到圓錐的一部分，點(diǎn)C為弧AB的中點(diǎn)．（1）求證：PC⊥AB；（2）設(shè)直線PC與平面PAB所成的角為φ，求sinφ．18．記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知Sn＝2an﹣a1，且a1≠0．（1）證明：{an}是等比數(shù)列．（2）若{bn}是等差數(shù)列，且b1＝a1，b2+b4＝18a1，求集合{k|ak＝bm+3b1，1≤m≤200}中元素的個(gè)數(shù)．19．如圖所示，公路AB一側(cè)有一塊空地△OAB，其中OA＝6km，OB＝6km，∠AOB＝90°，市政府?dāng)M在中間開挖一個(gè)人工湖△OMN，其中M，N都在邊AB上（M，N不與A，B重合，M在A，N之間），且∠MON＝30°．（1）若M在距離A點(diǎn)4km處，求OM和MN的長度；（2）為節(jié)省投入資金，人工湖△OMN的面積盡可能小，設(shè)∠AOM＝α，試確定α的值，使△OMN的面積最小，并求出最小面積．20．已知橢圓焦距為，過點(diǎn)，斜率為k的直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B．（1）求橢圓M的方程；（2）若k＝1，|AB|的最大值；（3）設(shè)P（﹣2，0），直線PA與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為C，直線PB與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為D．若C、D和點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)k的值．21．定義：函數(shù)m（x），n（x）的定義域的交集為D，A?D，若對(duì)任意的x0∈A，都存在x1，x2∈D，使得x1，x0，x2成等比數(shù)列，m（x1），m（x0），m（x2）成等差數(shù)列，那么我們稱m（x），n（x）為一對(duì)“K函數(shù)”．已知函數(shù)f（x）＝，g（x）＝ax，a＞0．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求證：f（x）≥；（Ⅲ）若A＝[1，+∞），對(duì)任意的a∈S，f（x），g（x）為一對(duì)“K函數(shù)”，求證：S?[1，e4）．（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

2022-2023學(xué)年上海市浦東新區(qū)華東師大二附中高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）參考答案與試題解析一、填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）1．解：由（1﹣i）z＝1+i，得z＝．故答案為：i．2．解：∵A＝{x|x≤﹣2或x≥2}，∴．故答案為：{x|﹣2＜x＜2}．3．解：f′（x）＝cosx+ex+xex，則f′（0）＝1+1＝2．故答案為：2．4．解：（1+2x）6的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1＝?（2x）r，令r＝4，可得含x4項(xiàng)的系數(shù)是×24＝240，故答案為：240．5．解：因?yàn)閳A柱的底面積為9π，即πR2＝9π，所以R＝3，所以S側(cè)＝2πRh＝24π．故答案為：24π．6．解：∵f（+x）＝f（﹣x），∴對(duì)稱軸為x＝，∴當(dāng)x＝時(shí)，ω+φ＝+2kπ或﹣+2kπ，∴f（）＝±3．故答案為：±3．7．解：∵隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B（12，0.25），∴E（X）＝12×0.25＝3，D（X）＝12×0.25×（1﹣0.25）＝2.25，∵E（aX﹣3）＝3，∴aE（X）﹣3＝3a﹣3＝3，解得a＝2，∴D（aX﹣3）＝D（2X﹣3）＝4D（X）＝4×2.25＝9．故答案為：9．8．解：如圖：由正六邊形的性質(zhì)可知，∠BAC＝∠BCA＝30°，故AC＝，所以∠CAF＝120°﹣30°＝90°，所以P點(diǎn)的位置在直線AF的右側(cè)的六邊形內(nèi)（包括邊界）或落在線段AF上，又表示的是與在上的投影的乘積，故當(dāng)P落在線段AF上時(shí)，在上的投影最小為0，當(dāng)P落在線段DC上時(shí)，在上的投影最大為＝，故，故答案為：[0，3]．9．解：因?yàn)閘ogab+logba＝，，且logab×logba＝1所以logab，logba是方程x2﹣x+1＝0的兩根．解得logba＝2或logba＝．又a＞b＞1，所以logba＝2，即a＝b2，又ab＝ba．從而b2b＝ba?a＝2b，且a＝b2則b＝2，a＝4．所以a+2b＝8．故答案為：8．10．解：當(dāng)n→+∞時(shí)，直線2x﹣y＝趨近于2x﹣y＝1，與圓x2+y2＝1在第一象限的交點(diǎn)無限靠近（，），可看作點(diǎn)Pn（xn，yn）與（1，1）連線的斜率，其值會(huì)無限接近圓x2+y2＝1在點(diǎn)（1，1）處的切線的斜率，其斜率為﹣1．所以＝＝2．故答案為：2．11．解：因?yàn)閷?shí)數(shù)x，y滿足足，當(dāng)x＞0，y＞0時(shí)，方程為的圖象為雙曲線在第一象限的部分；當(dāng)x＞0，y＜0時(shí)，方程為的圖象為橢圓在第四象限的部分；當(dāng)x＜0，y＞0時(shí)，方程為的圖象不存在；當(dāng)x＜0，y＜0時(shí)，方程為的圖象為雙曲線在第三象限的部分；在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象如圖所示，表示點(diǎn)（x，y）到直線x﹣2y+＝0的距離的倍，根據(jù)雙曲線的方程可得，兩條雙曲線的漸近線均為y＝±x，令z＝x﹣2y+，即y＝x﹣+，與雙曲線漸近線平行，觀察圖象可得，當(dāng)過點(diǎn)（x，y）且斜率為的直線與橢圓相切時(shí)，點(diǎn)（x，y）到直線x﹣2y+＝0的距離最大，即當(dāng)直線z＝x﹣2y+與橢圓相切時(shí)，z最大．聯(lián)立方程組，得2x2﹣（2z﹣2）x+z2﹣2z+1＝0，Δ＝（2z﹣2）2﹣4×2×（z2﹣2z+1）＝0，解得z＝±2．又因?yàn)闄E圓的圖象只有第四象限的部分，所以z＝+2．又直線x﹣2y+＝0與x﹣2y＝0的距離為1，故曲線上的點(diǎn)到直線的距離大于1，所以z＞．綜上所述，＜z≤+2，所以＜|z|≤+2，即的取值范圍是（，2]．故答案為：（，2]．12．解：令x2+y2＝r2（r＞0），設(shè)x＝rcosθ，y＝rsinθ，所以x2﹣y2＝r2（cos2θ﹣sin2θ）＝r2cos2θ，++2xy＝++2r2sinθcosθ＝+r2sin2θ＝+r2sin2θ，因?yàn)榉橇銓?shí)數(shù)x，y滿足，所以+r2sin2θ＝r2cos2θ，所以r2（cos2θ﹣sin2θ）＝，所以r2（cos2θsin2θ﹣sin22θ）＝2，即r2（sin4θ﹣）＝2，整理得，r2＝，因?yàn)閟in（4θ+）﹣1∈[﹣﹣1，﹣1]，又r2＞0，所以sin（4θ+）﹣1∈[0，﹣1]，當(dāng)sin（4θ+）取最大值時(shí)，取得最小值，即當(dāng)sin（4θ+）＝時(shí)，的最大值為＝4（+1），故x2+y2的最大值為4（），故答案為：4（）．二、選擇題（本大題共4題，滿分12分）13．解：直線ax+2y＝0與直線x+（a+1）y+2＝0平行，則，解得a＝﹣2，或1；因?yàn)閧1}?{﹣2，1}，故“a＝1”是“直線ax+2y＝0與直線x+（a+1）y+2＝0平行”的充分不必要條件．故選：A．14．解：由莖葉圖可知，甲的數(shù)據(jù)為88，89，90，91，92，所以甲的平均值為．乙的數(shù)據(jù)為83，88，89，89，91，所以乙的平均值為，所以．由莖葉圖可知，甲的數(shù)據(jù)主要集中在90附近，所以甲比乙穩(wěn)定．故選：A．15．解：由題意，如圖，可得AD＝d，∠DOA＝，設(shè)OA＝r，則在△ADO中，sin＝，①又l＝rθ，②所以由①②可得：＝，即．故選：A．16．解：由題意將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意x∈[0，1]，均存在i，j∈Z，0≤i≤j≤255，使得|x﹣|≤C，將在數(shù)軸上表示如下：當(dāng)x與上述數(shù)軸上的點(diǎn)重合時(shí)，存在imj∈Z，0≤i≤j≤255，使得x﹣＝0，又C為正實(shí)數(shù)，則|x﹣|≤C成立，當(dāng)x與上述數(shù)軸上的點(diǎn)不重合時(shí)，假設(shè)在相鄰的兩個(gè)點(diǎn)，之間，則|x﹣|≤|﹣|，當(dāng)且僅當(dāng)x在相鄰兩個(gè)點(diǎn)，中點(diǎn)時(shí)，取等號(hào)，要使對(duì)于任意x∈[0，1]，均存在i，j∈Z，0≤t≤j≤255，使得|x﹣|≤C，則C≥||，又?jǐn)?shù)軸上所有相鄰的兩個(gè)點(diǎn)之間距離最大為＝，此時(shí)x在相鄰的兩個(gè)點(diǎn)0，或，1中點(diǎn)，則x﹣＝，則有C≥＝，以下說明數(shù)軸上所有相鄰的兩個(gè)點(diǎn)的距離最大為，數(shù)軸上（k∈Z，0≤k≤254）兩點(diǎn)間的距離為，當(dāng)k＝0或k＝254，0和為相鄰的兩點(diǎn)，之間的距離為，當(dāng)1≤k≤253時(shí)，則有，∴之間必存在點(diǎn)，可得相鄰兩點(diǎn)之間的距離小于，綜上，數(shù)軸上所有相鄰兩點(diǎn)之間距離最大值為，綜上，．故選：B．三、解答題（本大題共有5題，滿分0分）17．解：（1）證明：由題意知PO⊥平面AOB，所以PO⊥AB．又點(diǎn)C為的中點(diǎn)，所以O(shè)C⊥AB，PO∩OC＝O，所以AB⊥平面POC，又PC?平面POC，所以PC⊥AB．（2）以O(shè)為原點(diǎn)，，，的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)OA＝2，則A（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，4），，所以，，．設(shè)平面PAB的法向量為，則①，②，①②聯(lián)立，取c＝1，可得平面PAB的一個(gè)法向量為，所以＝．18．解：（1）證明：由Sn＝2an﹣a1，且a1≠0，可得a1＝S1＝2a1﹣a1＝a1成立．當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝2an﹣a1，①將n換為n﹣1可得Sn﹣1＝2an﹣1﹣a1，②由①﹣②可得an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣2an﹣1，化為an＝2an﹣1，所以{an}是公比為2的等比數(shù)列；（2）設(shè){bn}是公差為d的等差數(shù)列，由b1＝a1，b2+b4＝18a1，可得2b1+4d＝18a1，解得d＝4a1，則bn＝b1+（n﹣1）d＝a1+4（n﹣1）a1＝（4n﹣3）a1，又an＝a1?2n﹣1，由ak＝bm+3b1，可得a1?2k﹣1＝（4m﹣3）a1+3a1，由于a1≠0，所以2k﹣3＝m，由1≤m≤200，可得k＝3，m＝1；k＝4，m＝2；k＝5，m＝4；k＝6，m＝8；...；k＝10，m＝128．則集合{k|ak＝bm+3b1，1≤m≤200}中元素的個(gè)數(shù)為8．19．解：（1）在△OAB中，其中OA＝6km，OB＝6km，∠AOB＝90°，tan∠OAB＝＝，∴∠OAB＝60°，在△AMO中，OM2＝OA2+AM2﹣2OA?AMcos60°＝28，∴cos＝，在△OAN中，sin∠ANO＝sin（∠A+∠AON）＝sin（∠A+∠NOM+∠AOM）＝sin（∠AOM+90°）＝cos∠AOM＝，在△OMN中，，∴MN＝；（2）設(shè)∠AOM＝α，0°＜α＜60°，在△AMO中，，∴OM＝，在△ANO中，，∴ON＝，∴s＝＝，∵0°＜α＜60°，∴α＝15°時(shí)，△OMN的面積最小，最小值為54﹣27．20．解：（1）設(shè)橢圓方程為，由題意可得，解得a2＝3，b2＝1，所以橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)直線AB的方程為y＝x+m，由消去y可得4x2+6mx+3m2﹣3＝0，則，即m2＜4，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，，則，易得當(dāng)m2＝0時(shí)，，故|AB|的最大值為．（3）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），則①，②，又P（﹣2，0），所以可設(shè)，直線PA的方程為y＝k1（x+2），由消去y可得，則，即，又，代入①式可得，所以，所以，同理可得．故，，因?yàn)镼，C，D三點(diǎn)共線，所以，將點(diǎn)C