第八章 Z變換與Z域分析教學(xué)課件

第八章Z變換與Z域分析

ZtransformandanalysisonZcomplexdomain

8.1Z變換(Ztransform)

8.1.1從拉普拉斯變換到Z變換(LaplacetransformtoZtransform)連續(xù)時(shí)間信號(hào)經(jīng)過(guò)抽樣后，就得到離散時(shí)間信號(hào)。設(shè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)

每隔時(shí)間T抽樣一次，抽樣后信號(hào)

相當(dāng)于連續(xù)時(shí)間信號(hào)

乘以沖激序列

，即(8.1-1)取上式的雙邊拉普拉斯變換，考慮到可得抽樣信號(hào)的雙邊拉普拉斯變換為(8.1-2)取一新復(fù)變量Z，令,則上式可寫為:(8.1-3)上式稱為序列

的雙邊

變換(BilateralZtransform)可見(jiàn)，序列

的Z變換就等于抽樣信號(hào)的拉普拉斯變換。定義：如有離散時(shí)間序列

則函數(shù)(8.1-4)稱為序列

的雙邊Z變換。與拉普拉斯反演積分公式相對(duì)應(yīng)，逆

變換公式可利用復(fù)變函數(shù)理論中的柯西積分公式推導(dǎo)出來(lái)。即

的逆Z變換(InverseZtransform)為:(8.1-5)式中C是環(huán)繞原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较虻膰€。式(8.1-5)稱為雙邊逆Z變換。如果序列

是因果序列(Acausesequence)，即有當(dāng)

時(shí)，,則序列

的Z變換和逆變換可定義為:(8.1-6)(8.1-7)式(8.1-6)和(8.1-7)分別稱為的單邊Z變換(UnilateralZtransform)和

的逆Z變換(InverseZtransform).它們之間的關(guān)系也簡(jiǎn)記作:(8.1-8)Z變換與傅里葉變換、拉氏變換之間的關(guān)系(TherelationshipofZtransformandLaplacetransform):在離散時(shí)間信號(hào)系統(tǒng)中應(yīng)用的Z變換，它的作用類似于在連續(xù)時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)中應(yīng)用的拉氏變換。因此，Z變換和拉氏變換之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以通過(guò)序列

的Z變換就等于抽樣信號(hào)的拉普拉斯變換推出，得到:(8.1-9)因此可建立如下的S和Z之間的映照關(guān)系(Mappingrelationship)：(8.1-10)令，當(dāng)，從0到時(shí)，可如圖8.1-1所示在Z平面上畫出一個(gè)半徑為1的單位圓(Anunitcircle)。

圖8.1-1Z-平面上一個(gè)半徑為1的單位圓按照上面的映照關(guān)系，這是一種多值映照關(guān)系，S—平面上高為

的一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)水平橫條可映照成整個(gè)Z—平面(Z-plant)。其中S—平面上長(zhǎng)

的一段虛軸(Imaginaryaxle)映照成整個(gè)單位圓。橫條的左半部分映照成Z

平面的單位圓內(nèi)部，橫條的右半部分映照成單位圓的外部。因此Z

平面上的每一個(gè)點(diǎn)在S

平面上有無(wú)限個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)。如圖8.1-2所示。圖8.1-2Z-平面和S-平面的映照關(guān)系按照上面的這種映照關(guān)系，一個(gè)穩(wěn)定的模擬系統(tǒng)將被映照成為一個(gè)穩(wěn)定的數(shù)字系統(tǒng)。這是我們研究從模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的一個(gè)重要依據(jù)。8.1.2Z變換的收斂域(ConvergenceofZtransform)

因

變換的表達(dá)形式是一冪級(jí)數(shù)，顯然，僅當(dāng)該級(jí)數(shù)收斂時(shí)，

變換才有意義。根據(jù)等比級(jí)數(shù)和級(jí)數(shù)理論，級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是該級(jí)數(shù)絕對(duì)可和(Absolutelysumable)，即(8.1-11)根據(jù)比值判別法可知，級(jí)數(shù)收斂的條件(Sufficientconditionofconvergence)是:(8.1-12)若序列

在

的任意有限間隔內(nèi)是有限值，且當(dāng)

趨于無(wú)限大時(shí)是指數(shù)階的，則其Z變換在

的范圍內(nèi)存在。這里

稱為收斂半徑(Convergenceradius)。在

平面上，

為半徑的圓，而

是該圓外部區(qū)域，稱為象函數(shù)

的絕對(duì)收斂域(RegionofConvergence,ROC)，極徑

稱為收斂半徑，圓

稱為收斂圓(Convergencecircle)。根據(jù)以上討論，序列的Z變換僅在收斂域內(nèi)存在，由于在其收斂域內(nèi)存在，因而象函數(shù)與收斂域一起才能確定原函數(shù)

。對(duì)于因序列的單邊Z變換，其收斂域均為

圓外的區(qū)域，對(duì)于反因序列的Z變換，其收斂域均為

，圓內(nèi)的區(qū)域；對(duì)于雙邊序列的Z變換，其收斂域分別結(jié)合因序列和反因序列的情況，注明收斂域?，F(xiàn)將常見(jiàn)單邊信號(hào)的Z變換如表8.1所示。表8.1常見(jiàn)單邊信號(hào)的Z變換(TypicalexamplesofZtransform)本節(jié)例題【例8.1-1】Determinethez-transformforthefollowingsequences.Expressallsumsinclosedformandindicatetheregionofconvergence.（1）單位函數(shù),求Z變換。解：，即單位函數(shù)

的Z變換等于常數(shù)1，它在全Z平面收斂。（2）,求Z變換。解：根據(jù)等比級(jí)數(shù)求和公式，可得：

8.2Z變換的性質(zhì)(propertiesofZtransform)

Z變換的基本性質(zhì)類似于拉普拉斯變換的性質(zhì)，熟悉和掌握Z(yǔ)變換的一些基本性質(zhì)或定理，對(duì)于掌握Z(yǔ)變換及其應(yīng)用是很重要的。（1）線性性質(zhì)(Linearity)若離散序列

和

的象函數(shù)分別為

和

，其收斂半徑分別為

和

，設(shè)

和

是兩個(gè)任意常數(shù)，則

的象函數(shù)為

。則:(8.2-1)其收斂域至少是二函數(shù)收斂域的相重疊部分。根據(jù)Z變換的定義容易證明以上結(jié)論，這里從略。Z變換的線性性質(zhì)不難推廣到有多個(gè)序列的情形。(2)移位特性(Timeshifting)序列

沿

軸移位有兩種情況：向右移位（延遲）和向左移位（提前）。對(duì)于單邊序列（因果序列）,將其右移

個(gè)單位

后，可寫為

，其單邊

變換為:令

，則上式可寫為:(3)序列乘

（Z域尺度變換）(scalingtransform)序列

也可稱為指數(shù)加權(quán)序列。如果序列

的Z變換為

，那么Z變換為：(4)卷積定理(1)k域卷積（z域相乘）(ConvolutioninTime)在單邊Z變換中所討論的序列都是因果序列，即序列

和

的卷積和可寫為于是其收斂域至少是二函數(shù)收斂域相重疊的部分。(2)序列相乘（Z域卷積）(ConvolutioninZ)式中C是

和

收斂域重疊部分內(nèi)逆時(shí)針?lè)较虻膰€。(5)序列乘k（Z域微分）(DifferenceinZcomplexfrequency)用同樣的方法可推廣到乘以K的任意正次冪。對(duì)于任意正整數(shù)m，有(6)序列除k＋m（Z域積分）(IntegralinZ)令

，設(shè)有整數(shù)m，這里

。根據(jù)Z變換的定義:(7)部分和的Z變換(transformofpartialsumsequence)設(shè)有序列

，它是另一序列

的前K項(xiàng)之和，即則：

令取上式的Z變換，得：由上式可解得：下面，我們將

變換的性質(zhì)列于表8.2-1以便查閱。表8.2-1單邊Z變換的性質(zhì)(propertiesofUnilateralZtransform)本節(jié)例題【例8.2-1】Determinethez-transformforthefollowingsequences.Expressallsumsinclosedformandindicatetheregionofconvergence.（1）則：（2）根據(jù)Z域微分特性，可知：（3）（4）根據(jù)K域卷積定理：【例8.2-2】求一個(gè)矩形序列的Z變換。矩形序列可看作是單位階躍序列

與右移N個(gè)單位的單位階躍序列

之差，即：根據(jù)Z變換的線性和移位特性，得則：

8.3逆Z變換（InverseZtransform）

從序列的Z變換反過(guò)來(lái)求序列本身的過(guò)程稱為逆Z變換。按照復(fù)變函數(shù)中羅朗級(jí)數(shù)的理論，

逆變換可按下列公式求出:=這是Z平面上的一個(gè)環(huán)路積分(Contourintegration)。C1是Z平面上

收斂區(qū)內(nèi)的一個(gè)閉合環(huán)路。按

的逆Z變換公式直接計(jì)算逆Z變換通常十分復(fù)雜。計(jì)算逆Z變換的常用方法為：（1）留數(shù)定理法（2）冪級(jí)數(shù)展開(kāi)（3）部分分式展開(kāi)我們重點(diǎn)講解（3）部分分式展開(kāi)法。部分分式展開(kāi)法(partial-fractionexpansion):部分分式展開(kāi)法求逆Z變換的步驟為：（1）對(duì)于單邊Z變換，象函數(shù),通?？梢韵葘?/p>

展開(kāi),然后再乘以Z，對(duì)于

為單極點(diǎn)：如果

的極點(diǎn)都互不相同，則

可展開(kāi)為：（2）有共軛單極點(diǎn)(Conjugatecomplexroot)：如果

有一共軛單極點(diǎn)式中是除該共軛極點(diǎn)外的其余部分，而（3）有r重極點(diǎn)：如果

在

處有r重極點(diǎn)，則

可展開(kāi)式為：各系數(shù)

可用下式求得：將求得的系數(shù)

代入，可得：

本節(jié)例題

【例8.3-1】計(jì)算逆變換：（1）

將

展開(kāi)為部分分式，得：根據(jù)部分分式展開(kāi)式系數(shù)公式，得：則：等號(hào)兩端同乘以Z，得：取上式的逆變換，得：（2）

有一對(duì)共軛二重極點(diǎn)＋共軛項(xiàng)根據(jù)部分分式展開(kāi)式系數(shù)公式可求得所以＋共軛項(xiàng)因?yàn)椋?/p>

8.4Z域分析(analysisonZcomplexdomain)

描述線性非時(shí)變離散系統(tǒng)的一種形式是常系數(shù)線性差分方程，而Z變換是求解線性差分方程的有力工具，它的主要優(yōu)點(diǎn)是：求解步驟簡(jiǎn)明而有規(guī)律，其初始狀態(tài)已自然地包含在象方程（以Z為自變量的象函數(shù)方程）中，可一舉求得方程的全解。因此，本節(jié)主要介紹差分方程的變換解方法、以及系統(tǒng)函數(shù)和系統(tǒng)穩(wěn)定性分析。8.4.1差分方程的變換解(SolutionofanorderlinearconstantcoefficientdifferenceequationbasedonZtransform)

一般而言，描述線性非時(shí)變系統(tǒng)的差分方程為:對(duì)于因果系統(tǒng)，上式中,考慮

是因果序列。對(duì)上式

進(jìn)行Z變換，得：式中它是與各初始狀態(tài)有關(guān)的Z多項(xiàng)式(Zpolynomialrelatedinitialconditions)。稱為差分方程式

的特征多項(xiàng)式(Eigenpolynomial).可得：因而式中第一項(xiàng)是零輸入響應(yīng)

的象函數(shù)

，式中第二項(xiàng)只與激勵(lì)的象函數(shù)

有關(guān)，因而零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)。這樣，系統(tǒng)的全響應(yīng)為：其中：系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)與激勵(lì)象函數(shù)之比稱為系統(tǒng)函數(shù)(systemtransmissionfunction)，表達(dá)為：即：式中系數(shù)都是實(shí)系數(shù)，方程的根，，稱為系統(tǒng)函數(shù)

的極點(diǎn)；方程的根，，稱為系統(tǒng)函數(shù)

的零點(diǎn)。如果極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，在這種情況下，我們可求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（或頻率特性(frequencycharacteristicofsystem)）：系統(tǒng)的激勵(lì)為單位函數(shù)時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位響應(yīng)。故系統(tǒng)的單位響應(yīng)

是系統(tǒng)函數(shù)

的逆Z變換。單位響應(yīng)

中各分量的函數(shù)形式只決定于

的極點(diǎn)，其幅度和相角則由零點(diǎn)和極點(diǎn)共同確定。由此可知，系統(tǒng)的單位響應(yīng)將完全決定于

的零、極點(diǎn)在Z平面的分布狀況。(1)極點(diǎn)在單位圓內(nèi)如果展開(kāi)式因子有一階實(shí)極點(diǎn),其逆Z變換，即相應(yīng)于的單位響應(yīng)量。由于，故隨著k的增大而減小，當(dāng)

時(shí)。如果

在單位圓內(nèi)有高階實(shí)極點(diǎn)，例如二階實(shí)極點(diǎn)，則逆Z變換，即單位響應(yīng)的分量由于

，當(dāng)

時(shí)，

。如果在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)是共軛成對(duì)的，其所對(duì)應(yīng)的單位響應(yīng)分量仍是衰減的。(2)極點(diǎn)在單位圓上如果在單位圓上的極點(diǎn)只有一階實(shí)極點(diǎn)

或－1。其逆Z變換它們是等幅序列，當(dāng)時(shí)，為有限值。有一階共軛極點(diǎn)其逆Z變換

它是等幅的余弦序列。如果

在單位圓上有高階極點(diǎn)，則其相應(yīng)的單位響應(yīng)分量當(dāng)k趨近于無(wú)限大時(shí)，趨近于無(wú)限大。（3）極點(diǎn)在單位圓外如果

在單位圓外有實(shí)極點(diǎn)或有共軛極點(diǎn)，則其相應(yīng)的單位響應(yīng)分量當(dāng)k趨近于無(wú)限大時(shí)，趨近于無(wú)限大。

8.4.2線性位移不變離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性(stabilityofadiscrete-timeLTIsystem)

線性位移不變離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析：一個(gè)線性位移不變離散系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)(Astablesystem)的充分和必要條件是：在時(shí)域中，系統(tǒng)的輸出

；在頻域中，其系統(tǒng)函數(shù)

的極點(diǎn)都在位于單位圓的內(nèi)部。因此，判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定，也可以判別系統(tǒng)函數(shù)

的特征方程

所有的根的絕對(duì)值是否小于1。對(duì)于為高次代數(shù)方程時(shí)，朱里(Julyrule)提出了列表判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定的方法，步