2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考專用)專題20任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念(原卷版+解析)

專題20任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點(diǎn)突破】 4【考點(diǎn)1】象限角及終邊相同的角 4【考點(diǎn)2】弧度制及其應(yīng)用 6【考點(diǎn)3】三角函數(shù)的定義及應(yīng)用 8【分層檢測】 9【基礎(chǔ)篇】 9【能力篇】 12【培優(yōu)篇】 13考試要求：1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能進(jìn)行弧度與角度的互化.3.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.知識梳理知識梳理1.角的概念的推廣(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的圖形.(2)分類eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2.弧度制的定義和公式(1)定義：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作1rad.(2)公式角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長用l表示)角度與弧度的換算1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長公式弧長l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r23.任意角的三角函數(shù)(1)定義前提如圖，設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)定義正弦y叫做α的正弦函數(shù)，記作sinα，即sinα＝y(tǒng)余弦x叫做α的余弦函數(shù)，記作cosα，即cosα＝x正切eq\f(y,x)叫做α的正切函數(shù)，記作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)三角函數(shù)正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)(2)定義的推廣設(shè)P(x，y)是角α終邊上異于原點(diǎn)的任一點(diǎn)，它到原點(diǎn)的距離為r(r>0)，那么sinα＝eq\f(y,r)；cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0).1.三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.角度制與弧度制可利用180°＝πrad進(jìn)行互化，在同一個式子中，采用的度量制必須一致，不可混用.3.象限角4.軸線角真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當(dāng)時，（

）A． B． C． D．二、填空題3．（2023·北京·高考真題）已知命題若為第一象限角，且，則．能說明p為假命題的一組的值為，．4．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個交點(diǎn)，若，則．

5．（2023·全國·高考真題）若，則．6．（2021·北京·高考真題）若點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)為，寫出的一個取值為．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】象限角及終邊相同的角一、單選題1．（23-24高一下·河南·階段練習(xí)）如圖，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合是（

）A． B．C． D．2．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知角第二象限角，且，則角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角二、多選題3．（23-24高一上·吉林長春·期末）下列說法正確的是（

）A．“為第一象限角”是“為第一象限角或第三象限角”的充分不必要條件B．“，”是“”的充要條件C．設(shè)，，則“”是“”的充分不必要條件D．“”是“”的必要不充分條件4．（22-23高二下·吉林長春·期末）下列說法正確的是（

）A．軸截面為等腰直角三角形的圓錐，其側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為B．若，則C．已知為銳角，，角的終邊上有一點(diǎn)，則D．在范圍內(nèi)，與角終邊相同的角是和三、填空題5．（2022·河南開封·三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于直線對稱.若，則.6．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊在第二象限，，則的值為．反思提升：(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過集合中的參數(shù)k(k∈Z)賦值來求得所需的角.(2)確定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的終邊位置的方法先寫出kα或eq\f(α,k)的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定kα或eq\f(α,k)的終邊所在的位置.【考點(diǎn)2】弧度制及其應(yīng)用一、單選題1．（2023·陜西安康·三模）羽毛球運(yùn)動是一項全民喜愛的體育運(yùn)動，標(biāo)準(zhǔn)的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，測得每根羽毛在球托之外的長為，球托之外由羽毛圍成的部分可看成一個圓臺的側(cè)面，測得頂端所圍成圓的直徑是，底部所圍成圓的直徑是，據(jù)此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展開圖的圓心角為（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）石雕、木雕、磚雕被稱為建筑三雕．源遠(yuǎn)流長的磚雕，由東周瓦當(dāng)、漢代畫像磚等發(fā)展而來，明清時代進(jìn)入巔峰，形成北京、天津、山西、徽州、廣東、臨夏以及蘇派磚雕七大主要流派．蘇派磚雕被稱為“南方之秀”，是南方地區(qū)磚雕藝術(shù)的典型代表，被廣泛運(yùn)用到墻壁、門窗、檐廊、欄檻等建筑中．圖（1）是一個梅花磚雕，其正面是一個扇環(huán)，如圖（2），磚雕厚度為6cm，，，所對的圓心角為直角，則該梅花磚雕的表面積為（單位：）（

）

A． B． C． D．二、多選題3．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，設(shè)單位圓與軸的正半軸相交于點(diǎn)，以軸的非負(fù)半軸為始邊作銳角，，，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)，，．若，則下列說法正確的是（

）

A．當(dāng)時，的面積為B．當(dāng)時，扇形的面積為C．當(dāng)時，四邊形的面積為D．四邊形面積的最大值為14．（23-24高三上·云南昆明·階段練習(xí)）質(zhì)點(diǎn)A，B在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓上同時出發(fā)做逆時針勻速圓周運(yùn)動，點(diǎn)A的起點(diǎn)在射線（）與圓O的交點(diǎn)處，點(diǎn)A的角速度為，點(diǎn)B的起點(diǎn)在圓O與x軸正半軸的交點(diǎn)處，點(diǎn)B的角速度為，則下列說法正確的是（

）A．在末時，點(diǎn)B的坐標(biāo)為B．在末時，劣弧的長為C．在末時，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合D．當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)B重合時，點(diǎn)A的坐標(biāo)可以為三、填空題5．（2023·上海普陀·一模）若圓上的一段圓弧長與該圓的內(nèi)接正六邊形的邊長相等，則這段圓弧所對的圓心角的大小為.6．（2024·上海黃浦·二模）如圖是某公園局部的平面示意圖，圖中的實(shí)線部分（它由線段與分別以為直徑的半圓弧組成）表示一條步道.其中的點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的半圓弧上，且均為直角.若百米，則此步道的最大長度為百米.反思提升：應(yīng)用弧度制解決問題時應(yīng)注意：(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.【考點(diǎn)3】三角函數(shù)的定義及應(yīng)用一、單選題1．（2024·湖北·模擬預(yù)測）在直角坐標(biāo)系中，繞原點(diǎn)將軸的正半軸逆時針旋轉(zhuǎn)角交單位圓于點(diǎn)、順時針旋轉(zhuǎn)角交單位圓于點(diǎn)，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，且的面積為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．（2024·新疆烏魯木齊·二模）已知角終邊上點(diǎn)坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）下列命題正確的是（

）A．“是第二象限角或第三象限角”，“”，則是的充分不必要條件B．若為第一象限角，則C．在中，若，則為銳角三角形D．已知，且，則4．（2024·河北保定·二模）一般地，任意給定一個角，它的終邊與單位圓的交點(diǎn)P的坐標(biāo)，無論是橫坐標(biāo)x還是縱坐標(biāo)y，都是唯一確定的，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y都是角的函數(shù).下面給出這些函數(shù)的定義：①把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫作的正弦函數(shù)，記作，即；②把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫作的余弦函數(shù)，記作，即；③把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y的倒數(shù)叫作的余割，記作，即；④把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的倒數(shù)叫作的正割，記作，即.下列結(jié)論正確的有（

）A．B．C．函數(shù)的定義域?yàn)镈．三、填空題5．（2024·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，若角的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，始邊為軸非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則.6．（2023·江西贛州·二模）已知為銳角，滿足，則．反思提升：1.三角函數(shù)定義的應(yīng)用(1)直接利用三角函數(shù)的定義，找到給定角的終邊上一個點(diǎn)的坐標(biāo)，及這點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，確定這個角的三角函數(shù)值.(2)已知角的某一個三角函數(shù)值，可以通過三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程，求參數(shù)的值.2.要判定三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號確定值的符號.如果不能確定角所在象限，那就要進(jìn)行分類討論求解.分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2023·安徽·模擬預(yù)測）已知角終邊上有一點(diǎn)，則為（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角2．（23-24高一上·山東菏澤·期末）集合，，，則集合中的元素個數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2024·湖南·一模）出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）的璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，黃身外耬空雕飾“”型雙龍，造型精美．現(xiàn)要計算璜身面積（厚度忽略不計），測得各項數(shù)據(jù)（圖2）：，若，則璜身（即曲邊四邊形）面積近似為（

）A． B． C． D．4．（2024·北京房山·一模）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，把角的終邊繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，則（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2022·福建·三模）若滿足，，則可以是（

）A． B． C． D．6．（23-24高一上·吉林延邊·期末）已知函數(shù)且的圖象經(jīng)過定點(diǎn)，且點(diǎn)在角的終邊上，則的值可能是（）A． B． C． D．7．（22-23高一下·浙江杭州·期末）如圖，質(zhì)點(diǎn)和在單位圓上逆時針作勻速圓周運(yùn)動.若和同時出發(fā)，的角速度為，起點(diǎn)位置坐標(biāo)為，B的角速度為，起點(diǎn)位置坐標(biāo)為，則（

）

A．在末，點(diǎn)的坐標(biāo)為B．在末，扇形的弧長為C．在末，點(diǎn)在單位圓上第二次重合D．面積的最大值為三、填空題8．（2021·四川瀘州·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對稱．若，則．9．（2023·上?！つM預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，角以O(shè)x為始邊，且．把角α的終邊繞端點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)弧度，這時終邊對應(yīng)的角是，則；10．（2024·湖北·模擬預(yù)測）函數(shù)，設(shè)為的最小正周期，若，則.四、解答題11．（2021·上海閔行·二模）某植物園中有一塊等腰三角形的花圃，腰長為20米，頂角為30°，現(xiàn)在花圃內(nèi)修一條步行道(步行道的寬度忽略不計)，將其分成面積相等的兩部分，分別種植玫瑰和百合.步行道用曲線表示(D?E兩點(diǎn)分別在腰?上，以下結(jié)果精確到0.01).（1）如果曲線是以A為圓心的一段圓弧(如圖1)，求的長；（2）如果曲線是直道(如圖2)，求的最小值，并求此時直道的長度.12．（2023·貴州·模擬預(yù)測）如圖所示，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，將繞原點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后與圓交于點(diǎn).

(1)求；(2)若的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，，，求.【能力篇】一、單選題1．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）“且”是“為第三象限角”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件二、多選題2．（2024·安徽蕪湖·二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角θ以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為始邊，其終邊經(jīng)過點(diǎn)，，定義，，則（

）A． B．C．若，則 D．是周期函數(shù)三、填空題3．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）用一個圓心角為，面積為的扇形（為圓心）用成一個圓錐（點(diǎn)恰好重合），該圓錐頂點(diǎn)為，底面圓的直徑為，則的值為．四、解答題4．（2022·上海虹口·二模）如圖，某公園擬劃出形如平行四邊形的區(qū)域進(jìn)行綠化，在此綠化區(qū)域中，分別以和為圓心角的兩個扇形區(qū)域種植花卉，且這兩個扇形的圓弧均與相切.(1)若，，（長度單位：米），求種植花卉區(qū)域的面積；(2)若扇形的半徑為10米，圓心角為，則多大時，平行四邊形綠地占地面積最?。俊九鄡?yōu)篇】一、單選題1．（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖所示，面積為的扇形OMN中，M，N分別在x，y軸上，點(diǎn)P在弧MN上（點(diǎn)P與點(diǎn)M，N不重合），分別在點(diǎn)P，N作扇形OMN所在圓的切線交于點(diǎn)Q，其中與x軸交于點(diǎn)R，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．2二、多選題2．（23-24高三上·山東威海·期末）質(zhì)點(diǎn)和同時出發(fā)，在以原點(diǎn)為圓心，半徑為的上逆時針作勻速圓周運(yùn)動.的角速度大小為，起點(diǎn)為與軸正半軸的交點(diǎn)；的角速度大小為，起點(diǎn)為射線與的交點(diǎn).則當(dāng)與重合時，的坐標(biāo)可以為（

）A． B． C． D．三、填空題3．（2021·上?！つM預(yù)測）已知，對任意，總存在實(shí)數(shù)，使得，則的最小值是專題20任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點(diǎn)突破】 7【考點(diǎn)1】象限角及終邊相同的角 7【考點(diǎn)2】弧度制及其應(yīng)用 12【考點(diǎn)3】三角函數(shù)的定義及應(yīng)用 17【分層檢測】 21【基礎(chǔ)篇】 21【能力篇】 28【培優(yōu)篇】 31考試要求：1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能進(jìn)行弧度與角度的互化.3.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.知識梳理知識梳理1.角的概念的推廣(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的圖形.(2)分類eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2.弧度制的定義和公式(1)定義：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作1rad.(2)公式角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長用l表示)角度與弧度的換算1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長公式弧長l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r23.任意角的三角函數(shù)(1)定義前提如圖，設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)定義正弦y叫做α的正弦函數(shù)，記作sinα，即sinα＝y(tǒng)余弦x叫做α的余弦函數(shù)，記作cosα，即cosα＝x正切eq\f(y,x)叫做α的正切函數(shù)，記作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)三角函數(shù)正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)(2)定義的推廣設(shè)P(x，y)是角α終邊上異于原點(diǎn)的任一點(diǎn)，它到原點(diǎn)的距離為r(r>0)，那么sinα＝eq\f(y,r)；cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0).1.三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.角度制與弧度制可利用180°＝πrad進(jìn)行互化，在同一個式子中，采用的度量制必須一致，不可混用.3.象限角4.軸線角真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當(dāng)時，（

）A． B． C． D．二、填空題3．（2023·北京·高考真題）已知命題若為第一象限角，且，則．能說明p為假命題的一組的值為，．4．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個交點(diǎn)，若，則．

5．（2023·全國·高考真題）若，則．6．（2021·北京·高考真題）若點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)為，寫出的一個取值為．參考答案：1．D【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入即可得到答案.【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，所以，且，則，，當(dāng)時，取得最小值，則，，則，，不妨取，則，則，故選：D.2．B【分析】連接，分別求出，再根據(jù)題中公式即可得出答案.【詳解】解：如圖，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又，所以三點(diǎn)共線，即，又，所以，則，故，所以.故選：B.3．【分析】根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性以及任意角的定義分析求解.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，若，則，取，則，即，令，則，因?yàn)椋瑒t，即，則.不妨取，即滿足題意.故答案為：.4．【分析】設(shè)，依題可得，，結(jié)合的解可得，，從而得到的值，再根據(jù)以及，即可得，進(jìn)而求得．【詳解】設(shè)，由可得，由可知，或，，由圖可知，，即，．因?yàn)?，所以，即，．所以，所以或，又因?yàn)椋?，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)圖象求出以及函數(shù)的表達(dá)式，從而解出，熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．5．【分析】根據(jù)同角三角關(guān)系求，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，又因?yàn)?，則，且，解得或（舍去），所以.故答案為：.6．（滿足即可）【分析】根據(jù)在單位圓上，可得關(guān)于軸對稱，得出求解.【詳解】與關(guān)于軸對稱，即關(guān)于軸對稱，，則，當(dāng)時，可取的一個值為.故答案為：（滿足即可）.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】象限角及終邊相同的角一、單選題1．（23-24高一下·河南·階段練習(xí)）如圖，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合是（

）A． B．C． D．2．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知角第二象限角，且，則角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角二、多選題3．（23-24高一上·吉林長春·期末）下列說法正確的是（

）A．“為第一象限角”是“為第一象限角或第三象限角”的充分不必要條件B．“，”是“”的充要條件C．設(shè)，，則“”是“”的充分不必要條件D．“”是“”的必要不充分條件4．（22-23高二下·吉林長春·期末）下列說法正確的是（

）A．軸截面為等腰直角三角形的圓錐，其側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為B．若，則C．已知為銳角，，角的終邊上有一點(diǎn)，則D．在范圍內(nèi)，與角終邊相同的角是和三、填空題5．（2022·河南開封·三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于直線對稱.若，則.6．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊在第二象限，，則的值為．參考答案：1．B【分析】根據(jù)任意角的概念以及角的終邊所在位置，即可確定角的集合.【詳解】終邊落在陰影部分的角為，，即終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合是．故選：B．2．A【分析】寫出象限角的取值范圍，可求出是第一象限角或第三象限角，再由可得出選項.【詳解】因?yàn)榻堑诙笙藿牵?，所以，所以角是第一象限角或第三象限角．又因?yàn)?，即，所以角是第一象限角，故選：A．3．AC【分析】對于A，利用象限角，求得角的范圍，可判定充分性，取，驗(yàn)證必要性即可；對于B，考查時，的取值范圍，可判定必要性不成立；對于C，根據(jù)集合，的關(guān)系即可判定；對于D，根據(jù)條件求得的取值范圍即可判斷.【詳解】對于A,因?yàn)闉榈谝幌笙藿?，所以，則,當(dāng)為偶數(shù)時，為第一象限角，當(dāng)為奇數(shù)時，為第三象限角，所以充分性成立；當(dāng)時，為第一象限角，則，為第二象限角，即必要性不成立，故A正確；對于B，當(dāng)，時，成立，則充分性成立；當(dāng)時，或，,故必要性不成立，則B錯誤；對于C，，而，則，故則“”是“”的充分不必要條件，故C正確；對于D,當(dāng)時，,則，則，故充分性成立，當(dāng)時，，則，則成立，所以“”是“”的充要條件，故D錯誤，故選：AC.4．ABD【分析】對于A，根據(jù)扇形相關(guān)知識計算即可；對于B，根據(jù)角的范圍判斷正弦值和余弦值的符號，結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡即可；對于C，通過同角三角函數(shù)關(guān)系和三角函數(shù)定義求得，，再通過兩角和的正切公式代入計算即可；對于D，根據(jù)終邊相同的角的概念直接判斷.【詳解】對于A，圓錐的軸截面為等腰直角三角形，設(shè)其母線長為，則其底面圓的直徑為，則圓錐側(cè)面展開圖的半徑（即圓錐母線長）為，弧長（即底面周長）為，所以其側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為，故A正確；對于B，若，則，則，則，故B正確；對于C，若為銳角，，則，則，角的終邊上有一點(diǎn)，則，則，故C錯誤；對于D，在范圍內(nèi)，與角終邊相同的角是和，故D正確.故選：ABD5．【分析】根據(jù)給定條件，用表示出，再代入并結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角公式計算作答.【詳解】因在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于直線對稱，則有，即，而，所以，，.故答案為：6．【分析】由題知在第一象限，，，再根據(jù)正切的二倍角公式求解即可.【詳解】解：由在第二象限可知，在第一、三象限，又，所以在第一象限，所以，故．因此．故答案為：反思提升：(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過集合中的參數(shù)k(k∈Z)賦值來求得所需的角.(2)確定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的終邊位置的方法先寫出kα或eq\f(α,k)的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定kα或eq\f(α,k)的終邊所在的位置.【考點(diǎn)2】弧度制及其應(yīng)用一、單選題1．（2023·陜西安康·三模）羽毛球運(yùn)動是一項全民喜愛的體育運(yùn)動，標(biāo)準(zhǔn)的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，測得每根羽毛在球托之外的長為，球托之外由羽毛圍成的部分可看成一個圓臺的側(cè)面，測得頂端所圍成圓的直徑是，底部所圍成圓的直徑是，據(jù)此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展開圖的圓心角為（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）石雕、木雕、磚雕被稱為建筑三雕．源遠(yuǎn)流長的磚雕，由東周瓦當(dāng)、漢代畫像磚等發(fā)展而來，明清時代進(jìn)入巔峰，形成北京、天津、山西、徽州、廣東、臨夏以及蘇派磚雕七大主要流派．蘇派磚雕被稱為“南方之秀”，是南方地區(qū)磚雕藝術(shù)的典型代表，被廣泛運(yùn)用到墻壁、門窗、檐廊、欄檻等建筑中．圖（1）是一個梅花磚雕，其正面是一個扇環(huán)，如圖（2），磚雕厚度為6cm，，，所對的圓心角為直角，則該梅花磚雕的表面積為（單位：）（

）

A． B． C． D．二、多選題3．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，設(shè)單位圓與軸的正半軸相交于點(diǎn)，以軸的非負(fù)半軸為始邊作銳角，，，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)，，．若，則下列說法正確的是（

）

A．當(dāng)時，的面積為B．當(dāng)時，扇形的面積為C．當(dāng)時，四邊形的面積為D．四邊形面積的最大值為14．（23-24高三上·云南昆明·階段練習(xí)）質(zhì)點(diǎn)A，B在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓上同時出發(fā)做逆時針勻速圓周運(yùn)動，點(diǎn)A的起點(diǎn)在射線（）與圓O的交點(diǎn)處，點(diǎn)A的角速度為，點(diǎn)B的起點(diǎn)在圓O與x軸正半軸的交點(diǎn)處，點(diǎn)B的角速度為，則下列說法正確的是（

）A．在末時，點(diǎn)B的坐標(biāo)為B．在末時，劣弧的長為C．在末時，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合D．當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)B重合時，點(diǎn)A的坐標(biāo)可以為三、填空題5．（2023·上海普陀·一模）若圓上的一段圓弧長與該圓的內(nèi)接正六邊形的邊長相等，則這段圓弧所對的圓心角的大小為.6．（2024·上海黃浦·二模）如圖是某公園局部的平面示意圖，圖中的實(shí)線部分（它由線段與分別以為直徑的半圓弧組成）表示一條步道.其中的點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的半圓弧上，且均為直角.若百米，則此步道的最大長度為百米.參考答案：1．C【分析】將圓臺補(bǔ)成圓錐，則羽毛所在曲面為大圓錐的側(cè)面截去一個小圓錐的側(cè)面所得，求出小圓錐的母線長后可得展開圖圓心角．【詳解】將圓臺補(bǔ)成圓錐，則羽毛所在曲面為大圓錐的側(cè)面截去一個小圓錐的側(cè)面所得，設(shè)小圓錐母線長為，則大圓錐母線長為，由相似得，即，∴可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展開圖的圓心角為.故選：C．2．C【分析】先求出，，進(jìn)而求得梅花磚雕的側(cè)面積及扇環(huán)的面積可得該梅花磚雕的表面積.【詳解】延長與交于點(diǎn)．由，，得，．因?yàn)樗鶎Φ膱A心角為直角，所以，．所以該梅花磚雕的側(cè)面積，扇環(huán)的面積為，則該梅花磚雕的表面積．故選：C．3．AC【分析】根據(jù)三角形面積公式可判斷A；由扇形面積公式可判定B；，根據(jù)三角形面積公式即可判斷C；，借助三角函數(shù)恒等式化簡即可判斷D.【詳解】由題意，得圓的半徑，，，．對于A，由，，得，則，故A正確；對于B，當(dāng)時，因?yàn)?，所以扇形的面積，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，，故C正確；對于D，，由，得，所以當(dāng)，即時，取得最大值，為，故D錯誤．故選：AC4．BD【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的定義以及弧長公式判斷AB；設(shè)時刻點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，求出則可以判斷CD.【詳解】由題意，末時，射線逆時針旋轉(zhuǎn)了，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為，A錯；點(diǎn)A的初始位置為，后，射線逆時針旋轉(zhuǎn)了，則，所以劣弧的長為，B對；設(shè)時刻點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則，令，所以在末時，點(diǎn)A與點(diǎn)B不重合，C錯；由C知，時，點(diǎn)A與點(diǎn)B第一次重合，此時射線逆時針旋轉(zhuǎn)了，射線逆時針旋轉(zhuǎn)了，可得A與點(diǎn)B重合于，此時點(diǎn)A的坐標(biāo)為．D對，故選：BD．5．1弧度【分析】根據(jù)弧度的定義求解即可．【詳解】圓的內(nèi)接正六邊形的邊長等于圓半徑，弧長等于半徑的弧所對圓心角為1弧度角．故答案為：1弧度．6．【分析】設(shè)半圓步道直徑為百米，連接，借助相似三角形性質(zhì)用表示，結(jié)合對稱性求出步道長度關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即得.【詳解】設(shè)半圓步道直徑為百米，連接，顯然，由點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，得兩個半圓步道及直道都關(guān)于過點(diǎn)垂直于的直線對稱，則，又，則∽，有，即有，因此步道長，，求導(dǎo)得，由，得，當(dāng)時，，函數(shù)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)遞減，因此當(dāng)時，，所以步道的最大長度為百米.故答案為：反思提升：應(yīng)用弧度制解決問題時應(yīng)注意：(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.【考點(diǎn)3】三角函數(shù)的定義及應(yīng)用一、單選題1．（2024·湖北·模擬預(yù)測）在直角坐標(biāo)系中，繞原點(diǎn)將軸的正半軸逆時針旋轉(zhuǎn)角交單位圓于點(diǎn)、順時針旋轉(zhuǎn)角交單位圓于點(diǎn)，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，且的面積為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．（2024·新疆烏魯木齊·二模）已知角終邊上點(diǎn)坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）下列命題正確的是（

）A．“是第二象限角或第三象限角”，“”，則是的充分不必要條件B．若為第一象限角，則C．在中，若，則為銳角三角形D．已知，且，則4．（2024·河北保定·二模）一般地，任意給定一個角，它的終邊與單位圓的交點(diǎn)P的坐標(biāo)，無論是橫坐標(biāo)x還是縱坐標(biāo)y，都是唯一確定的，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y都是角的函數(shù).下面給出這些函數(shù)的定義：①把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫作的正弦函數(shù)，記作，即；②把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫作的余弦函數(shù)，記作，即；③把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y的倒數(shù)叫作的余割，記作，即；④把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的倒數(shù)叫作的正割，記作，即.下列結(jié)論正確的有（

）A．B．C．函數(shù)的定義域?yàn)镈．三、填空題5．（2024·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，若角的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，始邊為軸非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則.6．（2023·江西贛州·二模）已知為銳角，滿足，則．參考答案：1．B【分析】利用三角函數(shù)定義求出，利用三角形面積公式求出，進(jìn)而求出，再利用差角的正弦求出即可得解.【詳解】由點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，得，，顯然，而，即，又，因此，，有，，顯然點(diǎn)在第四象限，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.故選：B2．B【分析】先確定角的終邊所在的位置，再根據(jù)誘導(dǎo)公式及商數(shù)關(guān)系即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以角的終邊在第二象限，又因?yàn)?，且，所?故選：B.3．ACD【分析】對A，根據(jù)充分，必要條件的概念判斷；對B，利用二倍角余弦公式化簡求解；對C，將條件式切化弦結(jié)合三角變換求解判斷；對D，利用二倍角余弦公式化簡條件式，再弦化切求解.【詳解】對于A，若是第二象限角或第三象限角，則.若，取，此時不是第二象限角或第三象限角，則是的充分不必要條件，故A正確；對于B，由于為第一象限角，則，，故B錯誤；對于C，在中，若，則，所以，故，所以，故為銳角三角形，故C正確；對于D，由，所以，則，由，知，故D正確.故選：ACD.4．ABD【分析】根據(jù)正余弦函數(shù)及余割正割的定義逐一判斷即可.【詳解】，A正確；，B正確；函數(shù)的定義域?yàn)?，C錯誤；，當(dāng)時，等號成立，D正確.故選：ABD.5．【分析】先利用三角函數(shù)的定義得到，再利用倍角公式和誘導(dǎo)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求得.【詳解】由三角函數(shù)的定義，得，所以.故答案為：6．2【分析】根據(jù)齊次式法運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)椋淼?，解得或，又因?yàn)闉殇J角，則，所以.故答案為：2.反思提升：1.三角函數(shù)定義的應(yīng)用(1)直接利用三角函數(shù)的定義，找到給定角的終邊上一個點(diǎn)的坐標(biāo)，及這點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，確定這個角的三角函數(shù)值.(2)已知角的某一個三角函數(shù)值，可以通過三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程，求參數(shù)的值.2.要判定三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號確定值的符號.如果不能確定角所在象限，那就要進(jìn)行分類討論求解.分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2023·安徽·模擬預(yù)測）已知角終邊上有一點(diǎn)，則為（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角2．（23-24高一上·山東菏澤·期末）集合，，，則集合中的元素個數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2024·湖南·一模）出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）的璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，黃身外耬空雕飾“”型雙龍，造型精美．現(xiàn)要計算璜身面積（厚度忽略不計），測得各項數(shù)據(jù)（圖2）：，若，則璜身（即曲邊四邊形）面積近似為（

）A． B． C． D．4．（2024·北京房山·一模）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，把角的終邊繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，則（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2022·福建·三模）若滿足，，則可以是（

）A． B． C． D．6．（23-24高一上·吉林延邊·期末）已知函數(shù)且的圖象經(jīng)過定點(diǎn)，且點(diǎn)在角的終邊上，則的值可能是（）A． B． C． D．7．（22-23高一下·浙江杭州·期末）如圖，質(zhì)點(diǎn)和在單位圓上逆時針作勻速圓周運(yùn)動.若和同時出發(fā)，的角速度為，起點(diǎn)位置坐標(biāo)為，B的角速度為，起點(diǎn)位置坐標(biāo)為，則（

）

A．在末，點(diǎn)的坐標(biāo)為B．在末，扇形的弧長為C．在末，點(diǎn)在單位圓上第二次重合D．面積的最大值為三、填空題8．（2021·四川瀘州·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對稱．若，則．9．（2023·上?！つM預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，角以O(shè)x為始邊，且．把角α的終邊繞端點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)弧度，這時終邊對應(yīng)的角是，則；10．（2024·湖北·模擬預(yù)測）函數(shù)，設(shè)為的最小正周期，若，則.四、解答題11．（2021·上海閔行·二模）某植物園中有一塊等腰三角形的花圃，腰長為20米，頂角為30°，現(xiàn)在花圃內(nèi)修一條步行道(步行道的寬度忽略不計)，將其分成面積相等的兩部分，分別種植玫瑰和百合.步行道用曲線表示(D?E兩點(diǎn)分別在腰?上，以下結(jié)果精確到0.01).（1）如果曲線是以A為圓心的一段圓弧(如圖1)，求的長；（2）如果曲線是直道(如圖2)，求的最小值，并求此時直道的長度.12．（2023·貴州·模擬預(yù)測）如圖所示，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，將繞原點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后與圓交于點(diǎn).

(1)求；(2)若的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，，，求.參考答案：1．C【分析】根據(jù)終邊相同角的定義即可求解.【詳解】已知角終邊上有一點(diǎn)，即點(diǎn)，，為第三象限角.故選：C.2．B【分析】解不等式，得出整數(shù)的取值，即可得解.【詳解】解不等式，可得，所以，整數(shù)的取值有、、，又因?yàn)榧希?，則，即集合中的元素個數(shù)為.故選：B.3．C【分析】根據(jù)給定圖形求出圓心角，再利用扇形面積公式計算即得.【詳解】顯然為等腰三角形，，則，，又，所以，于是，所以璜身的面積近似為.故選：C4．D【分析】由題意可得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的定義即可得解.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，因?yàn)榘呀堑慕K邊繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，所以，所以.故選：D.5．AC【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值求解.【詳解】因?yàn)?，，所以或，因?yàn)?，所以或，所以或，或，因?yàn)榉秶欢?，?dāng)時，，當(dāng)時，=，故選：AC6．AD【分析】根據(jù)函數(shù)解析式求出函數(shù)過的定點(diǎn)，再利用三角函數(shù)的定義求出和即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn),令，得或，此時，則或,當(dāng)點(diǎn)在角的終邊上，則；當(dāng)點(diǎn)在角的終邊上，則；綜上：或，故AD正確，BC錯誤.故選：AD.7．BCD【分析】求出末點(diǎn)和的坐標(biāo)可判斷選項AB;求出末點(diǎn)和的坐標(biāo)，結(jié)合誘導(dǎo)公式可判斷C；根據(jù)三角形面積公式可判斷D.【詳解】在末,點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；，扇形的弧長為；設(shè)在末，點(diǎn)在單位圓上第二次重合，則，故在末，點(diǎn)在單位圓上第二次重合；,經(jīng)過s后，可得，面積的可取得最大值.故選:BCD.8．【解析】由題意得，然后由求解.【詳解】因?yàn)榻桥c角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對稱，且，所以，所以，故答案為：9．【分析】由已知可得，，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】依題意.因?yàn)?，所以．故答案為?10．/【分析】由，代入函數(shù)解析式中，結(jié)合，可得的值.【詳解】函數(shù)，最小正周期，由于，，又，可得.故答案為：.11．（1）13.82米；（2）的最小值約為28.28米，此時直道的長度約為7.32米.【分析】（1）先求出的面積，再結(jié)合題目條件利用扇形面積公式即可求出的值．（2）設(shè)，，由題意可得，再利用基本不等式求出的最小值，以及此時的值，進(jìn)而求出的值即可．【詳解】（1）設(shè)，依題知，扇形的面積為，又的面積為，由得：，解得：，（米），故的長約為13.82米．（2）如圖2，線段平分的面積，設(shè)，，，，又（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），此時（米，（米綜上，的最小值約為28.28米，此時直道的長度約為7.32米．12．(1)(2)或.【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式直接得解；（2）由已知可得，再利用余弦定理可得，進(jìn)而可得面積.【詳解】（1）由題知，，所以；（2）由題知，，，，且，所以，而，則，故，由正弦定理可知，整理得，解得，故，或.【能力篇】一、單選題1．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）“且”是“為第三象限角”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件二、多選題2．（2024·安徽蕪湖·二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角θ以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為始邊，其終邊經(jīng)過點(diǎn)，，定義，，則（

）A． B．C．若，則 D．是周期函數(shù)三、填空題3．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）用一個圓心角為，面積為的扇形（為圓心）用成一個圓錐（點(diǎn)恰好重合），該圓錐頂點(diǎn)為，底面圓的直徑為，則的值為．四、解答題4．（2022·上海虹口·二模）如圖，某公園擬劃出形如平行四邊形的區(qū)域進(jìn)行綠化，在此綠化區(qū)域中，分別以和為圓心角的兩個扇形區(qū)域種植花卉，且這兩個扇形的圓弧均與相切.(1)若，，（長度單位：米），求種植花卉區(qū)域的面積；(2)若扇形的半徑為10米，圓心角為，則多大時，平行四邊形綠地占地面積最?。繀⒖即?/p>