2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義專題28平面向量的概念及線性運(yùn)算(原卷版+解析)

專題28平面向量的概念及線性運(yùn)算（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 4【考點(diǎn)1】平面向量的概念 4【考點(diǎn)2】向量的線性運(yùn)算 5【考點(diǎn)3】共線向量定理的應(yīng)用 6【分層檢測(cè)】 8【基礎(chǔ)篇】 8【能力篇】 9【培優(yōu)篇】 11考試要求：1.了解向量的實(shí)際背景.2.理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義.3.理解向量的幾何表示.4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義.6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向線段表示，此時(shí)有向線段的方向就是向量的方向.向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小就是向量的長度(或稱模)，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(2)零向量：長度為0的向量，記作0.(3)單位向量：長度等于1個(gè)單位長度的向量.(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，記作a∥b.規(guī)定：0與任一向量平行.(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.2.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝b＋a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求兩個(gè)向量差的運(yùn)算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.1.中點(diǎn)公式的向量形式：若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))).2.eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若點(diǎn)A，B，C共線，則λ＋μ＝1.3.解決向量的概念問題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2023·全國·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．2．（2020·山東·高考真題）已知平行四邊形，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)（如圖所示），設(shè)，，則等于（

）

A． B． C． D．3．（2020·海南·高考真題）在中，D是AB邊上的中點(diǎn)，則=（

）A． B． C． D．二、填空題4．（2021·全國·高考真題）已知向量，若，則．5．（2020·天津·高考真題）如圖，在四邊形中，，，且，則實(shí)數(shù)的值為，若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為．6．（2020·江蘇·高考真題）在△ABC中，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長度是．

考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】平面向量的概念一、單選題1．（2024·廣西南寧·一模）已知的外接圓圓心為，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南永州·三模）在中，，，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，則下列命題正確的是（

）A．若，則B．若在上的投影向量為，則向量與的夾角為C．若與共線，則為或D．存在θ，使得4．（2022·遼寧丹東·模擬預(yù)測(cè)）已知，，為單位向量，若，則（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2022·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐的底面ABCD是矩形，且該四棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，，點(diǎn)E在棱PB上，且，過E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是.6．（2022·江蘇·三模）已知向量，與共線且方向相反的單位向量.反思提升：平行向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān).(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.(4)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關(guān)系：eq\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量.【考點(diǎn)2】向量的線性運(yùn)算一、單選題1．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）在中，，.若，則（

）A． B． C． D．2．（2024·河北承德·二模）在中，為中點(diǎn)，連接，設(shè)為中點(diǎn)，且，則（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2023·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)O為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，則（

）A．若O為AD中點(diǎn)，則B．若O為AD中點(diǎn)，則C．若O為△ABC的重心，則D．若O為△ABC的外心，且BC＝4，則4．（2024·福建廈門·三模）已知等邊的邊長為4，點(diǎn)D，E滿足，，與CD交于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2023·上海黃浦·三模）在中，，，的平分線交BC于點(diǎn)D，若，則．6．（2024·山西太原·三模）趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”(以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形).類比“趙爽弦圖”，構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，且，點(diǎn)在上，，點(diǎn)在內(nèi)(含邊界)一點(diǎn)，若，則的最大值為.反思提升：1.(1)解決平面向量線性運(yùn)算問題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.(2)在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向量線性表示.2.與向量的線性運(yùn)算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運(yùn)算的三角形法則進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值.【考點(diǎn)3】共線向量定理的應(yīng)用一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知平面上點(diǎn)，，滿足，且，點(diǎn)滿足，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．1或2．（2024·浙江臺(tái)州·二模）設(shè)，是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)分別在雙曲線的左、右兩支上，且滿足，，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．二、多選題3．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等腰梯形ABCD中，，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，BD相交于點(diǎn)F，連接CF，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．4．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，平面向量，，，且是單位向量，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若A，B，C三點(diǎn)共線，則C．若向量與垂直，則的最小值為1D．向量與的夾角正切值的最大值為三、填空題5．（2023·上海黃浦·一模）已知四邊形ABCD是平行四邊形，若，，，且，則在上的數(shù)量投影為.6．（2024·安徽淮北·一模）已知拋物線準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，點(diǎn)，在拋物線上，點(diǎn)在上，滿足：，，若，則實(shí)數(shù).反思提升：利用共線向量定理解題的策略(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線，即A，B，C三點(diǎn)共線?eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共線.(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(4)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若A，B，C三點(diǎn)共線，則λ＋μ＝1.分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，，，，則與向量同方向的單位向量為（

）A． B．C． D．2．（2024·河南三門峽·模擬預(yù)測(cè)）在中，，則（

）A． B．C． D．3．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）已知在梯形中，且滿足，E為中點(diǎn)，F(xiàn)為線段上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，設(shè)，，則（

）．A． B． C． D．4．（23-24高一下·吉林長春·階段練習(xí)）在中，為上一點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，若，則的最小值是（

）A．4 B．8 C．12 D．16二、多選題5．（22-23高三上·安徽阜陽·期末）在中，已知，，則（

）A． B．C． D．6．（2022·廣東深圳·一模）四邊形ABCD為邊長為1的正方形，M為邊CD的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．7．（2021·全國·模擬預(yù)測(cè)）下列說法正確的是（

）A．若為平面向量，，則B．若為平面向量，，則C．若，，則在方向上的投影為D．在中，M是AB的中點(diǎn)，＝3，BN與CM交于點(diǎn)P，＝+，則λ＝2μ三、填空題8．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)G在AC上，且滿足，若，則.9．（2024·山西晉城·一模）已知兩個(gè)單位向量，的夾角為，則與的夾角為．10．（2023·上海徐匯·一模）在中,,且在方向上的數(shù)量投影是-2,則的最小值為.四、解答題11．（23-24高三上·江蘇徐州·階段練習(xí)）在中，E為AC的中點(diǎn)，D為邊BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．(1)分別用向量，表示向量，；(2)若點(diǎn)N滿足，證明：B，N，E三點(diǎn)共線．12．（21-22高三下·山西呂梁·開學(xué)考試）在三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，且.(1)求角C；(2)E為三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，，且，求線段CE的長.【能力篇】一、單選題1．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）在中，是邊上一點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，記，則（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2022·山東·模擬預(yù)測(cè)）中華人民共和國的國旗圖案是由五顆五角星組成，這些五角星的位置關(guān)系象征著中國共產(chǎn)黨領(lǐng)導(dǎo)下的革命與人民大團(tuán)結(jié)．如圖，五角星是由五個(gè)全等且頂角為36°的等腰三角形和一個(gè)正五邊形組成．已知當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的為（

）A． B．C． D．三、填空題3．（2023·江蘇南京·二模）大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（如圖1）．某數(shù)學(xué)興趣小組類比“趙爽弦圖”構(gòu)造出圖2：為正三角形，，，圍成的也為正三角形．若為的中點(diǎn)，①與的面積比為；②設(shè)，則．四、解答題4．（2020·北京朝陽·二模）已知橢圓的離心率為，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓C的方程;（Ⅱ）已知過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，與直線交于點(diǎn)Q，設(shè)，，求證：為定值．【培優(yōu)篇】一、單選題1．（2021·浙江金華·三模）半徑為1的扇形AOB中，∠AOB=120°，C為弧上的動(dòng)點(diǎn)，已知，記，則（

）A．若m+n=3，則M的最小值為3B．若m+n=3，則有唯一C點(diǎn)使M取最小值C．若m·n=3，則M的最小值為3D．若m·n=3，則有唯一C點(diǎn)使M取最小值二、多選題2．（22-23高一下·山東·階段練習(xí)）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（

）

A．若，則M為的重心B．若M為的內(nèi)心，則C．若，，M為的外心，則D．若M為的垂心，，則三、填空題3．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，為單位向量，且，向量與共線，則的最小值為.專題28平面向量的概念及線性運(yùn)算（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 7【考點(diǎn)1】平面向量的概念 7【考點(diǎn)2】向量的線性運(yùn)算 12【考點(diǎn)3】共線向量定理的應(yīng)用 17【分層檢測(cè)】 23【基礎(chǔ)篇】 23【能力篇】 31【培優(yōu)篇】 35考試要求：1.了解向量的實(shí)際背景.2.理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義.3.理解向量的幾何表示.4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義.6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向線段表示，此時(shí)有向線段的方向就是向量的方向.向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小就是向量的長度(或稱模)，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(2)零向量：長度為0的向量，記作0.(3)單位向量：長度等于1個(gè)單位長度的向量.(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，記作a∥b.規(guī)定：0與任一向量平行.(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.2.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝b＋a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求兩個(gè)向量差的運(yùn)算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.1.中點(diǎn)公式的向量形式：若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))).2.eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若點(diǎn)A，B，C共線，則λ＋μ＝1.3.解決向量的概念問題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2023·全國·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．2．（2020·山東·高考真題）已知平行四邊形，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)（如圖所示），設(shè)，，則等于（

）

A． B． C． D．3．（2020·海南·高考真題）在中，D是AB邊上的中點(diǎn)，則=（

）A． B． C． D．二、填空題4．（2021·全國·高考真題）已知向量，若，則．5．（2020·天津·高考真題）如圖，在四邊形中，，，且，則實(shí)數(shù)的值為，若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為．6．（2020·江蘇·高考真題）在△ABC中，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長度是．

參考答案：1．D【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.【詳解】因?yàn)?所以,即,即,所以.如圖,設(shè),由題知,是等腰直角三角形,AB邊上的高,所以,,.故選:D.2．A【分析】利用向量的線性運(yùn)算，即可得到答案；【詳解】連結(jié)，則為的中位線，，

故選：A3．C【分析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則算出即可.【詳解】故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的是向量的加減法，較簡(jiǎn)單.4．【分析】利用向量平行的充分必要條件得到關(guān)于的方程，解方程即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：，解方程可得：.故答案為：.5．【分析】可得，利用平面向量數(shù)量積的定義求得的值，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)（其中），得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得的最小值.【詳解】，，，，解得，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，,∵，∴的坐標(biāo)為,∵又∵,則，設(shè)，則（其中），，，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.6．或0【分析】根據(jù)題設(shè)條件可設(shè)，結(jié)合與三點(diǎn)共線，可求得，再根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】∵三點(diǎn)共線，∴可設(shè)，∵，∴，即，若且，則三點(diǎn)共線，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，設(shè)，，則，.∴根據(jù)余弦定理可得，，∵，∴，解得，∴的長度為.當(dāng)時(shí)，，重合，此時(shí)的長度為，當(dāng)時(shí)，，重合，此時(shí)，不合題意，舍去.故答案為：0或.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量知識(shí)的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用以及求解運(yùn)算能力，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】平面向量的概念一、單選題1．（2024·廣西南寧·一模）已知的外接圓圓心為，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南永州·三模）在中，，，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，則下列命題正確的是（

）A．若，則B．若在上的投影向量為，則向量與的夾角為C．若與共線，則為或D．存在θ，使得4．（2022·遼寧丹東·模擬預(yù)測(cè)）已知，，為單位向量，若，則（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2022·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐的底面ABCD是矩形，且該四棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，，點(diǎn)E在棱PB上，且，過E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是.6．（2022·江蘇·三模）已知向量，與共線且方向相反的單位向量.參考答案：1．A【分析】根據(jù)題意，得到，得到點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，得出為直角三角形，且為等邊三角形，進(jìn)而求得向量在向量上的投影向量.【詳解】由，可得，所以，即點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，又因?yàn)榈耐饨訄A圓心為，所以為直角三角形，所以因?yàn)?，可得，所以為等邊三角形，故點(diǎn)作，可得，所以，因?yàn)橄蛄吭谙蛄客?，所以向量在向量上的投影向量?故選；A.2．A【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，過垂直BC的直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)的軌跡方程，取的中點(diǎn)為，求得的軌跡方程，數(shù)形結(jié)合可求.【詳解】由題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，過垂直的直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，由，可得是以為直徑的圓，所以的軌跡方程為，取的中點(diǎn)為，設(shè)，可得，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為，圓心為，半徑為，由，所以，所以，所以，所以.故選：A.3．BD【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示可知A錯(cuò)誤，由投影向量的定義可知B正確，由單位向量和共線向量的定義可知C錯(cuò)誤，由向量與同向，可求得，可知D正確.【詳解】對(duì)于A，若，則有，即，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，在上的投影為，又因?yàn)?，所以，，B正確；對(duì)于C，若與共線，設(shè)，所以有，解得，因?yàn)?，，，所以，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若成立，則與同向，所以，即有，，解得，故D正確.故選：BD.4．AC【分析】對(duì)移項(xiàng)后平方可得出：，，，對(duì)于A，，代入即可判斷A；由可判斷B；由，可判斷C；由代入即可判斷D.【詳解】因?yàn)?，，為單位向量，所以，由，則，兩邊同時(shí)平方得：，所以；由，則，兩邊同時(shí)平方得：，所以；由，則，兩邊同時(shí)平方得：，所以；對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以為反向共線的向量，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，所以D錯(cuò)誤；故選：AC.5．【分析】將四棱錐補(bǔ)形為長方體，再根據(jù)長方體里面的三角形關(guān)系求得，再根據(jù)當(dāng)OE⊥截面時(shí)，截面積最小求解即可【詳解】如圖，將四棱錐補(bǔ)形為長方體，易知該長方體的外接球即為四棱錐的外接球，∵PC為長方體的體對(duì)角線，∴球心O在PC的中點(diǎn)上，∴外接球半徑，設(shè)平面為過E的球O的截面，則當(dāng)OE⊥平面時(shí)，截面積最小，由圖可知，設(shè)截面半徑為r，則，所以截面圓的面積為，即所得截面面積的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了球的截面問題，重要思路是當(dāng)OE⊥截面時(shí)，截面積最小，同時(shí)也考查了立體幾何中的線段求解，需要利用直角三角形求解，屬于中檔題6．【分析】利用與共線且方向相反的單位向量為，即可得出答案.【詳解】，，所以與共線且方向相反的單位向量是：.故答案為：.反思提升：平行向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān).(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.(4)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關(guān)系：eq\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量.【考點(diǎn)2】向量的線性運(yùn)算一、單選題1．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）在中，，.若，則（

）A． B． C． D．2．（2024·河北承德·二模）在中，為中點(diǎn)，連接，設(shè)為中點(diǎn)，且，則（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2023·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)O為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，則（

）A．若O為AD中點(diǎn)，則B．若O為AD中點(diǎn)，則C．若O為△ABC的重心，則D．若O為△ABC的外心，且BC＝4，則4．（2024·福建廈門·三模）已知等邊的邊長為4，點(diǎn)D，E滿足，，與CD交于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2023·上海黃浦·三模）在中，，，的平分線交BC于點(diǎn)D，若，則．6．（2024·山西太原·三模）趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”(以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形).類比“趙爽弦圖”，構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，且，點(diǎn)在上，，點(diǎn)在內(nèi)(含邊界)一點(diǎn)，若，則的最大值為.參考答案：1．C【分析】將向量看作基底，利用向量的加減法法則以及數(shù)乘的運(yùn)算法則，得到即可.【詳解】依題意，，所以，又因?yàn)?，所以，所以，，所以，，，，只有選項(xiàng)C正確；故選：C．2．D【分析】利用平面向量基本定理將用表示出來，再用向量的線性運(yùn)算把用表示即可.【詳解】由于，所以，故選：D3．ABD【分析】由為中點(diǎn)，結(jié)合平面向量的加法法則即可判斷A，B；由重心的性質(zhì)即可判斷C；由三角形外心性質(zhì)結(jié)合數(shù)量積公式判斷D．【詳解】對(duì)于A，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，故A正確；對(duì)于B，由為中點(diǎn)，則，故B正確；對(duì)于C，由O為△ABC的重心，則根據(jù)三角形重心的性質(zhì)得，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若點(diǎn)O為△ABC的外心，BC＝4，則根據(jù)三角形外心的性質(zhì)得，故，故D正確．故選：ABD．4．ABD【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，向量共享定理的推論，得出為中點(diǎn)，為上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，得出答案.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)闉榈冗吶切危?，為中點(diǎn)，所以，所以，即，所以，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，由（1）得，所以，又三點(diǎn)共線，所以，解得，所以為上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，設(shè)，則，所以，又三點(diǎn)共線，所以，解得，所以為中點(diǎn)，所以，故D正確，故選：ABD.5．/【分析】根據(jù)給定條件，探求出線段與的倍分關(guān)系，再結(jié)合平面向量基本定理求解作答.【詳解】在中，，，則，又平分，即有，

因此，即有，，整理得，而，且不共線，于是，所以.故答案為：6．【分析】先利用向量線性運(yùn)算得到，作出輔助線，得到，且，從而得到答案.【詳解】，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，又，所以，故，且，所以的最大值為，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合.故答案為：反思提升：1.(1)解決平面向量線性運(yùn)算問題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.(2)在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向量線性表示.2.與向量的線性運(yùn)算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運(yùn)算的三角形法則進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值.【考點(diǎn)3】共線向量定理的應(yīng)用一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知平面上點(diǎn)，，滿足，且，點(diǎn)滿足，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．1或2．（2024·浙江臺(tái)州·二模）設(shè)，是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)分別在雙曲線的左、右兩支上，且滿足，，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．二、多選題3．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等腰梯形ABCD中，，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，BD相交于點(diǎn)F，連接CF，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．4．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，平面向量，，，且是單位向量，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若A，B，C三點(diǎn)共線，則C．若向量與垂直，則的最小值為1D．向量與的夾角正切值的最大值為三、填空題5．（2023·上海黃浦·一模）已知四邊形ABCD是平行四邊形，若，，，且，則在上的數(shù)量投影為.6．（2024·安徽淮北·一模）已知拋物線準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，點(diǎn)，在拋物線上，點(diǎn)在上，滿足：，，若，則實(shí)數(shù).參考答案：1．A【分析】由題設(shè)三個(gè)條件依次得到，推得點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，再得點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，通過建系將問題轉(zhuǎn)化成由點(diǎn)向圓做切線，求原點(diǎn)到該切線的最短距離問題.【詳解】由題意，得，所以．因?yàn)?，所以．又，即，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓．如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S正方向，建立平面直角坐標(biāo)系．易知，，則點(diǎn)的軌跡方程為．由，得點(diǎn)，，三點(diǎn)共線．過點(diǎn)作圓的切線，設(shè)其方程為，即．由點(diǎn)到該切線的距離為，可得，解得或．由圖知，當(dāng)時(shí)，最小，切線的方程為，此時(shí)的最小值即為點(diǎn)到切線的距離，即．故選：A．2．B【分析】設(shè)與的交點(diǎn)為，，進(jìn)而根據(jù)下向量關(guān)系得，再結(jié)合雙曲線的性質(zhì)即可得，，進(jìn)而結(jié)合余弦定理求得，最后在中利用余弦定理求得，進(jìn)而可得答案.【詳解】解：如圖，設(shè)與的交點(diǎn)為，，因?yàn)?，所以，所以，由雙曲線的定義可知：，，因?yàn)?，所以，所以，，所以，，所以，在中，，所以，由余弦定理有：，代入，，，整理得，解得，（舍），所以?，，所以，在中，由余弦定理有：，代入數(shù)據(jù)整理得：，所以，雙曲線的離心率為：.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于利用向量的關(guān)系得到，進(jìn)而在中結(jié)合余弦定理求得.3．ABD【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算并結(jié)合平面向量共線定理即可判斷答案.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)锽，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線，設(shè)，由，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得，結(jié)合A可知，，因?yàn)椴还簿€，所以，所以，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，結(jié)合B，，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，結(jié)合B，，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD.4．AD【分析】根據(jù)給定條件，用坐標(biāo)表示向量，再結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)計(jì)算判斷即得.【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中，令，由，，得，，則，對(duì)于A，，因此，A正確；對(duì)于B，由三點(diǎn)共線，得，即，于是，解得，即，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，由向量與垂直，得，而，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令向量與的夾角為，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，不妨令，，則，，顯然，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確.

故選：AD5．10【分析】運(yùn)用向量共線、向量垂直畫圖，運(yùn)用平行線性質(zhì)及直角三角形性質(zhì)可得、，再運(yùn)用數(shù)量積運(yùn)算及幾何意義即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋訟、D、E三點(diǎn)共線，且，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以B、E、F三點(diǎn)共線，又因?yàn)?，所以，如圖所示，設(shè)，則，所以，解得：，所以在上的數(shù)量投影為.故答案為：10.6．【分析】由題設(shè)共線，作，垂足分別為，結(jié)合拋物線定義及相似比求參數(shù)值即可.【詳解】由題設(shè)知：共線，且，如下圖，作，垂足分別為，則，所以，又，則，所以，即，故.故答案為：2反思提升：利用共線向量定理解題的策略(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線，即A，B，C三點(diǎn)共線?eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共線.(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(4)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若A，B，C三點(diǎn)共線，則λ＋μ＝1.分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，，，，則與向量同方向的單位向量為（

）A． B．C． D．2．（2024·河南三門峽·模擬預(yù)測(cè)）在中，，則（

）A． B．C． D．3．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）已知在梯形中，且滿足，E為中點(diǎn)，F(xiàn)為線段上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，設(shè)，，則（

）．A． B． C． D．4．（23-24高一下·吉林長春·階段練習(xí)）在中，為上一點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，若，則的最小值是（

）A．4 B．8 C．12 D．16二、多選題5．（22-23高三上·安徽阜陽·期末）在中，已知，，則（

）A． B．C． D．6．（2022·廣東深圳·一模）四邊形ABCD為邊長為1的正方形，M為邊CD的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．7．（2021·全國·模擬預(yù)測(cè)）下列說法正確的是（

）A．若為平面向量，，則B．若為平面向量，，則C．若，，則在方向上的投影為D．在中，M是AB的中點(diǎn)，＝3，BN與CM交于點(diǎn)P，＝+，則λ＝2μ三、填空題8．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)G在AC上，且滿足，若，則.9．（2024·山西晉城·一模）已知兩個(gè)單位向量，的夾角為，則與的夾角為．10．（2023·上海徐匯·一模）在中,,且在方向上的數(shù)量投影是-2,則的最小值為.四、解答題11．（23-24高三上·江蘇徐州·階段練習(xí)）在中，E為AC的中點(diǎn)，D為邊BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．(1)分別用向量，表示向量，；(2)若點(diǎn)N滿足，證明：B，N，E三點(diǎn)共線．12．（21-22高三下·山西呂梁·開學(xué)考試）在三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，且.(1)求角C；(2)E為三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，，且，求線段CE的長.參考答案：1．A【分析】由單位向量的定義、向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算以及向量模的坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】由題意，所以，從而與向量同方向的單位向量為.故選：A.2．D【分析】運(yùn)用平面向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算即可.【詳解】如圖，因?yàn)椋?，又，所以，所?故選：D.3．C【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】如圖所示，由題意可得，而.故選：C．4．C【分析】先由共線定理得出，再利用基本不等式求出最值即可.【詳解】因?yàn)闉樯先我庖稽c(diǎn)，，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以由共線定理得，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的最小值是12．故選：C5．ABD【分析】畫出三角形，應(yīng)用向量線性表示，三角形法則，數(shù)量積關(guān)系逐項(xiàng)分析即可.【詳解】如圖所示：因?yàn)?，所以，所以，故選項(xiàng)A正確，因?yàn)?，所以所以，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，由，，在，，所以，即，所以，所以，所以，即即，故選項(xiàng)D正確，由，所以在中，因?yàn)椋?，故B正確，故選：ABD.6．BD【分析】如圖，根據(jù)向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的定義計(jì)算，依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】如圖，A：，故A錯(cuò)誤；B：，故B正確；C：，故C錯(cuò)誤；D：，由，得，所以，故D正確.故選：BD7．CD【分析】利用向量共線的概念判斷A、B，；利用向量數(shù)量積的定義可判斷C；利用向量共線的推論即可判斷D.【詳解】A，若，則與任意向量共線，所以與不一定平行，故A錯(cuò)誤；B，若，則，，當(dāng)共面時(shí)，，若不共面時(shí)，與不平行，故B錯(cuò)誤；C，若，則，所以，在方向上的投影為，故C正確；D，，設(shè),則，設(shè)，則，即，①，設(shè)，，，即，②由①②可得，，即，故D正確.故選：CD8．1【分析】利用向量線性運(yùn)算求得，與題干對(duì)照即可求解.【詳解】，則，，所以.故答案為：19．【分析】利用向量加減運(yùn)算結(jié)合夾角定義求解.【詳解】設(shè)，，，因?yàn)?，均為單位向量，所以四邊形為菱形，且平分，所以與的夾角為，則與的夾角為．故答案為：10．【分析】根據(jù)在方向上的數(shù)量投影先求出,取,則,即求的最小值,過點(diǎn)作的垂線即可求得.【詳解】解:由題知在方向上的數(shù)量投影是-2,,,,即,記,則,若求的最小值即求的最小值,過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn),此時(shí)最小,如圖所示:,故答案為:11．(1)，(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)幾何圖形進(jìn)行線性運(yùn)算即可；（2）利用向量共線定理即可證明.【詳解】（1）因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，D為邊BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，所以，則，.（2）因?yàn)?，所以，則，所以，即，所以，又因?yàn)橛泄颤c(diǎn)，所以，，三點(diǎn)共線.

12．(1)；(2)【分析】（1）由正弦定理邊角互化計(jì)算得，所以可得；（2）由余弦定理計(jì)算得，可得，所以，再由，得且，所以四邊形是矩形，求解得，從而得.【詳解】（1）因?yàn)椋傻?，，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，故，得，即，又，所?（2）由余弦定理得，所以，即，又因?yàn)?，即，因?yàn)椴还簿€，所以且，所以四邊形是矩形，所以，即，所以.【能力篇】一、單選題1．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）在中，是邊上一點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，記，則（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2022·山東·模擬預(yù)測(cè)）中華人民共和國的國旗圖案是由五顆五角星組成，這些五角星的位置關(guān)系象征著中國共產(chǎn)黨領(lǐng)導(dǎo)下的革命與人民大團(tuán)結(jié)．如圖，五角星是由五個(gè)全等且頂角為36°的等腰三角形和一個(gè)正五邊形組成．已知當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的為（

）A． B．C． D．三、填空題3．（2023·江蘇南京·二模）大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（如圖1）．某數(shù)學(xué)興趣小組類比“趙爽弦圖”構(gòu)造出圖2：為正三角形，，，圍成的也為正三角形．若為的中點(diǎn)，①與的面積比為；②設(shè)，則．四、解答題4．（2020·北京朝陽·二模）已知橢圓的離心率為，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓C的方程;（Ⅱ）已知過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，與直線交于點(diǎn)Q，設(shè)，，求證：為定值．參考答案：1．D【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】，故選：D．

2．AB【分析】連接DH，AF，CH，BH，利用五角星的結(jié)構(gòu)特征逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】對(duì)于A，連接DH，如圖，由DF=FH，得：，，A正確；對(duì)于B，連接AF，由得：AF垂直平分DH，而，即，則，B正確；對(duì)于C，與不共線，C不正確；對(duì)于D，連接CH，