2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第8講離散型隨機(jī)變量的均值與方差正態(tài)分布分層演練理含解析新人教A版

PAGEPAGE1第8講離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布1．(2024·高考全國(guó)卷Ⅲ)某群體中的每位成員運(yùn)用移動(dòng)支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨(dú)立．設(shè)X為該群體的10位成員中運(yùn)用移動(dòng)支付的人數(shù)，DX＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，則p＝()A．0.7 B．0.6C．0.4 D．0.3解析：選B.由題意知，該群體的10位成員運(yùn)用移動(dòng)支付的概率分布符合二項(xiàng)分布，所以DX＝10p·(1－p)＝2.4，所以p＝0.6或p＝0.4.由P(X＝4)＜P(X＝6)，得Ceq\o\al(4,10)p4(1－p)6＜Ceq\o\al(6,10)p6(1－p)4，即(1－p)2＜p2，所以p＞0.5，所以p＝0.6.2．某校在高三第一次模擬考試中約有1000人參與考試，其數(shù)學(xué)考試成果近似聽(tīng)從正態(tài)分布，即X～N(100，a2)(a＞0)，試卷滿分為150分，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成果不及格(低于90分)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的eq\f(1,10)，則此次數(shù)學(xué)考試成果在100分到110分(包含100分和110分)之間的人數(shù)約為()A．400 B．500C．600 D．800解析：選A.P(X＜90)＝P(X＞110)＝eq\f(1,10)，P(90≤X≤110)＝1－eq\f(1,10)×2＝eq\f(4,5)，P(100≤X≤110)＝eq\f(2,5)，1000×eq\f(2,5)＝400.故選A.3．(2024·高考浙江卷)已知隨機(jī)變量ξi滿意P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.若0＜p1＜p2＜eq\f(1,2)，則()A．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)B．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)C．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)D．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)解析：選A.依據(jù)題意得，E(ξi)＝pi，D(ξi)＝pi(1－pi)，i＝1，2，因?yàn)?<p1<p2<eq\f(1,2)，所以E(ξ1)<E(ξ2)．令f(x)＝x(1－x)，則f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上單調(diào)遞增，所以f(p1)<f(p2)，即D(ξ1)<D(ξ2)，故選A.4．已知隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ－101Peq\f(1,2)eq\f(1,6)eq\f(1,3)那么ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝________，設(shè)η＝2ξ＋1，則η的數(shù)學(xué)期望E(η)＝________．解析：由離散型隨機(jī)變量的期望公式及性質(zhì)可得，E(ξ)＝－1×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,3)＝－eq\f(1,6)，E(η)＝E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))＋1＝eq\f(2,3).答案：－eq\f(1,6)eq\f(2,3)5．有10張火車票，其中3張是臥鋪，其他是硬座，從這10張火車票中任取兩張，用ξ表示取到臥鋪的張數(shù)，則E(ξ)等于________．解析：ξ聽(tīng)從超幾何分布P(ξ＝x)＝eq\f(Ceq\o\al(x,3)Ceq\o\al(2－x,7),Ceq\o\al(2,10))(x＝0，1，2)．所以P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,7),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(21,45)＝eq\f(7,15)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(21,45)＝eq\f(7,15)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(3,45)＝eq\f(1,15).所以E(ξ)＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)6．袋中有20個(gè)大小相同的球，其中標(biāo)上0號(hào)的有10個(gè)，標(biāo)上n號(hào)的有n個(gè)(n＝1，2，3，4)．現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號(hào)．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，試求a，b的值．解：(1)X的分布列為X01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5)E(X)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝1.5.D(X)＝(0－1.5)2×eq\f(1,2)＋(1－1.5)2×eq\f(1,20)＋(2－1.5)2×eq\f(1,10)＋(3－1.5)2×eq\f(3,20)＋(4－1.5)2×eq\f(1,5)＝2.75.(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(Y)＝aE(X)＋b，所以當(dāng)a＝2時(shí)，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.當(dāng)a＝－2時(shí)，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4.))7．(2024·合肥市第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))某公司在迎新年晚會(huì)上實(shí)行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，有甲、乙兩個(gè)抽獎(jiǎng)方案供員工選擇．方案甲：?jiǎn)T工最多有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率均為eq\f(4,5).第一次抽獎(jiǎng)，若未中獎(jiǎng)，則抽獎(jiǎng)結(jié)束．若中獎(jiǎng)，則通過(guò)拋一枚質(zhì)地勻稱的硬幣，確定是否接著進(jìn)行其次次抽獎(jiǎng)．規(guī)定：若拋出硬幣，反面朝上，員工則獲得500元獎(jiǎng)金，不進(jìn)行其次次抽獎(jiǎng)；若正面朝上，員工則須進(jìn)行其次次抽獎(jiǎng)，且在其次次抽獎(jiǎng)中，若中獎(jiǎng)，則獲得獎(jiǎng)金1000元；若未中獎(jiǎng)，則所獲得的獎(jiǎng)金為0元．方案乙：?jiǎn)T工連續(xù)三次抽獎(jiǎng)，每次中獎(jiǎng)率均為eq\f(2,5)，每次中獎(jiǎng)均可獲得獎(jiǎng)金400元．(1)求某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X(元)的分布列；(2)試比較某員工選擇方案乙與選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)，哪個(gè)方案更劃算？解：(1)X的可能取值為0，500，1000.P(X＝0)＝eq\f(1,5)＋eq\f(4,5)×eq\f(1,2)×eq\f(1,5)＝eq\f(7,25)，P(X＝500)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,5)，P(X＝1000)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,2)×eq\f(4,5)＝eq\f(8,25)，所以某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X(元)的分布列為X05001000Peq\f(7,25)eq\f(2,5)eq\f(8,25)(2)由(1)可知，選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X的期望E(X)＝500×eq\f(2,5)＋1000×eq\f(8,25)＝520，若選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)次數(shù)ξ～B(3，eq\f(2,5))，則E(ξ)＝3×eq\f(2,5)＝eq\f(6,5)，抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X的期望E(X)＝E(400ξ)＝400E(ξ)＝480，故選擇方案甲較劃算．1．為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1000位顧客進(jìn)行嘉獎(jiǎng)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~．(1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元，求：①顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~為60元的概率；②顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~的分布列及數(shù)學(xué)期望．(2)商場(chǎng)對(duì)嘉獎(jiǎng)總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成．為了使顧客得到的嘉獎(jiǎng)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~相對(duì)均衡，請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說(shuō)明理由．解：(1)設(shè)顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~為X.①依題意，得P(X＝60)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，即顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~為60元的概率為eq\f(1,2).②依題意，得X的全部可能取值為20，60.P(X＝20)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，P(X＝60)＝eq\f(1,2)，即X的分布列為X2060Peq\f(1,2)eq\f(1,2)所以顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝20×eq\f(1,2)＋60×eq\f(1,2)＝40(元)．(2)依據(jù)商場(chǎng)的預(yù)算，每個(gè)顧客的平均嘉獎(jiǎng)?lì)~為60元．所以，先找尋期望為60元的可能方案．對(duì)于面值由10元和50元組成的狀況，假如選擇(10，10，10，50)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最大值，所以期望不行能為60元；假如選擇(50，50，50，10)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最小值，所以期望也不行能為60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，記為方案1.對(duì)于面值由20元和40元組成的狀況，同理，可解除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，記為方案2.以下是對(duì)兩個(gè)方案的分析：對(duì)于方案1，即方案(10，10，50，50)，設(shè)顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~為X1，則X1的分布列為X12060100Peq\f(1,6)eq\f(2,3)eq\f(1,6)X1的期望為E(X1)＝20×eq\f(1,6)＋60×eq\f(2,3)＋100×eq\f(1,6)＝60，X1的方差為D(X1)＝(20－60)2×eq\f(1,6)＋(60－60)2×eq\f(2,3)＋(100－60)2×eq\f(1,6)＝eq\f(1600,3).對(duì)于方案2，即方案(20，20，40，40)，設(shè)顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~為X2，則X2的分布列為X2406080Peq\f(1,6)eq\f(2,3)eq\f(1,6)X2的期望為E(X2)＝40×eq\f(1,6)＋60×eq\f(2,3)＋80×eq\f(1,6)＝60，X2的方差為D(X2)＝(40－60)2×eq\f(1,6)＋(60－60)2×eq\f(2,3)＋(80－60)2×eq\f(1,6)＝eq\f(400,3).由于兩種方案的嘉獎(jiǎng)?lì)~的期望都符合要求，但方案2嘉獎(jiǎng)?lì)~的方差比方案1的小，所以應(yīng)當(dāng)選擇方案2.2．(2024·高考全國(guó)卷Ⅰ)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位：cm)．依據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)閱歷，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸聽(tīng)從正態(tài)分布N(μ，σ2)．(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望；(2)一天內(nèi)抽檢零件中，假如出現(xiàn)了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異樣狀況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查．(i)試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性；(ii)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：9．9510.129.969.9610.019.929.9810.0410．269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,16)eq\i\su(i＝1,16,x)i＝9.97，s＝eq\r(\f(1,16)\i\su(i＝1,16,)（xi－eq\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\r(\f(1,16)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1,16,x)eq\o\al(2,i)－16eq\o(x,\s\up6(－))2)))≈0.212，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i＝1，2，…，16.用樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))作為μ的估計(jì)值eq\o(μ,\s\up6(^))，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值eq\o(σ,\s\up6(^))，利用估計(jì)值推斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除(eq\o(μ,\s\up6(^))－3eq\o(σ,\s\up6(^))，eq\o(μ,\s\up6(^))＋3eq\o(σ,\s\up6(^)))之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ(精確到0.01)．附：若隨機(jī)變量Z聽(tīng)從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.9974.0.997416≈0.9592，eq\r(0.008)≈0.09.解：(1)抽取的一個(gè)零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之內(nèi)的概率為0.9974，從而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率為0.0026，故X～B(16，0.0026)．因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈0.0408.X的數(shù)學(xué)期望為EX＝16×0.0026＝0.0416.(2)(i)假如生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0026，一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0408，發(fā)生的概率很?。虼艘坏┌l(fā)生這種狀況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異樣狀