2021屆廣東省高三上學(xué)期新高考適應(yīng)性測(cè)試(一)數(shù)學(xué)試題(教師版含解析)

廣東省2021屆新高考適應(yīng)性測(cè)試卷數(shù)學(xué)(一)本試卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題紙上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題紙上.寫(xiě)在本試卷無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=，則|z－i|=()A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】先對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，求出的值，再利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)計(jì)算公式計(jì)算可得答案.【詳解】解：z===2(1+i)，所以|z－i|=|2＋i|=.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)模的求解，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2.已知集合，集合，若，則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由可得出，可知，解出集合，結(jié)合題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】且，則，.若，則，可得，不合乎題意；若，則，所以，，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于中等題.3.《孫子算經(jīng)》是我國(guó)古代內(nèi)容極其豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有圓窖周五丈四尺，深一丈八尺，問(wèn)受粟幾何？”其意思為：“有圓柱形容器，底面圓周長(zhǎng)五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”(古制丈尺，斛立方尺，圓周率)，則該圓柱形容器能放米()A.斛 B.斛 C.斛 D.斛【答案】B【解析】【分析】計(jì)算出圓柱形容器的底面圓半徑，由此計(jì)算出圓柱形容器的體積，由此可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)圓柱形容器的底面圓半徑為，則(尺)，所以，該圓柱形容器的體積為(立方尺)，因此，該圓柱形容器能放米(斛).故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中的新文化，考查柱體體積的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4.在一項(xiàng)調(diào)查中有兩個(gè)變量和，下圖是由這兩個(gè)變量近8年來(lái)的取值數(shù)據(jù)得到的散點(diǎn)圖，那么適宜作為關(guān)于的回歸方程的函數(shù)類(lèi)型是()A. B.C. D.()【答案】B【解析】【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖的趨勢(shì)，選定正確的選項(xiàng).【詳解】散點(diǎn)圖呈曲線(xiàn)，排除A選項(xiàng)，且增長(zhǎng)速度變慢，排除選項(xiàng)C、D，故選B．【點(diǎn)睛】本小題主要考查散點(diǎn)圖，考查回歸直線(xiàn)方程等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.5.曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先對(duì)曲線(xiàn)求導(dǎo)，再根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線(xiàn)方程即可【詳解】由，，所以過(guò)點(diǎn)切線(xiàn)方程為答案選B【點(diǎn)睛】本題考查在曲線(xiàn)上某一點(diǎn)切線(xiàn)方程的求法，相對(duì)比較簡(jiǎn)單，一般解題步驟為：先求曲線(xiàn)導(dǎo)數(shù)表達(dá)式，求出，最終表示出切線(xiàn)方程6.的展開(kāi)式中，的系數(shù)為()A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】由題意轉(zhuǎn)化條件得，再由二項(xiàng)式定理寫(xiě)出的通項(xiàng)公式，分別令、，求和即可得解.【詳解】由題意，的通項(xiàng)公式為，令，則；令，則；所以展開(kāi)式中，的系數(shù)為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7.若，則()A.-1 B. C.-1或 D.或【答案】C【解析】【分析】將已知等式平方，可根據(jù)二倍角公式、誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)平方關(guān)系將等式化為，解方程可求得結(jié)果.【詳解】由得：即，解得：或本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)值的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)平方運(yùn)算，將等式化簡(jiǎn)為關(guān)于的方程，涉及到二倍角公式、誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)平方關(guān)系的應(yīng)用.8.若對(duì)圓上任意一點(diǎn)，的取值與，無(wú)關(guān)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B. C.或 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到兩條平行直線(xiàn)的距離之和來(lái)求解實(shí)數(shù)a的取值范圍【詳解】依題意表示到兩條平行直線(xiàn)和的距離之和與無(wú)關(guān)，故兩條平行直線(xiàn)和在圓的兩側(cè)，畫(huà)出圖像如下圖所示，故圓心到直線(xiàn)的距離，解得或(舍去)故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.9.已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)及對(duì)稱(chēng)軸的距離分別為3和，則的值可以是()A.2 B.6 C.4 D.8【答案】AC【解析】【分析】由題意得，，解方程即可.【詳解】設(shè)的橫坐標(biāo)為，由題意，，，解得或.故選：AC【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的定義，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道容易題.10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則()A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)最小值求得，根據(jù)周期求得，根據(jù)點(diǎn)求得，由此求得的解析式，結(jié)合誘導(dǎo)公式確定正確選項(xiàng).【詳解】由圖象可得，，解得，所以，所以，又的圖象過(guò)點(diǎn)，則，解得，又，所以，即.故選BD【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖象求三角函數(shù)解析式，考查誘導(dǎo)公式，屬于中檔題.11.為弘揚(yáng)我國(guó)古代的“六藝文化”，某夏令營(yíng)主辦單位計(jì)劃利用暑期開(kāi)設(shè)“禮”“樂(lè)”“射”“御”“書(shū)”“數(shù)”六門(mén)體驗(yàn)課程，每周一門(mén)，連續(xù)開(kāi)設(shè)六周.則()A.某學(xué)生從中選3門(mén)，共有30種選法B.課程“射”“御”排在不相鄰兩周，共有240種排法C.課程“禮”“書(shū)”“數(shù)”排在相鄰三周，共有144種排法D.課程“樂(lè)”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，共有504種排法【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)排列組合的相鄰關(guān)系和不相鄰關(guān)系，以及有限制排列的關(guān)系，逐個(gè)分析選項(xiàng)即可.【詳解】6門(mén)中選3門(mén)共有種，故A錯(cuò)誤；課程“射”“御”排在不相鄰兩周，共有種排法，故B錯(cuò)誤；課程“禮”“書(shū)”“數(shù)”排在相鄰三周，共有種排法，故C正確；課程“樂(lè)”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，共有種排法，故D正確．故選：CD【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12.設(shè)三個(gè)函數(shù)，和的零點(diǎn)分別為，，，則有()A B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】將，分別看成與兩個(gè)函數(shù)分別于的交點(diǎn)，結(jié)合，的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)與垂直，可以得到，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是關(guān)于和的交點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的，得到，的關(guān)系．可求，則問(wèn)題可解．【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以在上是增函?shù)，又當(dāng)時(shí)，所以，作出，，三個(gè)函數(shù)的圖像如圖所示：其中，分別是兩個(gè)函數(shù)與的圖像與直線(xiàn)的交點(diǎn)，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)與的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且也關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以交點(diǎn)，關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以，即，所以，再由基本不等式得.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查了利用數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，本題的關(guān)鍵與難點(diǎn)是分析出、兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)．屬于中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)，若，則____.【答案】1或-2【解析】【分析】分和兩種情況，分別求出值即可．【詳解】令或，解得或.故答案為：1或-2【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)求值，考查分段函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．14.已知向量滿(mǎn)足，則向量在向量上的投影為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】運(yùn)用向量的平方即為模的平方，以及向量的投影概念，代入計(jì)算可得所求值．【詳解】解：向量滿(mǎn)足，可得，，即為，，兩式相減可得，則向量在向量上的投影為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查向量的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，以及向量的投影概念，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15.已知直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)交于點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的左、右頂點(diǎn)分別為，，若，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)____.【答案】或【解析】【分析】解出點(diǎn)的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求出，化簡(jiǎn)整理出的關(guān)系式，從而求得離心率．【詳解】若漸近線(xiàn)的方程為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.因?yàn)椋?，則，所以，從而.若漸近線(xiàn)的方程為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的離心率，考查運(yùn)算求解能力與分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想.16.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)在對(duì)角線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)作垂直于的平面，記這樣得到的截面多邊形(含三角形)的周長(zhǎng)為，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，截面多邊形是六邊形HIJKLM，利用相似比可知鄰邊長(zhǎng)之和為定值即可得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，截面多邊形是六邊形HIJKLM，設(shè)==λ，則==1﹣λ，∴HI+IJ=，∴截面六邊形的周長(zhǎng)為；故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，截面周長(zhǎng)問(wèn)題,考查了空間想象力，屬于中檔題.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中的橫線(xiàn)上，并解答.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，.(1)求角；(2)若，，求的面積.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)若選①：利用正弦定理和余弦定理可求出角；若選②：利用正弦定理和兩角和與差公式可得角；(2)利用余弦定理求出，代入三角形面積公式即可．【詳解】(1)若選①：由正弦定理得，所以，由余弦定理得，解得，因?yàn)?，所?若選②：由正弦定理得，即，即，因?yàn)?，所以，所以，所?(2)由余弦定理得，得，即，解得，則的面積，故的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查三角恒等變換，考查三角形的面積公式，屬于中檔題．18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿(mǎn)足.(1)求證數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，；(2).【解析】【分析】(1)利用化簡(jiǎn)已知條件，從而證得數(shù)列是等比數(shù)列，先求得，然后求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)利用錯(cuò)位相減求和法求得.【詳解】(1)由題得，，整理得，.因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，有，因此是以2為首項(xiàng)，2為公比等比數(shù)列.所以，所以.(2)由(1)知，則，①①×2，得，②②-①，得.【點(diǎn)睛】本小題主要考查已知求，考查錯(cuò)位相減求和法，屬于中檔題.19.如圖，E是以AB為直徑的半圓O上異于A、B的點(diǎn)，矩形ABCD所在的平面垂直于半圓O所在的平面，且AB=2AD=2.(1)求證：；(2)若異面直線(xiàn)AE和DC所成的角為，求平面DCE與平面AEB所成的銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【解析】【分析】(1)由面面垂直的性質(zhì)可證得.再線(xiàn)面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可得證；(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)為軸，過(guò)點(diǎn)與平行的直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由二面角的向量求解方法可求得平面DCE與平面AEB所成的銳二面角的余弦值.【詳解】(1)∵平面垂直于圓所在的平面，兩平面的交線(xiàn)為平面，∴垂直于圓所在平面.又在圓所在的平面內(nèi)，∴.∵是直角，∴，又，∴平面，∴.(2)如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)為軸，過(guò)點(diǎn)與平行的直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由異面直線(xiàn)和所成的角為，，知，

∴，∴，由題設(shè)可知，，∴，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，即得，，取，得.∴.又平面的一個(gè)法向量為，∴.平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【點(diǎn)睛】本題考查空間中線(xiàn)線(xiàn)垂直的證明和二面角的求解方法，屬于中檔題.20.某電視臺(tái)“挑戰(zhàn)主持人”節(jié)目的挑戰(zhàn)者闖第一關(guān)需要回答三個(gè)問(wèn)題，其中前兩個(gè)問(wèn)題回答正確各得分，回答不正確得分，第三個(gè)問(wèn)題回答正確得分，回答不正確得分．如果一位挑戰(zhàn)者回答前兩個(gè)問(wèn)題正確的概率都是，回答第三個(gè)問(wèn)題正確的概率為，且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響．若這位挑戰(zhàn)者回答這三個(gè)問(wèn)題的總分不低于分就算闖關(guān)成功．()求至少回答對(duì)一個(gè)問(wèn)題的概率．()求這位挑戰(zhàn)者回答這三個(gè)問(wèn)題的總得分的分布列．()求這位挑戰(zhàn)者闖關(guān)成功的概率．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)見(jiàn)解析；(Ⅲ).【解析】試題分析：(Ⅰ)由題意結(jié)合對(duì)立事件概率公式可得至少回答對(duì)一個(gè)問(wèn)題的概率為.(Ⅱ)這位挑戰(zhàn)者回答這三個(gè)問(wèn)題總得分的所有可能取值為.計(jì)算各個(gè)分值相應(yīng)的概率值即可求得總得分X的分布列；(Ⅲ)結(jié)合(Ⅱ)中計(jì)算得出的概率值可得這位挑戰(zhàn)者闖關(guān)成功的概率值為.試題解析：(Ⅰ)設(shè)至少回答對(duì)一個(gè)問(wèn)題為事件,則.(Ⅱ)這位挑戰(zhàn)者回答這三個(gè)問(wèn)題的總得分的所有可能取值為.根據(jù)題意,,,,,,.隨機(jī)變量的分布列是:(Ⅲ)設(shè)這位挑戰(zhàn)者闖關(guān)成功為事件,則.21.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，短軸長(zhǎng)為，，在橢圓上，且.的周長(zhǎng)為8.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)作的切線(xiàn)，過(guò)原點(diǎn)作于點(diǎn)，求的面積的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)判斷出軸，結(jié)合的周長(zhǎng)求得，根據(jù)短軸求得，由此求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)聯(lián)立直線(xiàn)的方程和橢圓的方程，根據(jù)求得的關(guān)系式，求得、，進(jìn)而求得的面積的表達(dá)式，結(jié)合基本定理求得面積的最大值.【詳解】(1)由，可知，，三點(diǎn)共線(xiàn)，且軸，由的周長(zhǎng)為8，得，所以，且，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)顯然直線(xiàn)斜率存在且不為0，設(shè)直線(xiàn)：，聯(lián)立，得，且，得，所以.聯(lián)立，得，.所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以的面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓方程的求法，考查橢圓中三角形的面積，考查基本不等式，屬于中檔題.22.設(shè)函數(shù).(1)證明：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求整數(shù)的最小值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】【分析】(1)